精品解析：山东省普通高等学校招生考试（春季）数学专业知识模拟试题（六）

山东省普通高等学校招生考试（春季）数学专业知识模拟试题（六） 本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分.满分120分，考试时间120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 卷一（选择题，共60分） 注意事项： 1.答卷一前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上． 3.本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，最后结果精确到0.01． 一、选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，填涂在答题卡上） 1. 已知表示全集，集合，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 4. 在复平面内，复数对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 等差数列中，若，则等于（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 6. 如图所示，是边长为4的等边三角形用斜二测画法画出的水平放置的直观图，则的边长等于（ ） A. 2 B. C. D. 7. 在同一坐标系中，当时，函数与的图像大致是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是偶函数，当时，，则的值是（ ） A. B. C. D. 9. 从2名教师，4名男同学，4名女同学中选3名代表，则选中2名男同学，1名女同学的概率为（ ） A. B. C. D. 1 10. 已知，则等于（ ） A. B. C. D. 11. 若直线与圆相切，则等于（ ） A. B. C. 2 D. 12. 二次函数图象如图所示，则下列正确的为（ ）． A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 13. 如果点是角终边上的一点，且，那么实数的值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 14. 椭圆的左右焦点分别为，点为椭圆上一动点（异于左右顶点），若的周长为6，且面积的最大值为，则椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 15. 如图所示，在三棱锥中，E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，则下列结论错误的是（ ） A. 平面EFG B. 平面ABC C. 平面BDC D. 平面EFG 16. 已知向量，若，则实数等于（ ） A. B. 6 C. D. 8 17. 有5名学生和2名老师并坐一排合影，若老师不能坐在两端，且要坐在一起，则不同坐法的种数是（ ） A. 70 B. 240 C. 480 D. 960 18. 某射手射击时击中目标的概率为0.7，设4次射击击中目标的次数为随机变量，则）等于（ ） A. 0.9163 B. 0.0081 C. 0.0756 D. 0.9919 19. 在的二项展开式中，项的系数为10，则等于（ ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 10 20. 已知，且，函数的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于，则的值是（ ） A. B. C. D. 卷二（非选择题，共60分） 二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分.请将答案填在答题卡相应题号的横线上） 21. 对于任意实数m，n，规定，则__________． 22. 在中，，，且，则________. 23. 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为__________. 24. 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为、、、件.为检验产品质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取______件. 25. 已知抛物线的焦点为，准线为.若与双曲线的两条渐近线分别交于点和点，且（为原点），则双曲线的离心率为__________. 三、解答题（本大题5个小题，共40分） 26. 在一个长，宽的矩形上，截取一个平行四边形，且，如图所示，求平行四边形的最大面积. 27. 在等比数列中，，.求： （1）该数列的通项公式； （2）该数列的前10项和. 28. 如图所示，点是单位圆上的一个动点，它从初始位置开始沿单位圆按逆时针方向运动角到达点，然后继续沿单位圆运动角到达点.已知点的横坐标是，求点的坐标. 29. 如图所示，已知正四棱锥，E，F分别是侧棱SA，SC的中点．求证： （1）平面ABCD； （2）平面SBD． 30. 如图所示，已知椭圆的离心率为，椭圆的任意三个顶点构成的三角形的面积是，直线交椭圆于不同的两点A，B. （1）求椭圆的标准方程； （2）若，求的值（点为坐标原点）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省普通高等学校招生考试（春季）数学专业知识模拟试题（六） 本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分.满分120分，考试时间120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 卷一（选择题，共60分） 注意事项： 1.答卷一前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上． 3.本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，最后结果精确到0.01． 一、选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，填涂在答题卡上） 1. 已知表示全集，集合，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合补集的定义求出全集，进而求出，结合交集的定义即可得解. 【详解】由，，知, 所以，即， 故选：A. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的意义结合一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】由题意得，要使函数有意义，则. 等价于，解得. 即函数的定义域为. 故选：B. 3. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据绝对值不等式的解法求解. 【详解】不等式等价于，解得. 故不等式的解集是. 故选：B. 4. 在复平面内，复数对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出复数对应点的坐标即可得解. 【详解】因为复数对应的点在第四象限， 所以，解得， 实数的取值范围是， 故选：D. 5. 等差数列中，若，则等于（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列的性质求解即可. 【详解】在等差数列中，， 所以，即，解得. 故选：C. 6. 如图所示，是边长为4的等边三角形用斜二测画法画出的水平放置的直观图，则的边长等于（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意作出辅助线，结合斜二测画法的性质求出的长度，利用余弦定理即可得解. 【详解】 如图所示，取的中点为，则，， 如图所示，得到原图，则，， 由余弦定理可知. 故选：D. 7. 在同一坐标系中，当时，函数与的图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合指数函数及对数函数的单调性即可得解. 【详解】当时，函数在定义域上为减函数， 函数在定义域是减函数，故错误，正确， 故选：C． 8. 已知函数是偶函数，当时，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合偶函数的性质即可得解. 【详解】函数是偶函数，， ，， . 故选：B. 9. 从2名教师，4名男同学，4名女同学中选3名代表，则选中2名男同学，1名女同学的概率为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式求解即可. 【详解】从2名教师，4名男同学，4名女同学中选3名代表共种情况， 选中2名男同学，1名女同学的情况为，所以概率为. 故选：A. 10. 已知，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据诱导公式即可解得. 【详解】因为，所以， 因为，即. 故选：D. 11. 若直线与圆相切，则等于（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆的方程求出圆心与半径，利用相切的性质及点到直线的距离公式即可得解. 【详解】圆，则圆心坐标为，半径为， 直线与圆相切， 则圆心到直线的距离为，解得， 又，所以， 故选：C． 12. 二次函数图象如图所示，则下列正确的为（ ）． A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】由二次函数的图象和性质分析即可. 【详解】由二次函数的图象， 图象开口向下，故， 对称轴，则， 当时，， 故选：D. 13. 如果点是角终边上的一点，且，那么实数的值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数的定义建立等式求解即可. 【详解】点是角终边上的一点，且， 可化为，解得. 故选：C. 14. 椭圆的左右焦点分别为，点为椭圆上一动点（异于左右顶点），若的周长为6，且面积的最大值为，则椭圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由椭圆焦点三角形周长得，面积最大值在短轴端点取得，即，结合 ，求解即可. 【详解】 因为的周长为，即， 所以， 又的底为，高为点纵坐标，即， 因为面积的最大值为，此时，即， 根据，代入得到， 即，解得（负值舍去）， 得到1，所以椭圆方程为. 故选：A． 15. 如图所示，在三棱锥中，E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，则下列结论错误的是（ ） A. 平面EFG B. 平面ABC C. 平面BDC D. 平面EFG 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面平行的判定即可判断选项. 【详解】已知分别是的中点，取中点，连接， 根据三角形中位线性质可得，，， 选项A.，平面，平面，因此平面，选项正确， 选项B.，平面，平面，因此平面，选项正确， 选项C.，平面，平面，因此平面，选项正确， 选项D.由，得到，即位于同一平面， ，所以与平面相交，不存在平行关系，错误. 故选：D. 16. 已知向量，若，则实数等于（ ） A. B. 6 C. D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合平面向量平行的性质即可得解. 【详解】向量， 因为，所以，解得， 故选：A. 17. 有5名学生和2名老师并坐一排合影，若老师不能坐在两端，且要坐在一起，则不同坐法的种数是（ ） A. 70 B. 240 C. 480 D. 960 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合排列数的计算即可得解. 【详解】先排5名学生，排法有； 老师不能坐在两端，且要坐在一起，所以在中间个空位中选一个，排法有； 则坐法的种数是， 故选：D. 18. 某射手射击时击中目标的概率为0.7，设4次射击击中目标的次数为随机变量，则）等于（ ） A. 0.9163 B. 0.0081 C. 0.0756 D. 0.9919 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项分布的概率公式，结合对立事件的性质，求值即可. 【详解】由题意得，，的取值为0，1，2，3，4， ， . 故选：D. 19. 在的二项展开式中，项的系数为10，则等于（ ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意写出二项展开式的通项公式即可得解. 【详解】的二项展开式的通项公式为， 项的系数为10，则，即， 解得， 故选：. 20. 已知，且，函数的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦函数的周期以及同角三角函数的关系求解即可. 【详解】因为函数的相邻两条对称轴之间的距离等于， 所以周期，即， 得到，即， 则， 又且， 所以，即. 故选：B. 卷二（非选择题，共60分） 二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分.请将答案填在答题卡相应题号的横线上） 21. 对于任意实数m，n，规定，则__________． 【答案】13 【解析】 【分析】将代入中即可得解. 【详解】因为，所以， 故答案为：. 22. 在中，，，且，则________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意结合同角三角函数基本关系式求出，利用余弦定理即可得解. 【详解】在中，，，且， 因为，所以， 当时， ， 所以； 当时， ， 所以， 经检验均符合题意； 则或， 故答案为：或. 23. 体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据正方体的体积求出棱长，根据题意得出球的直径是正方体的体对角线，进而求出球的半径，代入球的表面积公式即可得解. 【详解】正方体的体积为，则边长， 正方体的体对角线为， 根据球的直径是正方体的体对角线，则球的半径， 球的表面积为， 故答案为：. 24. 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为、、、件.为检验产品质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取______件. 【答案】 【解析】 【分析】根据分层抽样原理进行计算即可解得. 【详解】由题，根据分层抽样原理， 应从丙种型号的产品中抽取件. 故答案为： 25. 已知抛物线的焦点为，准线为.若与双曲线的两条渐近线分别交于点和点，且（为原点），则双曲线的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，利用双曲线方程求出渐近线方程，设出点的坐标，求出，代入，结合双曲线的性质得到，代入离心率公式即可得解. 【详解】 抛物线的焦点为，准线为， ，准线方程为，渐近线方程为， 准线与双曲线的两条渐近线分别交于点和点，且（为原点）， 设，， ，则， ，即， ∴双曲线的离心率， 故答案为：. 三、解答题（本大题5个小题，共40分） 26. 在一个长，宽的矩形上，截取一个平行四边形，且，如图所示，求平行四边形的最大面积. 【答案】 【解析】 【分析】先根据题意表示出平行四边形的面积，再利用二次函数的性质即可得解. 【详解】设， 则， 设平行四边形的面积为， 则. 因为，则当时，， 所以平行四边形的面积的最大值是． 27. 在等比数列中，，.求： （1）该数列的通项公式； （2）该数列的前10项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的定义求出公比和首项，进而求出数列的通项公式； （2）由等比数列的前n项和公式求出前10项和即可. 【小问1详解】 设等比数列的公比为和首项为， 由等比数列的定义可知， 由， 因此，数列的通项公式为. 【小问2详解】 由等比数列的前n项和公式，得 ， 所以该数列的前10项和为. 28. 如图所示，点是单位圆上的一个动点，它从初始位置开始沿单位圆按逆时针方向运动角到达点，然后继续沿单位圆运动角到达点.已知点的横坐标是，求点的坐标. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求出的值，再利用两角和的正弦与余弦公式求出和，进而得到点的坐标. 【详解】因为，所以，， 又因为点是单位圆上的点，点的横坐标是，即， 所以由，得到. 由得 即 解方程组得. 因此点的坐标是. 29. 如图所示，已知正四棱锥，E，F分别是侧棱SA，SC的中点．求证： （1）平面ABCD； （2）平面SBD． 【答案】（1）证明见详解 （2）证明见详解 【解析】 【分析】（1）由线面平行的判定定理证明即可. （2）先证明平面SBD，再由线线平行即可证明平面SBD. 【小问1详解】 连接AC， 在中，分别为SA，SC的中点， ， 又平面ABCD，平面ABCD， 平面ABCD. 【小问2详解】 设AC交BD于点O， 在正方形ABCD中，则O为AC的中点， 在正四棱锥中，，O为AC中点， ， 又在正方形ABCD中，， ，平面SBD，平面SBD， 平面SBD， 又由（1）知， 平面SBD． 30. 如图所示，已知椭圆的离心率为，椭圆的任意三个顶点构成的三角形的面积是，直线交椭圆于不同的两点A，B. （1）求椭圆的标准方程； （2）若，求的值（点为坐标原点）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由椭圆的离心率及椭圆的任意三个顶点构成的三角形的面积列式求解即可； （2）联立直线与椭圆的方程结合向量垂直的坐标表示即可得解. 【小问1详解】 由题意可知 解得 所以椭圆的标准方程是. 【小问2详解】 设直线与椭圆的两个交点为，， 则整理得. 由根与系数的关系得， 又因为， ，又因为， 所以，即，解得. 又因为， 当时，，所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $