精品解析：山东省普通高等学校招生考试(春季) 数学专业知识模拟试题(五）

山东省普通高等学校招生考试（春季）+数学专业知识模拟试题（五） 本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分.满分120分，考试时间120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 卷一（选择题，共60分） 注意事项： 1.答卷一前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上． 3.本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，最后结果精确到0.01. 一、选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，填涂在答题卡上） 1. 下列关系中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由空集、元素与集合、集合之间的关系即可得解. 【详解】空集中不含任何元素，故A，D错误； ，故C错误；，故B正确. 故选：B. 2. 若复数满足，则（    ） A. 1 B. 5 C. 7 D. 25 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数模的概念即可求解. 【详解】因为复数满足，故， 故选：B. 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件与必要条件的定义判断. 【详解】若，则，又因为，那么，即，故充分性成立； 由“”不能推出“”， 例如，时，，但此时，故必要性不成立， 综上，“”是“”的充分条件，不是必要条件. 故选：A. 4. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由对数真数大于零、分母不等于零列不等式求解即可. 【详解】因为函数为， 若想函数有意义， 则，解得， 所以函数的定义域为. 故选:A． 5. 如图所示，已知点在线段AB上，且，是直线外任意一点，设，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的线性运算求解. 【详解】由题意可得， 则. 故选：D. 6. 已知角的终边不在坐标轴上，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意利用诱导公式化简，结合象限角的三角函数值的符号及充分性和必要性的定义即可得解. 【详解】因为所以，即， 又角的终边不在坐标轴上，所以是第三或第四象限角， 因为，所以是第二或第四象限角， 故当时，不一定成立，故充分性不成立； 当时，不一定成立，故必要性不成立； 所以“”是“”的既不充分也不必要条件， 故选：D． 7. 若a为任意实数，，，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用作差法比较大小即可. 【详解】， 因为，则， 则，； 故选：D. 8. 在等比数列中，若，则等于（ ） A. 8 B. 3 C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等比数列的性质及对数运算计算即可. 【详解】∵等比数列中，， ∴， 故选：C. 9. 已知非零向量，且，则实数（ ） A. B. 0 C. 1 D. 或0 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示求解即可. 【详解】因为，所以， 即，解得（舍去）. 故选：A. 10. 过点且斜率的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点斜式方程求解，再化为一般式方程. 【详解】直线过点且斜率， 由点斜式方程得直线的方程为，即. 故选：A. 11. 已知，，则x的值为（ ）． A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】先得到的取值，再根据特殊角的正弦值，求得x的值. 【详解】∵，∴. 而，故或. 故选：D. 12. 函数：①；②；③的图像如图所示，则下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由对数函数和指数函数图像的性质分析即可. 【详解】根据函数图像可得: ③的图像，因为是减函数图像，所以， ①，②，是对数函数图像，且为增函数， 作直线，与和的交点横坐标为a和b， 由图象可知，， 所以. 故选:D． 13. 的二项展开式中第4项的系数是（ ） A. 126 B. －126 C. 84 D. －84 【答案】D 【解析】 【分析】根据二项式定理的展开式的通项公式：即可求解. 【详解】展开式的通项公式：. 要求展开式的第四项的系数，即，∴第四项的系数为：. 故选：D. 14. 下列函数是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据偶函数的定义以及性质求解即可. 【详解】选项A.因为的定义域为，且， 所以为偶函数，该选项正确. 选项B.因为图像关于对称，所以该选项错误. 选项C.因为，所以该选项错误. 选项D.因为的定义域为，关于原点不对称，所以该选项错误. 故选：A. 15. 已知过点，且斜率的直线与圆相切，则实数的值为（ ） A. 4 B. C. 4或 D. -1或 【答案】C 【解析】 【分析】先根据点斜式求出直线方程，再将圆的方程化为标准方程得到圆心和半径，最后利用直线与圆相切的性质求解的值. 【详解】已知直线过点且斜率， 可得直线方程为，即， 已知圆的方程为，即， 可知圆心坐标为，半径， 圆心到直线的距离为， 因为直线与圆相切，所以，即， 则，解得或， 故选：C. 16. 下表是离散型随机变量X的概率分布，则常数的值是（ ） X 3 4 5 6 P A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由离散型随机变量分布列的性质，计算得到答案. 【详解】由，解得， 故选：C． 17. 若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将方程化为标准方程，由题可得，解不等式组可求解. 【详解】由方程可化为，， 根据题意，可得 ，所以， 解得， 所以实数a的取值范围为. 故选：A 18. 10件产品中有两件次品，从中任取两件，全是正品的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由古典概型概率公式计算即可. 【详解】设全是正品的事件为A， 所以. 故选：D. 19. 如图所示，在正方体中，下列命题： ①异面直线与所成的角为 ②直线与平面所成的角为 ③二面角所成的角为 ④异面直线与所成的角为 其中正确命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】将异面直线转化为相交直线可判断①④，再由直线与平面和平面与平面所成的角判断②③即可. 【详解】①：因为， 所以为异面直线与所成的角，即，故①正确， ②：因为平面， 所以为直线与平面所成的角，即，故②正确， ③：连接BD交AC于点O，连接， 在正方体中，AC，BD为平面ABCD的对角线，即， 因为为对应面的面对角线，即，为正三角形， O为AC的中点，所以， 所以为二面角的平面角， 因为在直角三角形中，，所以，故③错误， ④：因为， 所以为异面直线与所成的角， 因为在正方体中，平面，平面， 所以，即，故④错误. 所以①②正确，正确命题有2个. 故选：B. 20. 对任意实数，定义运算，其中是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算．已知，则的值是（ ）． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据定义代值列出关于的二元一次方程组，求出参数后再根据定义代值求解即可. 【详解】，， 由可得：， 则， . 故选：C. 卷二（非选择题，共60分） 二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分.请将答案填在答题卡相应题号的横线上） 21. 在中，若，则的值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据三角形面积公式求出边的值，再利用余弦定理求出边的值. 【详解】已知，，， 可得， 即，解得， 根据余弦定理得， 可得， 即， 可得. 故答案为：. 22. 已知奇函数在区间上是增函数，且，则的解集是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数奇偶性和单调性画出函数的图象即可得解. 【详解】由奇函数在区间上是增函数，且， 即， 奇函数关于原点对称，即函数在区间上是增函数， 故函数的图象可能为 通过观察图象知的解集是． 故答案为：． 23. 一根长3米的圆柱锯成两段圆柱体后，表面积增加4平方米，则原圆柱的体积为______. 【答案】6 【解析】 【分析】根据题意分析出圆柱底面积，再根据底面积和高求解即可. 【详解】因为一根长3米的圆柱锯成两段圆柱体后，表面积增加4平方米， 所以，解得， 所以原圆柱的体积为. 故答案为：6. 24. 已知一条直线与抛物线交于A、B两点，且这两点到焦点的距离分别为3和5，则的中点到轴的距离是__________. 【答案】2 【解析】 【分析】利用抛物线的定义及线段中点坐标公式求解. 【详解】在抛物线中，，则，准线方程为. 设，， 已知、两点到焦点的距离分别为3和5， 根据抛物线定义，到准线的距离，可得； 到准线的距离，可得， 则中点的纵坐标为， 所以的中点到轴的距离是. 故答案为：2. 25. 某班共有学生40人，将一次数学考试成绩（单位：分）绘制成频率分布直方图，如图所示，低于60分为不及格，为及格，为良好，其余的为优秀，则本班数学成绩优秀率是__________. 【答案】 【解析】 【分析】通过计算优秀成绩对应的频率得到优秀率. 【详解】由题意可得成绩在为优秀. 的频率为， 的频率为， 故本班数学成绩优秀率是． 故答案为：. 三、解答题（本大题5个小题，共40分） 26. 已知等差数列中，公差，且、是一元二次方程的根. （1）求数列的通项公式. （2）求数列的前10项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解一元二次方程的根，即得到和，代入等差数列通项公式，再联立方程组，即可求出首项和公差，最后代入通项公式即可得到. （2）由已知代入前n项和公式即可得出答案. 【小问1详解】 由已知，解一元二次方程的根为，； 因为公差，该数列为递增数列，所以，； 联立方程组得，解得； 即数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）知数列的首项，公差， 数列前10项和. 27. 为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加.某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量与销售价（元）有如下关系：.设这种产品每天的销售利润为元. （1）写出与之间的函数关系式. （2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）. （2）每千克30元时，每天的销售利润最大，为200元. 【解析】 【分析】（1）根据销售利润的计算公式列出函数关系式. （2）通过二次函数的性质求出利润的最大值. 【小问1详解】 由题意可知，则，解得元, 因为成本为元，所以元，则， . 【小问2详解】 ， 因为，且，所以当时，有最大值为200， 即售价为每千克30元时，每天的销售利润最大，为200元. 28. 已知函数，其中向量，，，且函数的图象经过点. （1）求实数的值； （2）求函数的最小值及此时的取值集合. 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1）由向量的内积表示写出函数，再代入点即可求解. （2）先由辅助角公式化简函数，再根据正弦函数的性质求解最值及此时x的取值集合即可. 【小问1详解】 函数，其中向量，，， 则， 又函数的图象经过点， 所以，解得，即. 故实数的值为. 【小问2详解】 由（1）得，则， 因为， 所以当时，函数取最小值，为； 此时，即， 所以函数的最小值为，此时x的取值集合为. 29. 在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，M为PD的中点．求证： （1）平面ACM； （2）AD⊥平面PAC． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据结合线面平行的判定定理证明即可. （2）根据并结合线面垂直的判定定理证明即可. 【小问1详解】 连接BD，MO，在平行四边形ABCD中， ∵O为AC的中点， ∴O也是BD的中点； 在中，M为PD的中点， ∴； ∵平面ACM，平面ACM， ∴平面ACM； 【小问2详解】 在中，∵，且， ∴，即； 又平面ABCD，平面ABCD， ∴， 又，平面PAC， ∴平面PAC． 30. 如图所示，已知椭圆的左焦点为，且过点，过点的直线与椭圆相交于A，B两点. （1）求椭圆的方程； （2）若的面积为，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由椭圆的定义可求得，然后由求得即可； （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理、弦长公式、点到直线的距离公式及三角形面积公式求解. 【小问1详解】 根据椭圆性质可得右焦点为，， 由椭圆的定义可得点到两焦点距离之和为， 解得，所以， 因此椭圆的方程为. 【小问2详解】 依题意可设直线的方程为，， 联立椭圆与直线的方程， 消去可得， 所以， ， 因此 ， 又易知点到直线的距离为， 所以的面积为， 可化为，即, 解得， 所以直线的方程为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省普通高等学校招生考试（春季）+数学专业知识模拟试题（五） 本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分.满分120分，考试时间120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 卷一（选择题，共60分） 注意事项： 1.答卷一前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上． 2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上． 3.本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，最后结果精确到0.01. 一、选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，填涂在答题卡上） 1. 下列关系中，正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 若复数满足，则（    ） A. 1 B. 5 C. 7 D. 25 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，已知点在线段AB上，且，是直线外任意一点，设，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知角的终边不在坐标轴上，“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 若a为任意实数，，，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 在等比数列中，若，则等于（ ） A. 8 B. 3 C. 6 D. 9. 已知非零向量，且，则实数（ ） A. B. 0 C. 1 D. 或0 10. 过点且斜率的直线方程为（ ） A. B. C. D. 11. 已知，，则x的值为（ ）． A. B. C. 或 D. 或 12. 函数：①；②；③的图像如图所示，则下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 13. 的二项展开式中第4项的系数是（ ） A. 126 B. －126 C. 84 D. －84 14. 下列函数是偶函数的是（ ） A. B. C. D. 15. 已知过点，且斜率的直线与圆相切，则实数的值为（ ） A. 4 B. C. 4或 D. -1或 16. 下表是离散型随机变量X的概率分布，则常数的值是（ ） X 3 4 5 6 P A. B. C. D. 17. 若方程表示焦点在y轴上的椭圆，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 18. 10件产品中有两件次品，从中任取两件，全是正品的概率是（ ） A. B. C. D. 19. 如图所示，在正方体中，下列命题： ①异面直线与所成的角为 ②直线与平面所成的角为 ③二面角所成的角为 ④异面直线与所成的角为 其中正确命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 20. 对任意实数，定义运算，其中是常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算．已知，则的值是（ ）． A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 卷二（非选择题，共60分） 二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分.请将答案填在答题卡相应题号的横线上） 21. 在中，若，则的值是__________. 22. 已知奇函数在区间上是增函数，且，则的解集是__________． 23. 一根长3米的圆柱锯成两段圆柱体后，表面积增加4平方米，则原圆柱的体积为______. 24. 已知一条直线与抛物线交于A、B两点，且这两点到焦点的距离分别为3和5，则的中点到轴的距离是__________. 25. 某班共有学生40人，将一次数学考试成绩（单位：分）绘制成频率分布直方图，如图所示，低于60分为不及格，为及格，为良好，其余的为优秀，则本班数学成绩优秀率是__________. 三、解答题（本大题5个小题，共40分） 26. 已知等差数列中，公差，且、是一元二次方程的根. （1）求数列的通项公式. （2）求数列的前10项和. 27. 为了落实国务院的指示精神，某地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加.某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量与销售价（元）有如下关系：.设这种产品每天的销售利润为元. （1）写出与之间的函数关系式. （2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ 28. 已知函数，其中向量，，，且函数的图象经过点. （1）求实数的值； （2）求函数的最小值及此时的取值集合. 29. 在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，，，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，M为PD的中点．求证： （1）平面ACM； （2）AD⊥平面PAC． 30. 如图所示，已知椭圆的左焦点为，且过点，过点的直线与椭圆相交于A，B两点. （1）求椭圆的方程； （2）若的面积为，求直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $