精品解析：山东泰安市肥城市2026年高考适应性训练数学试题（二）

试卷类型：A 2026年高考适应性训练 数学试题（二） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以， ， ， 所以在复平面内对应的点位于第一象限. 2. 若，下列选项中，使成立的充分不必要条件为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解不等式，得， 则不等式的解集为， 记使不等式成立的充分不必要条件为集合， 则集合为集合的真子集， 所以集合. 3. 已知变量，具有线性相关关系，5组样本数据如下： 1 2 3 4 5 2 3 6 若其线性回归方程，且满足，则的值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】求出，再计算得到，得到与的另一个式子，联立可解 【详解】，代入回归方程得： ，联立得． 4. 已知圆与圆至少有三条公切线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出圆心和半径，再结合公切线的条数得到两个圆的位置关系，进而建立不等式，求解参数范围即可. 【详解】由题意得圆心，半径，，， 因为两圆至少有三条公切线，所以两圆位置关系为外切或外离， ，， 即，解得， 则的取值范围为． 5. 某地区气温（单位：℃）与海拔（单位：）之间的关系可以由近似描述，其中为地面温度，为常数．已知某时段该地区海拔为3（即）、5（即），两处的气温分别为、．下表为该地区不同时段平均地面温度的范围，则此时该时段为（ ） 时段 早晨 中午 傍晚 夜晚 （参考数据：，） A. 早晨 B. 中午 C. 傍晚 D. 夜晚 【答案】A 【解析】 【分析】结合题意得到，进而求解方程得到，最后判断时段即可. 【详解】已知，代入两组数据， 两式相除消去，得，所以， 代入，得， 所以，两边取对数得 ， 代入数据得， 所以，所以此时间段为早晨． 6. 已知数列（非常数列）前项和为，为等差数列，，且，，成等比数列，则的值为（ ） A. B. 81 C. 80 D. 90 【答案】C 【解析】 【详解】因为为等差数列，且首项为：，设公差为 则，所以 则，， 因为，，成等比数列，所以， 所以，解得或 当时，，，因为非常数列，所以舍去． 当时，，所以． 7. 已知三棱锥，平面，，，，三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合题意与棱锥的体积公式得到，，再作图确定球心的位置，利用勾股定理求解球的半径，最后求解表面积即可. 【详解】设，则，， 所以的面积， 而三棱锥体积． 所以解得，即，， 如图，取中点，过作平面的垂线，即平面， 所以，所以球心在直线上， 连接，，所以（为外接球半径）， 取中点，连接，得到， 又因为，所以四边形为矩形， 所以，， 由勾股定理得， 得到表面积． 8. 已知偶函数，对于，都有成立，且任取，都有，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性和对称性推理出周期，进而结合奇偶性得到单调性，将目标函数均转化至同一区间内，最后比较大小即可. 【详解】由题意得，都有成立，则函数图象关于点对称， 为偶函数，的图象关于对称，即， 若，则， 可得，而， 化简得，周期， 而任取，， 在上单调递减， 为偶函数，在上单调递增， 函数图象关于点对称， 故在上单调递增，在上单调递减， 则， ，， 因为，所以． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，平行六面体的底面是菱形，以顶点为端点的三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是，为与的交点，则（ ） A. B. C. 四点共面 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用空间向量的加法法则结合模的性质判断A，利用空间向量的加法法则并结合题意判断B，根据异面直线的性质得到四点不共面判断C，利用空间向量的减法法则和数量积的运算律判断D即可. 【详解】选项A，在平行六面体中，可得， ，故A正确； 选项B，，故B正确； 选项C，由，平面可知，平面， 从而为异面直线，四点不共面，故C错误； 选项D，由于，可得 ，故D正确． 10. 已知直线与抛物线交于，两点，是抛物线的焦点，则下列判断一定正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 过点作直线的垂线，垂足为点，为原点，则，，三点共线 D. 直线，（为坐标原点）的斜率之积为 【答案】AC 【解析】 【分析】联立方程组并结合韦达定理得到，，，利用焦点弦公式判断A，利用焦半径公式判断B，分别求出对应直线的斜率，再判断C，D即可. 【详解】如图，作出符合题意的图形， 设，，联立，得， 由韦达定理得，，， 选项A，当时，，联立得，， ．故A正确， 选项B，由题意得． ，故B错误， 选项C，由题意知，则，， ，，则，，三点共线．故C正确， 选项D，由题意得，得到．故D错误. 11. 记的内角，，的对边分别是，，，已知，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的面积最大值为 C. 的一个可能值为 D. 外接圆面积可能是 【答案】ABC 【解析】 【分析】A将条件变形后，根据两角和差的正余弦公式化简，或即可；B利用基本不等式以及面积公式即可；C利用余弦定理得出，再求解一元二次函数的值域；D利用正弦定理求出外接圆半径的取值范围. 【详解】选项A，方法一：， 得到 所以 所以 ， 所以， 因为，所以，所以， 因为，所以，所以A正确； 方法二： 所以 所以 因为，所以，所以， 因为，所以，即，所以A正确； 选项B，因为，所以，当且仅当时，等号成立， 所以，所以B正确． 选项C，因为 ， 又因为，所以，所以，所以C正确． 选项D，设外接圆半径为， 因为，，所以，则， 所以外接圆面积的取值范围为，故D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数则__________． 【答案】## 【解析】 【分析】利用分段函数解析式先求，再求的值. 【详解】因为， 所以， 所以. 故答案为：. 13. 已知数列满足点在直线上，数列的前项和为，则的最小值为______． 【答案】15 【解析】 【分析】由题意求出，进而判断其为等差数列，然后根据等差数列求和公式求出，最后将目标式合理转化，进而结合基本不等式求解最值即可. 【详解】数列满足点在直线上，， ， 数列是首项为，公差为的等差数列， ，， 则，当且仅当，即时等号成立， 的最小值为15． 14. 某公园计划建造一个如图所示的花圃，每个小格的土地种植玫瑰、百合、郁金香三种花中的一种，且每个小格相邻（有公共边）的所有小格中恰有两格与该小格均为同类花，则所有的种植方案共有______种． 【答案】24 【解析】 【详解】方法一：记三种花分别为，，．4个角有2个格相邻（），边上中间8个格有3个格相邻（），中间4个格有4个格相邻（）． 方格具有对称性，且，，等价，所以分为与（与）先行讨论． ①4个边上都为1种花色，且只能为1种花色，所以图中共有2种花色，此时共有种种植方案． ②一组对角为，一组对角为，花色并无影响，故可将其视为4个的小块． （i）的两个小块为同一种花色，如，共3种组合；又与为2种不同的组合，所以共有种种植方案． （ii）的两个小块为不同种花色，如，共6种组合；又与为2种不同的组合，所以共有种种植方案． 综上所述，共有种种植方案． 方法二：记三种花分别为，，，所有组合如下： 共有种． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 2 0 （1）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并求的解析式； （2）将函数的图象向左平行移动个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象．若图象的一个对称中心为，求在上的值域． 【答案】（1） 0 0 2 0 0 （2） 【解析】 【分析】（1）结合题意建立方程求解出关键数据，最后得到解析式即可； （2）按照题意对函数进行变换并结合对称中心得到，最后利用正弦函数的性质求解值域即可. 【小问1详解】 根据表中已知数据，解得， 因为，所以解得，， 数据补全如下表： 0 0 2 0 0 函数表达式为； 【小问2详解】 由（1）知， 将函数的图象向左平移个单位后得到， 再将得到图象上各点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变， 得到， 若图象的一个对称中心为， ，解得，， 由可知，当时，， 因此；因为，所以， 故在上的值域为. 16. 在斜三棱柱中，，，为菱形，，，为中点． （1）证明：平面； （2）线段上是否存在一点，使二面角为，若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 法一：如图，连接，交于， 取中点，连接，． 为中点，且， 又且，且， 所以四边形为平行四边形，，， 平面，平面， 平面． 法二：如图，连接，交于，连接． 分别为中点，， 平面，平面， 平面． （2）不存在，理由： 四边形为菱形，，又， 为等边三角形，为中点，， 又，，，平面，平面， ，又，，，平面， 平面， 如图，以为原点，在平面内过点作的平行线为轴， 所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系． 得，，， ，，， ． 设，，， ，， 设平面法向量，且，， ，令，解得， ，而设平面法向量， 则，由题意得二面角为， 得到，化简得 ． 故不存在点满足二面角等于． 【解析】 【分析】（1）法一作出符合题意的图形，结合中位线定理得到四边形为平行四边形，进而得到，最后利用线面平行的判定定理求解；法二直接利用中位线定理证明，最后利用线面平行的判定定理求解即可. （2）结合题意与线面垂直的判定定理得到平面，再建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，结合二面角的向量求法建立方程，求解参数，最后判断点的存在性即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 已知函数． （1）当时，判断的单调性； （2）若有两个极值点． （i）求实数的取值范围； （ii）证明：． 【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减； （2）（i）； （ii）由（i）不妨令，由，得， 两式相减得，即， 要证，即证，即证， 即证，令，则即证， 令函数，求导得， 函数在上单调递增，因此，即， 所以. 【解析】 【分析】（1）把代入，利用导数求出函数的单调区间即可. （2）（i）利用极值点的意义，分离参数并构造函数，求出直线与函数图象有两个交点的范围即可；（ii）由零点意义可得，再利用分析法及不等式性质，换元并构造函数，利用导数推理得证. 【小问1详解】 当时，函数的定义域为，求导得， 由，得；由，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 （i）函数的定义域为，求导得， 由函数有两个极值点，得有两个不等的正实根， 令函数，因此直线与函数的图象有两个不同的交点， 求导得，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 而，当时，，当时，， 当且仅当时，直线与函数的图象有两个不同的交点， 所以实数的取值范围是. （ii）略 18. 设双曲线：的一条渐近线方程的斜率为，其左、右焦点分别是，，过的直线与双曲线的右支交于点，．当与轴垂直时，． （1）求双曲线的标准方程； （2）求的最小值； （3）记的内切圆与双曲线的一个公共点为，双曲线的左顶点为，证明：． 【答案】（1） （2）9 （3） 如图，设与边切于点， 由双曲线的定义及内切圆切线长相等的性质得， ， 即点与点重合，即与边切于点． 设与边切于点，则， 在中，． 设点，点，则， 解得，即点在直线上． 过点作直线的垂线，交直线于点， 其中，， 设点关于直线的对称点为点，所以． 因为点与点，点与点分别关于直线对称， 所以，且， 所以点，，均在上，且， 所以． 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的概念，以及线段的长度，求出双曲线的参数，写出双曲线方程即可. （2）根据向量数量积的坐标表示，设出点的坐标，和直线方程，联立方程组，根据韦达定理，求出向量数量积的表达式，根据函数单调性，求出最大值即可. （3）根据内切圆的性质，求弦长表达式，进而判断角的关系. 【小问1详解】 由题意知, 在中，当时，， 故，即, 又因, 联立方程组得，解得， 故双曲线的标准方程为． 【小问2详解】 由（1）得，当直线的斜率为0时，直线与双曲线的两个交点分别在左支和右支，不符合条件． 当直线的斜率不为0时，设直线的方程为，设，， 联立方程组得，化简得， 可知， 则，解得， 则， 因，则，故，即． 故的最小值为9． 【小问3详解】 略 19. 在信道内传输仅含0和1两种数字的位数据信号，例如．数据传输时要经过个信号站，每经过一个信号站，每位数字0传错为1的概率为，传对为0的概率为；每位数字1传错为0的概率为，传对为1的概率为，其中．在各次传输过程中，数据中各数字相互独立，且传输中无其它错误发生．信号经过个信号站传输后的信号为，设与完全相同的概率为，与中有个对应位置数字取值相等． （1）若，，求的分布列； （2）若，证明：的数学期望与无关； （3）若，且，证明：． 【答案】（1） 0 1 2 3 （2） 考虑用递推来找规律． 设表示次传输后，某位数上的1保持不变的概率；设表示次传输后，某位数上的0保持不变的概率，则．下面开始递推： 第次传输后，若1还是1，有可能是； ①上一次是0，0传错成了1；②上一次是1，1传对成了1． 所以； 因为，所以， 第次传输后，若0还是0，有可能是： ①上一次是0，0传对成了0；②上一次是1，1传错成了0． 所以， 即，． 所以当时，某一位数保持正确的概率与传播次数无关， 所以与无关． （3） 由递推公式， 按照求数列通项公式的方式变形，可得， 所以． 同理． 所以， ． 设原信号有位是0，其余位是1，则 ． 【解析】 【分析】（1）先考虑每一位的变化情况的分布情况，然后计算整个数据对应的分布列； （2）利用递推来找规律，可得，，即可证明结论； （3）由（2）可得，，得到的公式，再根据相应的公式求解结论. 【小问1详解】 传输两次后，1还是数字1，包括两种情形：或， 所以 同理，，， 传输两次后，的取值有000，001，010，011，110，111，101，100，且 000 001 010 011 110 111 101 100 所以的取值为0，1，2，3，所以的分布列： 0 1 2 3 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 试卷类型：A 2026年高考适应性训练 数学试题（二） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 若，下列选项中，使成立的充分不必要条件为（ ） A. B. C. D. 3. 已知变量，具有线性相关关系，5组样本数据如下： 1 2 3 4 5 2 3 6 若其线性回归方程，且满足，则的值是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4. 已知圆与圆至少有三条公切线，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 某地区气温（单位：℃）与海拔（单位：）之间的关系可以由近似描述，其中为地面温度，为常数．已知某时段该地区海拔为3（即）、5（即），两处的气温分别为、．下表为该地区不同时段平均地面温度的范围，则此时该时段为（ ） 时段 早晨 中午 傍晚 夜晚 （参考数据：，） A. 早晨 B. 中午 C. 傍晚 D. 夜晚 6. 已知数列（非常数列）前项和为，为等差数列，，且，，成等比数列，则的值为（ ） A. B. 81 C. 80 D. 90 7. 已知三棱锥，平面，，，，三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的表面积是（ ） A. B. C. D. 8. 已知偶函数，对于，都有成立，且任取，都有，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，平行六面体的底面是菱形，以顶点为端点的三条棱长都等于1，且它们彼此的夹角都是，为与的交点，则（ ） A. B. C. 四点共面 D. 10. 已知直线与抛物线交于，两点，是抛物线的焦点，则下列判断一定正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 过点作直线的垂线，垂足为点，为原点，则，，三点共线 D. 直线，（为坐标原点）的斜率之积为 11. 记的内角，，的对边分别是，，，已知，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的面积最大值为 C. 的一个可能值为 D. 外接圆面积可能是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知函数则__________． 13. 已知数列满足点在直线上，数列的前项和为，则的最小值为______． 14. 某公园计划建造一个如图所示的花圃，每个小格的土地种植玫瑰、百合、郁金香三种花中的一种，且每个小格相邻（有公共边）的所有小格中恰有两格与该小格均为同类花，则所有的种植方案共有______种． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： 0 0 2 0 （1）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并求的解析式； （2）将函数的图象向左平行移动个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象．若图象的一个对称中心为，求在上的值域． 16. 在斜三棱柱中，，，为菱形，，，为中点． （1）证明：平面； （2）线段上是否存在一点，使二面角为，若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由． 17. 已知函数． （1）当时，判断的单调性； （2）若有两个极值点． （i）求实数的取值范围； （ii）证明：． 18. 设双曲线：的一条渐近线方程的斜率为，其左、右焦点分别是，，过的直线与双曲线的右支交于点，．当与轴垂直时，． （1）求双曲线的标准方程； （2）求的最小值； （3）记的内切圆与双曲线的一个公共点为，双曲线的左顶点为，证明：． 19. 在信道内传输仅含0和1两种数字的位数据信号，例如．数据传输时要经过个信号站，每经过一个信号站，每位数字0传错为1的概率为，传对为0的概率为；每位数字1传错为0的概率为，传对为1的概率为，其中．在各次传输过程中，数据中各数字相互独立，且传输中无其它错误发生．信号经过个信号站传输后的信号为，设与完全相同的概率为，与中有个对应位置数字取值相等． （1）若，，求的分布列； （2）若，证明：的数学期望与无关； （3）若，且，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $