其他向量综合问题课件-2026届高三数学二轮专题复习

专题四 平面向量 【新高考二轮复习专题】 专题4.3 其他向量综合问题 目录 典例精讲·通性通法·变式训练 1 2 3 考点概览 知识点拨 重点题型 向量综合 向量与函数 平面向量与解析几何 平面向量与解三角形 已知定义域求值域问题 存在最值反求参数范围问题 隐圆的识别 模长最值问题 距离问题 求外接圆半径 三角形内的数量积最值 三角形四心 四心的性质 四心的向量表达式 考点概览 20-25 年真题统计 具体考察方式 2020年浙江卷第17题 根据数量积的取值范围求两个向量夹角余弦值的最值 2020年浙江卷第17题 利用函数或柯西不等式求投影的平方和最值 考点一 向量与函数 考频统计 考点一 向量与函数 1.向量夹角公式 已知两个非零向量它们的夹角为， 2.投影法求数量积 如图，对于其中其中是在上的投影的数量， 在中，故， 考虑到可能为钝角，故写成. 知识点拨 考点一 向量与函数 设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为 ． ， ， ， . 故答案为：. 重点题型 考点一 向量与函数 已知的外接圆圆心为， ，若为实数有最小值，则参数的取值范围是          ． ， 同理  ．由于 ， 故  即  ，解得   带入有最小值， 解得 故答案为：  ． 重点题型 考点一 向量与函数 已知在中，，，，其外接圆圆心满足：，则的取值范围是           ． ，又可设， 所以，化简得，解得，故，又，可得，即的取值范围是． 故答案为：． 重点题型 考点一 向量与函数 已知平面向量、、满足，则与所成夹角的最大值是           设与夹角为，与所成夹角为， ，所以，① ，② ，③ 由上可得，④ 重点题型 考点一 向量与函数 已知平面向量、、满足，则与所成夹角的最大值是           ①④联立可得 ，当且仅当时，取等号， ，，则，故与所成夹角的最大值是，故答案为： 重点题型 考点一 向量与函数 已知平面向量满足.记向量在方向上的投影分别为，，在方向上的投影为，则的最小值为 . 由题意，设， 则，即，在方向上的投影，即,所以， 当且仅当即时，等号成立，故答案为：. 重点题型 1.根据题目所给条件，得到相应的等式（不等）关系. 2.将目标结构化简成单变量函数. 3.根据所得到的等式或不等关系，根据函数的单调性，根据所求的定义域求目标函数值域，或者利用均值、柯西不等式求最值. 解题通法 考点一 向量与函数 归纳总结 20-25 年真题统计 具体考察方式 2025年全国丙卷第6题 利用数量积的坐标表示动点轨迹 2020年上海卷第12题 根据模长为定值将问题转化为圆与圆的交点个数问题 2022年天津卷第14题 利用数量积的坐标运算求点的轨迹，根据轨迹图形，求张角最大值 考点二 平面向量与解析几何 考频统计 考点二 平面向量与解析几何 1.定值圆：记为定点，若出现，，，可得到圆，若出现这种形式，我们可以设，也能转化成上面第三种形式. 2.直径圆：圆的直径所对的圆周角为直角，在向量问题中，向量垂直. 3.向量圆：为两个定点，若λ(且)，点为动点，则点的轨迹为圆． 简证：取中点，，为定值,得证.在向量问题中也表示为，其中为定向量． 知识点拨 考点二 平面向量与解析几何 若单位向量 满足，向量满足，则（    ）. A． B． C． D． 令，不妨，所以 令，则 ，所以. 故选：C. 中点坐标为，因为，所以在以为直径的圆上， 即，所以， 重点题型 考点二 平面向量与解析几何 已知，是上的两个动点，且.设，，线段的中点为，则（    ） A． B．点的轨迹方程为 C．的最小值为6 D．的最大值 A选项，由题意得，半径为，则，解得， 由于，则，故，A错误；B选项，由A选项可得，故点的轨迹为以为圆心，半径为1的圆，故点的轨迹方程为，B正确； C选项，，其中, 重点题型 考点二 平面向量与解析几何 已知，是上的两个动点，且.设，，线段的中点为，则（    ） A． B．点的轨迹方程为 C．的最小值为6 D．的最大值 点的轨迹方程为，所以的最小值为，故的最小值为，C正确； D选项，可看作点到直线的距离，可看作点到直线的距离，故可看作点到直线的距离，点故点到直线的距离为，故，所以，故最大值为，D错误. 选：BC 重点题型 考点二 平面向量与解析几何 已知平面向量，，满足，，， ，则的最小值为 . 令，，，OB的中点为D，AB的中点为E，OD的中点为F，与的夹角为，连接CA、CB、CD、CO、EF.由，，，得， ， 在中，由余弦定理得.又由，得，即，所以点的轨迹为以为直径的圆. ， 当且仅当点共线，且点在点之间时，等号成立. 所以的最小值为. 重点题型 考点二 平面向量与解析几何 已知是平面向量，是单位向量.若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是 . ， 则由得，，即可得； 由得，即； 易知代表以为圆心上的点到直线的距离， 圆心到直线的距离为， 因此的最小值为圆心到直线的距离4减去半径1，为3. 故答案为：3 重点题型 1.题目若有给定向量，可建立直角坐标系,将已知向量固定在合适位置. 2.在坐标系下探求动点轨迹，将轨迹方程表示出来. 3.将问题转化为常见的几何问题，如模长最值，距离最值等问题. 解题通法 考点二 平面向量与解析几何 归纳总结 20-25 年真题统计 具体考察方式 2025全国甲卷文科第3题 已知两个向量平行求参数的值 2024全国甲卷理科第9题 向量平行（垂直）的条件 考点三 平面向量与解三角形 考频统计 考点三 平面向量与解三角形 1.正弦定理:在中， 2.面积公式: 在中 3.均值不等式:有当且仅当时取等 知识点拨 考点三 平面向量与解三角形 设点在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是 ． 同理得，，， 在中， 法一： 重点题型 考点三 平面向量与解三角形 设点在单位圆的内接正八边形的边上，则的取值范围是 ． 法二：以圆心为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，如图所示： ,，设, 于是， 因为，所以， 故的取值范围是.故答案为：． 重点题型 考点三 平面向量与解三角形 已知直线，是之间的一定点并且点到的距离分别为1，2，是直线上一动点，作，且使与直线交于点，，则（    ） A．面积的最小值为 B．点到直线的距离为定值 C．当时，的外接圆半径为 D．的最大值为 则在中，，因为，所以在中，，所以，所以，因为，所以当且仅当时，取到最大值，所以面积的最小值为，所以A正确， 过作的垂线，分别交于点，则，设， 重点题型 考点三 平面向量与解三角形 已知直线，是之间的一定点并且点到的距离分别为1，2，是直线上一动点，作，且使与直线交于点，，则（    ） 则，所以，， 所以， 所以， 所以，所以点到直线的距离为，是定值，所以B正确 如图，以为原点，所在的直线为轴，建立平面直角坐标系， A．面积的最小值为 B．点到直线的距离为定值 C．当时，的外接圆半径为 D．的最大值为 重点题型 考点三 平面向量与解三角形 已知直线，是之间的一定点并且点到的距离分别为1，2，是直线上一动点，作，且使与直线交于点，，则（    ） 因为，， 所以，因为，所以，解得， 所以，，所以， 所以，，因为，所以，由正弦定理得，即的外接圆半径为，所以C错误 A．面积的最小值为 B．点到直线的距离为定值 C．当时，的外接圆半径为 D．的最大值为 重点题型 考点三 平面向量与解三角形 已知直线，是之间的一定点并且点到的距离分别为1，2，是直线上一动点，作，且使与直线交于点，，则（    ） 对于D，因为， 所以 ，当且仅当，即时取等号，所以的最大值为，所以D正确， 故选：ABD A．面积的最小值为 B．点到直线的距离为定值 C．当时，的外接圆半径为 D．的最大值为 重点题型 考点三 平面向量与解三角形 的斜边长为，点为线段中垂线上任意一点，点为射线上一点，满足，则面积的最大值为(    ) A. B. C. D. 以直线为轴，的中点为坐标原点，的垂线为轴，建立直角坐标系 ，，，设，，可得，，又 得，，即，因为， 所以 令，，则，令，解得， 重点题型 考点三 平面向量与解三角形 的斜边长为，点为线段中垂线上任意一点，点为射线上一点，满足，则面积的最大值为(    ) A. B. C. D. 因为所以 在上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，在上单调递减， 又， 所以，的最大值为．故选：A． 重点题型 1. 遇到特殊图形，巧用建系. 2. 标记各个点的坐标，得到目标所对应的最简表达式. 3. 将几何问题转为代数问题.利用不等式，函数，解三角形知识解决问题. 解题通法 考点三 平面向量与解三角形 归纳总结 考点四 三角形四心 1.重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1. 2.内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等. 3.外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等. 4.垂心：高线的交点，高线与对应边垂直. 知识点拨 已知点是所在平面内点，有下列四个等式： 甲： ； 乙： ； 丙： ； 丁： ． 如果只有一个等式不成立，则该等式为（ ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 甲：为的重心； 乙：,即为； 丙：为的外心； 丁：为的垂心（投影转换） 则为等边三角形时，三心重合，故选：B. 考点四 三角形四心 重点题型 已知点是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足， 则的轨迹一定通过的( ) A.外心 B．内心 C．重心 D．垂心 令是以为起点向量为邻边的菱形的对角线对应的向量，即在的平分线上. 又故的轨迹一定通过的内心，故选：B． 考点四 三角形四心 重点题型 若在所在的平面内，是的三边，满足以下条件 ,则是的（　） A．垂心 B．重心 C．内心 D．外心 ，故为平分， 同理平分平分 所以是的内心，故选：C． 考点四 三角形四心 重点题型 已知是平面上一定点， 是平面上不共线的三个点，动点满足，，则动点的轨迹一定通过的( )． A．重心 B．外心 C．内心 D．垂心 , 故的轨迹一定通过的垂心，故选：D． 考点四 三角形四心 重点题型 1.熟记三角形四心的性质. 2.将题目较为复杂的向量通过线性运算或数量积运算化简形式. 3.关注目标点所落在的线上，如中线，角平分线，高线等. 解题通法 考点四 三角形四心 归纳总结 $