精品解析：浙江省A9协作体2025-2026学年第二学期期中联考高二数学试题

浙江省A9协作体2025学年第二学期期中联考 高二数学试题 考生须知： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟； 2．答题前，在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名；座位号写在指定位置； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题卷. 第I卷 一、单选题（本题共8小题，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则下列不等式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 4. “”是“关于的不等式的解集是空集”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知，则函数的极大值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 6. 从0，2，4中任取2个数字，从3，5中任取1个数字，一共可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ） A. 12 B. 20 C. 24 D. 18 7. 已知盒子中有3个黑球和个红球，现从盒子中随机取出1个球，设取到红球的个数为，则随着的增大，下列说法正确的是（ ） A. 增大，增大 B. 增大，减小 C. 减小，增大 D. 减小，减小 8. 已知定义在上的函数满足，正数满足，则下列选项不成立的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 西汉刘向编著的《战国策》中记录了一个“三人成虎”的故事：庞葱与太子质于邯郸，谓魏王曰：“今一人言市有虎，王信之乎？”王曰：“否.”“二人言市有虎，王信之乎？”王曰：“寡人疑之矣.”“三人言市有虎，王信之乎？”王曰：“寡人信之矣.”在没有实际调研的情况下，为什么魏王会相信集市上有老虎呢？ 假设集市上真有老虎的概率为0.05，每个人选择说出实情的概率为0.9，选择说谎的概率为0.1，每个人是否选择说出实情相互独立．用表示事件“第人说看见一只老虎在集市上”，，用表示事件“真有老虎在集市上”．则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的值域为 B. 若，且恒成立，则实数的取值范围为 C. 若，且对任意实数，总存在满足成立，则实数的取值范围为 D. 若，且在定义域内存在零点，则实数的取值范围为 第II卷 三、填空题（本题共3小题，共15分．） 12. 随机变量，且，则__________． 13. 已知展开式的各二项式系数和为32，且，则__________． 14. 我们把含有限个元素的集合叫做有限集，用来表示有限集合中元素的个数．已知集合，集合为集合的子集，且，，则符合要求的有序集合对的个数为__________． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知的展开式中只有第四项的二项式系数最大． （1）求的值； （2）求该展开式中的常数项． 16. 已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围． 17. 袋子中有4个白球，3个黑球，这些球除颜色外全部相同．现将袋子中的球随机不放回地逐个取出，并将第次取出的球放入编号为的抽屉里． （1）求编号为2的抽屉里放的是黑球的概率； （2）记编号为奇数的抽屉里所放白球的总个数为，求的分布列及数学期望． 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若有两个相异零点， （i）求实数的取值范围； （ii）求证：． 19. 某校数学兴趣小组的成员们通过查阅资料得知，抛掷一枚图钉钉尖朝上的概率约为0.4．他们决定通过做大量重复的抛图钉试验来验证这一数据，假设这批图钉的质地一致，且每次抛图钉的结果相互独立．他们实施试验的步骤如下： 第一步：所有10名成员分工合作，每人重复抛一枚图钉10次，记录钉尖朝上的次数； 第二步：所有10名成员的记录相加得到一个总次数． 重复以上两个步骤共计10轮，用表示在第轮中10名成员的记录相加所得的总次数，． （1）若查阅资料所得的概率数据可靠，请问成员甲在第1轮的10次试验中共出现几次钉尖朝上的概率最大？ （2）整个试验所得的10个总次数记录如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 36 36 48 36 41 44 43 42 37 35 用表示事件“上表记录的10轮试验结果”，设抛掷一枚图钉钉尖朝上的概率为，则的取值应使事件发生的概率尽可能大． （i）请写出事件发生的概率的表达式； （ii）当取最大值时，求的值，并据此判断查阅资料所得的概率数据是否可靠？（如果，则认为查阅资料所得的概率数据可靠，否则不认为可靠） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省A9协作体2025学年第二学期期中联考 高二数学试题 考生须知： 1．本卷满分150分，考试时间120分钟； 2．答题前，在答题卷密封区内填写班级、学号和姓名；座位号写在指定位置； 3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效； 4．考试结束后，只需上交答题卷. 第I卷 一、单选题（本题共8小题，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】在全集中，满足的元素是，因此， 补集是指在全集中，不属于集合的所有元素构成的集合，所以． 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为命题为全称量词命题，其否定为． 3. 已知，则下列不等式一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】选项A：因为，所以；因为，所以，正数一定大于负数，即，故A错误； 选项B：因为，所以；因为，所以，正数一定大于负数，即，故B错误； 选项C：仅知道，无法确定与的大小关系， 例如：若，则；若，则，故C不一定正确； 选项D：用作差法验证：， 因为，所以，若且（成立，因为），则分母， 因此，差，即，可得，故D一定正确． 4. “”是“关于的不等式的解集是空集”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】由不等式的解集是空集等价于判别式： ，解得：． 若成立，则一定满足，故充分性成立； 若成立（比如），不一定满足，故必要性不成立． 因此，“”是“不等式的解集是空集”的充分不必要条件． 5. 已知，则函数的极大值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】借助基本不等式计算可得、，再利用导数研究函数的单调性后即可得其极大值. 【详解】由，，则， 又， 故，即，， 则，， 则当时，，当时，， 故在、上单调递增，在上单调递减， 故函数的极大值为. 6. 从0，2，4中任取2个数字，从3，5中任取1个数字，一共可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ） A. 12 B. 20 C. 24 D. 18 【答案】B 【解析】 【详解】情况1：从中取出的偶数不含： 取数：选2个非0偶数，只能是，共种；再从中选1个奇数，有种． 排列：3个数字组成三位偶数，末位必须是2或4，有2种选择，剩下2个数字全排列：种． 总数：个． 情况2：从中取出的偶数含： 取数：选和另一个偶数（2或4），共种；再从中选1个奇数，有种． 排列：3个数字组成三位偶数，分两类： 末位为：剩下2个数字全排列，有种； 末位为非0偶数：末位固定，首位不能为，有1种选择，中间位排剩下的数，有1种选择，共1种． 故每组数字有种排列，总数：个． 两种情况相加：． 7. 已知盒子中有3个黑球和个红球，现从盒子中随机取出1个球，设取到红球的个数为，则随着的增大，下列说法正确的是（ ） A. 增大，增大 B. 增大，减小 C. 减小，增大 D. 减小，减小 【答案】B 【解析】 【详解】随机变量服从两点分布，其分布列为：， ， 当增大时，减小，因此增大， 两点分布的方差公式为，其中，故： ， 由对勾函数性质，当时，随增大而递增，因此分母增大，减小． 综上，增大，减小． 8. 已知定义在上的函数满足，正数满足，则下列选项不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数 ，由题设判断在上单调递增，再设，利用函数的单调性证明，确定D 项不成立，再分别取，比较的大小，利用的单调性即可说明A，B，C项可成立. 【详解】设 ，求导得， 当 时，，且 ，则. 故 在 上单调递增． 设 ，由可得 ． 又由 可得，． 下证： ． 要证，只需证，即需证 ， 令，则， 令 ，则 则 时，单调递增，，即 ， 则函数在上单调递增，故 ，即 . 取 ，可得 ，故有. 由于 在 上单调递增，则由 可得，即. 故 D 项中不可能成立. 若取，则由解得，由解得， 易得，由单调性可得，即得，A项成立； 若取，则由解得，由解得， 显然，由单调性可得，即得，B项成立； 若取，则由解得，由解得， 显然，由单调性可得，即得，C项成立； 综上分析，只有 D 项一定不成立． 二、多选题（本题共3小题，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【详解】对于A，，所以A错； 对于B，，所以B正确； 对于C，，所以C正确； 对于D，，所以D错. 10. 西汉刘向编著的《战国策》中记录了一个“三人成虎”的故事：庞葱与太子质于邯郸，谓魏王曰：“今一人言市有虎，王信之乎？”王曰：“否.”“二人言市有虎，王信之乎？”王曰：“寡人疑之矣.”“三人言市有虎，王信之乎？”王曰：“寡人信之矣.”在没有实际调研的情况下，为什么魏王会相信集市上有老虎呢？ 假设集市上真有老虎的概率为0.05，每个人选择说出实情的概率为0.9，选择说谎的概率为0.1，每个人是否选择说出实情相互独立．用表示事件“第人说看见一只老虎在集市上”，，用表示事件“真有老虎在集市上”．则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【详解】设事件表示“真有老虎在集市上”，则 ，， 设事件表示“第 人说看见一只老虎在集市上”，， ，． 选项A：，A正确； 选项B：由全概率公式：，B正确； 选项C：，C正确； 选项D：，， ， ，D错误． 11. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的值域为 B. 若，且恒成立，则实数的取值范围为 C. 若，且对任意实数，总存在满足成立，则实数的取值范围为 D. 若，且在定义域内存在零点，则实数的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】选项A：将代入，再求导，分析函数的单调性，进而得到的值域；选项B：将代入，将条件转化为的恒成立问题，从而构造函数，求导，分析函数的单调性，进而得到的取值范围；选项C：将问题转化为求的最大值的最小值（即函数的极差的一半），从而构造函数，求导，分析函数的单调性，从而求出的值域，进而求出的取值范围；选项D：结合和，整理得到关于参数的不等式，再分离参数，分类讨论，构造函数，求导，分析函数的单调性，进而求出的取值范围． 【详解】选项A：若，则，， 则，令，得， 则当时，，即在上单调递减； 当时，，此时在上单调递增， 又，，，所以的值域为，故A错误； 选项B：若，有对恒成立，即， 当时，恒成立；当时，， 令，，则， 令，，则， 当时，，即在上单调递减， 则当时， ， 即当时， ，故 ， 又，所以在单调递减， 则当时，，所以，故B正确； 选项C：若，则，， 要使对任意，总存在使 ，即求的最大值的最小值（即函数的极差的一半）， 令，，则， 又在上单调递增，且， 即当时，，即在上单调递减， 所以当时， ，， 所以，则的最大值的最小值为， 故，即，故C正确； 选项D：若在定义域内存在零点，即在上有解，即在上有解， 将代入，得，， 整理得，则，， 显然，则时，，即当时，取得最大值，即， 将看成是关于的一次函数， 由，则，则随着的增大而增大， 令，，则， 令，解得，或（舍去）， 所以当时，，即在上单调递增； 当时，，即在上单调递减， 则，所以， 所以的范围为，故D正确． 第II卷 三、填空题（本题共3小题，共15分．） 12. 随机变量，且，则__________． 【答案】0.3## 【解析】 【详解】因为随机变量，且， 所以， 所以， 故答案为：0.3 13. 已知展开式的各二项式系数和为32，且，则__________． 【答案】243 【解析】 【详解】二项式系数和为，由题意，解得， 由，得，故， ． 14. 我们把含有限个元素的集合叫做有限集，用来表示有限集合中元素的个数．已知集合，集合为集合的子集，且，，则符合要求的有序集合对的个数为__________． 【答案】150 【解析】 【分析】通过分析集合元素归属，将条件转化为对元素个数的约束，再利用排列组合知识求解符合要求的有序集合对个数． 【详解】令全集 ，集合 ， 已知条件如下：，且；； ；． 对于 ，其归属情况有三种互斥状态： 状态 1：；状态 2：；状态 3：． 设 分别为 中处于上述三种状态的元素个数，则 ． 由条件转化为对 的约束： ；；． 问题转化为求满足 且 的整数解对应的分配方案数， 这是一个将 5 个不同元素放入 3 个不同盒子且无空盒的问题． 总分配方案数（无约束）：； 排除不满足 的情况（即 ）：元素只能选状态 2 或 3，方案数 ； 排除不满足 的情况（即 ）：元素只能选状态 1 或 3，方案数 ； 排除不满足 的情况（即 ）：元素只能选状态 1 或 2，方案数 ； 加回同时不满足两个条件的情况： 全选状态 3，方案数 ； 全选状态 2，方案数 ； 全选状态 1，方案数 ； 减去同时不满足三个条件的情况：不可能（）； 由容斥原理：． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知的展开式中只有第四项的二项式系数最大． （1）求的值； （2）求该展开式中的常数项． 【答案】（1）6 （2） 【解析】 【详解】（1）因为， 所以只有最大，所以． （2）因为， 令，解得， 所以常数项为． 16. 已知函数． （1）当时，求函数的单调区间； （2）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围． 【答案】（1）单增区间为，单减区间为； （2） 【解析】 【小问1详解】 因为，所以，定义域为． 因为， 当 时，，故 在 上单调递增， 当 时，令 ，即 ， 时，， 单调递减， 时，， 单调递增， 所以函数的单增区间为和，单减区间为． 【小问2详解】 因为函数在区间上单调递减， 所以对恒成立． 因为， 所以对恒成立，， 设， 在 上单调递增，故 ， 因此，要使 恒成立，需， 所以实数 的取值范围是． 17. 袋子中有4个白球，3个黑球，这些球除颜色外全部相同．现将袋子中的球随机不放回地逐个取出，并将第次取出的球放入编号为的抽屉里． （1）求编号为2的抽屉里放的是黑球的概率； （2）记编号为奇数的抽屉里所放白球的总个数为，求的分布列及数学期望． 【答案】（1）； （2） 1 2 3 4 【解析】 【小问1详解】 法一： 将7个除颜色外完全相同的球逐个取出依次放入编号为1～7的抽屉里，等价于将这7个球（4白3黑）全排列，总的方法数为． 若编号为2的抽屉里放的是黑球，等价于将剩下6个球（4白2黑）全排列，方法数为． 由古典概率模型，编号为2的抽屉里放的是黑球的概率为． 法二： 若第一次取出的是白球，概率为，则在此条件下第2次取出的是黑球的概率为； 若第一次取出的是黑球，概率为，则在此条件下第2次取出的是黑球的概率为； 由全概率公式，编号为2的抽屉里放的是黑球的概率为． 【小问2详解】 ， ，， ，， 所以的分布列为： 1 2 3 4 所以． 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若有两个相异零点， （i）求实数的取值范围； （ii）求证：． 【答案】（1）； （2）（i）；（ii）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义，先求导得到切线斜率，再结合点斜式写出切线方程． （2）（i）将函数零点问题转化为方程的根的问题，通过构造函数，利用导数分析其单调性、极值与趋势，从而确定参数的取值范围． （ii）分别构造辅助函数和，利用导数判断其单调性，得到和，两式相加即可证得． 【小问1详解】 因为，所以，所以． 因为，所以， 所以曲线在处的切线方程为． 【小问2详解】 （i）因为有两个相异零点， 所以方程有两个不相等的实根． 设，因为，令，解得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增． 因此函数在处的极小值，也是最小值，即， 当时，，当时，， 所以实数的取值范围为． （ii）不妨设，由（i）知，． 设， 因为，令，解得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，，所以，即． 因为，令，所以． 设， 因为，令，解得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，即． 因为，令，所以． 所以，得证． 19. 某校数学兴趣小组的成员们通过查阅资料得知，抛掷一枚图钉钉尖朝上的概率约为0.4．他们决定通过做大量重复的抛图钉试验来验证这一数据，假设这批图钉的质地一致，且每次抛图钉的结果相互独立．他们实施试验的步骤如下： 第一步：所有10名成员分工合作，每人重复抛一枚图钉10次，记录钉尖朝上的次数； 第二步：所有10名成员的记录相加得到一个总次数． 重复以上两个步骤共计10轮，用表示在第轮中10名成员的记录相加所得的总次数，． （1）若查阅资料所得的概率数据可靠，请问成员甲在第1轮的10次试验中共出现几次钉尖朝上的概率最大？ （2）整个试验所得的10个总次数记录如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 36 36 48 36 41 44 43 42 37 35 用表示事件“上表记录的10轮试验结果”，设抛掷一枚图钉钉尖朝上的概率为，则的取值应使事件发生的概率尽可能大． （i）请写出事件发生的概率的表达式； （ii）当取最大值时，求的值，并据此判断查阅资料所得的概率数据是否可靠？（如果，则认为查阅资料所得的概率数据可靠，否则不认为可靠） 【答案】（1）4； （2）（i）；（ii），可靠． 【解析】 【分析】（1）法一：设成员甲在第1轮的10次试验中出现钉尖朝上的次数为，根据；由求解；法二：设成员甲在第1轮的10次试验中出现钉尖朝上的次数为，根据，由不是整数，得到时最大求解； （2）（i）设所有10名成员在第轮的共100次试验中出现钉尖朝上的次数为， 根据，得到，由求解；（ii）法一：设函数，利用导数法求解；法二：设函数，令，利用导数法求解. 【小问1详解】 法一： 设成员甲在第1轮的10次试验中出现钉尖朝上的次数为， 则， 所以． 令 即 化简得解得． 所以， 即成员甲在第1轮的10次试验中共出现4次钉尖朝上的概率最大． 法二： 设成员甲在第1轮的10次试验中出现钉尖朝上的次数为，则． 因为不是整数， 所以当时，是唯一的最大值， 即成员甲在第1轮的10次试验中共出现4次钉尖朝上的概率最大． 【小问2详解】 （i）设所有10名成员在第轮的共100次试验中出现钉尖朝上的次数为， 则， 所以． 因为 （ii）法一： 设函数， 所以 ， 令，解得． 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以，即取最大值时，． 因为，所以查阅资料所得的概率数据可靠． 法二： 设函数， 令， 所以， 令，解得． 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以，即取最大值时，． 因为，所以查阅资料所得的概率数据可靠． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $