2026年中考数学重点知识冲刺训练-特殊三角形问题（二次函数综合）

2026年中考数学重点知识冲刺训练-特殊三角形问题（二次函数综合） 1．如图，抛物线与轴的交点分别为和，与轴交于点，连接、，点是线段上，不与点、重合的一个动点，过点作轴，交抛物线于点，交于点，其对称轴与轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)在点的运动过程中，能否使线段？若能，请求出点的坐标，若不能，请说明理由； (3)在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且，P是第一象限内抛物线上一动点． (1)求抛物线的解析式； (2)若点P关于直线的对称点恰好落在直线上，求点P的坐标； (3)动点M，N在直线上，其横坐标分别为m，，设的面积为S，若，设点P的横坐标为t，求t的取值范围． 3．如图，抛物线 与x轴交于、两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是抛物线上第一象限内的动点，连接、，求面积的最大值； (3)在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图1，直线与x轴、y轴分别交于B、C两点，经过B、C两点的抛物线与x轴的另一交点坐标为． (1)求B、C两点的坐标及该抛物线所对应的函数关系式； (2)若点D是该二次函数图象上的一点，且满足（O是坐标原点），求点D的坐标； (3)如图2，P是线段上的一个动点（与B、C不重合），过点P作直线轴，交于点Q，那么在x轴上是否存在点R，使得为等腰直角三角形？若存在，请求出点R的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，抛物线与轴交于点（在的右侧），与轴交于点． (1)分别求出的坐标； (2)在对称轴上是否存在一点，使的周长最小．若存在求点的坐标；若不存在，说明理由； (3)在抛物线的对称轴上存在点，使得是以为腰的等腰三角形，请直接写出点的坐标． 6．已知抛物线的对称轴是直线，与x轴相交于A，B两点（点B在点A右侧），与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式和A，B两点的坐标； (2)如图，若点M是抛物线上B，C两点之间的一个动点（不与B，C重合），过点M作y轴的平行线，交直线于点N； ①设点M的横坐标为m，用含m的式子表示出的长，并求出最大值及此时点M的坐标； ②在满足①线段取得最大值的条件下，在直线上存在点P使为等腰直角三角形，且？请直接写出点P的坐标． 7．已知，如图所示，抛物线与轴交于点和，与轴交于点． (1)抛物线的对称轴是____________． (2)在抛物线的对称轴上，是否存在点，使的值最小？如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由． (3)设点在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点的坐标． 8．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．已知点的坐标是，抛物线的对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式 (2)第一象限内的抛物线上有一动点，使的面积最大，求点的坐标和面积的最大值． (3)对称轴与轴交于点，在对称轴上找一点，使为直角三角形，求点的坐标． 9．已知抛物线经过三点，直线l是抛物线的对称轴． (1)求抛物线的函数解析式及其对称轴． (2)设点P是直线l上的一个动点，当最小时，求P点坐标． (3)在抛物线上存在一点Q，使，求点Q的坐标． (4)在直线l上是否存在点M，使为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由． 10．如图，已知二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D为抛物线的顶点，求的面积； (3)抛物线上是否存在点P，使是以为底的等腰三角形，若存在求出P点坐标，若不存在说明理由： (4)在第一象限的抛物线上是否存在点N，使点N到的距离最大，若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由． 11．如图1，在平面直角坐标系中，是抛物线的对称轴上一点，且抛物线与轴的交点坐标为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)设点C在对称轴右侧的抛物线上，点D在x轴上，若是以P为直角顶点的直角三角形，且，求点D的坐标； (3)如图2，A，B是抛物线上的两个动点（点A在点B的左侧），点A，B，P在同一直线上，过点作y轴的垂线l，交直线于点Q，是否存在实数m，使得总成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 12．如图，抛物线 经过点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是抛物线上的动点，过点P作轴于点D，交直线于点E，当点P在第一象限时，求线段的最大值； (3)在（2）的条件下，当取得最大值时，在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 13．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A，与y轴交于点D，与x轴交于点．是上的动点，设点P的横坐标为，过点P作直线轴． (1)求抛物线的函数表达式及点A、D的坐标； (2)如图2，连接，直线l交直线于点M，连接交于点N，求的长（用含m的代数式表示）及的最大值； (3)在点P运动过程中，将抛物线沿直线l对称得到抛物线，与y轴交于点E，F为上一点，试探究是否存在点P，使是以D为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1)； (2)能， ； (3)点的坐标为：或或或． 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到等腰三角形的性质、线段长度的表示方法等，分类求解是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2），而直线和x轴的夹角为，则，即可求解； （3）当时，列出等式，即可求解；当或时，同理可解． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：， 则， 解得：， 则抛物线的表达式为：； （2）解：能，理由： 由抛物线的表达式知，点， 由点、的坐标得，直线的表达式为：，直线和轴的夹角为， 设点，则点， 则， ∵直线和轴的夹角为，， 则， 解得：， 即点的坐标为：； （3）解：存在，理由： 设点，而点， 则，，， 当时， 则， 解得：； 当或时， 同理可得或， 解得：（舍去）或6或或， 即点的坐标为：或或或． 2．(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）将沿直线翻折，得到，则直线与第一象限内抛物线的交点即为P，根据，可得，从而得到，进而得到，再求出直线的解析式，即可求解； （3）过点P作轴，交于点E，求出直线的解析式为，再由，可得，从而得到，再由点M，N的横坐标分别为m，，可得，从而得到，再由二次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为，， ∴点，， 将点代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为 （2）解：将沿直线翻折，得到，则直线与第一象限内抛物线的交点即为P． 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线， 联立， 解得，， ∴点； （3）解：过点P作轴，交于点E． 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵设，则， ∴， ∵点M，N的横坐标分别为m，， ∴， ∴， 当时，，解得或； 当时，，解得或． ∴当时，t的取值范围是或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式理解坐标与图形性质是解题的关键． 3．(1) (2) (3)存在，点P的坐标为或或或 【分析】（1）把，代入即可求解； （2）设，过点作轴于点，根据即可求解； （3）设，分三种情况：，，即可求解． 【详解】（1）解：把，代入得， ，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：设，过点作轴于点， 由抛物线的解析式， 令时，， ∴， ∴， ∵，，且点在第一象限， ∴，，，， ∵ ， ∵， ∴当时，的面积的最大值为． （3）解：设， 当时，如图， ∵，， ∴， ∴， 解得，， ∴或， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴在直线上，不能构成三角形，不符合题意，舍去， ∴； 当时，如图， 由可知， ∴， 解得， 或； 当时，如图， ∵，，， ∴， 解得， ∴； 综上所述，点的坐标为或或或． 4．(1)，，抛物线的解析式为 (2)点的坐标为或 (3)存在，点R的坐标为或或 【分析】（1）先求出B、C两点的坐标，再利用待定系数法求出二次函数的解析式即可得解； （2）连接，求出，作轴于，设，则，，结合计算即可得解； （3）求出直线的解析式为，直线的解析式为，设，则，求出，分两种情况：当是等腰直角的直角边时；当是等腰直角的斜边时，分别求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，，当时，，解得， ∴，， 设抛物线的解析式为， 将，，代入解析式可得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：如图，连接， 由（1）可得：，， ∴， ∵， ∴， 作轴于， 设，则，， ∴， 解得：或（与点重合，不符合题意）或， 当时，，即， 当时，，即； 综上所述，点的坐标为或； （3）解：存在， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵P是线段上的一个动点（与B、C不重合），过点P作直线轴，交于点Q， ∴设，则点的纵坐标为， 在中，当时，，解得， ∴， ∴， 当是等腰直角的直角边时，则， 解得：， 此时当为直角边时，的坐标为， 当为直角边时，的坐标为； 当是等腰直角的斜边时，， 解得：， ∴， ∴， ∴的坐标为； 综上，点R的坐标为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数综合—角度问题，二次函数综合—特殊三角形问题，一次函数与几何综合，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 5．(1) (2)存在， (3) 【分析】（1）用待定系数法求函数的解析式即可； （2）由对称性可知当B、C、Q三点共线时，的周长最小，求出直线与对称轴的交点即为所求点Q； （3）设，而可得；；，再由等腰三角形的边的关系分类讨论即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点 ∴当时，； ∴ ∵抛物线与轴交于点（在的右侧）， ∴ 解得： ∴ ∴ （2）存在； 如图；连接与对称轴交于点；连接 ，此时的周长最小； ∵ 设直线的解析式为：， ∴ 解得： ∴直线的解析式为：， ∵抛物线的对称轴为直线： ∴当时，代入得： ∴ （3）设，而 ∴；； ∵是以为腰的等腰三角形 ∴①当时，则；解得 当时，在一条直线上，故舍去； ∴ ②当时，则 ；解得： ∴；. 综上所述：点坐标为；；. 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，求函数解析式，等腰三角形的性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，利用轴对称求最短距离，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 6．(1)，点A的坐标为，点B的坐标为 (2)①，的最大值是4，此时点的坐标为；②存在， 【分析】（1）由抛物线的对称轴是直线，解出的值，即可求得抛物线解析式，令其值为零，解一元二次方程即可求出和的坐标； （2）①易求点的坐标为，设直线的解析式为，将，代入，解出和的值，即得直线的解析式；设点的坐标为，则点的坐标为，表示出的长得出关于的二次函数，从而求得其最值及此时点的坐标； ②当线段取得最大值的条件时，直线为，设点P，结合两点距离公式列方程求出满足的点坐标，再由勾股定理的逆定理判定是否是直角三角形，从而求解． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴是直线， ，解得， 抛物线的解析式为：． 当时，，解得，， 点的坐标为，点的坐标为． ∴抛物线的解析式为：；点的坐标为，点的坐标为； （2）解：①当时，， 点的坐标为． 设直线的解析式为，将，代入得： ，解得， 直线的解析式为． 设点的坐标为，则点的坐标为， ， 当时，的最大值是4， 点是抛物线上、两点之间的一个动点（不与、重合）， ， 此时点的坐标为． 用含的式子表示出的长为，的最大值是4，此时点的坐标为； ②当最大值取最大值时，点的坐标为，点的坐标为， ∴直线为， 设点P为， ∵点 ，，， ∴， ∴， 解得：， 当时，点， 此时，， 不是直角三角形， 当时，点， 此时， ∴， 是等腰直角三角形且， 综上所述：存在，使是等腰直角三角形且. 【点睛】本题为二次函数综合运用题，涉及到一次函数、二次函数的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是充分掌握分类讨论的思想，对（2）要分类求解，避免遗漏． 7．(1)直线 (2)存在，点的坐标为 (3)点的坐标为或 【分析】考查知识点：二次函数的对称轴、轴对称的最短路径问题、直角三角形的分类讨论（勾股定理）．利用抛物线与x轴交点求对称轴；通过轴对称转化线段和，结合一次函数求最短路径点；对直角三角形分三种情况，用勾股定理列方程求解．解题关键：熟练掌握抛物线对称轴公式，灵活运用轴对称性质解决最短路径问题，准确分类直角三角形的直角顶点并应用勾股定理．易错点：求对称轴时忽略公式应用；最短路径问题中找不到对称点的转化关系；直角三角形分类讨论时漏解． （1）根据抛物线与x轴交点、，利用对称轴公式，直接计算得对称轴为直线． （2）因为A、B关于对称轴对称，所以，则．连接，其与对称轴的交点P即为使最小的点．先求，再求直线的解析式，将代入得． （3）设，分别表示出、、的长度．分、、三种情况，根据勾股定理列方程求解，得到点M的坐标． 【详解】（1），， ， ∴直线． （2）连接交抛物线对称轴于点，此时取最小值，如图1所示． 当时，有， 点的坐标为． 设直线的解析式为， 将代入中，得：， 解得， 直线的解析式为． 抛物线的对称轴为直线． 当时，， 当的值最小时，点的坐标为． （3）解：设点的坐标为， 则， 分三种情况考虑： ①当时，有， 即， 解得：， 点的坐标为或； ②当时，有， 即， 解得：， 点的坐标为； ③当时，有， 即， 解得：， 点的坐标为． 综上所述：当是直角三角形时， 点的坐标为或． 8．(1) (2)，面积的最大值为； (3)或 【分析】（1）由抛物线的对称性质可求得点B的坐标为，则可得抛物线解析式为，展开后比较常数项即可求得a的值，从而求解； （2）过点P作轴于点E，交于点F，先求出直线的解析式，设，则可得点F的坐标，从而求得，由可得关于m的二次函数，利用二次函数的性质即可求解； （3）分两种情况：当时；当时，即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是直线，，两点关于对称轴对称，且， ∴， 则得， 展开得：， ∴， ∴， 即抛物线的解析式为； （2）解：如图，过点P作轴于点E，交于点F， 在中，令，得， 即， 设直线的解析式为， 把B、C两点的坐标分别代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 设，其中，则可得点F的坐标为， ∴， ∵ ， ， 当时，取得最大值， 则， ∴此时点P的坐标为； （3）解：①当时； 此时点M与点C的纵坐标相同， ∴； ②当时，如图， 设，其中， ∴，， ∵， ∴由勾股定理得：， 即， 解得：， 故， 综上，点M的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，二次函数的最值，勾股定理等知识，掌握二次函数的图象与性质是关键． 9．(1)，对称轴为直线 (2) (3)或 (4)存在，点M的坐标为，，， 【分析】（1）根据点A与点B的坐标将抛物线解析式设为交点式，再将点C的坐标代入抛物线解析式，求出未知参数，写出抛物线的解析式，再求对称轴即可． （2）根据抛物线解析式求出直线l的解析式，点A与点B关于直线l对称，连接交直线l于点P，此时的值最小，求出所在直线的解析式，求出直线BC与直线l的交点即可． （3）设，根据列方程求出，结合的顶点坐标为取，代入函数解析式求出x的值即可； （4）设点，分类讨论：①，②，③，分别用含m的式子表示出，再分别根据：①，②，③列方程求出m的值即可． 【详解】（1）设抛物线解析式为， 将点C坐标代入解析式得：， 解得， ， 抛物线对称轴为直线． （2）∵点A与点B关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴当点B，P，C共线时，的值最小． 设直线解析式为， 将点B的坐标代入直线解析式可得： ， ， ，     令， ． （3）∵， 设， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵的顶点坐标为， ∴， ∴， 解得， ∴或； （4）存在，理由如下： 作垂直于直线l交直线l于点H，则， 设， 则， ， ， ①若，则， ， 解得：， ∴点M的坐标为； ②若，则， ， 解得： ， ∴点M的坐标为，； ③若，则， ，     解得：或6， 设直线解析式为， 将点A坐标代入直线解析式得：， 解得：， 直线解析式为， 令， 当时，点M在直线上，点A、C、M不能构成三角形，故舍去， ， 点M的坐标为． 综上，符合条件的点M的坐标为：，，， ． 【点睛】本题为二次函数综合题，主要考查二次函数解析式的求解、轴对称以及等腰三角形的性质，本题关键在于：①设抛物线解析式为交点式求解更为快捷；②要求两线段之和最小，一般可以结合轴对称分析；③分类讨论，将两边长相等转化为两边长的平方相等求解更为简便，需要注意的是要对所求的m值验证，进行取舍． 10．(1) (2)3 (3)或 (4) 【分析】（1）运用待定系数法将，代入，即可求解； （2）先求出点的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，运用配方法将抛物线解析式化为顶点式即可求得顶点坐标，过点作轴交直线于点，求得，利用，即可求得答案； （3）由（2）得，当以为底的等腰三角形，得出，则点在上，联立抛物线解析式解方程组即可求解． （4）将直线向上平移个单位，使其与抛物线只有一个交点，则平移后解析式为，联立和得：，令，求出，再解方程求出，即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，， ，解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：在中，令，则：， ， 设直线的解析式为， ， ， 解得：， 直线的解析式为， ， ， 过点D 作轴交直线于点E ， ， ， ． （3）解：， ， 则是等腰直角三角形， ∴当是以为底的等腰三角形，则， ∴在的角平分线上，即上， 联立得， 解得： 或， 或． （4）解：∵直线的解析式为， 将直线向上平移个单位，使其与抛物线只有一个交点， 则平移后解析式为， 联立和得：， 整理得：， ∴， 解得：， 则平移后解析式为，， ∴， ∴． 11．(1) (2) (3)存在实数，使得总成立，理由见解析 【分析】（1）由题意可知抛物线的对称轴为直线，可求的值，再将点代入，即可确定函数的解析式； （2）设对称轴与轴的交点为，过点C作交于点，则，能得到，，设，，则，，即可求； （3）过点作交于点，过点作交于点，设对称轴与的交点为，由题意可知，再由，则，设直线的解析式为，当时，，，求出，，可得等式，整理后可得． 【详解】（1）解：是抛物线的对称轴上一点， 抛物线的对称轴为直线， ， 解得， 抛物线的解析式为， 将点代入， ， 抛物线的解析式为； （2）解：设对称轴与x轴的交点为G，过点C作于点H，如图 ， ， ， ， ， ， ， 由，得，， ∴， 设，，则 ， ∴或（舍去)，， 解得或， 当时， ， 有， ， 即，不符合题意，舍去； ∴，即． （3）解：存在实数，使得总成立，理由如下： 如图2，过点作交于点，过点作交于点，设对称轴与的交点为， ， ， ， ， 设直线的解析式为， 当时，，， ，轴， ，， ， ， ， ， ， 解得， ∴存在实数，使得总成立． 12．(1) (2) (3)存在，点Q的坐标为或或或或． 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）由点B，C坐标求出直线解析式，设点P坐标为，则，求出的关系式，运用二次函数的性质可得结论． （3）求出函数图象对称轴为，设，求出，，，，分三种情况列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为， 将点、代入，得，解得， ∴直线的解析式为， 设点P坐标为，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； （3）解：∵ ∴抛物线的对称轴为直线， ∵当时，有最大值， ∴， 设点Q的坐标为， ∵、， ∴； ； ， 当即时，，即， 解得， ∴点Q的坐标为或； 当即时，， 解得或， ∴点Q的坐标为或； 当即时，， 解得， ∴点Q的坐标为． 综上所述，点Q的坐标为或或或或． 13．(1)；点A的坐标为；点的坐标为 (2)； (3)或或． 【分析】（1）利用待定系数法求出对应的函数解析式，再把解析式化为顶点式可得点A的坐标，求出时，y的值即可得到点D的坐标； （2）求出直线的函数表达式为，根据题意可得，则，，证明，得到，据此可得答案； （3）根据题意可得抛物线的解析式为，则；根据等腰直角三角形的定义可得，则；当点E在点D下方时，则，则或，且要满足；把点F的坐标代入中解方程即可得到答案；同理求出当点E在点D上方时m的值即可得到答案 【详解】（1）解：将点B和点C的坐标代入得 解得 ∴抛物线的函数表达式为， ∴点A的坐标为； 在中，当时，， ∴点的坐标为； （2）解：设直线的函数表达式为， ，解得 ∴直线的函数表达式为， 把代入，得， ， ∵直线轴， ∴， 把代入，得 ， ． ， ． ∵直线轴，即， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； （3）解：由（2）可知，， ∴直线l的解析式为； 设点为抛物线上的一点， ∵点关于直线的对称点的横坐标为，纵坐标为， ∴点是抛物线上的一点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， 在中，当时，， ∴； ∵是以D为直角顶点的等腰直角三角形， ∴， ∴轴， ∴， 如图所示，当点E在点D下方时，则， ∴或， ∵， ∴或， ∴； 当时，则， ∴， ∴， ∴或， 解方程得（此时点D和点E重合，舍去）或（此时点D和点E重合，舍去）， 解方程得或（不满足，舍去）， ∵， ∴ ∴， ∴点P的坐标为； 当时，， ∴， ∴， ∴或， 解方程得（此时点D和点E重合，舍去）或（此时点D和点E重合，舍去）， 解方程，（舍去）或（舍去）； ∴此种情况下，点P的坐标为； 如图当点E在点D上方时，同理可得只有和满足题意，即满足， ∴， ∴， ∴， ∴此种情况下，点P的坐标为或； 综上所述，点P的坐标为或或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $