四川成都市石室中学2026届高三下学期数学周练（四）

周练四 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，又，所以. 2．已知集合，，若，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，因为，则. 3．已知数列满足，，则（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【详解】因为，所以，，，， 以上各式相加可得，即.因为，所以. 4．设非零向量的夹角为，若，则“为钝角”是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】因为，则，解得， 即等价于，若为钝角，则，即充分性成立； 若，则为钝角或平角，即必要性不成立； 综上所述：“为钝角”是“”的充分不必要条件. 5．已知，，则（     ）. A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 那么展开得： 所以. 已知，根据两角和的正弦公式， . 已知，根据两角差的余弦公式， . 将与代入可得： . 6．如图l，在高为h的直三棱柱容器中，，，现往该容器内灌进一些水，水深为，然后固定容器底面的一边AB于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面恰好为（如图2），则=（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设柱体的底面积为，则柱体的体积，注入水的体积为， 容器倾斜后，上半部分三棱锥的体积， 则可得，整理得. 7．函数所有零点的和等于（   ） A．6 B．7.5 C．9 D．12 【答案】C 【详解】函数的零点即方程的解， 即函数与函数的图象交点的横坐标． ，故两函数的图象都是从原点出发，且是一个交点， 由于函数的定义域为，，且两个函数的图象都关于直线对称， 函数对应的曲线方程为， 表示一个半圆，如图中所示：半圆在、处的切线斜率不存在，，， 所以在、处的切线斜率分别为，， 可见，这两个函数的图象在区间上有6个交点，且这些交点关于直线对称， 而两个关于直线对称的点的横坐标之和等于3，故函数所有零点的和是9. 8．现有一排方块，其中某些方块间有间隔.从中拿出一个方块或紧贴的两个方块，而不改变其余方块的位置，称为一次操作.如图所示，状态为的方块：可以通过一次操作变成以下状态    中的任何一种：，，，或.游戏规定由甲开始，甲、乙轮流对方块进行操作，拿出最后方块的人获胜.对于以下开局状态，乙有策略可以保证自己获得游戏胜利的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于选项A，经过甲操作可以变为，，，，或. 对于，乙操作成；对于，乙操作成；对于，乙操作成；对于，乙操作成；对于，乙操作成；对于，乙操作成. 此时甲操作后，乙可以采取对称策略，保证自己能拿到最后一个方块，无论如何乙都能赢，所以A正确； 对于选项B，甲将操作为，此时乙可以操作为，，，甲必胜； 对于选项C，甲将操作为，甲必胜；对于选项D，甲将操作为，由选项A知甲必胜. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的是（    ） A．数据的上四分位数为9 B．若，，且，则相互独立 C．根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为，若其中一个散点坐标为，则 D．将两个具有相关关系的变量的一组数据，，…，调整为，，…，，决定系数不变 （附：，，） 【答案】BD 【详解】对于A，我们把数据重新排列，得到，而， 则数据的上四分位数为9.5，故A错误； 对于B，因为，所以，由条件概率公式得， 得到，即相互独立，故B正确， 对于C，散点不一定在回归直线上，不能直接代入直线方程，故C错误， 对于D，由于，变成了，则，， 从而，都不变，则，故D正确. 10．已知的部分图象如下图，点是图象上一点，则（   ） A． B．函数的图象向左平移个单位长度，所得图象关于坐标原点对称 C．若，则 D．若点处的切线经过坐标原点，则 【答案】ACD 【详解】由图象可知，的最大值为2，又，所以． 设最小正周期为，由图象可知，则，则, 又，故，所以，将点代入,可得， 即．因为，则，所以， 则，所以．故A项正确； 对于B项，将函数的图象向左平移个单位长度，可得函数解析式，故B项错误； 对于C项，由，得，化简得，则故C项错误； 对于D项，点处的切线方程为， 将坐标原点代入，得，所以，故D项正确. 11．已知三次函数，满足对任意的,不等式恒成立.则（   ） A．， B．若 则 C．存在实数使得在上单调递减 D．的最小值为 【答案】ABD 【详解】因为, 恒成立,即恒成立, 因为,所以当时,,则需, 当时,,则需,故当时,,即, 所，故选项A正确 选项B：，若，则，根据三次函数对称性知B正确 选项C：，从而C不正确 因为, 令, 当且仅当，即时等号成立，故， 所以,故, 所以在上,单调递减,即,所以，故选项D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知幂函数，写出一个使得不等式成立的自然数的值 . 【答案】3或4（写对一个即可） 【详解】因为为幂函数，所以，解得，则， 不等式可化为，解得，符合条件的自然数可以是3或4. 13．若数列的前9项满足，记的前项和为，则 . 【答案】255 【详解】 令，则有，即. 又因为根据二项展开式通项公式得，故. 14．如图，在△中，已知，其内切圆与边相切于点，且，延长到，使，连接，设以，为焦点且经过点的椭圆的离心率为，以，为焦点且经过点的双曲线的离心率为，则的取值范围是 . 【答案】． 【详解】解：如图以的中点为原点直角坐标系， 设，分别是，与圆的切点，由圆的切线性质得， 设，所以，， 在△中，， 以，为焦点经过点的双曲线的离心率为， 以，为焦点经过点的椭圆的离心率为， 则， 在△中，设，所以，，， 由余弦定理可得，即， 所以，所以，得， 由对勾函数的单调性可得函数在上单调递增，所以． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知数列是等差数列，且，. (1)求的通项公式. (2)求数列的前n项和. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）数列是等差数列，且，， 所以，设等差数列公差为， 所以，所以， 所以，所以. （2）因为，所以， 数列的前n项和. 设， 于是， 两式相减得， 所以，所以 16．智利的车厘子在中国市场上非常受欢迎，尤其是在春节前后，成为果品市场的“销售冠军”.进口水果办会对智利车厘子进行了分级，标准主要依据果实直径进行划分，通常分为以下几个等级：0级；直径在24mm到26mm之间；J级：直径在26mm到28mm之间；JJ级：直径在28mm到30mm之间；JJJ级：直径在30mm到32mm之间；JJJJ级：直径在32mm以上.某商贸公司根据长期检测结果，发现每批次进口车厘子的直径服从正态分布并把直径不小于的车厘子称为一等品，其余称为二等品.现从某批次的车厘子中随机抽取100颗（直径位于24mm至34mm之间）作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图. (1)根据长期检测结果，车厘子直径的标准差，用标准差作为的估计值，用样本平均数（按四舍五入取整数）作为的近似值.若从该批次中任取10颗，试求车厘子为一等品的个数的均值（保留小数点后一位数字）；（①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，） (2)若从样本中直径在和的车厘子中随机抽取3颗，记其中直径在的个数为，求的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【详解】（1）由题意，估计从该批次的车厘子中随机抽取颗的平均数为： ， 即，，所以，则， 所以从车厘子中任取一颗，该车厘子为一等品的概率约为.从而 （2）由频率分布直方图可知，所以所取样本个， 直径在的车厘子有个，故可能取的值为，相应的概率为： ，，，， 随机变量的分布列为： 0 1 2 3 P 所以的数学期望. 17．已知． (1)若在定义域上单调递增，求a的取值范围； (2)若有极大值m，求证： 【详解】（1）函数的定义域为，可得， 令，所以， 因为时，，所以单调递减，时，，所以单调递增， 所以， 因为在定义域上单调递增，所以恒成立，所以，即； （2）由（1）可知，当有两个不同的零点时，，此时， 且时，时， 所以，则，，其中， 因为时，，单调递增，时，，单调递减， 时，，单调递增，所以为的极大值点，则， 且， 设，则，所以在单调递增， 所以，即. 18．已知椭圆，两焦点和短轴一个端点构成边长为2的正三角形． (1)求椭圆方程； (2)设直线与椭圆相切于第一象限内的点，不过原点且平行于的直线与椭圆交于不同的两点，，点关于原点的对称点为．记直线的斜率为，直线的斜率为． ①求的值； ②若，，，四点围成的四边形为平行四边形，求的值． 【详解】（1）由题意，从而，， 所以椭圆方程为. （2）①由消得（*）， 由，得， 此时方程（*）可化为：，解得：（由条件可知：k，m异号）， 设，则，， 即，所以，因为，所以可设直线， 由消得，当时，方程有两个不相等的实根， 设，，则，， 因为A，C两点关于原点对称，所以，所以，，所以． ②设直线与轴交于点，直线与轴交于点，则，于是， 由①可知：，若O，P，B，C四点围成的四边形为平行四边形，则还需，即， 由①可知：，所以．又，， 所以， 由可得：，又，所以，即， 当时，；当时，． 19．如图，已知四棱锥中，底面为平行四边形，且为的中点，点在平面内的射影为点，且. (1)求证：； (2)当为等边三角形时，求点到平面的距离； (3)若，记三棱锥的外接球表面积，当函数取最小值时，平面与平面夹角的大小为，求实数的值. 【详解】（1）因为平面，平面，则， 且，，平面， 可得平面， 且平面，所以. （2）做，垂足分别为，连接， 若为等边三角形，则为中点， 因为平面，平面，则， 且，平面， 可得平面，且平面，所以. 对于平行四边形，建立平面直角坐标系，如图所示， 则， 设，则， 若，可得，即， 因为为中点，可知：，则，即， 由可知直线，且， 设，则， 由可得，解得，即， 则，可知三棱锥的高， 在中，边的高， 设点到平面的距离为，由可得， 解得，所以点到平面的距离为. （3）由题意可知：，由（2）可知：点在直线上， 结合（2）中数据可得：， 在中，由余弦定理可得 ， 设的外接圆半径为，则，设三棱锥的外接球半径为， 则 ， 且，可知当时，取到最小值，即外接球表面积取到最小值， 此时，由（2）可设，则， 解得，即，可知，且，过作，垂足为， 因为平面，平面，则， 且，平面，可得平面， 且平面，所以， 且，平面，可得平面， 且平面，所以，可知平面与平面夹角的大小为， 则，可得， 结合的面积可得，则， 可得，且，解得，所以. 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学周练四 姓名： 学号： 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．若，则（   ） A． B． C． D． 2．已知集合，，若，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知数列满足，，则（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．设非零向量的夹角为，若，则“为钝角”是“”的（    ） A．充要条件 B．必要不充分条件 C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知，，则（     ）. A． B． C． D． 6．如图l，在高为h的直三棱柱容器中，，，现往该容器内灌进一些水，水深为，然后固定容器底面的一边AB于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面恰好为（如图2），则=（    ） A． B． C． D． 7．函数所有零点的和等于（   ） A．6 B．7.5 C．9 D．12 8．现有一排方块，其中某些方块间有间隔.从中拿出一个方块或紧贴的两个方块，而不改变其余方块的位置，称为一次操作.如图所示，状态为的方块：可以通过一次操作变成以下状态    中的任何一种：，，，或.游戏规定由甲开始，甲、乙轮流对方块进行操作，拿出最后方块的人获胜.对于以下开局状态，乙有策略可以保证自己获得游戏胜利的是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求；全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列说法正确的是（    ） A．数据的上四分位数为9 B．若，，且，则相互独立 C．根据一组样本数据的散点图判断出两个变量线性相关，由最小二乘法求得其回归直线方程为，若其中一个散点坐标为，则 D．将两个具有相关关系的变量的一组数据，，…，调整为，，…，，决定系数不变 （附：，，） 10．已知的部分图象如下图，点是图象上一点，则（   ） A． B．函数的图象向左平移个单位长度，所得图象关于坐标原点对称 C．若，则 D．若点处的切线经过坐标原点，则 11．已知三次函数，满足对任意的,不等式恒成立.则（   ） A．， B．若 则 C．存在实数使得在上单调递减 D．的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知幂函数，写出一个使得不等式成立的自然数的值 . 13．若数列的前9项满足，记的前项和为，则 . 14．如图，在△中，已知，其内切圆与边相切于点，且，延长到，使，连接，设以，为焦点且经过点的椭圆的离心率为，以，为焦点且经过点的双曲线的离心率为，则的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．已知数列是等差数列，且，. (1)求的通项公式. (2)求数列的前n项和. 16．智利的车厘子在中国市场上非常受欢迎，尤其是在春节前后，成为果品市场的“销售冠军”.进口水果办会对智利车厘子进行了分级，标准主要依据果实直径进行划分，通常分为以下几个等级：0级；直径在24mm到26mm之间；J级：直径在26mm到28mm之间；JJ级：直径在28mm到30mm之间；JJJ级：直径在30mm到32mm之间；JJJJ级：直径在32mm以上.某商贸公司根据长期检测结果，发现每批次进口车厘子的直径服从正态分布并把直径不小于的车厘子称为一等品，其余称为二等品.现从某批次的车厘子中随机抽取100颗（直径位于24mm至34mm之间）作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图. (1)根据长期检测结果，车厘子直径的标准差，用标准差作为的估计值，用样本平均数（按四舍五入取整数）作为的近似值.若从该批次中任取10颗，试求车厘子为一等品的个数的均值（保留小数点后一位数字）；（①同一组中的数据用该组区间的中点值代表；②参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，） (2)若从样本中直径在和的车厘子中随机抽取3颗，记其中直径在的个数为，求的分布列和数学期望. 17．已知． (1)若在定义域上单调递增，求a的取值范围； (2)若有极大值m，求证： 18．已知椭圆，两焦点和短轴一个端点构成边长为2的正三角形． (1)求椭圆方程； (2)设直线与椭圆相切于第一象限内的点，不过原点且平行于的直线与椭圆交于不同的两点，，点关于原点的对称点为．记直线的斜率为，直线的斜率为． ①求的值； ②若，，，四点围成的四边形为平行四边形，求的值． 19．如图，已知四棱锥中，底面为平行四边形，且为的中点，点在平面内的射影为点，且. (1)求证：； (2)当为等边三角形时，求点到平面的距离； (3)若，记三棱锥的外接球表面积，当函数取最小值时，平面与平面夹角的大小为，求实数的值. 学科网（北京）股份有限公司 $