第二十三章 一次函数（6大考点+8大易错+易错训练）（知识清单）数学新教材人教版八年级下册

第二十三章 一次函数 知识点01 函数的概念 在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么就说y是x的函数，x是自变量。 知识点02 一次函数的表达式 形如y = kx + b（k，b为常数，k≠0）的函数叫做一次函数。当b = 0时，y = kx（k≠0）叫做正比例函数。 知识点03 一次函数的图象与性质 一次函数y = kx + b的图象是一条直线，可通过两点法（如(0,b)和(- ,0)）画出。当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。b决定直线与y轴的交点(0,b)。 知识点04 一次函数的实际应用 利用一次函数解决实际问题，如行程问题、成本利润问题、方案选择问题等，需先建立函数模型，再结合图象或性质求解。 知识点05 二元一次方程组与一次函数的关系 1）一元一次方程可转化为一般式：ax+b=0 2）一次函数为：y=kx+b的形式；当y=0时，一次函数x的值就是一元一次方程的解。 y=0时，x的值，即一次函数与x轴的交点横坐标，就是对应一元一次方程的解 3）每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 4）两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解，反之也成立. 5）当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解. 6）当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在坐标系中重合，反之也成立. 知识点06 利用一次函数的图象得到一元一次不等式的解集 (1)一元一次不等式kx+b>0的解集，一次函数的图象在x轴上方的点的横坐标所组成的集合. (2)一元一次不等式kx+b<0的解集，一次函数的图象在x轴下方的点的横坐标所组成的集合. (3)一元一次不等式k1x+b1>k2x+b2的解集，一次函数y=k1x+b1图象在一次函数y=k2x+b2图象上方的点的横坐标所组成的集合. (4)一元一次不等式k1x+b1<k2x+b2的解集，一次函数y=k1x+b1图象在一次函数y=k2x+b2图象下方的点的横坐标所组成的集合. 易错点1 利用一次函数的定义忽略“k≠0”致错 1. 要明确一次函数y = kx + b中k≠ 0，若忽略此条件，会导致参数取值范围错误。例如y=(m - 1)x + 2是一次函数，需保证m - 1≠0即m≠1。 2. 对于正比例函数y = kx，除k ≠ 0外，还需注意b = 0的隐含条件。如y=(n + 2)x + n是正比例函数，需同时满足n + 2≠0且n = 0，即n = 0。 【例1】已知函数 是一次函数，则 ． 【答案】5 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，根据一次函数的定义条件：次数最高项是一次项，且一次项系数不等于0即可求解，掌握一次函数的定义条件是：、为常数，，自变量次数为1，是解题关键． 【详解】解：根据题意得：且 解得：． 故答案为：． 【变式】（24-25八年级下·湖南衡阳·阶段练习）若是关于的一次函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的定义，形如（为常数，）的函数叫一次函数，根据一次函数的定义得出，，计算即可得解． 【详解】解：∵是关于的一次函数， ∴，， 解得：， 故答案为：． 易错点2 利用一次函数的增减性求参数的多解问题 易错总结 1. 增减性判断混淆：误以为\(k>0\)时函数必增，忽略自变量范围限制（如只在某区间讨论）。 2. 多情况遗漏：参数同时影响\(k\)和常数项，或需分段讨论（如\(k=0\)是一次函数吗）。 3. 端点取等问题：比较函数值大小时，临界点是否取等判断不清，导致参数范围边界错误。 4. 实际约束忽略：实际问题中自变量有隐含范围（如时间非负），未纳入增减性分析。 注意事项： - 先定k符号：由y = kx + b中k的正负确定整体增减趋势。 - 分类讨论参数：参数出现在k位置时，分别讨论k>0、k<0、k=0。 - 注意区间单调：若定义域不是全体实数，只在给定区间内讨论最值。 - 检验端点：参数边界值代入验证是否满足题意（如函数值大小关系）。 - 数形结合：画出草图，直观判断直线走向与参数关系。 【例2】（25-26八年级下·河北秦皇岛·期中）一次函数，当时，的最大值为5，则的值为__________． 【答案】2或/或2 【分析】本题考查一次函数的增减性，根据一次函数的性质，分和两种情况讨论，确定区间内最大值的位置，列方程求解即可. 【详解】解：函数 是一次函数，则， 当 时，一次函数 随 增大而增大， 当时，函数最大值取在 处， 则 ， 令 ， 解得 ，符合条件； 当 时，一次函数 随 增大而减小， 当时，函数最大值在 处， 则 ， 令 ， 解得 ，符合条件. 【变式】（25-26八年级下·福建福州·期中）一次函数，当时，，则一次函数的解析式为_________． 【答案】或 【分析】由于的符号不确定，需分和两种情况进行讨论，利用一次函数的增减性和待定系数法分别求解即可． 【详解】解：当时，一次函数中随的增大而增大， 当时，， 当时，；当时，， ，解得， 一次函数解析式为； 当时，一次函数中随的增大而减小， 当时，， 当时，；当时，， ，解得， 一次函数解析式为． 易错点3 对正比例函数的定义理解不透彻致错 1. 需明确正比例函数是一次函数的特殊形式，需同时满足y = kx（k≠0），即系数k不为0且不含常数项。若忽略k≠0，如y = mx，当m = 0时就不是正比例函数；若遗漏常数项为0的条件，如y = 3x + 1，因含常数项1，也不符合定义。 2. 遇到含参数的正比例函数问题，要同时验证k eq0和常数项为0两个条件。例如y=(a + 1)x + a是正比例函数，需满足a + 1≠0且a = 0，即a = 0，若只考虑其一，会导致参数求解错误。 【例3】已知：y与成正比例，且时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)点在这个函数的图像上，求m的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一次函数自变量或函数值、正比例函数的定义 【分析】本题考查了正比例函数解析式，求自变量的值等知识．熟练掌握正比例函数解析式，求自变量的值是解题的关键． （1）设y与x之间的函数关系式为，将，代入得，，可求，进而可得y与x之间的函数关系式； （2）将代入得，，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 将，代入得，， 解得，， ∴， ∴y与x之间的函数关系式为； （2）解：将代入得，， 解得，． 【变式】（25-26八年级上·全国·随堂练习）已知与成正比例，且当时，． (1)写出与之间的函数关系式； (2)若点在这个函数的图象上，求的值； (3)若的取值范围为，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】题目主要考查正比例函数的图象与性质，熟练掌握正比例函数的性质是解题关键． （1）根据题意设，然后利用待定系数法代入求解即可； （2）将点代入求解即可； （3）根据正比例函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意，设， 将代入，得， 解得， 所以，即． （2）解：将点代入， 得， 解得． （3）在中， 因为， 所以随的增大而增大， 所以当取最小值时，值最小． 当时，， 解得， 所以的最小值为． 易错点4 一次函数图象与坐标轴的交点位置不明确时忽略分类讨论致错 1. 一次函数与坐标轴交点位置受k、b符号影响，若未考虑其多种组合情况易漏解。如求y = kx + b与两坐标轴围成三角形面积时，需分k、b正负讨论交点在轴上的位置，忽略则会少算情况。 2. 解决此类问题时，需先分析k、b的可能符号组合，再分别确定交点坐标。例如已知一次函数与两坐标轴交点到原点距离，需考虑交点在坐标轴正、负半轴的不同情况，逐一求解避免漏解。 【例4】如图，已知一次函数的图象与坐标轴交于A、B点． (1)求的面积． (2)若轴上有一点，且，求直线的表达式． 【答案】(1) (2)或． 【知识点】几何问题(一次函数的实际应用)、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题主要考查了一次函数与几何综合： （1）先求出，得到，再根据三角形面积计算公式求解即可； （2）根据（1）所求结合三角形面积计算公式得到，则或，再利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，，当时，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：由（1）可得， ∴， ∴， ∴， ∴或， 设直线的解析式为， 当时，则，解得， ∴直线的解析式为， 同理可得当时，直线的解析式为， 综上所述，直线的解析式为或． 【变式】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，已知在平面直角坐标系中，，，三角形的面积是6；    (1)求三角形ABC三个顶点A、B、C三点的坐标； (2)点的坐标是，连接、，并用含字母的式子表示的面积； (3)在（2）问的条件下，是否存在点，使的面积等于的面积的，如果存在，请求出的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为， (2) (3)或 【分析】此题考查了求函数解析式、坐标与图形、一元一次方程的应用等知识，分类讨论是解题的关键． （1）根据三角形的面积得到，解得，即可求出答案； （2）作于点，分三种情况画出图形分别进行解答即可； （3）根据（2）列方程解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵三角形的面积是6 ∴ 解得 ∴， ∴点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为， （2）作于点， 如图，当时， 如图，当时， 如图，当时， 综上可知， （3）当时， 或， 解得或， ∴点P的坐标为或 易错点5 实际问题中忽略自变量的取值范围致错 1. 实际问题中，自变量取值需结合实际意义确定，如时间、数量等不能为负数或超出合理范围。若忽略，如“租车费用函数”中，租车数量为负数就不符合实际，会导致函数应用错误。 2. 解决实际问题时，需先分析自变量的取值限制，再结合一次函数性质求解。例如“销售利润函数”，销售量不能为负，需确定自变量取值范围后，再找利润的最值或其他结果，否则会得出不符合实际的结论。 【例5】（2025八年级上·全国·专题练习）汽车油箱内有油，每行驶耗油，若不再加油，则行驶过程中油箱内剩余油量与行驶路程之间的函数关系式为 ，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查用关系式表示变量之间的关系，理解数量关系是得出关系式的前提．求出的耗油量，再根据余油量=原有油量耗油量，从而得出关系式． 【详解】解：每行驶耗油，则每行驶耗油为：，由余油量=原有油量耗油量得， ， 油可行驶， ∴自变量的取值范围为， 故答案为：，． 【变式】综合与实践 《九章算术》中记载，浮箭漏（图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间．某学校小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究： 【实验观察】 实验小组通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到如表： 供水时间x（小时） 0 2 4 6 8 箭尺读数y（厘米） 6 18 30 42 54 【探索发现】 （1）①建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示供水时间x，纵轴表示箭尺读数y，描出以表格中数据为坐标的各点． ②观察上述各点的分布规律，发现这些点大致位于同一个函数的图象上，且这个函数的类型最有可能是______；（填“一次函数”、“反比例函数”或“二次函数”）并根据你所选择的函数类型求出函数表达式（自变量取值范围不写） 【结论应用】 （2）应用上述发现的规律估算： ①供水时间达到11小时时，箭尺的读数为多少厘米？ ②如果本次实验记录的开始时间是上午，那当箭尺读数为96厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为100厘米）． 【答案】（1）①图见解析，②一次函数，；（2）①供水时间达到小时时，箭尺的读数为厘米，②当箭尺读数为厘米时是点钟． 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、求一次函数解析式 【分析】本题考查了一次函数的应用，利用了待定系数法求解析式，利用函数值求自变量的值，掌握相关知识是解题的关键． （1）①在平面直角坐标系中描出以表格中数据为坐标的各点即可； ②观察上述各点的分布规律，可知它们在同一条直线上，是一次函数，设这条直线所对应的函数表达式为，利用待定系数法即可求解； （2）①利用前面求得的函数表达式求出时，的值即可得出箭尺的读数； ②利用前面求得的函数表达式求出时，的值，由本次实验记录的开始时间是上午，即可求解． 【详解】解：（1）①根据题意，建立平面直角坐标系描点，如图， ②观察上述各点的分布规律，可知它们在同一条直线上，是一次函数， 设这条直线所对应的函数表达式为：，把点，代入得： ， 解得：， ∴一次函数表达式为：， 故答案为：一次函数，； （2）当时，， ∴供水时间达到小时时，箭尺的读数为厘米； 当时，则， 解得：， ∴供水时间为15小时， ∵本次实验记录的开始时间是上午8：00， ， ∴当箭尺读数为厘米时是点钟． 易错点6 利用一次函数的增减性求实际问题中的最值问题 易错总结 1. 自变量范围遗漏：实际问题中自变量常受限于整数、非负、有限资源等，忽略则最值不准。 2. 增减性判断错误：斜率 k符号判断错，导致最值取在端点还是无解误解。 3. 端点最值取舍不当：实际意义要求整数解时，直接取端点实数解而未取整。 4. 多变量干扰：问题含多个变量时，未先用条件消元成一次函数再求解。 注意事项： - 建函数先定域：根据实际背景确定自变量取值范围，常为离散或区间。 - 看k定增减：k>0 时最小在左端、最大在右端； k<0相反。 - 整数解处理：最值点非整数时，比较其附近整数点的函数值。 - 消元化归：多个变量时，利用等量关系转化为一个变量的一次函数。 - 验证合理性：最值解代入原问题检验是否符合实际情境。 【例6】（2026·河南商丘·二模）学校准备让美术兴趣小组的同学雕刻励志的文字和图案，需要给小组同学购买雕刻刀．已知型雕刻刀的单价比型雕刻刀多5元，用元购买型雕刻刀和用元购买型雕刻刀的数量相同． (1)分别求型、型雕刻刀的单价； (2)学校准备购买型和型雕刻刀共50把，购买型雕刻刀的数量不超过型雕刻刀的．问购买多少把型雕刻刀时花费最少？最少花费是多少元？ 【答案】(1)型雕刻刀的单价是25元，型雕刻刀的单价是20元 (2)购买A型雕刻刀30把时花费最少．最少花费是1150元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，一次函数的应用． （1）设B型雕刻刀的单价是元，根据题意列出分式方程，解方程即可求解； （2）设花费为元，购买型雕刻刀把，则购买B型雕刻刀把，列出关于花费的一次函数，再根据一次函数的图象与性质即可求解． 【详解】（1）解：设B型雕刻刀的单价是元， 则型雕刻刀的单价为元， 根据题意，得，解得， 经检验：是分式方程的解，且符合题意． （元）． 答：型雕刻刀的单价是25元，型雕刻刀的单价是20元． （2）解：设花费为元，购买型雕刻刀把， 则购买B型雕刻刀把， 根据题意，得， 解得， 由（1）可知， ， 随的增大而增大， 当取最小整数30时，有最小值， 最少花费为（元）． 答：购买A型雕刻刀30把时花费最少．最少花费是1150元． 【变式】（25-26八年级下·福建泉州·期中）某地按照城市功能特点，建设城区特色消费中心，着力发展“夜经济”，打造“夜商都”等地方夜消费品牌升级版，允许市场经营主体在规范有序的条件下，采取“店铺外摆”、“露天市场”方式进行销售．个体业主小王响应号召，采取“店铺外摆”方式销售A，B两款特价商品，两款商品的进价与售价如表所示： 类型 A型 B型 进价/（元/件） 35 5 售价/（元/件） 45 8 小王计划购进A，B两种商品共100件进行销售，设小王购进A商品x件，A，B商品全部销售完后获得的总利润为y元． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)若B商品的进货件数不少于A商品件数的3倍，当购进A，B两种商品各多少件时，可使得A，B商品全部销售完后获得的总利润最大？并求出最大的总利润． 【答案】(1) (2)当购进A商品25件，B商品75件时，可使得A、B商品全部销售完后获得的利润最大，最大的总利润为475元 【分析】（1）由商品利润商品利润，可得解析式； （2）根据购进B商品的件数不少于A商品件数的3倍列出不等式，求出x的取值范围，然后根据一次函数的增减性解决最大值问题． 【详解】（1）解：由题意可得： ， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：由题意，可得：， 解得：， ∵， ∴， ∴随增大而增大， ∴当时，y有最大值，最大的总利润 此时购进B商品的件数为， 答：当购进A商品25件，B商品75件时，可使得A、B商品全部销售完后获得的利润最大，最大的总利润为475元． 易错点7 一次函数与几何图形的综合问题 ### 易错总结 1. 坐标与长度转换错误 - 误将坐标差当作线段长度（未取绝对值），导致面积、距离计算错误。 2. 交点漏解或错解 - 联立函数与几何方程（如直线与圆相切）时，忽略多解情况（如斜率不存在、多交点）。 3. 图形性质与函数关联错误 - 用错几何性质（如误将平行四边形对角线中点坐标公式代入一次函数）。 #### 注意事项 1. 规范坐标与长度互化 - 距离公式：d =，面积用铅垂高或向量法。 - 坐标轴上的点直接取绝对值。 2. 分类讨论确保完整性 - 直线方向、交点位置、图形形状不确定时，按斜率正负、顶点顺序分情况。 - 例：直线与矩形有交点，需分与边相交、过顶点等子情况。 3. 几何条件代数化 - 垂直斜率乘积为-1；中点坐标平均；对称中点在对称轴上。 4. 验证解与图形约束 - 求出的点或直线需满足图形范围（如在线段上、在三角形内部）。 - 解后代入原题验证是否成立。 【例7】（25-26八年级下·江苏连云港·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于、两点，点在线段上，将线段绕着点顺时针旋转得到，此时点恰好落在直线上，过点作轴于点． (1)求证：； (2)若点在轴上，点在直线上，是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)存在，或 【分析】（1）利用旋转的性质，和证明即可； （2）先求出点坐标，利用全等三角形的性质，求出点D的坐标，然后分别以为对角线，为对角线，为对角线，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵将线段绕着点C顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴； （2）解：存在， ∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， 当时，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点在直线上， ∴， ∴， ∴，， 设，， 以C、D、P、Q为顶点的四边形是平行四边形有以下三种情况： ①当为对角线时：， ∴， ∴点P的坐标为； ②当为对角线时：， ∴， ∴点P的坐标为； ③当为对角线时：， ∴， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 【变式】（2026八年级下·重庆·专题练习）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、点，为线段的中点． (1)求直线的解析式； (2)如图1，若为线段上一动点，过点作轴于点，轴于点，连接，为上一动点．当线段最短时，求周长的最小值； (3)如图2，直线交坐标轴于，两点，直线交轴于点，将沿着轴平移，平移过程中的记为，请问在平面内是否存在点，使得以、、、为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)存在，、或 【分析】（1）由待定系数法列二元一次方程组求解即可得到答案； （2）先由矩形对角线相等得到，再结合垂线段最短可知当时，最短，即线段最短，得到满足题意的点，进而将周长的最小值问题转化为常见的动点最值问题-将军饮马模型，依据此类问题的解法，作点关于的对称点，由对称性求出点的坐标即可得到答案； （3）根据题意，设将沿着轴平移个单位长度，得到、，连接、、构成，分别以的两条边为菱形邻边分类讨论，再作出图形，结合点的平移得出点的坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 直线与轴、轴分别交于点、点， ， 解得， 直线的解析式为； （2）解：连接，如图所示： 由轴于点，轴于点，可知四边形是矩形， ， 由于点是固定点、点是直线：上的一个动点，则根据垂线段最短可知当时，最短，即线段最短， 在中，， 则由勾股定理可得， 即， ， 当时，如图所示： 在中，，，则，且， 在中，，则， ，， 则， ，， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为； 点、点，为线段的中点， ，即， 则， ，点是上的动点，是定点， 由动点最值问题-将军饮马模型解法，作点关于的对称点，则，即当三点共线时，有最小值为， 连接交于点、交轴于点，如图所示： ，， ， 则， ， 在中，，为线段的中点，则， ，，且点均在轴上， 即点与点重合， 直线过原点， 设直线的解析式为， ， 则直线的解析式为， 联立， 解得，即， 由对称性可知，是线段的中点， ， ， 则， 周长的最小值为； （3）解：存在， 直线交坐标轴于，两点，则当时，，即；当时，，即； 直线交轴于点，则当时，，即；当时，，即直线与交于点； 设将沿着轴平移个单位长度，则、， 连接、、构成， 以、、、为顶点的菱形邻边为，则， ， 则， 解得（没有平移，不会产生点、，舍去）或（符合题意，向下平移）； 以、、、为顶点的菱形邻边为，则， ， 则， 解得（符合题意，向上平移）或（符合题意，向下平移）； 以、、、为顶点的菱形邻边为，则， ， 则， 解得（符合题意，向下平移）； 将沿着轴向上平移个单位长度，则、、，过点作的平行线、过点作的平行线，两条平行线交于点，如图所示： 由点的平移可得； 将沿着轴向下平移时，如图所示： ①由前面以为菱形邻边时，，是将沿着轴向下平移个单位长度，则、、，过点作的平行线、过点作的平行线，两条平行线交于点，则由点的平移可得； ②由前面以为菱形邻边时，，是将沿着轴向下平移个单位长度，则、、，过点作的平行线、过点作的平行线，两条平行线交于点，则由点的平移可得； ③由前面以为菱形邻边时，，是将沿着轴向下平移个单位长度，则、、，过点作的平行线、过点作的平行线，两条平行线交于点，则由点的平移可得； 将沿着轴向上平移个单位长度；向下平移个单位长度、个单位长度或个单位长度时，存在点（与点重合）、或使得以、、、为顶点的四边形是菱形， 综上所述，存在点，坐标为、或． 易错点8 一次函数中的新定义型综合问题 易错总结 1. 定义理解偏差：未准确理解“关联点”“k型函数”等新概念，套用常规函数性质导致错误。 2. 变换规则误用：新定义涉及坐标变换（如反射、旋转、伸缩）时，变换公式记错或方向混淆。 3. 分类讨论不全：新定义含分段条件（如\(x\)在不同范围对应不同规则），讨论时遗漏区间。 4. 隐式条件忽略：新定义中暗含定义域、值域或整数要求，未纳入约束导致解集无效。 注意事项： - 逐词转化：将新定义翻译成数学语言（方程、不等式或变换式）。 - 画图辅助：在坐标系中画出新定义对应的几何意义（如“对称点轨迹”）。 - 分类分段：按定义规定的条件分区域讨论，取各段解集的并集。 - 验证边界：临界点（如分段点、端点）代入检验是否符合新定义。 - 逆向思维：已知结果反推参数时，逆用新定义建立方程（组）。 【例8】（25-26八年级下·全国·课后作业）阅读与思考：在平面几何中，我们学过两条直线互相垂直的定义，下面就两个一次函数的图象，给出它们互相垂直的定义．设一次函数的图象为直线，一次函数的图象为直线，若，我们就称直线与直线互相垂直．例如，直线与直线，因为，所以这两条直线互相垂直． 根据以上定义内容，解答下面的问题： (1)已知直线与直线互相垂直，则的值为_____________； (2)若直线经过点，且与直线垂直，直接写出直线的表达式． 【答案】(1) (2)直线的表达式为 【分析】（1）利用，建立方程求解； （2）设直线的表达式，根据垂直关系求出，再代入求． 【详解】（1）解：直线与直线互相垂直， ， 解得：； （2）解：直线与直线垂直， 设直线的表达式：， ， 解得：， ， 直线经过点， ， 解得：， 直线的表达式为． 【变式】（25-26八年级上·四川成都·期中）在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点，我们定义其“相关点”满足：当时，；当时，．请根据此定义完成下列问题： (1)点的“相关点”的坐标为___________； (2)若点的相关点的坐标为，求的面积； (3)点在第二象限，其“相关点”的纵坐标为，若线段的长度为，求点的坐标． 【答案】(1)(5,7) (2) (3) 【分析】本题重点考查了二元一次方程组的求解，点到坐标轴的距离，一次函数的解析式和两点坐标求两点距离等知识点，点到坐标轴的距离为点到轴、轴的距离，应注意取相应坐标的绝对值，一次函数的解析式为，两点之间的距离公式为，熟练掌握公式以及公式的运用是解题的关键． （1）将已知条件直接代入表达式即可完成求解，得到的坐标． （2）根据已知条件，分和两种情况进行讨论，求得点的坐标，进而得到直线的解析方程式，得到其与轴或轴的交点，将拆解成两个三角形和，分别计算两个三角形的面积，即可得到答案． （3）此题通过已知条件，得到的坐标，进而得到，用含的表达式得到，的坐标，利用两点之间的距离公式得到的值，解方程得到的值，最终求得的坐标，此题中还需要注意的第二象限，需要舍弃不符合条件的值． 【详解】（1）解：符合， ∴， ∴的坐标为． 答：的坐标为． （2）解：设， 当时，将代入方程得到方程组， ， 用代入消元法解得到，符合的设定， 得到， 设直线的解析方程式为，将代入上式， ， 用加减消元法解得， ∴直线的方程式为， ∴直线与轴的交点为， ∴此时轴将分割成两个三角形和， ∴； 当时，将代入方程得到方程组， ， 用代入消元法解得到，符合的设定， 得到， 设直线的方程式为，将代入方程式， ， 用加减消元法解得， ∴直线的方程式为， ∴直线与轴的交点为， ∴此时轴将分割成两个三角形和， ∴． ∴的面积为． 答：的面积为． （3）解：∵点在第二象限， ∴， ∴的坐标为， ∵的纵坐标为， ∴，即， ∴的坐标为，的坐标为 ∴， ∴， ∴或， ∵， ∴， ∴点的坐标为． 答：点的坐标为． 一、单选题 1．（25-26八年级下·重庆·期中）已知是一次函数，则的值为（　　） A．1 B．5 C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数需满足两个条件：x的次数为1，且一次项系数不为0，据此列等式和不等式计算即可得到m的值． 【详解】解：∵是一次函数， ∴， 解，得，即或， 又∵，即， ∴． 2．（25-26八年级下·陕西西安·开学考试）已知一次函数（为常数），若当时，函数有最大值，则的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】先根据一次函数的性质，再根据最大值对应的自变量取值代入计算即可求解． 【详解】解：∵一次函数中，， ∴随的增大而减小， ∵， ∴当取最小值时，取得最大值， 将，代入函数得：， 解得． 3．（25-26八年级下·江苏南通·期中）在平面直角坐标系中，对于点和，给出如下定义：如果当时，；当时，，那么称点为点的“倍联点”．例如：点的“倍联点”为，点的“倍联点”为．如果点是一次函数图象上点的“倍联点”，则的值为（    ） A．5 B． C．5或 D．或 【答案】C 【分析】根据“倍联点”的定义，分点M横坐标 和 两种情况，结合点M在一次函数图象上列方程求解，验证结果是否满足范围条件即可． 【详解】∵点是点的倍联点， ∴点的横坐标为，设点的纵坐标为． 分两种情况讨论： 1． 当 ，即时，由倍联点定义得 ，即． ∵点在上，代入得 ， 化简得 ，解得，满足，符合条件； 2． 当 ，即时，由倍联点定义得 ，即． ∵点在上，代入得 ， 化简得 ，解得，满足，符合条件． 综上，的值为或． 二、填空题 4．（25-26八年级下·四川成都·期中）如图，把放在平面直角坐标系内，其中，，点A，B的坐标分别为，，将沿x轴向右平移，当线段扫过的面积为16时，点C落在直线上，则k的值为______． 【答案】2 【分析】根据题意得出，，再由题意得出，即向右平移4个单位长度，确定，代入函数解析式即可． 【详解】解：如图所示： ， ∵点A、B的坐标分别为，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵线段扫过的面积为16， ∴， ∴，即向右平移4个单位长度， ∴， ∵点在直线上， ∴，解得． 5．（2026·宁夏·一模）在平面直角坐标系中，如果点的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点为“平衡”点．例如：点，，，，都是“平衡”点．函数图象上的“平衡”点是______． 【答案】 【分析】设“平衡”点为，代入求解即可． 【详解】解：设“平衡”点为，代入， 得， 解得， 故函数图象上的“平衡”点是． 6．（25-26八年级下·上海崇明·期中）如图，在平面直角坐标系中，点在正比例函数的图像上，点和点C都在轴上，当的面积是6时，点C的坐标是______________． 【答案】或 【分析】设出点C的坐标，得到的长度，根据三角形面积计算即可． 【详解】解：点C在轴上，设点， ∴， ∵的面积是6， ∴， ∴，可得， 则有或， 解得或， ∴点或 ． 三、解答题 7．（2026·河南安阳·一模）某公园文创商店计划购进A，B两款文创产品进行销售．已知购进4件A产品和3件B产品共需360元；购进5件A产品和2件B产品共需380元． (1)求A产品和B产品每件的进价． (2)该商店计划购进A，B两款文创产品共200件，且购进的B产品数量不低于A产品数量的1.5倍．A产品售价为80元/件，B产品售价为60元/件．“五一”假期，商店决定A产品按原价出售，B产品按售价八折促销．若200件产品全部售完，求该商店获得的最大利润是多少元． 【答案】(1)一件A产品进价60元，一件B产品进价40元 (2)2560元 【分析】（1）设一件A产品进价元，B产品进价元，根据题意列出二元一次方程组即可求解； （2）设购进A款文创产品件，则购进B款文创产品件，根据题意列出不等式和一次函数表达式即可求解． 【详解】（1）解：设一件A产品进价元，B产品进价元， 根据题意，得， 解方程组，得， 答：一件A产品进价60元，一件B产品进价40元． （2）解：设购进A款文创产品件，则购进B款文创产品件， 根据题意，得， 解得， 设商店获得的利润为元，则， ∵， ∴随的增大而增大． ∴当时，取得最大值，． 答：商店获得的最大利润是2560元． 8．（25-26八年级上·安徽淮北·期末）定义：我们把一次函数与正比例函数的图象的交点称为一次函数的“近点”，例如求的“近点”，联立，得方程组，解得，则的“近点”为． (1)由定义可知，一次函数的“近点”为____________； (2)一次函数的“近点”为，求，的值； (3)已知直线与轴交于点，与轴交于点，直线上没有“近点”．若点为直线上一点，且点在第一象限，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查了新定义，一次函数的性质，一次函数与坐标轴围成的三角形的面积，两直线交点问题，熟练地利用数形结合的方法解题是关键． （1）联立一次函数解析式与正比例函数，解二元一次方程组即可； （2）将“近点”为，代入求得q，进而把点的坐标代入求得p即可； （3）根据题意可得，设直线 与 轴交于 ，则，根据得出点的纵坐标为，代入直线，即可求解． 【详解】（1）解：由定义可知，一次函数的“近点”为一次函数解析式与正比例函数的交点， 联立， 解得， 一次函数的“近点”为； 故答案为：； （2）解：根据定义可得，点在上， ， 解得， ∵点又在上， ， ∴， （3）解：∵直线上没有“近点”， ∴直线与平行， ∴， ∴， 令，则， 令，则， ， ， ∴ ∴ 依题意，点为直线上一点， 如图，设直线 与 轴交于 ，则 ∵点在第一象限， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴点的纵坐标为 ∵点为直线上一点， 将代入得 解得 ∴． 9．（25-26九年级下·广东广州·月考）【问题情境】“漏壶”也称为“漏刻”，是一种古代计时器，在社会实践活动中，某同学根据“漏壶”的原理制作了如图①所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体． 时间 1 2 3 4 5 圆柱体容器液面高度 6 10 14 18 22 (1)【实验观察】表中是实验记录的圆柱体容器液面高度（单位：）与时间（单位：）的数据：在图②所示的平面直角坐标系中描出上表的各点，用光滑的线连接； (2)【探索发现】请你根据表中的数据及图象，用所学过的①一次函数；②二次函数；③反比例函数中的_____（填序号），确定与之间的函数表达式为_____． (3)【结论应用】如果本次实验记录的开始时间是上午8：00，那么当圆柱体容器液面高度达到时是什么时刻． 【答案】(1)见解析 (2)①； (3)12：30 【分析】（1）根据表格中的数据，描点，连线画出函数图象即可； （2）根据函数图象和表格中的数据可知该函数为一次函数，再利用待定系数法求解即可； （3）求出时，x的值即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：由函数图象和表格中的数据可知，该函数为一次函数， 设与之间的函数表达式为，则， ∴， ∴与之间的函数表达式为； （3）解：在中，当时，， ∴当圆柱体容器液面高度达到时，需要， ∵本次实验记录的开始时间是上午， ∴当圆柱体容器液面高度达到时，时间为． 10．（25-26八年级下·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点、分别在轴、轴上，且点的坐标为． (1)如图1，求直线的解析式； (2)如图2，边上有一动点D，连接，点F在线段上，使得，点G在的延长线上，点E在线段上，连接，满足，若D点的纵坐标为t，的长为d，求d与t的关系式； (3)如图3，在（2）问的条件下，在线段上，连接，若，当时，求值，并直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)； 【分析】（1）根据正方形的性质求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）过点作，易得四边形为矩形，得到，证明，得到，进而求出即可； （3）在上截取，连接，证明，得到，利用平行线的性质，同角的余角以及三角形的外角，推出，得到，在中，利用勾股定理求出的值，进而求出点坐标即可． 【详解】（1）解：∵四边形为正方形，C的坐标为， ∴，轴， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得：， ∴， ∴直线的解析式为； （2）解：过点作， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵点在线段上，纵坐标为， ∴， ∴； （3）解：在上截取，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理，得：， 即：， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第二十三章一次函数 思维导图 一定义 k正左低右高 一正比例函数 一解折式 k负左高右低 一图象与性质 次函数图象性质口诀 b正交y轴正半轴 定义 一、一次函数 b负交y轴负半轴 一次函数 解析式 一设二代三解四写 待定系数法步骤口决 九、解题方法与口决 图象与性质 审清题意找变量 k决定倾斜程痘与方向 k与b的意义 建立模型是关键 应用问题建模思路 一-b决定与y轴交点 数形结合助求解 原理 两点法 忽略k0的条件 步骤 二、 一次函数图象的画法 增减性判断错误 直线 图象特征 待定系数法求解错误 八、高频易错点 经过象限 图象画法不规范 增减性广k0 应用题忽路自变量范国 次函数 k<0 三、一次函数的性质 函数概念辨析 与x轴交点 与坐标轴交点 一次函数图象与性质 与y轴交点 待定系数法求解析式 七、高频考点 一设解析式 一次函数与方程不等式联系 代入点坐标 一方法步骤 一次函数实际应用 解方程组 分析变量 四、待定系数法求解析式 写出解折式 建立函数关系 实际问题建模 一已知两点 常见题型 求解并解释 已知一点与k或b 六、一次函数的应用 行程问题 与一元一次方程一从函数角度看方程 利润问题 常见类型 五、一次函数与方程、不等式 ~与二元一次方程组一两条直线的交点 方案选择问题 与一元一次不等式一函数值的比较 知识清单 知识点01函数的概念 在一个变化过程中，有两个变量x和y,如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那 么就说y是x的函数，x是自变量。 知识点02一次函数的表达式 形如y=c+b(k,b为常数，0)的函数叫做一次函数。当b=0时，y=c(0)叫做正比例函数。 知识点03一次函数的图象与性质 一次函数y=c+b的图象是一条直线，可通过两点法（如(0,6）和(0)画出。当>0时，y随x的增大 而增大：当k<0时，y随x的增大而减小。b决定直线与y轴的交点(O,b)。 1/14 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识点04一次函数的实际应用 利用一次函数解决实际问题，如行程问题、成本利润问题、方案选择问题等，需先建立函数模型，再结合 图象或性质求解。 知识点05二元一次方程组与一次函数的关系 1)一元一次方程可转化为一般式：a+b-0 2)一次函数为：y=+b的形式：当y=0时，一次函数x的值就是一元一次方程的解。 y一0时，x的值，即一次函数与x轴的交点横坐标，就是对应一元一次方程的解 3)每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于 考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确 定两条直线交点的坐标 4)两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象 的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解，反之也成立， 5)当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直 线平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解. 6)当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在坐标系中重合，反之也成立. 知识点06利用一次函数的图象得到一元一次不等式的解集 (I)一元一次不等式@+b>0的解集，一次函数的图象在x轴上方的点的横坐标所组成的集合. (2)一元一次不等式+b<0的解集，一次函数的图象在x轴下方的点的横坐标所组成的集合. (3)一元一次不等式kx+b1>k2+b2的解集，一次函数y=kx+b,图象在一次函数y=k2x+b2图象上方的点的横 坐标所组成的集合. (4)一元一次不等式kr+b<k2x+b2的解集，一次函数y=kx+b图象在一次函数y=k2x+b2图象下方的点的横 坐标所组成的集合. 易错总结 易错点1利用一次函数的定义忽略“0”致错 1.要明确一次函数y=kx+b中k:0,若忽略此条件，会导致参数取值范围错误。例如y=(m·1x+2是一次 函数，需保证m-10即m≠1。 2/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.对于正比例函数y=kx,除k≠0外，还需注意b=0的隐含条件。如Jy=(+2x+n是正比例函数，需同时 满足n+20且n=0,即n=0。 【例1】已知函数y=(m-3到x- 是一次函数，则m=」 【变式】(24-25八年级下-湖南衡阳阶段练习)若y=(k-2+3 关于x的一次函数，则k的值为 易错点2利用一次函数的增减性求参数的多解问题 易错总结 1.增减性判断混淆：误以为(k>0)时函数必增，忽略自变量范围限制（如只在某区间讨论）。 2.多情况遗漏：参数同时影响(k)和常数项，或需分段讨论（如(k=O)是一次函数吗）。 3.端点取等问题：比较函数值大小时，临界点是否取等判断不清，导致参数范围边界错误。 4.实际约束忽略：实际问题中自变量有隐含范围（如时间非负），未纳入增减性分析。 注意事项： -先定k符号：由y=kx+b中k的正负确定整体增减趋势。 -分类讨论参数：参数出现在k位置时，分别讨论k>0、k<0、k=0。 -注意区间单调：若定义域不是全体实数，只在给定区间内讨论最值。 -检验端点：参数边界值代入验证是否满足题意（如函数值大小关系）。 数形结合：画出草图，直观判断直线走向与参数关系。 【例2】(25-26八年级下·河北秦皇岛期中)一次函数y=x+k+1,当-3≤x≤1时，y的最大值为5，则 k的值为 【变式】(25-26八年级下·福建福州·期中)一次函数 =kc+b.-2≤x≤ ，当 时，4≤ys2 ,则一次函 数的解析式为 易错点3对正比例函数的定义理解不透彻致错 1.需明确正比例函数是一次函数的特殊形式，需同时满足y=kx(k0)，即系数k不为O且不含常数项。 若忽略k0,如y=mx,当m=0时就不是正比例函数；若遗漏常数项为0的条件，如y=3x+1,因含常数 项1，也不符合定义。 3/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.遇到含参数的正比例函数问题，要同时验证nq0和常数项为0两个条件。例如)y=(a+1x+a是正比例 函数，需满足a+10且a=0,即a=0,若只考虑其一，会导致参数求解错误。 【例3】已知：y与x-3成正比例，且x=1时，y=-4 (1)求y与x之间的函数关系式： P(m,2) (2)点 在这个函数的图像上，求m的值. y-2 3x-4 【变式】(25-26八年级上·全国·随堂练习)已知与 成正比例，且当=2时， y=3 (1)写出y与x之间的函数关系式： (2)若 P(a,3列在这个函数的图象上，求0的值： 1 -1≤y≤1 (3)若的取值范围为 ，求的最小值. 易错点4一次函数图象与坐标轴的交点位置不明确时忽略分类讨论致错 1.一次函数与坐标轴交点位置受k、b符号影响，若未考虑其多种组合情况易漏解。如求y=k心+b与两坐 标轴围成三角形面积时，需分k、b正负讨论交点在轴上的位置，忽略则会少算情况。 2.解决此类问题时，需先分析k、b的可能符号组合，再分别确定交点坐标。例如已知一次函数与两坐标轴 交点到原点距离，需考虑交点在坐标轴正、负半轴的不同情况，逐一求解避免漏解。 3 【例4】如图，己知一次函数y= ,x+6的图象与坐标轴交于A、B点. 4 (I)求△AOB的面积. 回创诺销上有一点P,且5a-25a,求直线4P的表达式。 【变式】(24-25七年级下·黑龙江哈尔滨阶段练习)如图，已知在平面直角坐标系中，OA=OB, OC=2OA,三角形ABC的面积是6； 4/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B CB (1)求三角形ABC三个顶点A、B、C三点的坐标： ②点P的坐标是2，m川，连接PA、PB,并用含字母”的式子表示△PAB的面积： (n≠4) (3)在(2)问的条件下，是否存在点P,使。PAB的面积等于△ABC的面积的4，如果存在，请求出P的坐 标，若不存在，请说明理由. 易错点5实际问题中忽略自变量的取值范围致错 1.实际问题中，自变量取值需结合实际意义确定，如时间、数量等不能为负数或超出合理范围。若忽略， 如“租车费用函数”中，租车数量为负数就不符合实际，会导致函数应用错误。 2.解决实际问题时，需先分析自变量的取值限制，再结合一次函数性质求解。例如“销售利润函数”，销 售量不能为负，需确定自变量取值范围后，再找利润的最值或其他结果，否则会得出不符合实际的结论。 【例5】(2025八年级上·全国·专题练习)汽车油箱内有油40L,每行驶100km耗油10L,若不再加油，则 行驶过程中油箱内剩余油量(L)与行驶路程km 之间的函数关系式为一，自变量的取值范围是 【变式】综合与实践 《九章算术》中记载，浮箭漏（图①）出现于汉武帝时期，它由供水壶和箭壶组成，箭壶内装有箭尺，水 匀速地从供水壶流到箭壶，箭壶中的水位逐渐上升，箭尺匀速上浮，可通过读取箭尺读数计算时间.某学 校STEAM小组仿制了一套浮箭漏，并从函数角度进行了如下实验探究： 【实验观察】 实验小组通过观察，每2小时记录一次箭尺读数，得到如表： 供水时间x(小时) 0 2 4 6 8 箭尺读数y(厘米) 6 18 30 42 54 【探索发现】 (1)①建立平面直角坐标系，如图②，横轴表示供水时间x,纵轴表示箭尺读数y,描出以表格中数据为 5/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 坐标的各点 ②观察上述各点的分布规律，发现这些点大致位于同一个函数的图象上，且这个函数的类型最有可能是 一；（填“一次函数”、“反比例函数”或“二次函数”）并根据你所选择的函数类型求出函数表达 式（自变量取值范围不写） 【结论应用】 (2)应用上述发现的规律估算： ①供水时间达到11小时时，箭尺的读数为多少厘米？ ②如果本次实验记录的开始时间是上午8：00，那当箭尺读数为96厘米时是几点钟？（箭尺最大读数为 100厘米). y(厘米) 54 浮箭漏示意图 48 42 供水壶 36 箭尺 30 24 箭壶 18 12 6 接水壶。 O123456789x(小时) 图① 图② 易错点6利用一次函数的增减性求实际问题中的最值问题 易错总结 1.自变量范围遗漏：实际问题中自变量常受限于整数、非负、有限资源等，忽略则最值不准。 2.增减性判断错误：斜率k符号判断错，导致最值取在端点还是无解误解。 3.端点最值取舍不当：实际意义要求整数解时，直接取端点实数解而未取整。 4.多变量干扰：问题含多个变量时，未先用条件消元成一次函数再求解。 注意事项： -建函数先定域：根据实际背景确定自变量取值范围，常为离散或区间。 -看k定增减：k>0时最小在左端、最大在右端：k<0相反。 -整数解处理：最值点非整数时，比较其附近整数点的函数值。 -消元化归：多个变量时，利用等量关系转化为一个变量的一次函数。 -验证合理性：最值解代入原问题检验是否符合实际情境。 【例6】(2026河南商丘·二模)学校准备让美术兴趣小组的同学雕刻励志的文字和图案，需要给小组同学 6/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 购买雕刻刀.已知A型雕刻刀的单价比B型雕刻刀多5元，用1000元购买A型雕刻刀和用800元购买B型 雕刻刀的数量相同. (1)分别求A型、B型雕刻刀的单价： ②学校准餐购买人型和R型雕刻刀共50把。期买B型胆刻刀的数最不超过A型罪刻刀的子。门购买多少 把A型雕刻刀时花费最少？最少花费是多少元？ 【变式】(25-26八年级下·福建泉州·期中)某地按照城市功能特点，建设城区特色消费中心，着力发展 “夜经济”，打造“夜商都”等地方夜消费品牌升级版，允许市场经营主体在规范有序的条件下，采取 “店铺外摆”、“露天市场”方式进行销售.个体业主小王响应号召，采取“店铺外摆”方式销售A,B 两款特价商品，两款商品的进价与售价如表所示： 类型 A型 B型 进价1（元/件） 35 5 售价1（元/件） 8 小王计划购进A,B两种商品共I00件进行销售，设小王购进A商品x件，A,B商品全部销售完后获得的 总利润为y元. (1)求y与x之间的函数关系式. (2)若B商品的进货件数不少于A商品件数的3倍，当购进A,B两种商品各多少件时，可使得A,B商品全 部销售完后获得的总利润最大？并求出最大的总利润 易错点7一次函数与几何图形的综合问题 #易错总结 1.坐标与长度转换错误 -误将坐标差当作线段长度（未取绝对值），导致面积、距离计算错误。 2.交点漏解或错解 -联立函数与几何方程（如直线与圆相切）时，忽略多解情况（如斜率不存在、多交点）。 3.图形性质与函数关联错误 -用错几何性质（如误将平行四边形对角线中点坐标公式代入一次函数）。 ##注意事项 1.规范坐标与长度互化 7/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 -距离公式：d-x1-x2P+y1-y2,面积用铅垂高或向量法。 2 -坐标轴上的点直接取绝对值。 2.分类讨论确保完整性 -直线方向、交点位置、图形形状不确定时，按斜率正负、顶点顺序分情况。 -例：直线与矩形有交点，需分与边相交、过顶点等子情况。 3.几何条件代数化 -垂直→斜率乘积为-1；中点→坐标平均；对称→中点在对称轴上。 4.验证解与图形约束 -求出的点或直线需满足图形范围（如在线段上、在三角形内部）。 -解后代入原题验证是否成立。 1 【例7】(25-26八年级下-江苏连云港期中)如图1，在平面直角坐标系中，直线y=2x+3与x轴、y 轴分别相交于A、B两点，点C在线段OA上，将线段CB绕着点C顺时针旋转90°得到CD,此时点D恰 好落在直线AB上，过点D作DE⊥x轴于点E. o c E 图1 备用图 (I)求证：aBOC≌aCED: 2诺点P在'轴上，点”在直线B上，是香存在以C 以C、D、P、为顶点的四边形是平行四边形？若存 在，求出所有满足条件的P点的坐标；若不存在，说明理由， 【变式】(2026八年级下·重庆·专题练习)如图1，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、'轴分别交于 点A-12.0)、点B0,45,C为线段B的中点 8/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A M B 图1 图2 (1)求直线AB的解析式： 2咖图1，老F为线段18上一动点，过点5作EF1轴于点F,8G E '轴于点G,连接6，P为F6 上一动点.当线段FG最短时，求△PCE周长的最小值： G如图2，直线-+2交坐标箱于M,N两点，官线5=24父 4交'轴于H点，将△MNH沿若 轴平移平移过程中的△H记为△MNH,请问在平面内是香有在点D,使得以N、月、月、D为 顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点D的坐标 易错点8一次函数中的新定义型综合问题 易错总结 1.定义理解偏差：未准确理解“关联点”“k型函数”等新概念，套用常规函数性质导致错误。 2.变换规则误用：新定义涉及坐标变换（如反射、旋转、伸缩）时，变换公式记错或方向混淆。 3.分类讨论不全：新定义含分段条件（如(x)在不同范围对应不同规则），讨论时遗漏区间。 4.隐式条件忽略：新定义中暗含定义域、值域或整数要求，未纳入约束导致解集无效。 注意事项： -逐词转化：将新定义翻译成数学语言（方程、不等式或变换式）。 -画图辅助：在坐标系中画出新定义对应的几何意义（如“对称点轨迹”）。 -分类分段：按定义规定的条件分区域讨论，取各段解集的并集。 -验证边界：临界点（如分段点、端点）代入检验是否符合新定义。 -逆向思维：已知结果反推参数时，逆用新定义建立方程（组）。 【例8】(25-26八年级下·全国·课后作业)阅读与思考：在平面几何中，我们学过两条直线互相垂直的定 9/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 义，下面就两个一次函数的图象，给出它们互相垂直的定义.设一次函数'=x+6(k≠0) 的图象为直线 ,一次函数，x+6么≠0的图象为直线，若※，=1，我们就称直线与直线上互相垂直.例如， 直线，-3x-1与直线y=x+1,因为3x( 1,所以这两条直线互相垂直. 根据以上定义内容，解答下面的问题： y=0.5x-2 y=x-1 (1)已知直线 与直线 互相垂直，则的值为 2)若直线经过点A-2,5列，且与直线y=一3x+3垂直，直接写出直线，的表达式. 【变式】(2526八年级上四川成都期中)在平面直角坐标系0中，对于平面内任意一点Px川，我 们定义其“相关点”P(x, 满足：当x之y时，=2x-y=x-2y:当x<y时，t=y-2x=2y-x 请根据此定义完成下列问题： A-1,3 (1)点 的“相关点”A的坐标为 2若点B的相关点B的坐标为4-，求△0B ”的面积： 3 (3)点Cm,m)在第二象限，其“相关点”C'的纵坐标为n+1,若线段CC的长度为2，求点C的坐标. 易错训练 一、单选题 1.(25-26八年级下重庆期中)已知=m-列+4是一次丽数，则m的值为() A.1 B.5 C.-5 D.±2 10/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2. （②526人年级下陕画同安开学考试)已知次丽数，=-2x+8。为前数》，若当子2时：面 数有最大值2，则。的值为() 13 1 11 1.13 A.2 B.-2 C.2 D.2或2 3.(2526八年级下-江苏南通期中)在平面直角坐标系中，对于点Px川和Q(x,给出如下定义：如 果当x之0时，广=2：当x<0时，广=-2y,那么称点为点P的“倍联点”.例如：点2,3引的“倍联 点”为2,6，点-2,3到的“倍联点”为-2-6.如果点m-1,5n+1是一次函数=2x+5图象上点M 的“倍联点”，则n的值为() 4 B.7 7 24 A.5 C.5或 D.3或7 二、填空题 4.(25-26八年级下·四川成都期中)如图，把Rt△ABC放在平面直角坐标系内，其中∠CAB=90°， BC=5,点4，B的坐标分别为1.0，(4,0)，将△ABC沿x轴向右平移，当线段BC扫过的面积为16时， y=kx-6 点C落在直线 上，则k的值为 5.(2026宁夏一模)在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点P为“平 衡”点树如：点L-少修引（都是“平衡”点：函数，=--8图象上的平 11/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 衡”点是 6。(25-26八年级下上海崇明期中)如图，在平面直角坐标系中，点42,4在正比例函数=2x的图像 上，点810 )和点C都在x轴上，当△ABC的面积是6时，点C的坐标是 三、解答题 7.(2026河南安阳·一模)某公园文创商店计划购进A,B两款文创产品进行销售.已知购进4件A产品 和3件B产品共需360元：购进5件A产品和2件B产品共需380元. (1)求A产品和B产品每件的进价. (2)该商店计划购进A,B两款文创产品共200件，且购进的B产品数量不低于A产品数量的1.5倍.A产品 售价为80元/件，B产品售价为60元/件.“五一”假期，商店决定A产品按原价出售，B产品按售价八折 促销.若200件产品全部售完，求该商店获得的最大利润是多少元. 8.(25-26八年级上安徽淮北期未)定义：我们把一次函数"=c+bk≠0与正比例函数=-‘的图象 的交点称为一次函数”=+6k≠0的“近点”，例如求)=-2x-3的“近点”，联立，得方程组 [y=-2x-3 「x=-3 y=-x,解得y=3,则y=-2x-3的“近点”为(-3,3). y=2x-3 (1)由定义可知，一次函数 的“近点”为 2一次函数y=pm+9的“近点”为2g-,求P,9的值： ③)已知直线=+3引k≠0与x轴交于点A,与'轴交于点B,直线”=+3上没有“近点”.若P点为 12/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 直线y=在+3上一点，且点p在第一象限，若Sm号、，求点p的坐标。 9.(25-26九年级下·广东广州月考)【问题情境】“漏壶”也称为“漏刻”，是一种古代计时器，在社 会实践活动中，某同学根据“漏壶”的原理制作了如图①所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱 组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中己有一部分液体 Ay(cm) 22 20 18 16 1 12 0 8 6 4 2 0123456789xh) 图① 图② 时间x/h 1 3 4 5 圆柱体容器液 10 14 面高度少/cm 6 18 22 (1)【实验观察】表中是实验记录的圆柱体容器液面高度y(单位：cm)与时间x(单位：h)的数据：在 图②所示的平面直角坐标系中描出上表的各点，用光滑的线连接： (2)【探索发现】请你根据表中的数据及图象，用所学过的①一次函数；②二次函数；③反比例函数中的 一（填序号），确定y与x之间的函数表达式为· (3)【结论应用】如果本次实验记录的开始时间是上午8：00，那么当圆柱体容器液面高度达到20cm时是什 么时刻 10.(25-26八年级下·福建厦门·期中)在平面直角坐标系中，四边形ABC0为正方形，点A、C分别在x 轴、'轴上，且点C的坐标为0,6 13/14 而学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 y y B C B G C B G A 图1 图2 图3 (1)如图1，求直线OB的解析式： (2)如图2，边AB上有一动点D,连接OD,点F在线段OA上，使得OF=2AD,点G在CB的延长线上， 点E在线段CG上，连接EF,满足∠EFO-90°=∠AOD,若D点的纵坐标为t,CE的长为d,求d与t的 关系式： 6)如图3，在(2)问的条件下，E在线段BG上，连接OG,若∠40G+40D=45,当5G-d时， 求t值，并直接写出G点的坐标. 14/14