3.动能和动能定理（举一反三讲义）物理人教版必修第二册

第3节 动能和动能定理 目录 【学习目标】 1 【思维导图】 2 【知识梳理】 2 知识点1：动能 2 知识点2：动能定理 3 知识点3：动能定理解决变力做功问题............................................................................................................4 知识点4：动能定理解决多过程问题................................................................................................................6 知识点5：动能定理解决曲线运动问题............................................................................................................8 【方法技巧】 10 方法技巧1 应用动能定理解题的步骤 10 方法技巧2 在有摩擦力做功的往复运动过程中，注意两种力做功的区别...................................................10 【巩固训练】 10 【学习目标】 1．知道动能定义和表达式，会计算物体的动能。 2. 会用牛顿定律和运动学公式推导动能定理，理解其含义。 3. 能用动能定理进行相关分析和计算。 重点：理解动能及其表达式，理解动能定理的物理意义。 难点：利用动能定理分析变力做功、曲线运动以及多过程问题。 【思维导图】 【知识梳理】 知识点1：动能 1.定义：物体由于 而具有的能量。 2.表达式：Ek＝ ，其中m为物体的质量，v为物体的瞬时速度。 3.单位：在国际单位制中，动能的单位是 （J），与功的单位相同。 4.性质 （1）标量性：动能只有 ，没有 ，运算遵循代数运算法则。 （2）瞬时性：动能与物体的瞬时速度相对应，是 量。 （3）相对性：由于速度具有相对性，选取不同的参考系，物体的速度不同，其动能也不同。一般选地面为参考系。 【典例1】对动能的理解，下列说法正确的是（　　） A．运动速度大的物体，动能一定大 B．动能像重力势能一样有正负 C．质量一定的物体，动能变化时，速度一定变化，但速度变化时，动能不一定变化 D．动能不变的物体，一定处于平衡状态 【变式1】将质量为0.4kg的物体以10m/s的速度抛出，抛出时物体的动能为（　　） A．10J B．20J C．40J D．80J 【变式2】从地面竖直向上抛出一只小球，小球运动一段时间后落回地面。忽略空气阻力，该过程中小球的动能Ek与时间t的关系图像是（   ） A． B． C． D． 【变式3】福建舰是我国自主设计建造的首艘弹射型航空母舰。借助配重小车可以进行弹射测试，测试时配重小车被弹射器从甲板上水平弹出后，落到海面上。调整弹射装置，使小车水平离开甲板时的动能变为调整前的4倍。忽略空气阻力，则小车在海面上的落点与其离开甲板处的水平距离为调整前的（　　） A．0.25倍 B．0.5倍 C．2倍 D．4倍 知识点2：动能定理 1．内容：力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中 的变化。 2．表达式 (1)W＝ =，式中W为 做的功，它等于各力做功的 。 3．适用范围：不仅适用于恒力做功和直线运动，也适用于 做功和 运动情况。 4.合力做正功时，物体的动能 ；合力做负功时，物体的动能 。 【典例2】一质量为m的物体，速度由v0增加到vt的过程中，合外力对物体做的功为（　　） A． B． C． D． 【变式1】质量为m的物体，由静止开始下落，由于空气阻力，下落的加速度为，在物体下落h的过程中，下列说法正确的是（    ） A．物体动能增加了 B．物体的机械能减少了 C．物体的重力势能减少了 D．物体克服阻力做了的功 【变式2】质量为的物块静置于光滑水平地面上，设物块静止时的位置为x轴零点。现给物块施加一沿x轴正方向的水平力F，其大小随位置x变化的关系如图所示，则物块运动到处，F做功的瞬时功率为（　　）    A． B． C． D． 【变式3】某小组制作了一遥控快艇模型，质量为2kg，将其放入水中，快艇模型从静止开始加速运动一段时间，速度达到5m/s，则这段时间内快艇模型（　　） A．动能的增加量为25J B．动能的增加量为5J C．所受合力做功为25J D．所受合力做功为5J 知识点3：动能定理解决变力做功问题 利用动能定理求变力的功是最常用的方法，当物体受到一个变力和几个恒力作用时，可以用动能定理间接求变力做的功，即W变＋W其他＝ΔEk 【典例3】如图所示，固定在地面上的光滑斜面，其顶端固定一弹簧，一质量为m的小球向右滑行，并冲上斜面。设小球在斜面最低点A的速度为v，压缩弹簧至C点时弹簧最短，C点距地面高度为h，重力加速度为g，则小球从A到C的过程中弹簧弹力做的功为（　　） A． B． C． D． 【变式1】如图所示，粗糙程度处处相同的水平桌面上有一长为L的轻质细杆，一端可绕竖直光滑轴O转动，另一端与质量为m的小木块相连。木块以水平初速度出发，恰好能完成一个完整的圆周运动。在运动过程中，木块所受摩擦力的大小为（　　） A． B． C． D． 【变式2】质量为m的物体以初速度v0沿水平面向左开始运动，起始点A与一水平轻弹簧O端相距s，如图所示。已知物体与水平面间的动摩擦因数为μ，物体与弹簧接触后，弹簧的最大压缩量为x，重力加速度为g，则从开始接触到弹簧被压缩至最短（弹簧始终在弹性限度内），物体克服弹簧弹力所做的功为（　　） A．mv02－μmg（s＋x） B．mv02－μmgx C．μmgs D．μmg（s＋x） 【变式3】2025年2月3日《观点网》消息，小米汽车官方微博宣布，2025年1月，小米SU7交付量再次超过两万辆。时刻，一辆小米汽车在一段试车专用的平直的公路上由静止启动，时功率达到之后功率保持不变，其图像如图所示。设汽车在运动过程中阻力不变，下列说法正确的是（　　） A．汽车受到的阻力大小为15000N B．匀加速运动阶段汽车牵引力做的功为 C．汽车的质量为2000kg D．汽车在做变加速运动过程中的位移大小约为640m 知识点4：动能定理解决多过程问题 一个物体的运动如果包含多个运动阶段，可以选择分段或全程应用动能定理： (1)分段应用动能定理时，将复杂的过程分割成一个个子过程，对每个子过程的做功情况和初、末动能进行分析，然后针对每个子过程应用动能定理列式，然后联立求解。 (2)全程应用动能定理时，分析整个过程中出现过的各力的做功情况，分析每个力做的功，确定整个过程中合外力做的 ，然后确定整个过程的初、末动能，针对整个过程利用动能定理列式求解。 1.当题目不涉及中间量时，选择全程应用动能定理更简单，更方便。 2.当物体运动过程中涉及多个力做功时，各力对应的位移可能不相同，计算各力做功时，应注意各力对应的位移。 【典例4】（多选）如图甲所示，质量为8kg的物体受水平推力F作用在水平面上由静止开始运动，推力F随位移x变化的关系如图乙所示，运动10m后撤去推力F。已知物体与地面间的动摩擦因数为0.5，重力加速度取，在物体运动的整个过程中（　　） A．推力对物体做的功为480J B．物体的位移为12m C．物体的加速度大小先减小后不变 D．物体在时速度最大，最大速度为6m/s 【变式1】如图为某游戏装置原理示意图。水平桌面上固定一半圆形竖直挡板，其半径为2R、内表面光滑，挡板的两端A、B在桌面边缘，B与半径为R的固定光滑圆弧轨道在同一竖直平面内，过C点的轨道半径与竖直方向的夹角为60°。小物块以某一水平初速度由A点切入挡板内侧，从B点飞出桌面后，在C点沿圆弧切线方向进入轨道内侧，并恰好能到达轨道的最高点D。小物块与桌面之间的动摩擦因数为，重力加速度大小为g，忽略空气阻力，小物块可视为质点。求： （1）小物块到达D点的速度大小； （2）B和D两点的高度差； （3）小物块在A点的初速度大小。 【变式2】如图所示，在竖直平面内，光滑斜面下端与水平面BC平滑连接于B点，水平面BC与光滑半圆弧轨道CDE相切于C点，E点在圆心O点正上方，D点与圆心等高。一物块（可看作质点）从斜面上A点由静止释放，物块通过半圆弧轨道E点且水平飞出，最后落到水平面BC上的F（图中未标出）点处。已知斜面上A点距离水平面BC的高度h = 2.0m，圆弧轨道半径R = 0.4m，B、C两点距离LBC=2.0m，F、C两点距离LFC = 1.6m。求： (1)物块通过E点时的速度大小； (2)物块与水平面BC间的动摩擦因数； (3)将物块从斜面上由静止释放，若物块在半圆弧轨道上运动时不脱离轨道，则物块释放点距离水平面BC的高度h'应满足的条件。 【变式3】如图（a）所示，一物块以一定初速度沿倾角为30°的固定斜面上滑，运动过程中摩擦力大小f恒定，物块动能Ek与运动路程s的关系如图（b）所示。重力加速度大小取10m/s2。 (1)物体在斜面运动过程中所受摩擦力做的功； (2)物体的质量； (3)物块与斜面间的动摩擦因数。 知识点5：动能定理解决曲线运动问题 动能定理常与平抛运动、圆周运动、往复运动相结合，解决这类问题要特别注意： (1)与平抛运动相结合时，要注意应用运动的合成与分解，分别求解有关物理量。 (2)与竖直平面内的圆周运动相结合时，应特别注意隐藏的临界条件： ①可提供支撑效果的竖直平面内的圆周运动，物体能通过最高点的临界条件为vmin＝ ②不可提供支撑效果的竖直平面内的圆周运动，物体能通过最高点的临界条件为vmin＝ 【典例5】如图所示，ABCD是一个固定盆式容器，侧壁与盆底BC平滑连接，BC距离d=0.4m，盆边缘的高度为h=0.3m。已知侧壁是光滑的，盆底与小物块间的动摩擦因数为μ=0.1。在A处静止释放一质量为m的小物块，小物块在盆内来回滑动，最后停下来，则最终位置到B的距离为（　　） A．0.4m B．0.3m C．0.2m D．0 【变式1】如图所示，是竖直平面内的四分之一光滑圆弧轨道，圆弧轨道末端点与水平直轨道相切，一物块（可视为质点）从点由静止开始沿圆弧轨道下滑，最终停在水平直轨道上的点。已知物块的质量，圆弧轨道的半径，点和点间的距离，取重力加速度大小，不计空气阻力。求： (1)物块经过圆弧轨道的点时物块速度大小； (2)物块经过圆弧轨道的点时物块对轨道的压力大小； (3)物块与水平直轨道间的动摩擦因数。 【变式2】如图所示，光滑的斜坡轨道与粗糙的水平轨道平滑连接，水平轨道与半径为的光滑半圆形轨道平滑连接，相切于点，所有轨道都在竖直平面内，、的距离为。可视为质点且质量为的小物块从半圆轨道上的点由静止滑下，运动到点速度恰好为0。，求： (1)小物块滑至半圆形轨道最低点时受到的支持力大小； (2)水平轨道与小物块间的动摩擦因数； (3)若小物块从斜坡轨道上点由静止滑下，刚好能通过半圆轨道的最高点，则点离水平轨道的高度。 【变式3】如图所示，某装置处于竖直平面内，该装置由弧形轨道、竖直螺旋圆形轨道，水平直轨道AF和传送带FG组成，且各处平滑连接。螺旋圆形轨道与弧形轨道相切于A点，螺旋圆形轨道半径R=0.3m，AF长度L=0.8m，传送带长度足够长。现将质量m=0.3kg的小滑块从弧形轨道距AF高H=1.0m的M处由静止释放。滑块与轨道AF间的动摩擦因数μ=0.25，与传送带间的动摩擦因数未知，传送带始终以3m/s的速度逆时针匀速转动。不计空气阻力，弧形轨道和圆形轨道均可视为光滑，重力加速度g取10m/s2，求： (1)小滑块第一次运动到A点时的速度大小； (2)滑块运动至圆轨道最高点 D点对轨道压力大小； (3)滑块最终停在距A点多远处。 【方法技巧】 方法技巧1 应用动能定理解题的步骤 （1）明确研究对象及所研究的物理过程 （2）对研究对象进行受力分析，并确定各力所做的功，求出这些力的功的代数和 （3）确定始、末状态的动能，根据动能定理列出方程 （4）求解方程、分析结果 方法技巧2 在有摩擦力做功的往复运动过程中，注意两种力做功的区别： ①重力做功只与初、末位置有关，而与路径无关； ②滑动摩擦力(或全部阻力)做功与路径有关，克服摩擦力(或全部阻力)做的功W＝Ffs(s为路程)。 【巩固训练】 1．近年来，我国航天事业取得了显著的成就和发展，如载人航天工程、月球探测、火星探测等。如图是火星探测任务中天问一号探测器实施近火制动中的停泊轨道，该停泊轨道可看作是椭圆轨道，a、b、c、d是该轨道上的四个点，其中d点为近火点，b点为远火点，则天问一号在经过这四个位置中动能最大的是（　　） A．a点 B．b点 C．c点 D．d点 2.（多选）一个物体做变速运动时，下列说法正确的是（　　） A．合力一定对物体做功，使物体动能改变 B．物体所受合力一定不为零 C．合力一定对物体做功，但物体动能可能不变 D．物体加速度一定不为零 3.某同学参加户外拓展活动，遵照安全规范，坐在滑板上，从高为h的粗糙斜坡顶端由静止下滑，至底端时速度为v．已知人与滑板的总质量为m，可视为质点．重力加速度大小为g，不计空气阻力．则此过程中人与滑板克服摩擦力做的功为（    ） A． B． C． D． 4.某滑雪赛道如图所示，滑雪运动员从静止开始沿斜面下滑，经圆弧滑道起跳。将运动员视为质点，不计摩擦力及空气阻力，此过程中，运动员的动能与水平位移x的关系图像正确的是（　　） A． B． C． D． 5.如图所示，质量为M、长度为L的小车静止在光滑水平面上，质量为m的小物块（可视为质点）放在小车的最左端。现用一水平恒力F作用在小物块上，使小物块从静止开始做匀加速直线运动。小物块和小车之间的摩擦力为，小物块滑到小车的最右端时，小车运动的距离为x。此过程中，以下结论正确的是（　　） A．小物块到达小车最右端时具有的动能为 B．小物块到达小车最右端时，小车具有的动能为 C．小物块克服摩擦力所做的功为 D．小物块克服摩擦力所做的功为 6.如图，在摩托车越野赛途中的水平路段前方有一个坑，该坑沿摩托车前进方向的水平宽度为3h，其左边缘a点比右边缘b点高0.5h。若摩托车经过a点时的动能为E1，它会落到坑内c点。c与a的水平距离和高度差均为h；若经过a点时的动能为E2，该摩托车恰能越过坑到达b点。等于（　　） A．20 B．18 C．9.0 D．3.0 7.（多选）冰滑梯是东北地区体验冰雪运动乐趣的设施之一、某冰滑梯的示意图如图所示，螺旋滑道的摩擦可忽略：倾斜滑道和水平滑道与同一滑板间的动摩擦因数μ相同，因滑板不同μ满足。在设计滑梯时，要确保所有游客在倾斜滑道上均减速下滑，且滑行结束时停在水平滑道上，以下L1、L2的组合符合设计要求的是（　　） A．， B．， C．， D．， 8.某兴趣小组遥控一辆玩具车（甲图），使其在水平路面上由静止启动，在前2s内做匀加速直线运动，2s至14s牵引力的功率保持不变，10s至14s玩具车做匀速直线运动，14s末停止遥控，让玩具车自由滑行，其图像如图乙所示。整个过程中玩具车所受的阻力大小不变。玩具车的质量为，，求： (1)玩具车在4s末牵引力的功率大小； (2)玩具车在2s末的速度的大小； (3)玩具车在2s至10s内通过的距离s。 9.如图所示，竖直线为竖直光滑半圆弧轨道的直径，其半径，端切线水平，水平轨道与半径的光滑竖直圆弧轨道相接于点，为圆弧轨道的最低点。一质量为的小球（视为质点）从水平轨道上某点以某一速度冲上竖直圆轨道，并从点飞出，经过点恰好沿切线进入圆弧轨道，点与点的距离，重力加速度。求： (1)小球在点对圆弧轨道的压力大小； (2)小球在圆弧上点受到的支持力大小； (3)小球在B点的速度。 10.如图所示，一轨道由曲面AB、竖直圆轨道、水平轨道BD和固定斜面DEF平滑连接组成，其中曲面和圆轨道光滑，水平轨道和斜面粗糙且动摩擦因数均为，圆轨道最低点B相互错开。现将一质量为m=0.5kg的滑块（可看成质点）从AB轨道上距离地面某一高度由静止释放，若已知圆轨道半径R=0.8m，一水平面的长度BD=9m，斜面宽度DF=2m，倾角，g取10m/s2，滑块从h=2.4m高处由静止开始滑下，求： (1)滑块运动至圆轨道最高点 C点对轨道压力大小； (2)滑块在斜面上向上运动的最大距离： (3)滑块最终停止的位置（用距离D点描述）。 11.如图所示装置由AB、BC、CD三段轨道组成，轨道交接处均由很小的圆弧平滑连接，其中轨道AB、CD段是光滑的，水平轨道BC的长度，轨道CD足够长且倾角，A、D两点离轨道BC的高度分别为，。现让质量为的小滑块自点由静止释放。已知小滑块与轨道间的动摩擦因数，重力加速度取，，，求： （1）小滑块第一次到达D点时的速度大小； （2）小滑块第一次与第二次通过C点的时间间隔； （3）小滑块最终停止的位置距B点的距离。 12.如图所示，竖直平面内固定半径的光滑圆弧轨道，轨道的M处与水平传送带相切。传送带与左侧紧靠的水平台面等高，台面的PN部分粗糙，PN的长度，P点左侧光滑。水平放置的轻质弹簧左端固定、处于原长状态。质量的小物块（可视为质点）从A点由静止沿圆弧轨道下滑。O为圆心，半径OM竖直，OA与OM的夹角，已知传送带的长度，始终以速度顺时针转动，物块与台面PN部分、物块与传送带之间的动摩擦因数均为，取重力加速度，弹簧始终在弹性限度内，求： (1)物块第一次下滑到M处的速度的大小； (2)弹簧被压缩后具有的最大弹性势能； (3)物块在PN部分通过的总路程。 13.滑板运动是极限运动的鼻祖，许多极限运动项目均由滑板项目延伸而来。如图所示是滑板运动的轨道，和是两段光滑圆弧形轨道，段的圆心为O点，圆心角为，半径与水平轨道垂直，水平轨道段粗糙且长，一运动员从轨道上的A点以的速度水平滑出，在B点刚好沿轨道的切线方向滑入圆弧形轨道，经轨道后冲上轨道，到达E点时速度减为零，然后返回。已知运动员和滑板的总质量为，B、E两点与水平面的竖直高度分别为h和H，且，，。 (1)求运动员从A运动到达B点时的速度大小和在空中飞行的时间； (2)求轨道段的动摩擦因数、离开圆弧轨道末端时，滑板对轨道的压力； (3)通过计算说明，第一次返回时，运动员能否回到B点？如果能，请求出回到B点时的速度大小；如果不能，则最后停在何处？ 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3节 动能和动能定理 目录 【学习目标】 1 【思维导图】 2 【知识梳理】 2 知识点1：动能 2 知识点2：动能定理 4 知识点3：动能定理解决变力做功问题............................................................................................................7 知识点4：动能定理解决多过程问题................................................................................................................10 知识点5：动能定理解决曲线运动问题............................................................................................................16 【方法技巧】 20 方法技巧1 应用动能定理解题的步骤 20 方法技巧2 在有摩擦力做功的往复运动过程中，注意两种力做功的区别................................................21 【巩固训练】 21 【学习目标】 1．知道动能定义和表达式，会计算物体的动能。 2. 会用牛顿定律和运动学公式推导动能定理，理解其含义。 3. 能用动能定理进行相关分析和计算。 重点：理解动能及其表达式，理解动能定理的物理意义。 难点：利用动能定理分析变力做功、曲线运动以及多过程问题。 【思维导图】 【知识梳理】 知识点1：动能 1.定义：物体由于运动而具有的能量。 2.表达式：Ek＝mv2 ，其中m为物体的质量，v为物体的瞬时速度。 3.单位：在国际单位制中，动能的单位是焦耳（J），与功的单位相同。 4.性质 （1）标量性：动能只有大小，没有方向，运算遵循代数运算法则。 （2）瞬时性：动能与物体的瞬时速度相对应，是状态量。 （3）相对性：由于速度具有相对性，选取不同的参考系，物体的速度不同，其动能也不同。一般选地面为参考系。 【典例1】对动能的理解，下列说法正确的是（　　） A．运动速度大的物体，动能一定大 B．动能像重力势能一样有正负 C．质量一定的物体，动能变化时，速度一定变化，但速度变化时，动能不一定变化 D．动能不变的物体，一定处于平衡状态 【答案】C 【解析】A．由，可知速度大的质量可能很小，动能不一定大，故A错误； B．动能没有负值，故B错误； C．由于速度为矢量，当方向变化时，若其速度大小不变，则动能并不改变；而动能变化时，速度大小一定变化，故C正确； D．动能不变可能只是物体的速度大小不变，而方向发生变化，故动能不变的物体可能做变速运动，故不一定处于平衡状态，故D错误。 故选C。 【变式1】将质量为0.4kg的物体以10m/s的速度抛出，抛出时物体的动能为（　　） A．10J B．20J C．40J D．80J 【答案】B 【解析】根据动能的计算公式可得 故选B。 【变式2】从地面竖直向上抛出一只小球，小球运动一段时间后落回地面。忽略空气阻力，该过程中小球的动能Ek与时间t的关系图像是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】小球做竖直上抛运动时，速度 根据动能 得 故选A。 【变式3】福建舰是我国自主设计建造的首艘弹射型航空母舰。借助配重小车可以进行弹射测试，测试时配重小车被弹射器从甲板上水平弹出后，落到海面上。调整弹射装置，使小车水平离开甲板时的动能变为调整前的4倍。忽略空气阻力，则小车在海面上的落点与其离开甲板处的水平距离为调整前的（　　） A．0.25倍 B．0.5倍 C．2倍 D．4倍 【答案】C 【解析】动能表达式为 由题意可知小车水平离开甲板时的动能变为调整前的4倍，则离开甲板时速度变为调整前的2倍；小车离开甲板后做平抛运动，从离开甲板到到达海面上时间不变，根据 可知小车在海面上的落点与其离开甲板处的水平距离为调整前的2倍。 故选C。 知识点2：动能定理 1．内容：力在一个过程中对物体做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。 2．表达式 (1)W＝=，式中W为合力做的功，它等于各力做功的代数和。 3．适用范围：不仅适用于恒力做功和直线运动，也适用于变力做功和曲线运动情况。 4.合力做正功时，物体的动能增加；合力做负功时，物体的动能减小。 【典例2】一质量为m的物体，速度由v0增加到vt的过程中，合外力对物体做的功为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据动能定理有 故选D。 【变式1】质量为m的物体，由静止开始下落，由于空气阻力，下落的加速度为，在物体下落h的过程中，下列说法正确的是（    ） A．物体动能增加了 B．物体的机械能减少了 C．物体的重力势能减少了 D．物体克服阻力做了的功 【答案】A 【解析】A．物体动能增量等于合外力的功，则动能增加了 选项A正确； BD．由牛顿第二定律 解得 物体的机械能减少等于克服阻力做功，则 选项BD错误； C．物体的重力势能减少了 选项C错误。 故选A。 【变式2】质量为的物块静置于光滑水平地面上，设物块静止时的位置为x轴零点。现给物块施加一沿x轴正方向的水平力F，其大小随位置x变化的关系如图所示，则物块运动到处，F做功的瞬时功率为（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】根据图像可知物块运动到处，F做的总功为 该过程根据动能定理得 解得物块运动到处时的速度为 故此时F做功的瞬时功率为 故选A。 【变式3】某小组制作了一遥控快艇模型，质量为2kg，将其放入水中，快艇模型从静止开始加速运动一段时间，速度达到5m/s，则这段时间内快艇模型（　　） A．动能的增加量为25J B．动能的增加量为5J C．所受合力做功为25J D．所受合力做功为5J 【答案】AC 【解析】AB．动能的增加量 故A正确，B错误； CD．根据动能定理可知，所受合力做功等于动能的增加量25J，故C正确，D错误。 故选AC。 知识点3：动能定理解决变力做功问题 利用动能定理求变力的功是最常用的方法，当物体受到一个变力和几个恒力作用时，可以用动能定理间接求变力做的功，即W变＋W其他＝ΔEk 【典例3】如图所示，固定在地面上的光滑斜面，其顶端固定一弹簧，一质量为m的小球向右滑行，并冲上斜面。设小球在斜面最低点A的速度为v，压缩弹簧至C点时弹簧最短，C点距地面高度为h，重力加速度为g，则小球从A到C的过程中弹簧弹力做的功为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】小球A到C由动能定理有 解得 故选A。 【变式1】如图所示，粗糙程度处处相同的水平桌面上有一长为L的轻质细杆，一端可绕竖直光滑轴O转动，另一端与质量为m的小木块相连。木块以水平初速度出发，恰好能完成一个完整的圆周运动。在运动过程中，木块所受摩擦力的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在运动过程中，只有摩擦力做功，而摩擦力做功与路径有关，根据动能定理 可得摩擦力的大小 故选B。 【变式2】质量为m的物体以初速度v0沿水平面向左开始运动，起始点A与一水平轻弹簧O端相距s，如图所示。已知物体与水平面间的动摩擦因数为μ，物体与弹簧接触后，弹簧的最大压缩量为x，重力加速度为g，则从开始接触到弹簧被压缩至最短（弹簧始终在弹性限度内），物体克服弹簧弹力所做的功为（　　） A．mv02－μmg（s＋x） B．mv02－μmgx C．μmgs D．μmg（s＋x） 【答案】A 【解析】设物体克服弹簧弹力做功为，从开始接触到弹簧被压缩至最短，根据动能定理可得 解得物体克服弹簧弹力所做的功为 故选A。 【变式3】2025年2月3日《观点网》消息，小米汽车官方微博宣布，2025年1月，小米SU7交付量再次超过两万辆。时刻，一辆小米汽车在一段试车专用的平直的公路上由静止启动，时功率达到之后功率保持不变，其图像如图所示。设汽车在运动过程中阻力不变，下列说法正确的是（　　） A．汽车受到的阻力大小为15000N B．匀加速运动阶段汽车牵引力做的功为 C．汽车的质量为2000kg D．汽车在做变加速运动过程中的位移大小约为640m 【答案】C 【解析】A．当牵引力等于阻力时，速度达到最大值，则有 故A错误； C．由图可知，汽车在做匀加速直线运动，加速度大小为 时，牵引力大小为 由牛顿第二定律有 解得 故C正确； B．由图像与时间轴围成的面积表示位移可得，内汽车的位移大小为 则在内牵引力做的功为 故B错误； D．内牵引力做的功为 由动能定理有 解得汽车在做变加速运动过程中的位移大小 故D错误。 故选C。 知识点4：动能定理解决多过程问题 一个物体的运动如果包含多个运动阶段，可以选择分段或全程应用动能定理： (1)分段应用动能定理时，将复杂的过程分割成一个个子过程，对每个子过程的做功情况和初、末动能进行分析，然后针对每个子过程应用动能定理列式，然后联立求解。 (2)全程应用动能定理时，分析整个过程中出现过的各力的做功情况，分析每个力做的功，确定整个过程中合外力做的总功，然后确定整个过程的初、末动能，针对整个过程利用动能定理列式求解。 1.当题目不涉及中间量时，选择全程应用动能定理更简单，更方便。 2.当物体运动过程中涉及多个力做功时，各力对应的位移可能不相同，计算各力做功时，应注意各力对应的位移。 【典例4】（多选）如图甲所示，质量为8kg的物体受水平推力F作用在水平面上由静止开始运动，推力F随位移x变化的关系如图乙所示，运动10m后撤去推力F。已知物体与地面间的动摩擦因数为0.5，重力加速度取，在物体运动的整个过程中（　　） A．推力对物体做的功为480J B．物体的位移为12m C．物体的加速度大小先减小后不变 D．物体在时速度最大，最大速度为6m/s 【答案】AB 【解析】A．根据图像的面积表示力做功，可知推力对物体做的功为 故A正确； B．设物体整个运动过程的位移大小为，根据动能定理可得 解得 故B正确； C．在推力不变，物体的加速度大小不变；当推力开始减小时，一开始推力大于摩擦力，物体的加速度逐渐减小；当推力等于摩擦力时，物体的加速度为0，之后推力小于摩擦力，物体的加速度反向逐渐增大，撤去推力后，物体的加速度大小保持不变，故C错误； D．当推力等于摩擦力时，物体速度最大，则有 结合图像可知此时，根据动能定理可得 其中 解得最大速度为 故D错误。 故选AB。 【变式1】如图为某游戏装置原理示意图。水平桌面上固定一半圆形竖直挡板，其半径为2R、内表面光滑，挡板的两端A、B在桌面边缘，B与半径为R的固定光滑圆弧轨道在同一竖直平面内，过C点的轨道半径与竖直方向的夹角为60°。小物块以某一水平初速度由A点切入挡板内侧，从B点飞出桌面后，在C点沿圆弧切线方向进入轨道内侧，并恰好能到达轨道的最高点D。小物块与桌面之间的动摩擦因数为，重力加速度大小为g，忽略空气阻力，小物块可视为质点。求： （1）小物块到达D点的速度大小； （2）B和D两点的高度差； （3）小物块在A点的初速度大小。 【答案】（1）；（2）0；（3） 【解析】（1）由题知，小物块恰好能到达轨道的最高点D，则在D点有 解得      （2）由题知，小物块从C点沿圆弧切线方向进入轨道内侧，则在C点有 小物块从C到D的过程中，根据动能定理有 则小物块从B到D的过程中，根据动能定理有 联立解得 ，HBD = 0 （3）小物块从A到B的过程中，根据动能定理有 S = π∙2R 解得 【变式2】如图所示，在竖直平面内，光滑斜面下端与水平面BC平滑连接于B点，水平面BC与光滑半圆弧轨道CDE相切于C点，E点在圆心O点正上方，D点与圆心等高。一物块（可看作质点）从斜面上A点由静止释放，物块通过半圆弧轨道E点且水平飞出，最后落到水平面BC上的F（图中未标出）点处。已知斜面上A点距离水平面BC的高度h = 2.0m，圆弧轨道半径R = 0.4m，B、C两点距离LBC=2.0m，F、C两点距离LFC = 1.6m。求： (1)物块通过E点时的速度大小； (2)物块与水平面BC间的动摩擦因数； (3)将物块从斜面上由静止释放，若物块在半圆弧轨道上运动时不脱离轨道，则物块释放点距离水平面BC的高度h'应满足的条件。 【答案】(1) (2) (3)或 【解析】（1）物块从E点飞出到落在F点，做平抛运动，则有， 联立解得物块通过E点时的速度大小为 （2）物块从A点到E点过程，根据动能定理可得 代入数据解得物块与水平面BC间的动摩擦因数为 （3）若物块刚好通过E点，则有 解得 根据动能定理可得 解得 若物块刚好可以运动到与圆心等高处，根据动能定理可得 解得 若物块刚好可以运动C点，根据动能定理可得 解得 综上分析可知，要物块在半圆弧轨道上运动时不脱离轨道，则物块释放点距离水平面 BC的高度应满足或 【变式3】如图（a）所示，一物块以一定初速度沿倾角为30°的固定斜面上滑，运动过程中摩擦力大小f恒定，物块动能Ek与运动路程s的关系如图（b）所示。重力加速度大小取10m/s2。 (1)物体在斜面运动过程中所受摩擦力做的功； (2)物体的质量； (3)物块与斜面间的动摩擦因数。 【答案】(1)-10J (2)0.7 (3) 【解析】（1）由图可知，0~10m内物块上滑，10~20m内物块下滑，整个运动过程中，根据动能定理可得 （2）0~10m内物块上滑过程，根据动能定理可得 解得 （3）整个运动过程，有 解得 知识点5：动能定理解决曲线运动问题 动能定理常与平抛运动、圆周运动、往复运动相结合，解决这类问题要特别注意： (1)与平抛运动相结合时，要注意应用运动的合成与分解，分别求解有关物理量。 (2)与竖直平面内的圆周运动相结合时，应特别注意隐藏的临界条件： ①可提供支撑效果的竖直平面内的圆周运动，物体能通过最高点的临界条件为vmin＝0 ②不可提供支撑效果的竖直平面内的圆周运动，物体能通过最高点的临界条件为vmin＝ 【典例5】如图所示，ABCD是一个固定盆式容器，侧壁与盆底BC平滑连接，BC距离d=0.4m，盆边缘的高度为h=0.3m。已知侧壁是光滑的，盆底与小物块间的动摩擦因数为μ=0.1。在A处静止释放一质量为m的小物块，小物块在盆内来回滑动，最后停下来，则最终位置到B的距离为（　　） A．0.4m B．0.3m C．0.2m D．0 【答案】C 【解析】设小物块在盆底通过的总路程为，根据动能定理可得 解得 由于 可知最终位置到B的距离为0.2m。 故选C。 【变式1】如图所示，是竖直平面内的四分之一光滑圆弧轨道，圆弧轨道末端点与水平直轨道相切，一物块（可视为质点）从点由静止开始沿圆弧轨道下滑，最终停在水平直轨道上的点。已知物块的质量，圆弧轨道的半径，点和点间的距离，取重力加速度大小，不计空气阻力。求： (1)物块经过圆弧轨道的点时物块速度大小； (2)物块经过圆弧轨道的点时物块对轨道的压力大小； (3)物块与水平直轨道间的动摩擦因数。 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）物块在圆弧轨道上运动，由动能定理有 解得 （2）在点，由牛顿第二定律可得 解得 由牛顿第三定律可知，物块对轨道的压力大小为 （3）物块从点运动到点的过程中，根据动能定理有 解得 【变式2】如图所示，光滑的斜坡轨道与粗糙的水平轨道平滑连接，水平轨道与半径为的光滑半圆形轨道平滑连接，相切于点，所有轨道都在竖直平面内，、的距离为。可视为质点且质量为的小物块从半圆轨道上的点由静止滑下，运动到点速度恰好为0。，求： (1)小物块滑至半圆形轨道最低点时受到的支持力大小； (2)水平轨道与小物块间的动摩擦因数； (3)若小物块从斜坡轨道上点由静止滑下，刚好能通过半圆轨道的最高点，则点离水平轨道的高度。 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）设小物块滑至C点时的速度为，半圆轨道在C点对小物块的支持力为，P到C的过程 在C点，由牛顿第二定律可得 解得 （2）对P到C再到Q的过程，根据动能定理可得 解得 （3）在A点，根据牛顿第二定律得 D到A的过程，由动能定理可得 解得 【变式3】如图所示，某装置处于竖直平面内，该装置由弧形轨道、竖直螺旋圆形轨道，水平直轨道AF和传送带FG组成，且各处平滑连接。螺旋圆形轨道与弧形轨道相切于A点，螺旋圆形轨道半径R=0.3m，AF长度L=0.8m，传送带长度足够长。现将质量m=0.3kg的小滑块从弧形轨道距AF高H=1.0m的M处由静止释放。滑块与轨道AF间的动摩擦因数μ=0.25，与传送带间的动摩擦因数未知，传送带始终以3m/s的速度逆时针匀速转动。不计空气阻力，弧形轨道和圆形轨道均可视为光滑，重力加速度g取10m/s2，求： (1)小滑块第一次运动到A点时的速度大小； (2)滑块运动至圆轨道最高点 D点对轨道压力大小； (3)滑块最终停在距A点多远处。 【答案】(1) (2) (3)0.6m 【解析】（1）小滑块第一次运动到A点过程，根据动能定理有 解得 （2）滑块运动至圆轨道最高点 D点过程，根据动能定理有 解得 滑块正最高点 D点，根据牛顿第二定律有 解得 根据牛顿第三定律可知，滑块对轨道压力大小为5N。 （3）滑块第一次通过AF到达F点过程，根据动能定理有 解得 由于 可知，滑块在传送带上先向右减速，后向左加速，最后以3m/s速度向左匀速运动，则有 滑块向左运动至A点过程，根据动能定理有 解得 滑块在圆弧轨道上下半圆摆动时，最低点A的最大速度为，则有 解得 由于 可知，滑块不脱离圆轨道，在圆轨道下侧摆动，根据动能定理有 解得 可知，滑块再次减速到达F后以小于皮带的速度冲上皮带，滑块在传送带上先向右减速，后向左加速，最后以小于3m/s速度向左滑离皮带，在AF之间减为0，最终停止在离A点距离为 【方法技巧】 方法技巧1 应用动能定理解题的步骤 （1）明确研究对象及所研究的物理过程 （2）对研究对象进行受力分析，并确定各力所做的功，求出这些力的功的代数和 （3）确定始、末状态的动能，根据动能定理列出方程 （4）求解方程、分析结果 方法技巧2 在有摩擦力做功的往复运动过程中，注意两种力做功的区别： ①重力做功只与初、末位置有关，而与路径无关； ②滑动摩擦力(或全部阻力)做功与路径有关，克服摩擦力(或全部阻力)做的功W＝Ffs(s为路程)。 【巩固训练】 1．近年来，我国航天事业取得了显著的成就和发展，如载人航天工程、月球探测、火星探测等。如图是火星探测任务中天问一号探测器实施近火制动中的停泊轨道，该停泊轨道可看作是椭圆轨道，a、b、c、d是该轨道上的四个点，其中d点为近火点，b点为远火点，则天问一号在经过这四个位置中动能最大的是（　　） A．a点 B．b点 C．c点 D．d点 【答案】D 【解析】根据开普勒第二定律可知，当卫星经过近火点d时速度最大，动能最大。 故选D。 2.（多选）一个物体做变速运动时，下列说法正确的是（　　） A．合力一定对物体做功，使物体动能改变 B．物体所受合力一定不为零 C．合力一定对物体做功，但物体动能可能不变 D．物体加速度一定不为零 【答案】BD 【解析】AC．物体做变速运动，可能是速度大小不变，方向变化，故动能不一定变化，合力不一定做功，AC错误； BD．物体的速度发生了变化，则合力一定不为零，加速度也一定不为零，BD正确。 故选BD。 3.某同学参加户外拓展活动，遵照安全规范，坐在滑板上，从高为h的粗糙斜坡顶端由静止下滑，至底端时速度为v．已知人与滑板的总质量为m，可视为质点．重力加速度大小为g，不计空气阻力．则此过程中人与滑板克服摩擦力做的功为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】人在下滑的过程中，由动能定理可得 可得此过程中人与滑板克服摩擦力做的功为 故选D。 4.某滑雪赛道如图所示，滑雪运动员从静止开始沿斜面下滑，经圆弧滑道起跳。将运动员视为质点，不计摩擦力及空气阻力，此过程中，运动员的动能与水平位移x的关系图像正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设斜面倾角为θ，不计摩擦力和空气阻力，由题意可知运动员在沿斜面下滑过程中根据动能定理有 即 下滑过程中开始阶段倾角θ不变，Ek-x图像为一条直线；经过圆弧轨道过程中θ先减小后增大，即图像斜率先减小后增大。 故选A。 5.如图所示，质量为M、长度为L的小车静止在光滑水平面上，质量为m的小物块（可视为质点）放在小车的最左端。现用一水平恒力F作用在小物块上，使小物块从静止开始做匀加速直线运动。小物块和小车之间的摩擦力为，小物块滑到小车的最右端时，小车运动的距离为x。此过程中，以下结论正确的是（　　） A．小物块到达小车最右端时具有的动能为 B．小物块到达小车最右端时，小车具有的动能为 C．小物块克服摩擦力所做的功为 D．小物块克服摩擦力所做的功为 【答案】B 【解析】A．小物块水平方向受到拉力F和摩擦力的作用，根据动能定理 故A错误； B．小车相对地面的位移为x，水平方向仅受小物块对小车的摩擦力，根据动能定理 故B正确； CD．小物块相对地面的位移为，则克服摩擦力做的功为 故CD错误。 故选B。 6.如图，在摩托车越野赛途中的水平路段前方有一个坑，该坑沿摩托车前进方向的水平宽度为3h，其左边缘a点比右边缘b点高0.5h。若摩托车经过a点时的动能为E1，它会落到坑内c点。c与a的水平距离和高度差均为h；若经过a点时的动能为E2，该摩托车恰能越过坑到达b点。等于（　　） A．20 B．18 C．9.0 D．3.0 【答案】B 【解析】有题意可知当在a点动能为E1时，有 根据平抛运动规律有 当在a点时动能为E2时，有 根据平抛运动规律有 联立以上各式可解得 故选B。 7.（多选）冰滑梯是东北地区体验冰雪运动乐趣的设施之一、某冰滑梯的示意图如图所示，螺旋滑道的摩擦可忽略：倾斜滑道和水平滑道与同一滑板间的动摩擦因数μ相同，因滑板不同μ满足。在设计滑梯时，要确保所有游客在倾斜滑道上均减速下滑，且滑行结束时停在水平滑道上，以下L1、L2的组合符合设计要求的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】CD 【解析】设斜面倾角为，游客在倾斜滑道上均减速下滑，则需满足 可得 即有 因，所有游客在倾斜滑道上均减速下滑，可得 滑行结束时停在水平滑道上，即在摩擦因数去最小时能停在滑道上，由全程的动能定理有 要求进入水平滑道，因此最大的动摩擦因数能够进入水平滑道，即 综合需满足 和 故选CD。 8.某兴趣小组遥控一辆玩具车（甲图），使其在水平路面上由静止启动，在前2s内做匀加速直线运动，2s至14s牵引力的功率保持不变，10s至14s玩具车做匀速直线运动，14s末停止遥控，让玩具车自由滑行，其图像如图乙所示。整个过程中玩具车所受的阻力大小不变。玩具车的质量为，，求： (1)玩具车在4s末牵引力的功率大小； (2)玩具车在2s末的速度的大小； (3)玩具车在2s至10s内通过的距离s。 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）14s末停止遥控，由图像可知在14s后的加速度大小为 则玩具车所受的阻力大小为 10s至14s玩具车做匀速直线运动，此时牵引力等于阻力，则此时的功率为 由于2s至14s牵引力的功率保持不变，所以玩具车在4s末牵引力的功率为。 （2）设玩具车在内的加速度大小为，则有， 在时，有 联立解得，， （3）玩具车在2s至10s内，根据动能定理可得 代入数据解得玩具车在2s至10s内通过的距离为 9.如图所示，竖直线为竖直光滑半圆弧轨道的直径，其半径，端切线水平，水平轨道与半径的光滑竖直圆弧轨道相接于点，为圆弧轨道的最低点。一质量为的小球（视为质点）从水平轨道上某点以某一速度冲上竖直圆轨道，并从点飞出，经过点恰好沿切线进入圆弧轨道，点与点的距离，重力加速度。求： (1)小球在点对圆弧轨道的压力大小； (2)小球在圆弧上点受到的支持力大小； (3)小球在B点的速度。 【答案】(1)12.5N (2)131N (3)5m/s 【解析】（1）根据题意可知，小球从A运动到C做平抛运动，竖直方向有 解得 水平方向上有 解得 在A点，由牛顿第二定律有 解得 由牛顿第三定律得压力 （2）在C处，小球的竖直速度 则小球在C处速度 设速度与水平夹角为θ，则有 小球在C处，由牛顿第二定律有 联立解得 （3）由B到A由动能定理 解得vB=5m/s 10.如图所示，一轨道由曲面AB、竖直圆轨道、水平轨道BD和固定斜面DEF平滑连接组成，其中曲面和圆轨道光滑，水平轨道和斜面粗糙且动摩擦因数均为，圆轨道最低点B相互错开。现将一质量为m=0.5kg的滑块（可看成质点）从AB轨道上距离地面某一高度由静止释放，若已知圆轨道半径R=0.8m，一水平面的长度BD=9m，斜面宽度DF=2m，倾角，g取10m/s2，滑块从h=2.4m高处由静止开始滑下，求： (1)滑块运动至圆轨道最高点 C点对轨道压力大小； (2)滑块在斜面上向上运动的最大距离： (3)滑块最终停止的位置（用距离D点描述）。 【答案】(1) (2) (3)滑块停在D点左侧2m处 【解析】（1）滑块从静止开始滑下到C过程，根据动能定理可得 解得 在C点，根据牛顿第二定律可得 解得 （2）滑块从静止开始滑下到第一次到达D点过程，根据动能定理可得 解得 滑块在斜面上向上运动过程，根据牛顿第二定律可得 解得 根据运动学公式可得滑块在斜面上向上运动的最大距离为 （3）设滑块最终停止的位置与D点的距离为，滑块从斜面上下滑到最终停止过程， 解得 则滑块停在D点左侧2m处。 11.如图所示装置由AB、BC、CD三段轨道组成，轨道交接处均由很小的圆弧平滑连接，其中轨道AB、CD段是光滑的，水平轨道BC的长度，轨道CD足够长且倾角，A、D两点离轨道BC的高度分别为，。现让质量为的小滑块自点由静止释放。已知小滑块与轨道间的动摩擦因数，重力加速度取，，，求： （1）小滑块第一次到达D点时的速度大小； （2）小滑块第一次与第二次通过C点的时间间隔； （3）小滑块最终停止的位置距B点的距离。 【答案】（1）3m/s；（2）2s；（3）1.4m 【解析】（1）小滑块从A点到第一次到达D点过程中，由动能定理得 代入数据解得 （2）小滑块从A点到第一次到达C点过程中，由动能定理得 代入数据解得 小滑块沿CD段上滑的加速度大小为 小滑块沿CD段上滑到最高点的时间为 由对称性可知小滑块从最高点滑回C点的时间为 故小滑块第一次与第二次通过C点的时间间隔为 （3）设小滑块在水平轨道上运动的总路程为，对小滑块运动全过程应用动能定理有 代入数据解得 故小滑块最终停止的位置距B点的距离为 12.如图所示，竖直平面内固定半径的光滑圆弧轨道，轨道的M处与水平传送带相切。传送带与左侧紧靠的水平台面等高，台面的PN部分粗糙，PN的长度，P点左侧光滑。水平放置的轻质弹簧左端固定、处于原长状态。质量的小物块（可视为质点）从A点由静止沿圆弧轨道下滑。O为圆心，半径OM竖直，OA与OM的夹角，已知传送带的长度，始终以速度顺时针转动，物块与台面PN部分、物块与传送带之间的动摩擦因数均为，取重力加速度，弹簧始终在弹性限度内，求： (1)物块第一次下滑到M处的速度的大小； (2)弹簧被压缩后具有的最大弹性势能； (3)物块在PN部分通过的总路程。 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）设物块下滑到M处的速度为，由动能定理有 解得 （2）小物块滑上传送带到弹簧被压缩最短，根据动能定理有 解得 则弹簧被压缩后具有的最大弹性势能 （3）物块被弹簧弹回，设滑到N点时的速度为，则有 解得 则物块在PN部分通过的路程 由于 则物块滑上传送带后，物块与传送带保持相对静止，直至到M点再滑上右侧圆弧轨道，又以原速率返回到传送带上，物块向左运动能通过传送带，设通过后的速度为，则有 解得 物块滑出传送带继续向左运动，直至最终静止，设在PN部分通过的路程为，则有 解得 则物块在PN部分通过的总路程 13.滑板运动是极限运动的鼻祖，许多极限运动项目均由滑板项目延伸而来。如图所示是滑板运动的轨道，和是两段光滑圆弧形轨道，段的圆心为O点，圆心角为，半径与水平轨道垂直，水平轨道段粗糙且长，一运动员从轨道上的A点以的速度水平滑出，在B点刚好沿轨道的切线方向滑入圆弧形轨道，经轨道后冲上轨道，到达E点时速度减为零，然后返回。已知运动员和滑板的总质量为，B、E两点与水平面的竖直高度分别为h和H，且，，。 (1)求运动员从A运动到达B点时的速度大小和在空中飞行的时间； (2)求轨道段的动摩擦因数、离开圆弧轨道末端时，滑板对轨道的压力； (3)通过计算说明，第一次返回时，运动员能否回到B点？如果能，请求出回到B点时的速度大小；如果不能，则最后停在何处？ 【答案】(1)； (2)；，方向竖直向下 (3)不能，停在距离D点左侧处 【解析】（1）由题意根据几何关系可知 代入初速度解得 在B点竖直方向的速度 从A点到B点竖直方向自由落体，则有 解得 （2）由B点到E点，由动能定理可得 代入数据可得 由B点到C点，由动能定理可得 在C点由牛顿第二定律知 由几何知识可得 联立解得 根据牛顿第三定律可得滑板对轨道的压力，方向竖直向下 （3）运动员能到达左侧的最大高度为，从B点到第一次返回左侧最高处，根据动能定理有 解得 所以第一次返回时，运动员不能回到B点，设运动员从B点运动到停止，在段的总路程为s，由动能定理可得 代入数据解得 因为，所以运动员最后停在距离D点左侧处 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $