第二十三章 一次函数（6大考点+7大题型+分层训练）（复习讲义）数学新教材人教版八年级下册

第二十三章 一次函数（复习讲义） 1. 了解一次函数及正比例函数的意义，体会表达式、图象与性质之间的整体联系，明确常数k（决定倾斜方向与增减性）和b（决定与 y 轴交点）的几何意义。 2. 能用待定系数法（设、代、解、写）求一次函数解析式，能根据k>0或k<0判断函数的增减性，并规范画出函数图象。 3. 理解并利用一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的内在联系解决问题，能建立函数模型分析行程、利润、方案选择等实际问题，避免忽略k≠0的条件与建模错误。 知识点01 函数的概念 在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么就说y是x的函数，x是自变量。 知识点02 一次函数的表达式 形如y = kx + b（k，b为常数，k≠0）的函数叫做一次函数。当b = 0时，y = kx（k≠0）叫做正比例函数。 知识点03 一次函数的图象与性质 一次函数y = kx + b的图象是一条直线，可通过两点法（如(0,b)和(- ,0)）画出。当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。b决定直线与y轴的交点(0,b)。 知识点04 一次函数的实际应用 利用一次函数解决实际问题，如行程问题、成本利润问题、方案选择问题等，需先建立函数模型，再结合图象或性质求解。 知识点05 二元一次方程组与一次函数的关系 1）一元一次方程可转化为一般式：ax+b=0 2）一次函数为：y=kx+b的形式；当y=0时，对应的x的值就是一元一次方程的解。 y=0时，x的值，即一次函数与x轴的交点横坐标，就是对应一元一次方程的解 3）每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 4）两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解，反之也成立. 5）当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解. 6）当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在坐标系中重合，反之也成立. 知识点06 利用一次函数的图象得到一元一次不等式的解集 (1)一元一次不等式kx+b>0的解集，一次函数的图象在x轴上方的点的横坐标所组成的集合. (2)一元一次不等式kx+b<0的解集，一次函数的图象在x轴下方的点的横坐标所组成的集合. (3)一元一次不等式k1x+b1>k2x+b2的解集，一次函数y=k1x+b1图象在一次函数y=k2x+b2图象上方的点的横坐标所组成的集合. (4)一元一次不等式k1x+b1<k2x+b2的解集，一次函数y=k1x+b1图象在一次函数y=k2x+b2图象下方的点的横坐标所组成的集合. 题型一 一次函数的图象和性质 【例1】（25-26九年级上·北京·开学考试）已知一次函数，下列说法不正确的是（    ）． A．y随x的增大而增大 B．函数图象不经过第二象限 C．当时， D．函数图象与y轴交点坐标为 【变式1-1】（24-25八年级下·湖南衡阳·阶段练习）关于直线，下列说法正确的是（   ） A．直线l与y轴交于 B．直线l经过第二、三、四象限 C．y随x的增大而增大 D．点在直线l上 【变式1-2】（25-26八年级上·重庆·开学考试）对于一次函数，下列结论正确的是（　　） ①函数的图象与轴的交点坐标是 ②函数的图象经过第一、二、四象限 ③若两点在该函数图象上，且，则 ④函数的图象向上平移1个单位长度得的图象 A．① B．② C．③ D．④ 【变式1-3】（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）已知将正比例函数的图象向上平移5个单位长度得到一次函数的图象，下列结论错误的是（   ） A． B．一次函数的图象经过点 C．对于一次函数，当时， D．若点，均在一次函数的图象上，则 题型二 利用一次函数的性质求解 【例2】（25-26九年级上·重庆·阶段练习）若点在一次函数图象上，则 （填，或）． 【变式2-1】（25-26八年级上·河北衡水·开学考试）如图，一次函数的图象与x轴、y轴的交点分别为A、B，则的长为 ． 【变式2-2】（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）已知函数，当时，y的最大值是 ． 【变式2-3】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知一次函数． （1）若该函数图象与y轴的交点位于y轴的正半轴，则m的取值范围是 ． （2）当时，函数y有最大值，则m的值为 ． 题型三 求一次函数的表达式 【例3】（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）已知一次函数（k为常数，且）的图象经过点. (1)求一次函数的表达式； (2)写出一次函数图象沿y轴向下平移3个单位后的图象对应的函数表达式. 【变式3-1】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）已知与成正比例，且当时，． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)若点在这个函数的图象上，求m的值． 【变式3-2】（24-25八年级下·湖南衡阳·期末）小李以每千克2元的价格购进某种水果若干千克，销售一部分后，根据市场行情降价销售，销售额y（元）与销售量x（千克）之间的关系如图所示． (1)求降价后销售额y（元）与销售量x（千克）之间的函数表达式； (2)当销售量为多少千克时，小李销售此种水果的利润为150元？ 【变式3-3】（24-25七年级下·广东佛山·期末）如图1，在长方形中，动点在边上沿的路径匀速运动．的面积与点走过的路程的关系图象如图2所示． (1)你能从图中获取哪些信息？（写出三条不同的信息） (2)探究与之间的关系表达式． 题型四 画一次函数的图象 【例4】（24-25八年级下·山西晋城·阶段练习）下面是画函数的图象的过程． 列表： x … 0 1 … y … ______ ______ ______ … 描点并连线： 请根据上面的信息回答问题： (1)补全表格中y对应的值． (2)在如图所示的平面直角坐标系中，描出表格中对应的点，并画出函数的图象． (3)若点在函数的图象上，求出m的值． 【变式4-1】（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）已知，一次函数的图象分别与轴，轴交于点，． (1)请直接写出，两点坐标：：______，：______； (2)在直角坐标系中画出函数图象（不用列表，直接描点、连线）； (3)点是一次函数上一动点，则的最小值为______． 【变式4-2】（24-25八年级上·山东济南·期中）已知一次函数 x 1 y (1)将下面的表格补充完整，然后在方格纸上描出下面表格中以x，y的值为坐标的两个点，并画出函数的图象： (2)根据图象回答下面的问题 ①y的值随x的值的增大而______； ②设图象与x轴、y轴的交点分别为点A、点B，则点A的坐标是______； ③原点O到直线的距离为______； 将直线向下平移3个单位长度，得到一个一次函数的图象，则这个一次函数的表达式为：______． 【变式4-3】（24-25八年级下·湖北十堰·期中）小明在学习中遇到了这样一个问题：探究函数的性质．此函数是我们未曾学过的函数，于是他尝试结合一次函数的学习经验研究此问题． (1)列表： … 0 1 2 3 4 … … 1 a b c 0 1 … 表中 ， ， ； (2)作图：在下面网格中描点并正确地画出该函数图象； (3)观察：观察图象，归纳一下两条性质： 图象关于直线 对称； 根据所画的图形可以发现该函数有最 值（填“大”或“小”），该值是 ； (4)在坐标系中，我们将横、纵坐标均为整数的点称为整点，则该函数图象与直线围成的区域内（不包括边界）整点的个数为 ． 题型五 一次函数与方程（组）、不等式 【例5】（25-26八年级上·广西贺州·期中）如图，已知直线：与直线：都经过，直线交y轴于点，交x轴于点A，直线交y轴于点D，以下说法错误的是（    ） A．的面积为3 B．方程组的解为 C．点D的坐标为 D．当时， 【变式5-1】（25-26九年级上·贵州六盘水·期中）如图，一次函数和的图象交于点． (1)求出______；______． (2)求方程组的解． (3)请直接写出的解集． 【变式5-2】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，一次函数的图象与轴分别交于两点，与正比例函数交于点． (1)关于的方程的解是________； (2)关于的二元一次方程组的解为_______，关于的不等式的解集为_______； (3)关于的不等式的解集为_______，不等式的解集为_______． 【变式5-3】（24-25七年级下·山东烟台·期末）如图，直线：与直线：相交于点，与x轴分别交于A，B两点． (1)求b，m的值，并结合图象写出关于x，y的方程组的解； (2)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集； (3)求的面积； (4)垂直于x轴的直线与直线，分别交于点C，D，若线段的长为3，直接写出a的值． 题型六 一次函数的实际应用 【例6】（24-25八年级上·福建漳州·阶段练习）现从，向甲、乙两地运送蔬菜，，两个蔬菜市场各有蔬菜吨，其中甲地需要蔬菜吨，乙地需要蔬菜吨，从到甲地运费元/吨，到乙地元/吨；从地到甲运费元/吨，到乙地元/吨． (1)设地到甲地运送蔬菜吨，请完成下表： 运往甲地(单位：吨) 运往乙地(单位：吨) (2)设总运费为元，请写出与的函数关系式． 运往甲地(单位：吨) 运往乙地(单位：吨) 【变式6-1】（24-25八年级上·陕西西安·期末）长城化工厂有化肥1000吨，安秦化工厂有化肥1500吨，现要把化肥运往两家农场，如果从长城化工厂运往农场和农场运费分别是50元/吨与80元/吨，从安秦化工厂运往农场和农场运费分别是30元/吨与44元/吨，现已知农场需要化肥1100吨，农场需要化肥1400吨． (1)如果设从长城化工厂运往农场吨化肥，求此时所需的总运费（元）与（吨）之间的函数关系式（直接写出自变量的取值范围）． (2)如果你是业务经理，请你计算一下怎样调运花钱最少，并求出最少运费． 【变式6-2】（2026·江西·模拟预测）新考法结合函数图象考查一次函数的应用学校计划在某体育用品专营店购买一些体育用品，该体育用品店有如下两种优惠方案： 方案一：办理一张成本价为10元的会员卡，所有商品按原价a折出售； 方案二：一次购买商品总额不超过b元时，按原价付款，超过b元时超过的部分享受七折优惠． 设需要购买的体育用品的原价总额为x元，按方案一购买需付款 元，按方案二购买需付款元，已知 关于x的函数图象如图所示． (1)a的值为 ，b 的值为 ． (2)若选择方案一购买更合算，求x的取值范围． (3)当选择方案一和方案二的实际付款金额相差20元时，求x的值． 【变式6-3】（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）某天早晨，张强从家跑步去体育场锻炼，同时妈妈从体育场晨练结束回家，途中两人相遇，张强跑到体育场后发现要下雨，立即按原路返回，遇到妈妈后两人一起回到家（张强和妈妈始终在同一条笔直的公路上行进）．张强、妈妈两人距家的距离y（米）与张强出发的时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列问题： (1)张强返回时的速度是 米/分；妈妈比按原速返回提前 分钟到家． (2)求张强返回家时，张强离家的距离y（米）与x（分）之间的函数关系式． (3)请直接写出张强出发后与妈妈相距1000米的时间． 题型七 一次函数与几何图形的综合 【例7】（25-26九年级上·黑龙江鹤岗·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴、轴分别交于点、． (1)求点A、B的坐标； (2)若点在轴上，且，求点的坐标． 【变式7-1】（25-26八年级上·全国·单元测试）已知一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点，点C在直线上，其纵坐标为5． (1)点B的坐标为________，点C的坐标为________； (2)在x轴上找一点P，连接，使的值最小，并求出点P的坐标． 【变式7-2】（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点，动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动． (1)求A、B两点的坐标； (2)求的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式； (3)在M运动过程中，当时，直接写出此时M点的坐标． 【变式7-3】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，边落在轴上，且，动点以个单位每秒的速度从点出发沿射线方向运动，运动时间为．         (1)求点的坐标； (2)在点的运动过程中，连接，设的面积为，用含的代数式表示，并直接写出的取值范围； (3)在点的运动过程中是否存在某一时刻，使是以为斜边的直角三角形？如存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 基础巩固通关测 一、单选题 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列函数中，是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级下·安徽六安·月考）对于一次函数，下列结论正确的是（    ） A．它的图象与轴交于点 B．随的增大而减小 C．当时， D．它的图象经过第一、三、四象限 3．（25-26八年级下·江西九江·期中）如图，函数与的图象交于点，不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·福建福州·期中）直线的图象经过一、三、四象限，则直线的图象可能是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）若，是一次函数图象上的两个点，则与的大小关系是______（填，或） 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）一次函数的图象不经过第二象限，则m的取值范围是________． 7．（25-26八年级下·北京·月考）直线与直线的图象如图所示，则方程组的解为________． 8．（25-26八年级下·河北秦皇岛·期中）一次函数，当时，的最大值为5，则的值为__________． 三、解答题 9．（25-26八年级下·福建福州·期中）已知直线经过点，． (1)求该直线的函数解析式； (2)求该直线与x轴交点C的坐标； (3)关于x的不等式的解集是________． 10．（25-26八年级下·山东济南·期中）为落实国家科学教育要求，提升校园实验教学质量．某中学计划采购甲、乙两种型号的实验室设备．甲型设备的单价比乙型设备的单价低400元，用60000元购买甲型设备的数量和用72000元购买乙型设备的数量相同． (1)求甲、乙两种型号设备的单价各是多少元； (2)该中学计划购买甲、乙两种型号的设备共20台，且甲型设备的购买数量不超过乙型设备购买数量的3倍，购买甲型设备多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 11．（25-26八年级下·甘肃兰州·期中）如图，直线：与y轴交于点，与轴交于点；直线：经过点和点，且与相交于点D，连接． (1)求直线和的函数表达式； (2)当x取何值时，? (3)求的面积． 12．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，直线与轴负半轴交于点，且． (1)求、的坐标； (2)动点从点出发沿射线以每秒1个单位的速度运动，连接，设点的运动时间为（秒），的面积为，求与的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围； (3)在（2）的条件下，在线段上是否存在点，连接，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知一次函数，下列说法不正确的是（    ） A．图象与x轴的交点坐标是 B．图象经过第一、二、四象限 C．y随x的增大而增大 D．图象与两坐标轴围成的三角形面积为2 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，是线段上任意一点（不包括端点），过点分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为8，则该直线的函数表达式是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知一次函数和，函数和的图象可能是（    ） A．B．C．D． 4．（25-26七年级下·山东淄博·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，小颖根据图象得到如下结论：①在一次函数的图象中，的值随着值的增大而减小；②；③方程的解为；④方程组的解是．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 5．（25-26八年级下·北京·期中）若直线与的交点在第三象限，则的取值范围是______． 6．（2026·辽宁·一模）为响应学校“低碳环保，绿色出行”的倡议，小明选择骑自行车上学，小亮则选择步行上学．一个春日的早晨，两人各自从家中同时出发，沿同一条笔直的道路同向匀速前进，如图，直线，分别表示小明、小亮到小明家的距离s（单位：km）与出发时间t（单位：）之间的关系．根据图象信息，当两人第一次相遇时，出发的时间是_______． 7．（25-26八年级下·山西·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，C分别在x轴，y轴上，点O是坐标原点，点是边上一点，点M、N都是x轴上的动点，若点，（点M在点N的左侧），则最小时，点M的坐标是___________． 8．（25-26八年级下·四川攀枝花·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线交于点C，P在直线上运动，则的最小值为_______． 三、解答题 9．（25-26八年级下·湖南常德·期中）一次函数的图象过，两点． (1)求函数的表达式． (2)试判断点是否在函数的图象上，并说明理由． 10．（2026·河南周口·一模）某文具店购进A、B两种笔记本，已知购进3本A种笔记本和2本B种笔记本共需28元；购进5本A种笔记本和4本B种笔记本共需50元． (1)求A、B两种笔记本的单价； (2)若该文具店准备购进这两种笔记本共100本，且A种笔记本的数量不少于B种笔记本数量的设购进A种笔记本m本，总费用为W元，求W与m的函数关系式，并求最少费用． 11．（25-26八年级下·河南鹤壁·期中）暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下． 方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠． 方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠． 设某学生暑期健身x次，按照方案一所需费用为元，且，按照方案二所需费用为元，且，其函数图象如图所示． (1)求和b的值，并说明它们的实际意义； (2)求的值； (3)八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身，请你根据他的健身次数给他选择哪种方案所需费更少？请说明理由． 12．（25-26八年级下·海南·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，一次函数的图象分别与轴和轴交于点，，作直线． (1)求直线的函数表达式； (2)若是直线上的动点，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)一次函数的图象记为，一次函数的图象，图象、合起来得到的图象记为．当时，求图象所表示的函数的最大值与最小值． 13．（25-26八年级下·宁夏银川·期中）【活动回顾】：八年级下册教材中，我们曾探究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系． 发现：一元一次不等式的解集是函数图象在x轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在x轴上方（或x轴下方）部分的点的横坐标的集合． 【解决问题】： (1)如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是______． (2)如图2，观察图象，两条直线的交点坐标为______，关于x的方程的解是______，关于x的不等式的解集是______． 【拓展延伸】 (3)如图3，一次函数和的图象相交于点A，分别与x轴相交于点和点．结合图象，直接写出关于x的不等式组的解集是______． (4)求图3中的面积（写出计算过程）． 14．（25-26八年级下·福建泉州·期中）定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“不动点”，例如求的“不动点”联立方程，解得，则的“不动点”为． (1)由定义可知，一次函数的“不动点”为________． (2)若直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线上没有“不动点”． ①若点为轴上不与原点重合的一个动点，且，求满足条件的点坐标． ②若P为x轴正半轴上一点，以为腰在左侧作等腰直角，且，连结，当取得最小值时，求点Q的坐标． 15．（25-26八年级下·四川宜宾·期中）如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数交于点，点的横坐标为2． (1)用待定系数法求直线的表达式： (2)如图1，点为轴上一点，若，求点的坐标： (3)如图2，点为线段上一点，连接，将沿直线翻折得到（点的对应点为点），交轴于点．若为直角三角形，请直接写出点的坐标． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十三章 一次函数（复习讲义） 1. 了解一次函数及正比例函数的意义，体会表达式、图象与性质之间的整体联系，明确常数k（决定倾斜方向与增减性）和b（决定与 y 轴交点）的几何意义。 2. 能用待定系数法（设、代、解、写）求一次函数解析式，能根据k>0或k<0判断函数的增减性，并规范画出函数图象。 3. 理解并利用一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的内在联系解决问题，能建立函数模型分析行程、利润、方案选择等实际问题，避免忽略k≠0的条件与建模错误。 知识点01 函数的概念 在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么就说y是x的函数，x是自变量。 知识点02 一次函数的表达式 形如y = kx + b（k，b为常数，k≠0）的函数叫做一次函数。当b = 0时，y = kx（k≠0）叫做正比例函数。 知识点03 一次函数的图象与性质 一次函数y = kx + b的图象是一条直线，可通过两点法（如(0,b)和(- ,0)）画出。当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。b决定直线与y轴的交点(0,b)。 知识点04 一次函数的实际应用 利用一次函数解决实际问题，如行程问题、成本利润问题、方案选择问题等，需先建立函数模型，再结合图象或性质求解。 知识点05 二元一次方程组与一次函数的关系 1）一元一次方程可转化为一般式：ax+b=0 2）一次函数为：y=kx+b的形式；当y=0时，对应的x的值就是一元一次方程的解。 y=0时，x的值，即一次函数与x轴的交点横坐标，就是对应一元一次方程的解 3）每个二元一次方程组都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这时的函数为何值；从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标. 4）两个一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的联系是：在同一直角坐标系中，两个一次函数图象的交点坐标就是相应的二元一次方程组的解，反之也成立. 5）当二元一次方程组无解时，相应的两个一次函数在坐标系中的直线就没有交点，则两个一次函数的直线平行.反过来，当两个一次函数直线平行时，相应的二元一次方程组就无解. 6）当二元一次方程组有无数解时，则相应的两个一次函数在坐标系中重合，反之也成立. 知识点06 利用一次函数的图象得到一元一次不等式的解集 (1)一元一次不等式kx+b>0的解集，一次函数的图象在x轴上方的点的横坐标所组成的集合. (2)一元一次不等式kx+b<0的解集，一次函数的图象在x轴下方的点的横坐标所组成的集合. (3)一元一次不等式k1x+b1>k2x+b2的解集，一次函数y=k1x+b1图象在一次函数y=k2x+b2图象上方的点的横坐标所组成的集合. (4)一元一次不等式k1x+b1<k2x+b2的解集，一次函数y=k1x+b1图象在一次函数y=k2x+b2图象下方的点的横坐标所组成的集合. 题型一 一次函数的图象和性质 【例1】（25-26九年级上·北京·开学考试）已知一次函数，下列说法不正确的是（    ）． A．y随x的增大而增大 B．函数图象不经过第二象限 C．当时， D．函数图象与y轴交点坐标为 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的基本性质，需对一次函数的定义和图象性质熟练掌握是解此题的关键． 【详解】解：A项：一次函数中，，故y随x的增大而增大，故说法正确； B项：（图象上升），（与y轴交于负半轴），图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故说法正确； C项：当时，；因函数递增，故时，故说法正确； D项：与y轴交点，代入得，交点为，而非，故说法错误． 故选：D． 【变式1-1】（24-25八年级下·湖南衡阳·阶段练习）关于直线，下列说法正确的是（   ） A．直线l与y轴交于 B．直线l经过第二、三、四象限 C．y随x的增大而增大 D．点在直线l上 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，一次函数图象经过的象限，求一次函数的函数值，求一次函数与y轴的交点坐标，根据解析式可判断函数经过的象限和增减性，据此可判断B、C；求出和时的函数值即可判断A、D． 【详解】解：∵直线l解析式为，， ∴直线l经过第二、三、四象限，且y随x的增大而减小，故B说法正确，C说法错误； 在中，当时，， ∴直线l与y轴交于点，故A说法错误； 在中，当时，， ∴点不在直线l上，故D说法错误； 故选：B． 【变式1-2】（25-26八年级上·重庆·开学考试）对于一次函数，下列结论正确的是（　　） ①函数的图象与轴的交点坐标是 ②函数的图象经过第一、二、四象限 ③若两点在该函数图象上，且，则 ④函数的图象向上平移1个单位长度得的图象 A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据一次函数图像和性质逐项判断即可． 【详解】一次函数的图象与轴的交点坐标是，故本选项不符合题意； ②一次函数的图象经过第一、二、四象限，正确，故本选项符合题意； ③若两点在该函数图象上， ∵，y随x的增大而减小， ∴时，，不正确， 故本选项不符合题意； ④一次函数的图象向上平移1个单位长度得的图象，故本选项不符合题意． 故选：B． 【变式1-3】（25-26九年级上·陕西西安·开学考试）已知将正比例函数的图象向上平移5个单位长度得到一次函数的图象，下列结论错误的是（   ） A． B．一次函数的图象经过点 C．对于一次函数，当时， D．若点，均在一次函数的图象上，则 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象的平移规律（上加下减）及一次函数的性质（图象上点的坐标特征、函数的增减性），解题的关键是熟练掌握一次函数图象平移规律和增减性，准确验证各选项． 先根据“上加下减”的平移规律确定m的值，得到一次函数解析式；再验证选项A的m值是否正确，选项B中代入点的横坐标看纵坐标是否匹配，选项C中结合和函数增减性判断y的范围，选项D中根据k值判断增减性，再通过横坐标大小比较函数值大小，找出错误结论． 【详解】解：根据一次函数图象“上加下减”的平移规律，正比例函数向上平移5个单位得，故． A、由平移规律计算得，此选项不符合题意； B、将代入，得，故图象经过点，此选项不符合题意； C、∵中，随增大而减小，当时，， ∴时，，此选项不符合题意； D、∵，随增大而减小，又， ∴，此选项符合题意； 故选：D． 题型二 利用一次函数的性质求解 【例2】（25-26九年级上·重庆·阶段练习）若点在一次函数图象上，则 （填，或）． 【答案】 【分析】先根据一次函数的表达式，分别求出点、对应的函数值、，再比较大小．本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握函数图象上的点的坐标满足函数解析式是解题的关键． 【详解】解：∵ 点在图象上， ∴ ． ∵ 点在图象上， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 故答案为：． 【变式2-1】（25-26八年级上·河北衡水·开学考试）如图，一次函数的图象与x轴、y轴的交点分别为A、B，则的长为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了直线与坐标轴的交点，勾股定理，令，则，令，则，可得，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：当时，， ， 即， 当时，， 即， 由勾股定理得，， 故答案为：10． 【变式2-2】（24-25八年级下·湖北武汉·阶段练习）已知函数，当时，y的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的增减性，利用增减性即可求出最大值． 【详解】一次函数中，，y随x增大而减小． 故当时，． 故答案为：． 【变式2-3】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知一次函数． （1）若该函数图象与y轴的交点位于y轴的正半轴，则m的取值范围是 ． （2）当时，函数y有最大值，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数图象与系数的关系是解答本题的关键． （1）根据题意得不等式，解不等式即可得到结论； （2）根据题意得方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵一次函数的图象与y轴的交点位于y轴的正半轴， ∴， 解得：； 故答案为：； （2）在一次函数中， ∵， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，函数y有最大值， ∴当时，，代入得，， 解得：． 故答案为：． 题型三 求一次函数的表达式 【例3】（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）已知一次函数（k为常数，且）的图象经过点. (1)求一次函数的表达式； (2)写出一次函数图象沿y轴向下平移3个单位后的图象对应的函数表达式. 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求一次函数的解析式及一次函数图象的平移规律，熟练掌握求一次函数的解析式及一次函数图象的平移规律是解题的关键． （1）将点的坐标代入计算即可； （2）根据一次函数图象的上下平移规律计算即可． 【详解】（1）解：一次函数（k为常数，且）的图象经过点， ∴， 解得， 即该一次函数的表达式为； （2）解：一次函数图象沿y轴向下平移3个单位后所得图象对应的函数表达式为． 【变式3-1】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）已知与成正比例，且当时，． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)若点在这个函数的图象上，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题综合考查了正比例的定义，函数图象上点的坐标特征．正确理解正比例的定义是解题的关键； （1）根据正比例的定义设，然后把，，代入计算求出值，再整理即可； （2）将点代入（1）中所求的函数解析式求的值． 【详解】（1）y与成正比例 可设， 把，代入得，， 解得， ； （2）若点在这个函数的图象上，则， 解得． 【变式3-2】（24-25八年级下·湖南衡阳·期末）小李以每千克2元的价格购进某种水果若干千克，销售一部分后，根据市场行情降价销售，销售额y（元）与销售量x（千克）之间的关系如图所示． (1)求降价后销售额y（元）与销售量x（千克）之间的函数表达式； (2)当销售量为多少千克时，小李销售此种水果的利润为150元？ 【答案】(1) (2)千克 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． （1）根据函数图象中的数据，可以得到降价后销售额y（元）与销售量x（千克）之间的函数表达式； （2）根据（1）中的函数关系式和题意，可以列出相应的方程，从而可以得到当销售量为多少千克时，小李销售此种水果的利润为150元． 【详解】（1）解：设降价后销售额y（元）与销售量x（千克）之间的函数表达式为， 把点代入得： ， 解得：， ∴降价后销售额y（元）与销售量x（千克）之间的函数表达式为； （2）解：设当销售量为a千克时，小李销售此种水果的利润为150元，根据题意得： ， 解得：， 答：当销售量为180千克时，小李销售此种水果的利润为150元． 【变式3-3】（24-25七年级下·广东佛山·期末）如图1，在长方形中，动点在边上沿的路径匀速运动．的面积与点走过的路程的关系图象如图2所示． (1)你能从图中获取哪些信息？（写出三条不同的信息） (2)探究与之间的关系表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了函数图象的动点问题，利用数形结合思想解答是解题的关键． （1）直接观察函数图象，即可求解； （2）分三段：当点E在边上时，当点E在边上时，当点E在边上时，利用三角形的面积公式解答，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：， ∴， ∴， ； （2）解：当点E在边上时，，此时， ； 当点E在边上时，此时， ∴； 当点E在边上时，，此时， ∴； 综上所述，． 题型四 画一次函数的图象 【例4】（24-25八年级下·山西晋城·阶段练习）下面是画函数的图象的过程． 列表： x … 0 1 … y … ______ ______ ______ … 描点并连线： 请根据上面的信息回答问题： (1)补全表格中y对应的值． (2)在如图所示的平面直角坐标系中，描出表格中对应的点，并画出函数的图象． (3)若点在函数的图象上，求出m的值． 【答案】(1)；；2 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据解析式，计算自变量对应的函数值，解答即可． （2）根据描点法画图象解答即可． （3）根据点在函数的图象上，得点的坐标满足函数的解析式，代入转化为m的方程，解方程求出m的值． 本题考查了坐标与解析式，图象的画法，解方程，熟练掌握坐标与解析式的关系，解方程是解题的关键． 【详解】（1）解：由， 当时，； 当时，； 当时，； 故答案为：    2． （2）解：根据题意，如答图所示， 图象即为所求． （3）解：点在函数的图象上， 将代入， 得． 解得． 【变式4-1】（24-25八年级下·吉林长春·阶段练习）已知，一次函数的图象分别与轴，轴交于点，． (1)请直接写出，两点坐标：：______，：______； (2)在直角坐标系中画出函数图象（不用列表，直接描点、连线）； (3)点是一次函数上一动点，则的最小值为______． 【答案】(1)， (2)画图见解析 (3) 【分析】本题考查了一次函数的图象，一次函数与坐标轴交点问题，勾股定理． （1）根据题目即可求出A、B两点的坐标； （2）根据（1）中A、B两点的坐标即可画出函数图象； （3）先利用勾股定理求出，当与一次函数的图象垂直时，有最小值，再根据等面积法，即可求出的最短距离． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点A、B， ∴当时，， 当时，， ∴A、B两点的坐标为； （2）解：画图如图所示： （3）解：如图，过作于即可； ∴此时最短， ∵A、B两点的坐标为； ∴，， ∴， ∵， ∴； ∴的最小值为：． 【变式4-2】（24-25八年级上·山东济南·期中）已知一次函数 x 1 y (1)将下面的表格补充完整，然后在方格纸上描出下面表格中以x，y的值为坐标的两个点，并画出函数的图象： (2)根据图象回答下面的问题 ①y的值随x的值的增大而______； ②设图象与x轴、y轴的交点分别为点A、点B，则点A的坐标是______； ③原点O到直线的距离为______； 将直线向下平移3个单位长度，得到一个一次函数的图象，则这个一次函数的表达式为：______． 【答案】(1)3；2；函数图象见解析 (2)①减小；②；③；④ 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，函数值，点的坐标的特征，三角形的面积，函数图象平移的特征，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）利用一次函数的解析式解答即可； （2）①利用一次函数图象的性质解答即可； ②依据函数的图象，令，求得值即可； ③求得点坐标，利用勾股定理求得的长度，再利用三角形的面积公式列方程解答即可； ④利用一次函数的图象平移的性质解答即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， ． 故答案为：3；2； 画出函数的图象如下图： （2）解：①根据图象：的值随的值的增大而减小， 故答案为：减小； ②令，则， 点的坐标是． 故答案为：； ③由函数图象可知：， ， ， ， ， 设原点到直线的距离为， ， ， ． 故答案为：； ④将直线向下平移3个单位长度，得到一个一次函数的图象，则这个一次函数的表达式为． 故答案为：． 【变式4-3】（24-25八年级下·湖北十堰·期中）小明在学习中遇到了这样一个问题：探究函数的性质．此函数是我们未曾学过的函数，于是他尝试结合一次函数的学习经验研究此问题． (1)列表： … 0 1 2 3 4 … … 1 a b c 0 1 … 表中 ， ， ； (2)作图：在下面网格中描点并正确地画出该函数图象； (3)观察：观察图象，归纳一下两条性质： 图象关于直线 对称； 根据所画的图形可以发现该函数有最 值（填“大”或“小”），该值是 ； (4)在坐标系中，我们将横、纵坐标均为整数的点称为整点，则该函数图象与直线围成的区域内（不包括边界）整点的个数为 ． 【答案】(1)0；； (2)见解析 (3)1；小； (4)9 【分析】本题考查了一次函数的性质，数形结合思想等知识；画出函数图象并从图象中获取信息是解题的关键． （1）把或1或2代入函数解析式，即可解； （2）描点、连线，在图中画出该函数图象即可； （3）观察图形即可得出结论； （4）根据图象可直接得出结论． 【详解】（1）解：当时，； 当时，； 当时，； 故答案为：0；；； （2）解：函数图象如下图所示： ， （3）解：观察图象得： 图象关于直线对称； 根据所画的图形可以发现该函数有最小值，该值是； 故答案为：1；小；； （4）解：画出直线，根据整点的定义可知，有九个整点． . 故答案为：9． 题型五 一次函数与方程（组）、不等式 【例5】（25-26八年级上·广西贺州·期中）如图，已知直线：与直线：都经过，直线交y轴于点，交x轴于点A，直线交y轴于点D，以下说法错误的是（    ） A．的面积为3 B．方程组的解为 C．点D的坐标为 D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图像和性质，一次函数与二元一次方程组的关系，与不等式的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．A、求得和的长，根据三角形面积计算公式，即可得到的面积；B、根据一次函数图象与二元一次方程的关系，利用交点坐标可得方程组的解；C、依据题意，由直线为可得与y轴的交点坐标，即可得解；D、依据题意得，不等式的解集是直线：的图象在直线：上方对应的自变量的取值范围，结合直线：与直线：都经过，从而可以判断得解． 【详解】解：A．把代入直线，则， 解得， 在中，令，则 ， ∴， ∴， ∵直线经过，交y轴于点， 把，代入得： ， 解得， ∴直线解析式为， 在直线：中，令，则 ， ∴， ∴， ∴，故A正确； B．∵直线：与直线都经过， ∴方程组的解为故B正确； C．由题意，∵直线为， ∴令，则． ∴，故C错误； D．由题意得，不等式的解集是直线：的图象在直线：上方对应的自变量的取值范围， 又∵直线：与直线：都经过， ∴结合图象可得，不等式的解集是，故D正确． 故选：C． 【变式5-1】（25-26九年级上·贵州六盘水·期中）如图，一次函数和的图象交于点． (1)求出______；______． (2)求方程组的解． (3)请直接写出的解集． 【答案】(1)，3 (2) (3) 【分析】本题考查一次函数与二元一次方程组，一次函数与不等式，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键： （1）待定系数法进行求解即可； （2）交点的横纵坐标即为方程组的解； （3）图象法求出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：由图象可知，两直线的交点为， 把代入，得：，解得； 把代入，得：，解得； （2）∵两直线的交点为， ∴方程组的解为； （3）由图象可知：的解集为． 【变式5-2】（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，一次函数的图象与轴分别交于两点，与正比例函数交于点． (1)关于的方程的解是________； (2)关于的二元一次方程组的解为_______，关于的不等式的解集为_______； (3)关于的不等式的解集为_______，不等式的解集为_______． 【答案】(1) (2)； (3)； 【知识点】两直线的交点与二元一次方程组的解、根据两条直线的交点求不等式的解集、由直线与坐标轴的交点求不等式的解集、已知直线与坐标轴交点求方程的解 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数与二元一次方程组，结合图象，利用数形结合思想解决问题是解题的关键． （1）根据一次函数与x轴的交点坐标求出方程的解即可； （2）根据两条直线的交点坐标求出方程组的解即可；根据图象求出不等式的解集即可； （3）根据一次函数与x轴，y轴的交点坐标求出不等式的解集即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象与x轴交于点， 方程的解是； （2）解：两直线的交点坐标为， 关于x，y的方程组的解是； 根据函数图象可知：当时，一次函数的图象的图象在一次函数的上面， ∴于的不等式的解集为； （3）解：根据函数图象可知：当时，一次函数的图象在x轴的上面， ∴关于的不等式的解集为； 根据函数图象可知：当时，一次函数的函数值小于4， ∴不等式的解集为． 【变式5-3】（24-25七年级下·山东烟台·期末）如图，直线：与直线：相交于点，与x轴分别交于A，B两点． (1)求b，m的值，并结合图象写出关于x，y的方程组的解； (2)根据图象，直接写出关于x的不等式的解集； (3)求的面积； (4)垂直于x轴的直线与直线，分别交于点C，D，若线段的长为3，直接写出a的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)2或0 【知识点】一次函数与几何综合、两直线的交点与二元一次方程组的解、根据两条直线的交点求不等式的解集、一次函数图象与坐标轴的交点问题 【分析】本题考查了两条直线相交或平行问题、一次函数图象上点的坐标特征以及解含绝对值符号的一元一次方程，解题的关键是待定系数法求函数解析式． （1）由点在直线上，利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出b值，再将点P的坐标代入直线中，即可求出m值，从而求得P点的坐标，进而求得方程组的解； （2）结合两个函数图象解题即可． （3）先求出点A、B的坐标，然后根据计算面积； （4）由点C、D的横坐标，即可得出点C、D的纵坐标，结合即可得出关于a的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）∵点在直线：， ∴， ∵点在直线：， ∴， ∴， ∴， ∴关于x，y的方程组的解为． （2）由（1）可知：，：， 要使不等式，则的函数图象在函数图象的上面， 结合函数图象可知此时， 故不等式的解集为：． （3）令时，，解得， ∴点A的坐标为， 令时，，解得， ∴点B的坐标为， ∴． （4）当时，；当时，， ∵， ∴， 解得：或． ∴a的值为2或0． 题型六 一次函数的实际应用 【例6】（24-25八年级上·福建漳州·阶段练习）现从，向甲、乙两地运送蔬菜，，两个蔬菜市场各有蔬菜吨，其中甲地需要蔬菜吨，乙地需要蔬菜吨，从到甲地运费元/吨，到乙地元/吨；从地到甲运费元/吨，到乙地元/吨． (1)设地到甲地运送蔬菜吨，请完成下表： 运往甲地(单位：吨) 运往乙地(单位：吨) (2)设总运费为元，请写出与的函数关系式． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了列代数式、一次函数的应用，理解题意是解此题的关键． （1）根据题意填写表格即可； （2）根据题意表示出总费用即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：设地到甲地运送蔬菜吨， 运往甲地(单位：吨) 运往乙地(单位：吨) （2）解：由题意可得： ． 【变式6-1】（24-25八年级上·陕西西安·期末）长城化工厂有化肥1000吨，安秦化工厂有化肥1500吨，现要把化肥运往两家农场，如果从长城化工厂运往农场和农场运费分别是50元/吨与80元/吨，从安秦化工厂运往农场和农场运费分别是30元/吨与44元/吨，现已知农场需要化肥1100吨，农场需要化肥1400吨． (1)如果设从长城化工厂运往农场吨化肥，求此时所需的总运费（元）与（吨）之间的函数关系式（直接写出自变量的取值范围）． (2)如果你是业务经理，请你计算一下怎样调运花钱最少，并求出最少运费． 【答案】(1) (2)当从长城化工厂运往农场1000吨，从安秦化工厂运往农场肥料100吨，从安秦化工厂运往农场1400吨时总运费最少，最少运费是114600元． 【分析】此题考查了一次函数的应用． （1）从长城化工厂运往农场吨化肥，从安秦化工厂运往农场化肥吨，则从安秦化工厂运往农场，据此列出一次函数解析式即可； （2）根据一次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：从长城化工厂运往农场吨化肥， 从长城化工厂运往农场吨化肥， 从安秦化工厂运往农场化肥吨，则从安秦化工厂运往农场吨， （2）由于是一次函数，， 随的增大而减小． ，当时，运费最少，最少运费是114600元， 当从长城化工厂运往农场1000吨，从安秦化工厂运往农场肥料100吨，从安秦化工厂运往农场1400吨时总运费最少，最少运费是114600元． 【变式6-2】（2026·江西·模拟预测）新考法结合函数图象考查一次函数的应用学校计划在某体育用品专营店购买一些体育用品，该体育用品店有如下两种优惠方案： 方案一：办理一张成本价为10元的会员卡，所有商品按原价a折出售； 方案二：一次购买商品总额不超过b元时，按原价付款，超过b元时超过的部分享受七折优惠． 设需要购买的体育用品的原价总额为x元，按方案一购买需付款 元，按方案二购买需付款元，已知 关于x的函数图象如图所示． (1)a的值为 ，b 的值为 ． (2)若选择方案一购买更合算，求x的取值范围． (3)当选择方案一和方案二的实际付款金额相差20元时，求x的值． 【答案】(1)8，100 (2) (3)400 【分析】本题考查了一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）由题意得，再结合图象将代入，得，即可求出a的值；观察函数图象结合题意即可得出b 的值； （2）结合函数图象，可知在上方的部分所对应的x的值即为所求，先得出，当时，，令，解得x的值，再结合函数图象可得答案； （3）当时，，结合题图可知，当时，不存在符合题意的x的值，当时，令，解方程即可． 【详解】（1）解：由题意知， 将代入，得， 解得， 由题图知， 故答案为：8，100； （2）解：由（1）知， 由题意知，当时，， 令， 解得，     结合题图知，当时，选择方案一购买更合算； （3）解：当时，，， ∴此时， 结合题图可知，当时，不存在符合题意的x的值， 当时，令， 解得， 答：当选择方案一和方案二的实际付款金额相差20元时，x的值为400． 【变式6-3】（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）某天早晨，张强从家跑步去体育场锻炼，同时妈妈从体育场晨练结束回家，途中两人相遇，张强跑到体育场后发现要下雨，立即按原路返回，遇到妈妈后两人一起回到家（张强和妈妈始终在同一条笔直的公路上行进）．张强、妈妈两人距家的距离y（米）与张强出发的时间x（分）之间的函数关系如图所示，请结合图象信息，解答下列问题： (1)张强返回时的速度是 米/分；妈妈比按原速返回提前 分钟到家． (2)求张强返回家时，张强离家的距离y（米）与x（分）之间的函数关系式． (3)请直接写出张强出发后与妈妈相距1000米的时间． 【答案】(1)150；10 (2) (3)张强出发分或分或35分后与妈妈相距1000米 【分析】本题考查了一次函数在行程问题中的应用，掌握一次函数的解析式求解是解题关键． （1）直接根据图象求解即可； （2）利用待定系数法解答即可求解； （3）求出直线、的解析式，分三种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：张强返回时的速度是米/分； ∵米， ∴妈妈原来的速度为米/分， 分， 即妈妈比按原速返回提前10分钟到家； 故答案为：150；10 （2）解：观察图象得：点A的坐标为，点C的坐标为 设张强返回家时，张强离家的距离y（米）与x（分）之间的函数关系式为， ∴， 解得：， ∴张强返回家时，张强离家的距离y（米）与x（分）之间的函数关系式为； （3）解：如图， 设直线的解析式为， ∵， ∴点， ∵， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 同理直线的解析式为， ∵张强出发后与妈妈相距1000米， ∴或或， 解得：或或， 即张强出发分或分或35分后与妈妈相距1000米． 题型七 一次函数与几何图形的综合 【例7】（25-26九年级上·黑龙江鹤岗·开学考试）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与轴、轴分别交于点、． (1)求点A、B的坐标； (2)若点在轴上，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 【分析】本题主要考查一次函数的性质及三角形面积，理解题意，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． （1）根据在x轴上点的纵坐标为0，在y轴上点的横坐标为0求解即可； （2）设点的坐标为，根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：在轴上的点，其纵坐标． 把代入，可得， 解得， 所以． 在轴上的点，其横坐标． 把代入，可得， 所以． 所以； （2）设点的坐标为， ∵， ∴，，． ∵， ∴， 解得或， ∴点的坐标为或 ． 【变式7-1】（25-26八年级上·全国·单元测试）已知一次函数的图象分别与x轴、y轴交于点，点C在直线上，其纵坐标为5． (1)点B的坐标为________，点C的坐标为________； (2)在x轴上找一点P，连接，使的值最小，并求出点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，分别令和即可求出点B、C的坐标； （2）将B点关于x轴对称为，将转化为，数形结合即可求出最值时P的位置，求出此时的解析式，令即可求出P的坐标． 本题考查了求一次函数与坐标轴的交点、利用轴对称处理线段之和最小的问题，能够识别这种问题实际上就是“将军饮马”问题是解题的关键． 【详解】（1）解：对于， 令，得， 故点B的坐标为； 令，得， 故点C的坐标为； 故答案为：； （2）解：作点B关于x轴的对称点，连接， ∴，当且仅当三点共线时，等号成立， ∴的最小值为，此时P是与x轴的交点． 设所在直线的表达式为， 根据题意，得， 将①代入②，得， ∴：， 令，则，解得， ∴． 【变式7-2】（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点，动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动． (1)求A、B两点的坐标； (2)求的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式； (3)在M运动过程中，当时，直接写出此时M点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)当时，此时M点的坐标为或． 【分析】本题主要考查了求一次函数值，一次函数与几何图形，全等三角形的性质和判定， 对于（1），由直线l的函数解析式，令求A点坐标，求B点坐标； 对于（2），由面积公式求出S与t之间的函数关系式； 对于（3），当时，可得并得到M点坐标． 【详解】（1）解：对于直线， 当时，；当时，， 则A、B两点的坐标分别为； （2）解：∵， ∴， 当时，； 当时，， 综上，； （3）解：M点的坐标为或； 理由如下： ∵， ∴只需，则， 即， 此时，若M在x轴的正半轴时，M点的坐标为； M在x轴的负半轴，则M点的坐标为， 综上，当时，此时M点的坐标为或． 【变式7-3】（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，边落在轴上，且，动点以个单位每秒的速度从点出发沿射线方向运动，运动时间为．         (1)求点的坐标； (2)在点的运动过程中，连接，设的面积为，用含的代数式表示，并直接写出的取值范围； (3)在点的运动过程中是否存在某一时刻，使是以为斜边的直角三角形？如存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P坐标为 【分析】（1）由勾股定理和已知条件得出，求出，，得出，即可得出结果； （2）分两种情况：①当点P在线段上时，②当点P在射线上时，利用两个三角形等高求解即可． （3）先利用待定系数法求出的解析式，设，由勾股定理得出，解方程求出，进一步即可得出点P的坐标． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， 解得：，或（舍去）， ∴，， ∴， ∴点B的坐标为 （2）解：分两种情况：①当点P在线段上时， 由（1）知：， ∴，， ∵， ∴， ∵和等高， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴， ②当点P在射线上时，即， 同理可得出：， ， ∴ 综上： （3）解：存在，点P坐标为； 由（1）知：，，， ∴，，， 设的解析式为：， 则， 解得， ∴的解析式为：， 设， ∵是以为斜边的直角三角形， ∴， ∵，，， ∴， 解得：， ∴ ∴点P的坐标为． 基础巩固通关测 一、单选题 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列函数中，是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的定义．判断函数是不是一次函数或正比例函数的步骤：（1）等号两边是否为整式，（2）是否具有（k，b为常数，且）的形式，若是，则为一次函数，否则不是一次函数．当时，则为正比例函数． 【详解】解：A项等号右边是关于的二次式，不符合一次函数要求； B项等号右边不是整式，不符合一次函数要求； C项符合一次函数要求，符合题意； D项等号右边是关于的二次式，不符合一次函数要求． 2．（25-26九年级下·安徽六安·月考）对于一次函数，下列结论正确的是（    ） A．它的图象与轴交于点 B．随的增大而减小 C．当时， D．它的图象经过第一、三、四象限 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，先得出它的图象与轴交于点，结合，， 随的增大而增大，它的图象经过第一、三、四象限，且结合当时，则，故，即可作答． 【详解】解：∵一次函数解析式为， ∴令，则，解得， ∴它的图象与轴交于点， 故A选项不正确，不符合题意； ∵一次函数解析式为，其中， ∴随的增大而增大， 故B选项不正确，不符合题意； ∵， ∴它的图象经过第一、三、四象限， 故D选项正确，符合题意； ∵， ∴当时，则， ∴， 即， 故C选项不正确，不符合题意； 3．（25-26八年级下·江西九江·期中）如图，函数与的图象交于点，不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先把点的坐标代入正比例函数解析式求出的值，确定交点坐标，再根据函数图象在交点右侧时的图象在的上方即可得出答案； 【详解】解：∵函数过点， ∴， 解得， ∴交点的坐标为， 由图象可知，当时，函数的图象在函数的图象上方， ∴不等式的解集是． 4．（25-26八年级下·福建福州·期中）直线的图象经过一、三、四象限，则直线的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知函数所经过的象限得出，的取值范围，进而可判断直线的图象所经过的象限． 【详解】解：直线的图象经过一、三、四象限， ，， ， 直线的图象经过二、三、四象限，如C选项所示． 二、填空题 5．（25-26八年级下·河北石家庄·期中）若，是一次函数图象上的两个点，则与的大小关系是______（填，或） 【答案】 【分析】先根据一次函数解析式判断函数的增减性，再比较两点横坐标的大小，即可得到纵坐标的大小关系． 【详解】解：在一次函数中， ， 随的增大而减小. 的横坐标为，的横坐标为，且， . 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）一次函数的图象不经过第二象限，则m的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据一次函数中，当，时，函数图象经过原点和第一、三象限；当，时，函数的图象经过一、三、四象限，据此解答即可． 【详解】解：一次函数的图象不经过第二象限， ， ． 7．（25-26八年级下·北京·月考）直线与直线的图象如图所示，则方程组的解为________． 【答案】 【分析】根据图象读出交点的横坐标，代入已知函数解析式求出纵坐标，即可得到方程组的解． 【详解】解：由图象可知，直线与直线的交点横坐标为 1， 将代入，得， ∴两直线的交点坐标为， ∵方程组可变形为， ∴该方程组的解即为直线与直线的交点坐标， ∴方程组的解为． 8．（25-26八年级下·河北秦皇岛·期中）一次函数，当时，的最大值为5，则的值为__________． 【答案】2或/或2 【分析】本题考查一次函数的增减性，根据一次函数的性质，分和两种情况讨论，确定区间内最大值的位置，列方程求解即可. 【详解】解：函数 是一次函数，则， 当 时，一次函数 随 增大而增大， 当时，函数最大值取在 处， 则 ， 令 ， 解得 ，符合条件； 当 时，一次函数 随 增大而减小， 当时，函数最大值在 处， 则 ， 令 ， 解得 ，符合条件. 三、解答题 9．（25-26八年级下·福建福州·期中）已知直线经过点，． (1)求该直线的函数解析式； (2)求该直线与x轴交点C的坐标； (3)关于x的不等式的解集是________． 【答案】(1)直线的解析式为：； (2)点； (3)不等式的解集为：． 【分析】（1）利用待定系数法把点A，点B代入可得关于k、b得方程组，再解方程组即可； （2）令中，即可求出x的值得到点C的坐标； （3）根据C点坐标可直接得到答案． 【详解】（1）直线经过点，， ， 解得， 直线的解析式为：； （2）令中， 得 解得 点； （3）根据图象可得不等式的解集为：． 10．（25-26八年级下·山东济南·期中）为落实国家科学教育要求，提升校园实验教学质量．某中学计划采购甲、乙两种型号的实验室设备．甲型设备的单价比乙型设备的单价低400元，用60000元购买甲型设备的数量和用72000元购买乙型设备的数量相同． (1)求甲、乙两种型号设备的单价各是多少元； (2)该中学计划购买甲、乙两种型号的设备共20台，且甲型设备的购买数量不超过乙型设备购买数量的3倍，购买甲型设备多少台时采购费用最少？最少采购费用是多少元？ 【答案】(1) 甲型号设备单价为2000元，乙型号设备单价为2400元 (2) 购买甲型设备15台时采购费用最少，最少采购费用为42000元 【分析】（1）设甲型设备的单价为元，则乙型设备的单价为元，利用两种设备购买数量相等建立等量关系求解，即可解题； （2）设购买甲型设备台，总采购费用为元，则购买乙型设备台，先根据题意列出总费用的表达式，结合“甲型设备的购买数量不超过乙型设备购买数量的3倍，”建立不等关系得到自变量的取值范围，再利用一次函数的增减性求解，即可解题． 解题的关键在于找出等量关系与不等关系，列式求解． 【详解】（1）解：设甲型设备的单价为元，则乙型设备的单价为元， 根据题意得： ， 经检验：当时，， 因此是原方程的解，符合题意， 则乙型设备单价为：（元） 答：甲型号设备单价为2000元，乙型号设备单价为2400元； （2）解：设购买甲型设备台，总采购费用为元，则购买乙型设备台， 根据题意得：， 由甲型设备购买数量不超过乙型设备购买数量的3倍，得：， 解得：， 其中为非负整数， 因此且为非负整数， 在一次函数中，，因此随的增大而减小， 因此当时，取得最小值， 最小值为（元）， 答：购买甲型设备15台时采购费用最少，最少采购费用为42000元． 11．（25-26八年级下·甘肃兰州·期中）如图，直线：与y轴交于点，与轴交于点；直线：经过点和点，且与相交于点D，连接． (1)求直线和的函数表达式； (2)当x取何值时，? (3)求的面积． 【答案】(1)：；： (2) (3)15 【分析】（1）利用待定系数法解题即可； （2）先求出点坐标，然后结合图形，可知时，； （3）先求出点，利用即可求出答案． 【详解】（1）解：∵直线：与y轴交于点， ∴， ∴直线的表达式为：； ∵直线：经过点和点， ∴， ∴， ∴直线的表达式为：； （2）解：联立， 解得， ∵直线与相交于点D， ∴点， 结合图像可知时，； （3）解：将代入直线：，得到，解得， ∵直线与轴交于点； ∴点， ∵， ∴， ∴的面积． 12．（25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，直线与轴负半轴交于点，且． (1)求、的坐标； (2)动点从点出发沿射线以每秒1个单位的速度运动，连接，设点的运动时间为（秒），的面积为，求与的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围； (3)在（2）的条件下，在线段上是否存在点，连接，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，请求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，的值为或 【分析】（1）先求直线与坐标轴交点得、，再由算出的坐标； （2）先求出关于的代数式，然后分在的左边和右边两种情况讨论即可； （3）以为直角边的等腰直角三角形，分两种情况：①，=，构造全等三角形，求出的坐标，再把它代入解析式，可求出，②，=,同理构造全等，可求出． 【详解】（1）解： 把代入， ， ， 把代入， ， ， ， ， ， ； （2）解： ， 动点从点出发沿射线以每秒1个单位的速度运动， ， ， ， ， ，且， 当时，， 当时，， 即； （3）解： 存在点，使得是以为直角边的等腰直角三角形，理由如下： 如图1，当时，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点， ， ， ， ， ， ， ，， ， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， ， 解得； 如图2，当时，过点作轴交于点，同理可得， ， ， ， ， 解得 ； 综上所述： 的值为 或 5． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知一次函数，下列说法不正确的是（    ） A．图象与x轴的交点坐标是 B．图象经过第一、二、四象限 C．y随x的增大而增大 D．图象与两坐标轴围成的三角形面积为2 【答案】B 【分析】根据一次函数的性质，交点坐标的求解方法和三角形面积公式，逐个判断各选项的说法，即可找出不正确的结论． 【详解】解：对于一次函数，可得，． ∵当时，，解得， ∴图象与轴的交点坐标是，A说法正确，不符合题意． ∵ ，， ∴一次函数图象经过第一、二、三象限，B说法错误，符合题意. ∵ ， ∴ 随的增大而增大，C说法正确，不符合题意． 当时，，即图象与轴交点为，结合与轴交点， ∴图象与两坐标轴围成的三角形面积为 ，D说法正确，不符合题意． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，是线段上任意一点（不包括端点），过点分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为8，则该直线的函数表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设点坐标为， 点在第一象限，围成的四边形为矩形， ， ， ， 该直线的函数表达式是． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知一次函数和，函数和的图象可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数图像与系数的关系，选定一个函数图象确定系数k，b的符号，看另一个函数图象的位置是否符合． 【详解】当时，与均过一、二、三象限，所以正确，不符合题意； 当时，过一、三、四象限，过一、二、四象限，所以选项不符合题意； 4．（25-26七年级下·山东淄博·期中）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，小颖根据图象得到如下结论：①在一次函数的图象中，的值随着值的增大而减小；②；③方程的解为；④方程组的解是．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】一次函数的增减性由的正负决定，是函数图象与轴交点的纵坐标；一元一次方程的解对应函数图象与轴交点的横坐标；二元一次方程组的解对应两个一次函数图象的交点坐标． 【详解】解：①∵一次函数的图象从左到右呈下降趋势， ∴，的值随着值的增大而减小，结论①正确； ②∵一次函数的图象与轴交于正半轴，的图象与轴交于负半轴， ∴，，故，结论②错误； ③∵一次函数的图象与轴的交点为， ∴当时，，即方程的解为，结论③正确； ④∵两个一次函数的图象交点坐标为， ∴方程组的解是，结论④正确； 综上，3个结论正确． 二、填空题 5．（25-26八年级下·北京·期中）若直线与的交点在第三象限，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】先联立两条直线的解析式得到二元一次方程组，求解得到交点坐标，再根据第三象限内点的横，纵坐标均小于列出不等式组，解不等式组即可得到的取值范围． 【详解】解：联立两条直线解析式得， 解得， ∴直线与直线的交点坐标为， ∵交点在第三象限， ∴， 解第一个不等式，得， 解第二个不等式，得， ∴不等式组的解集为． 6．（2026·辽宁·一模）为响应学校“低碳环保，绿色出行”的倡议，小明选择骑自行车上学，小亮则选择步行上学．一个春日的早晨，两人各自从家中同时出发，沿同一条笔直的道路同向匀速前进，如图，直线，分别表示小明、小亮到小明家的距离s（单位：km）与出发时间t（单位：）之间的关系．根据图象信息，当两人第一次相遇时，出发的时间是_______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的解析式，根据图像列一元一次方程求解；分别求出小亮和小明的路程解析式，再令二者相同，即可求出两人第一次相遇时出发的时间． 【详解】解：设直线的解析式为： ，将点代入， ， 解得.   ∴直线的解析式为. 设直线的解析式为 ，将点 ， 代入，得   ， 解得 ∴直线的解析式为 ， 令 ， 解得， ∴当两人第一次相遇时，出发的时间是 h． 7．（25-26八年级下·山西·期中）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A，C分别在x轴，y轴上，点O是坐标原点，点是边上一点，点M、N都是x轴上的动点，若点，（点M在点N的左侧），则最小时，点M的坐标是___________． 【答案】 【分析】根据是固定长度，要使最小，只需让最小．将点向右平移1个单位得到，此时，问题转化为：在x轴上找一点，使最小．作点关于x轴的对称点，则，连接，其与x轴的交点即为使最小的点．求出直线的解析式，令得，再根据向左平移1个单位，得到． 【详解】解：∵四边形是正方形，点， ∴，点，点． ∵为定值， ∴要使最小，只需使最小． 将点向右平移1个单位，得到点． ∵轴，且， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∴， 作点关于轴的对称点，则． 根据轴对称的性质，， ∴． 根据“两点之间，线段最短”，连接，与轴的交点即为使最小的点，即最小时的点， 设直线的解析式为（， 将、代入，得：， 解得． ∴直线的解析式为． 令，则， 解得， ∴点的坐标为． ∵点在点的左侧，且， ∴点的横坐标为，纵坐标为． ∴点的坐标为． 8．（25-26八年级下·四川攀枝花·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，与直线交于点C，P在直线上运动，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】根据点到直线的距离，垂线段最短，所以当时，的值最小，利用等积法，求出的长即可． 【详解】解：∵直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， 当时，；当时，； ∴， ∴， ∴， ∵直线与直线交于点C，P在直线上运动， ∴直线即为直线， ∵点到直线的距离，垂线段最短， ∴当时，的值最小， 过点作，交于点， ∵， ∴， ∴； 即的最小值为． 三、解答题 9．（25-26八年级下·湖南常德·期中）一次函数的图象过，两点． (1)求函数的表达式． (2)试判断点是否在函数的图象上，并说明理由． 【答案】(1) (2)在函数的图象上，理由见解析 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）将点的横坐标代入解析式求，看是否等于纵坐标即可. 【详解】（1）解：设函数的表达式为， 将，代入表达式， 可得：， 解得， 即； （2）解：在函数的图象上， 理由如下：当时，， 即点在函数图象上． 10．（2026·河南周口·一模）某文具店购进A、B两种笔记本，已知购进3本A种笔记本和2本B种笔记本共需28元；购进5本A种笔记本和4本B种笔记本共需50元． (1)求A、B两种笔记本的单价； (2)若该文具店准备购进这两种笔记本共100本，且A种笔记本的数量不少于B种笔记本数量的设购进A种笔记本m本，总费用为W元，求W与m的函数关系式，并求最少费用． 【答案】(1)A种单价6元，B种单价5元 (2)，最少费用为525元 【分析】（1）设A种笔记本单价为x元，B种为y元，根据购进3本A种笔记本和2本B种笔记本共需28元；购进5本A种笔记本和4本B种笔记本共需50元，列出方程组进行求解即可； （2）根据A种笔记本的数量不少于B种笔记本数量的列出不等式求出的取值范围，根据总费用等于购买两种笔记本的费用之和，列出函数关系式，进行求解即可． 【详解】（1）解：设A种笔记本单价为x元，B种为y元． 由题意，得， 解得； 答：A种单价6元，B种单价5元． （2）解：设购进A种笔记本m本，则购进B种笔记本本， 由题意，解得 ， ∴W随m增大而增大， 故当时，W最小，为525元． 答：函数关系式为，最少费用为525元． 11．（25-26八年级下·河南鹤壁·期中）暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下． 方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠． 方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠． 设某学生暑期健身x次，按照方案一所需费用为元，且，按照方案二所需费用为元，且，其函数图象如图所示． (1)求和b的值，并说明它们的实际意义； (2)求的值； (3)八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身，请你根据他的健身次数给他选择哪种方案所需费更少？请说明理由． 【答案】(1)， 表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡后每次健身费用为15元；表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡的费用为30元 (2) (3)当健身6次时，选择方案一和方案二一样；当健身6次以上，选择方案一合算；当健身6次以下，选择方案二合算，理由见解析 【分析】（1）把点，代入，得到关于和b的二元一次方程组，求解即可； （2）根据方案二每次健身费用按八折优惠，求出的值； （3）根据的函数关系式求出当两种方案费用相等时健身的次数．再分情况讨论． 【详解】（1）解：∵的图象过点，， ∴， 解得， 表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡后每次健身费用为15元， 表示的实际意义是：购买一张学生暑期专享卡的费用为30元； （2）解：由题意可得，打折前的每次健身费用为（元）， ∴ ； （3）解：由题意可知， ，， ∴， 解得 当健身6次时，选择方案一和方案二一样， 当健身6次以上，选择方案一合算， 当健身6次以下，选择方案二合算． 12．（25-26八年级下·海南·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，一次函数的图象分别与轴和轴交于点，，作直线． (1)求直线的函数表达式； (2)若是直线上的动点，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)一次函数的图象记为，一次函数的图象，图象、合起来得到的图象记为．当时，求图象所表示的函数的最大值与最小值． 【答案】(1)； (2)存在点M的坐标为或，使得； (3)最大值为4，最小值为1 【分析】（1）当时，得出点C的坐标为，将点，代入，即可解答； （2）当时，得出点B的坐标为，由点，，得出，，分别讨论，即可解答； （3）由题意得图象的解析式为，分两种情况讨论即可解答． 【详解】（1）解：当时，， ∴点C的坐标为． 将点，代入， 得， 解得， ∴直线的函数表达式为； （2）解：存在． 当时，，解得， ∴点B的坐标为． ∵点，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， 解得，点M的坐标为； 时，， 解得，点M的坐标为． 综上所述存在点M的坐标为或，使得； （3）解：由题意得图象的解析式为， 当时，， 当时，；当时，， ∴； 当时，， 当时，；当时，， ∴； 综上，当，图象所表示的函数的最大值为4，最小值为1． 13．（25-26八年级下·宁夏银川·期中）【活动回顾】：八年级下册教材中，我们曾探究过“函数的图象上点的坐标的特征”，了解了一元一次不等式的解集与相应的一次函数图象上点的坐标的关系． 发现：一元一次不等式的解集是函数图象在x轴上方的点的横坐标的集合． 结论：一元一次不等式：（或）的解集，是函数图象在x轴上方（或x轴下方）部分的点的横坐标的集合． 【解决问题】： (1)如图1，观察图象，一次函数的图象经过点，则不等式的解集是______． (2)如图2，观察图象，两条直线的交点坐标为______，关于x的方程的解是______，关于x的不等式的解集是______． 【拓展延伸】 (3)如图3，一次函数和的图象相交于点A，分别与x轴相交于点和点．结合图象，直接写出关于x的不等式组的解集是______． (4)求图3中的面积（写出计算过程）． 【答案】(1) (2)，， (3) (4) 【分析】（1）结合图象即可求解； （2）通过观察图象求解即可； （3）通过观察图象求解即可； （4）先求出两条直线的解析式，再求出A点坐标，利用三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵的图象经过点， ∴观察图象，不等式的解集是； （2）解：通过观察图象，可得两条直线的交点坐标为； ∵的解为两直线交点的横坐标， ∴方程的解为； 由图象可得，当时，， ∴不等式的解是； （3）解：由题意，直线与x轴交于点， 观察图象可知，当直线在直线上方，且在轴上方时，； 故关于x的不等式组的解集是； （4）解：把代入，得，解得， ∴； 把，代入，得，解得， ∴， 联立，解得， ∴， ∴． 14．（25-26八年级下·福建泉州·期中）定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“不动点”，例如求的“不动点”联立方程，解得，则的“不动点”为． (1)由定义可知，一次函数的“不动点”为________． (2)若直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线上没有“不动点”． ①若点为轴上不与原点重合的一个动点，且，求满足条件的点坐标． ②若P为x轴正半轴上一点，以为腰在左侧作等腰直角，且，连结，当取得最小值时，求点Q的坐标． 【答案】(1) (2)①或；②当取得最小值时，点的坐标为 【分析】（1）根据“不动点”的定义求解即可； （2）①求出直线的解析式，得到，得到，设，求出或，即可得到满足条件的点坐标或；②过点作轴于点，证明，设，则，得到，得出当时，取得最小值，得到点的坐标为． 【详解】（1）解：根据题意得，， 解得， 一次函数的“不动点”为； （2）解：①直线上没有“不动点”， ， ； 令，则，解得， ， 令，则， ， ， 点为轴上不与原点重合的一个动点，设 ， ， ， ， 或， 满足条件的点坐标或； ②过点作轴于点， 是等腰直角三角形，， ， ， ， 在和中，， ， ，， 设，则， ， ， ， 当时，取得最小值，最小值为， 把代入得，， 当取得最小值时，点的坐标为． 15．（25-26八年级下·四川宜宾·期中）如图，在平面直角坐标系中，是坐标原点，直线与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数交于点，点的横坐标为2． (1)用待定系数法求直线的表达式： (2)如图1，点为轴上一点，若，求点的坐标： (3)如图2，点为线段上一点，连接，将沿直线翻折得到（点的对应点为点），交轴于点．若为直角三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2)点M的坐标为或 (3)点N的坐标为或 【分析】（1）先求出点C的坐标，然后用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）设点M的坐标，先求出点，得出，求出，根据列出关于m的方程，解方程即可； （3）分两种情况，或，分别画出图形，利用勾股定理，求出点N的坐标即可． 【详解】（1）解：正比例函数经过点C，点C的横坐标为2， 当时，得：， ∴， ∵直线与轴交于点，与轴交于点，与正比例函数交于点， 设直线的表达式为， 将点和点的坐标分别代入得： ， 解得：， ∴直线的表达式为； （2）解：设点M的坐标， 当时，得：， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：或， ∴点M的坐标为或； （3）解：点N的坐标为或．理由如下： 当时，过点C作轴于点M，过点D作交延长线于点F，如图3， ∵，， ∴， 设点，则，， 根据折叠可得：，， ∵， ∴，四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：或（不合题意，舍去）， ∴此时点N的坐标为； 当时，如图4， 设点，则，， 根据折叠可得：，， ∵， ∴轴， ∴，， ∴，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴此时点N的坐标为：； 综上所述，点N的坐标为或． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $