精品解析：2026年山东省普通高等学校招生考试（春季）模拟（一）数学知识试题

山东省普通高校招生（春季）考试 数学仿真模拟试题一 本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分，满分120分，考试时间120分钟.考生请在答题卡上答题，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 卷一（选择题 共60分） 一、选择题：本大题共20个小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的定义即可得解. 【详解】， 故选：B. 2. 若复数，则（ ） A. B. 4 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的模长公式即可解得. 【详解】因为，所以. 故选：C. 3. 已知，则“，”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的概念求解即可. 【详解】因为，充分性成立， 若，则只能说明异号，也可能是，必要性不成立， 所以“，”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 已知直线的倾斜角为，则直线的斜率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据倾斜角和斜率之间的关系求解即可. 【详解】. 故选：B. 5. 不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】由二次不等式和绝对值不等式求解不等式组即可. 【详解】因为，所以， 所以， 所以不等式组的解集为. 故选：B. 6. 若二次函数的图象如图所示，则（　　） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的图像，即可求解. 【详解】由图像可得： 函数图像开口向上，所以， 函数的对称轴，所以， 当时，，所以. 故选：A. 7. 在等差数列中，为它的前项和.若，，则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列前项和的性质求解. 【详解】在等差数列中，，，仍成等差数列， 所以12，，成等差数列， 所以，所以. 故选：D. 8. 已知函数，则（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式，代入自变量求解即可. 【详解】因为函数， 所以，即. 故选：B. 9. 甲、乙两人各有2张卡片，每张卡片上只有一个数字，甲的卡片上分别是2，4，乙的卡片上分别是2，5.若甲、乙两人从各自的卡片中随机拿出一张比较数字的大小，则甲的数字不大于乙的数字的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】列出试验所有基本事件，再利用古典概型的概率公式，求解即可. 【详解】甲、乙各拿出一张的可能是，，，， 其中甲的数字不大于乙的数字有，，， 所以甲的数字不大于乙的数字的概率为. 故选：C. 10. 下列命题错误的是（ ） A. 如果一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行 B. 如果两个平面平行，那么第一个平面内的任意一条直线都平行于第二个平面 C. 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行 D. 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 【答案】A 【解析】 【分析】根据线面平行的判定及性质，线面垂直的判定即可得证. 【详解】如果一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面可能平行，也可能在平面内，故错误； 如果两个平面平行，那么第一个平面内的任意一条直线都平行于第二个平面，故正确； 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行，故正确； 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面，故正确， 故选：A. 11. 已知随机变量的分布列： 0 1 2 则是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据所有概率和为 1求出，再求解即可. 【详解】由题意知，，所以， 即. 故选：B. 12. 若直线经过第二、三、四象限，则方程表示的曲线是（ ） A. 椭圆 B. 抛物线 C. 双曲线 D. 圆 【答案】C 【解析】 【分析】由直线图象得出，再根据双曲线的定义判断即可. 【详解】因为直线经过第二、三、四象限， 所以直线斜率，截距 ， 方程，可化为， 所以方程表示的是焦点在轴上的双曲线. 故选：C. 13. 现从5名女生，3名男生中，选派2名女生，1名男生分别参加全校的“资源”“生态”“环保”三个活动，则不同的方案共有（ ） A. 60种 B. 90种 C. 120种 D. 180种 【答案】D 【解析】 【分析】先选出2名女生，1名男生，选出的 3 人分配到 3 个不同活动全排即可得解. 【详解】根据题意，选出2名女生，1名男生，有种， 再安排到全校的“资源”“生态”“环保”三个活动，有种， 由分步乘法计数原理，得种. 故选：D. 14. 网格中的每个单元格都是边长为1的正方形，向量，的起点和终点都在网格线的交点处，则（ ） A. 4 B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】方法一：利用平面向量的加法法则得出，结合平面向量模长的定义即可得解. 方法二：建立平面直角坐标系，利用平面向量线性运算的坐标表示及模长公式即可得解. 【详解】方法一：把向量平移到如图所示，所以， 所以； 方法二：以为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示， 则，，所以， . 故选：B 15. 下列关于斜二测画法的说法中，正确的是（ ） A. 正方形的直观图是正方形 B. 菱形的直观图是菱形 C. 正方形的面积为1，则正方形的直观图的面积为 D. 三角形的面积为1，则三角形的直观图的面积为 【答案】D 【解析】 【分析】根据斜二测画法的规则求解即可. 【详解】在斜二测画法中，平行于轴的线段长度不变，平行于轴的线段长度变为原来的一半， 所以正方形的直观图是平行四边形，不是正方形 ，选项A错误， 菱形的直观图邻边夹角改变，不是菱形，选项B错误， 根据斜二测画法规则，平面图形直观图的面积是原图形面积的倍， 所以正方形的面积为1，则正方形的直观图的面积为，选项C错误， 三角形的面积为1，则三角形的直观图的面积为，选项D正确. 故选：D. 16. 已知的展开式的各项系数和为243，则展开式中的系数为（ ） A. 60 B. 80 C. 120 D. 180 【答案】B 【解析】 【分析】首先求出，再根据二项式展开式求解即可. 【详解】令，得，所以， 所以. 令，所以，所以展开式中的系数为. 故选：B. 17. 设抛物线的焦点为，准线为，则以为圆心，且与相切的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据抛物线方程求出焦点坐标，再根据直线与圆相切确定圆的半径，最后由圆的标准方程得出结果. 【详解】因为的焦点，到准线的距离为1， 则圆的圆心为，半径， 所以圆的方程为. 故选：A. 18. 已知在中，，，所对的边分别为，，，且满足，，，且，则（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解法一：由正弦定理求得，再由勾股定理求得. 解法二：由余弦定理求得. 【详解】解法一：因为在中，，， 所以，所以. 由正弦定理知：，则， 所以，又，所以或. 因为，所以， 若，又，则，不满足，故舍去， 若，又，则，满足， 所以，， 所以，则. 故选：B. 解法二：由余弦定理知：， 所以， 所以，所以或. 因为，所以. 故选：B. 19. 若，，，为实数，且，定义函数，现将的图象向右平移个单位长度，向上平移1个单位长度，得到的图象，则为（ ） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 既是奇函数又是偶函数 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意求出，利用二倍角公式化简，再根据图像平移的性质和函数的奇偶性求解即可. 【详解】由题意知 ， 又将的图象向右平移个单位长度，向上平移1个单位长度，得到的图象， 所以， 又定义域为，满足，， 所以为偶函数，不是奇函数. 故选：B. 20. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上.若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据椭圆方程求出的值，利用椭圆的定义及余弦定理求出的值即可得解. 【详解】 椭圆，则，，则， 由椭圆的定义可知， 又因为，， 所以，因为， 解得. 故选：D. 卷二（非选择题 共60分） 二、填空题：本大题共5个小题.每小题4分，共20分. 21. 已知向量，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量内积的坐标表示即可解得. 【详解】因为，， 所以. 故答案为：. 22. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_____________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合三视图的概念及圆柱的体积公式，即可求解. 【详解】 由题意知，该几何体是一个半圆柱，且半径为2，高是3， 所以该几何体的体积. 故答案为：. 23. 某单位有技工人，技术员人，工程师人，需要从这些人中抽取一个容量为的样本；如果采用系统抽样和分层抽样方法，都不用剔除个体；如果样本容量增加一个，则在采用系统抽样时，需要在总体中剔除一个个体，则样本容量为_________. 【答案】 【解析】 【分析】分析出能被整除，能被整除，能被整除，由此可求得的值. 【详解】总体个数为，则能被整除， 且该单位技工、技术员、工程师的人数之比为，所以，能被整除， 根据题意可知，能被整除，故. 故答案为：. 24. 已知三角形的三个顶点分别为，，，为的中点，为的中点，则中位线所在的直线方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先由中点坐标公式求出M，N的坐标，再求出直线的斜率，写出直线方程即可. 【详解】由中点坐标公式知：，， 所以直线的斜率为， 所以所在的直线方程为，即. 故答案为：. 25. 已知与直线相交，若在轴右侧的交点自左向右依次记为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用三角函数的诱导公式与二倍角的正弦可知，令求得的横坐标，据此可得解． 【详解】， 由可得：，解得， 所以在轴右侧的交点的横坐标自左向右依次为：，，，，， 所以. 故答案为： 三、解答题：本大题共5个小题，共40分. 26. 已知偶函数在区间上是减函数. （1）若，比较与的大小； （2）若函数，判断函数在上的单调性，并给出证明. 【答案】（1） （2）增函数，证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性的性质以及不等式的性质求解即可. （2）根据函数单调性的定义进行证明即可. 【小问1详解】 因为函数为偶函数，所以， 因为，且在区间上是减函数， 所以，即. 【小问2详解】 在上为增函数. 证明：任取且， 则， 因为在上是减函数，且， 所以，即， 则，得到， 所以在上为增函数. 27. 已知数列为等差数列，，. （1）求数列的通项公式. （2）设，求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合等差数列的性质，先求出公差和首项，继而求得通项公式； （2）根据题意，先表示出，结合等差数列和等比数列的前n项和公式，利用分组并项求和法，即可求解. 【小问1详解】 因为为等差数列，设公差为d， 又，， 所以， 所以， 所以； 【小问2详解】 由（1）知，， 所以， 所以 . 28. 已知函数. （1）求该函数的最小正周期； （2）若将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，用“五点法”作出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图. 【答案】（1） （2）作图见解析 【解析】 【分析】（1）根据二倍角的正弦公式化简函数，再根据正弦函数的周期求解即可. （2）根据图像平移规律得到，再根据五点法求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以该函数的最小正周期. 【小问2详解】 . 列表： 0 0 3 0 0 描点、连线、标示图象： 得到函数在上的简图. 29. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1，为底面的中心．求证： （1）平面AB1D1//平面C1BD； （2）． 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，分别证明平面，平面，由面面平行的判定定理可证；（2）在等腰三角形中可证，由平行线的传递性可证. 【详解】解：（1）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，，且，所以四边形为平行四边形，则，同理 平面，平面，所以平面，同理平面，且，所以平面AB1D1//平面C1BD； （2）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，，为的中点，所以，又，所以. 30. 已知双曲线的渐近线方程为，实轴长为2，与圆在第一象限交于点，过圆心的直线交双曲线于点，（均异于点）.求： （1）双曲线的标准方程； （2）直线与直线的斜率之和. 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）根据已知条件确定和的值即可； （2）先求出点的坐标，再设出直线的方程，联立双曲线方程，利用韦达定理求出和，最后代入斜率公式求解. 【小问1详解】 因为实轴长为2，所以， 又因为双曲线的渐近线方程为， 所以，所以， 所以双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 由，消除可得, 解得或, 得或或或， 所以. 已知圆的圆心， 由题意知：过点与双曲线相交于，两点的直线斜率存在，设斜率为， 则直线的方程为，设，，， 由，得， 所以 所以且，， 因为，， 所以 . 所以直线与直线的斜率之和为3. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省普通高校招生（春季）考试 数学仿真模拟试题一 本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分，满分120分，考试时间120分钟.考生请在答题卡上答题，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 卷一（选择题 共60分） 一、选择题：本大题共20个小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 若复数，则（ ） A. B. 4 C. 2 D. 3. 已知，则“，”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知直线的倾斜角为，则直线的斜率是（ ） A. B. C. D. 5. 不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 或 6. 若二次函数的图象如图所示，则（　　） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 7. 在等差数列中，为它的前项和.若，，则（ ） A. 0 B. C. D. 8. 已知函数，则（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 10 9. 甲、乙两人各有2张卡片，每张卡片上只有一个数字，甲的卡片上分别是2，4，乙的卡片上分别是2，5.若甲、乙两人从各自的卡片中随机拿出一张比较数字的大小，则甲的数字不大于乙的数字的概率是（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题错误的是（ ） A. 如果一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行 B. 如果两个平面平行，那么第一个平面内的任意一条直线都平行于第二个平面 C. 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行 D. 如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面 11. 已知随机变量的分布列： 0 1 2 则是（ ） A. B. C. D. 12. 若直线经过第二、三、四象限，则方程表示的曲线是（ ） A. 椭圆 B. 抛物线 C. 双曲线 D. 圆 13. 现从5名女生，3名男生中，选派2名女生，1名男生分别参加全校的“资源”“生态”“环保”三个活动，则不同的方案共有（ ） A. 60种 B. 90种 C. 120种 D. 180种 14. 网格中的每个单元格都是边长为1的正方形，向量，的起点和终点都在网格线的交点处，则（ ） A. 4 B. 5 C. D. 15. 下列关于斜二测画法的说法中，正确的是（ ） A. 正方形的直观图是正方形 B. 菱形的直观图是菱形 C. 正方形的面积为1，则正方形的直观图的面积为 D. 三角形的面积为1，则三角形的直观图的面积为 16. 已知的展开式的各项系数和为243，则展开式中的系数为（ ） A. 60 B. 80 C. 120 D. 180 17. 设抛物线的焦点为，准线为，则以为圆心，且与相切的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 18. 已知在中，，，所对的边分别为，，，且满足，，，且，则（ ） A. 2 B. 4 C. D. 19. 若，，，为实数，且，定义函数，现将的图象向右平移个单位长度，向上平移1个单位长度，得到的图象，则为（ ） A. 奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 既是奇函数又是偶函数 20. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上.若，则等于（ ） A. B. C. D. 卷二（非选择题 共60分） 二、填空题：本大题共5个小题.每小题4分，共20分. 21. 已知向量，，则__________. 22. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_____________ 23. 某单位有技工人，技术员人，工程师人，需要从这些人中抽取一个容量为的样本；如果采用系统抽样和分层抽样方法，都不用剔除个体；如果样本容量增加一个，则在采用系统抽样时，需要在总体中剔除一个个体，则样本容量为_________. 24. 已知三角形的三个顶点分别为，，，为的中点，为的中点，则中位线所在的直线方程为__________. 25. 已知与直线相交，若在轴右侧的交点自左向右依次记为，则__________. 三、解答题：本大题共5个小题，共40分. 26. 已知偶函数在区间上是减函数. （1）若，比较与的大小； （2）若函数，判断函数在上的单调性，并给出证明. 27. 已知数列为等差数列，，. （1）求数列的通项公式. （2）设，求数列的前n项和. 28. 已知函数. （1）求该函数的最小正周期； （2）若将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，用“五点法”作出函数在长度为一个周期的闭区间上的简图. 29. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1，为底面的中心．求证： （1）平面AB1D1//平面C1BD； （2）． 30. 已知双曲线的渐近线方程为，实轴长为2，与圆在第一象限交于点，过圆心的直线交双曲线于点，（均异于点）.求： （1）双曲线的标准方程； （2）直线与直线的斜率之和. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $