第2章 方程与不等式 2026年中考数学专题复习课件（山东）

第八讲　不等式与不等式组 核心知识 夯实 典型例题 研析 中考真题 体验 核心知识 夯实 知识要点 1.不等式的性质 (1)性质1:不等式两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向______. 即如果a>b,那么a±c_______b±c.  (2)性质2:不等式两边乘(或除以)同一个正数,不等号的方向______. 即如果a>b,c>0,那么ac_______bc.  (3)性质3:不等式两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向______. 即如果a>b,c<0,那么ac_______bc.  不变 　>　 不变 　>　 改变 　<　 ‹#› 1.若-6x<12,两边都除以-6,得( ) A.x<2　　 B.x>-2 C.x>2 D.x<-2 对点练习 B ‹#› 2.一元一次不等式组的解集的四种类型(设a<b) 知识要点 不等式组 数轴表示 解集 一般规律(口诀) (1) _________ 同大取大 (2) _________  同小取小 (3) ___________  小(大)大(小) 中间找 (4) __________  大(大)小(小) 无解了 　x>b　  　x<a　 　a<x<b　 　无解　 ‹#› 2.解不等式组,并将解集表示在所给的数轴上. 【解析】, 解①得:x>2,解②得:x≤4, 故不等式组的解集是:2<x≤4,解集在数轴上表示为 对点练习 ‹#› 3.一元一次不等式的实际应用 (1)用不等式解实际问题的一般步骤: (2)关键词: 解答不等式的实际应用问题时常见关键词与符号的对应关系: ①大于,多于,超过,高于用_______表示;  ②小于,少于,不足,低于用_______表示;  ③至少,不低于,不小于,不少于用_______表示;  ④至多,不超过,不高于,不大于用_______表示.  知识要点 　>　 　<　 　≥　 　≤　 ‹#› 3.某品牌衬衫进价为120元,标价为240元,商家规定可以打折销售,但其利润率 不能低于20%,则这种品牌衬衫最多可以打几折?( ) A.8 B.6 C.7 D.9 对点练习 B ‹#› 典型例题 研析 考点1不等式的性质 例1　(2025·广西中考)有两个容量足够大的玻璃杯,分别装有a克水、b克水,a>b, 都加入c克水后,下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是( ) A.a+c>b+c B.a+c=b+c C.a+c<b+c D.a-c<b-c 变式1　(2024·广州中考)若a<b,则( ) A.a+3>b+3 B.a-2>b-2 C.-a<-b D.2a<2b A D ‹#› 名师点金 应用不等式性质的两个注意 (1)不等式两边乘(或除以)同一个负数时,不等号的方向要改变; (2)不等式两边乘(或除以)同一个数时,注意数不能为0. ‹#› 考点2一元一次不等式的实际应用 例2　(2025·遂宁中考)为了建设美好家园,提高垃圾分类意识,某社区决定购买A,B两种型号的新型垃圾桶.现有如下材料: 材料一:已知购买3个A型号的新型垃圾桶和购买2个B型号的新型垃圾桶共380元;购买5个A型号的新型垃圾桶和购买4个B型号的新型垃圾桶共700元. 材料二:据统计该社区需购买A,B两种型号的新型垃圾桶共200个,但总费用不超过15 300元,且B型号的新型垃圾桶数量不少于A型号的新型垃圾桶数量的. 请根据以上材料,完成下列任务: 任务一:求A,B两种型号的新型垃圾桶的单价. 任务二:有哪几种购买方案? 任务三:哪种方案更省钱?最低购买费用是多少元? ‹#› 【解析】任务一:设A型号的新型垃圾桶的单价是x元,B型号的新型垃圾桶的单价是y元, 根据题意得:,解得:. 答:A型号的新型垃圾桶的单价是60元,B型号的新型垃圾桶的单价是100元. 任务二:设购买m个A型号的新型垃圾桶,则购买(200-m)个B型号的新型垃圾桶, 根据题意得:, 解得:≤m≤120, 又∵m为正整数, ‹#› ∴m可以为118,119,120,∴共3种购买方案, 方案1:购买118个A型号的新型垃圾桶,82个B型号的新型垃圾桶; 方案2:购买119个A型号的新型垃圾桶,81个B型号的新型垃圾桶; 方案3:购买120个A型号的新型垃圾桶,80个B型号的新型垃圾桶. 任务三:选择方案1所需费用为60×118+100×82=15 280(元); 选择方案2所需费用为60×119+100×81=15 240(元); 选择方案3所需费用为60×120+100×80=15 200(元), ∵15 280>15 240>15 200, ∴方案3:购买120个A型号的新型垃圾桶,80个B型号的新型垃圾桶更省钱,最低购买费用是15 200元. ‹#› 变式2　(2025·长沙中考)为落实科技兴农政策,某乡办食品企业应用新科技推动农产品由粗加工向精加工转变.根据市场需求,该食品企业将收购的农产品加工成A,B两种等级的农产品对外销售,已知销售6千克A等级农产品和4千克B等级农产品共收入112元,销售4千克A等级农产品和2千克B等级农产品共收入68元.(不考虑加工损耗) (1)求每千克A等级农产品和每千克B等级农产品的销售单价分别为多少元? (2)若该食品企业以每千克8元购进6 000千克农产品,全部加工后对外销售,要求总利润不低于16 000元,则至少需加工A等级农产品多少千克? ‹#› 【解析】(1)设每千克A等级农产品的销售单价为x元,每千克B等级农产品的销售单价为y元, 由题意得:, 解得:, 答:每千克A等级农产品的销售单价为12元,每千克B等级农产品的销售单价为10元; ‹#› (2)设需加工A等级农产品m千克,则需加工B等级农产品(6 000-m)千克, 由题意得:(12-8)m+(10-8)(6 000-m)≥16 000, 解得:m≥2 000, 答:至少需加工A等级农产品2 000千克. ‹#› 名师点金 列不等式(组)解应用题的“三点注意” (1)在设未知数和写答案时,一定要写清单位,列不等式时两边所表示的量应相同,并且单位要统一; (2)不等关系的给出总是以“至少”“小于”“不超过”“最多”等关系词语作为标志,列不等式时一定要准确使用数学符号; (3)检验一个解是否为应用题的解时,必须满足: ①是不等式(组)的解;②符合实际问题的意义,如求得的人数必须是正整数等. ‹#› 考点3解一元一次不等式(组)及解集表示 【一题多设问】 例3　已知两个一元一次不等式-≤1与3(x+1)>5x-3. (1)解不等式:解不等式-≤1,并把解集在数轴上表示出来. 【解析】去分母,得2×(2x-1)-3×(5x+1)≤6, 去括号,得4x-2-15x-3≤6, 移项,得4x-15x≤6+3+2, 合并同类项,得-11x≤11,系数化为1,得x≥-1. 在数轴上表示不等式的解集如图: ‹#› (2)求不等式组的解:将不等式-≤1与3(x+1)>5x-3组成不等式组,解不等式组,并求出其整数解. 【解析】根据题意得 解-≤1得,x≥-1,解3(x+1)>5x-3得x<3, 所以不等式组的解集:-1≤x<3,在数轴上表示为: 不等式组的整数解为-1,0,1,2. ‹#› (3)已知不等式组的解集,求参数的取值范围: 若不等式组的解集是x<3,那么m的取值范围是( ) A.m>3 B.m≥3 C.m<2 D.m≤2 (4)已知不等式组无解,求参数的取值范围: 若不等式组无解,那么m的取值范围是( ) A.m>3 B.m≥3 C.m<2 D.m≤2 B B ‹#› 满分技法 1.解一元一次不等式的三个注意: (1)去分母时不要漏乘常数项; (2)系数化为1时,要注意是否要改变不等号的方向; (3)用数轴表示不等式解集时,要注意“空心圆圈”与“实心圆点”的区别. 2.根据不等式组解集的“口诀法”,当不等式组中的不等式解集符合“大大小小找不到”时,不等式组无解,此时要注意待定字母的取值是否包括界点数. ‹#› 中考真题 体验 1.(2024·苏州中考)若a>b-1,则下列结论一定正确的是( ) A.a+1<b B.a-1<b C.a>b D.a+1>b 2.(2025·吉林中考)不等式x-3>2的解集为( ) A.x>5 B.x<5 C.x>-1 D.x<-1 D A ‹#› 3.(2025·内蒙古中考)不等式组的解集在数轴上表示正确的是( ) 4.(2025·浙江中考)不等式组的解集是___________.  C 　-2≤x<4　 ‹#› 5.(2025·威海中考)解不等式组,并把它的解集表示在数轴上. 【解析】, 解不等式①得:x>-4, 解不等式②得:x≤3, ∴不等式组的解集为-4<x≤3, 把解集表示在数轴上,如图所示: ‹#› 6.(2025·湖南中考)同学们准备在劳动课上制作艾草香包,需购买A,B两种材料.已知A种材料的单价比B种材料的单价多3元,且购买4件A种材料与购买6件B种材料的费用相等. (1)求A种材料和B种材料的单价; (2)若需购买A种材料和B种材料共50件,且总费用不超过360元,则最多能购买A种材料多少件? ‹#› 【解析】(1)设A种材料的单价为x元,则B种材料的单价为(x-3)元, 由题意得:4x=6(x-3),解得:x=9, ∴x-3=6. 答:A种材料的单价为9元,B种材料的单价为6元. (2)设能购买A种材料m件, 则能购买B种材料(50-m)件, 由题意得:9m+6(50-m)≤360, 解得:m≤20. 答:最多能购买A种材料20件. ‹#› 本课结束 ‹#› $第六讲　分式方程 核心知识 夯实 典型例题 研析 中考真题 体验 核心知识 夯实 知识要点 1.分式方程的定义及解法 (1)定义:__________中含有未知数的方程.  (2)解法 ①基本思想:将分式方程转化为__________方程.  ②方法:去分母,即方程两边同乘____________. ③解分式方程时,求出的未知数的值,可能会使分式无意义,因此,解分式方程 必须检验. 　分母　 　整式　 最简公分母 ‹#› 1.(1)分式方程=的解是( ) A.x=1　　 B.x=-1 C.x=3 D.x=-3 (2)代数式与代数式的值相等,则x=_______.  对点练习 D 　7　 ‹#› 2.列分式方程解应用题 与列一元一次方程解应用题相同,基本步骤是审题、设未知数、列方程、解方程、检验并作答. 知识要点 ‹#› 2.将5 kg浓度为98%的酒精,稀释为75%的酒精.设需要加水x kg,根据题意可列 方程为( ) A.0.98×5=0.75x　　 B.=0.75 C.0.75×5=0.98x D.=0.98 对点练习 B ‹#› 典型例题 研析 考点1分式方程的解法 例1　(2025·威海中考)解分式方程-1=. 【解析】去分母,得x-2-2x+1=-1, 解得x=0, 检验:当x=0时,2x-1≠0, 故原方程的解为x=0. ‹#› 变式1-1　(2025·湖南中考)将分式方程=去分母后得到的整式方程为( ) A.x+1=2x B.x+2=1 C.1=2x D.x=2(x+1) 变式1-2　(2025·甘肃中考)方程=1的解是x=_______.  A 　-1　 ‹#› 变式1-3　(2025·浙江中考)解分式方程:-=0. 【解析】-=0, 方程两边同时乘(x-1)(x+1),得3(x-1)-(x+1)=0, 去括号,得3x-3-x-1=0, 移项、合并同类项,得2x=4, 系数化为1,得x=2, 检验:当x=2时,(x-1)(x+1)≠0, ∴x=2是原方程的解. ‹#› 名师点金 解分式方程的三个注意 (1)去分母时,不要漏乘常数项; (2)去括号时,若括号前面是负号,括号内要变号; (3)解得根后要代入原分式方程或最简公分母检验. ‹#› 考点2由解的情况求参数的取值范围 例2　(2025·眉山中考)若关于x的不等式组至少有两个正整数 解,且关于x的分式方程=2-的解为正整数,则所有满足条件的整数a的值 之和为( ) A.8 B.14 C.18 D.38 B ‹#› 变式2-1　(2025·龙东中考)已知关于x的分式方程-=3的解为负数,则k的 值为( ) A.k<-4 B.k>-4 C.k<-4且k≠- D.k>-4且k≠- A ‹#› 名师点金 已知分式方程的解的符号,求参数的取值范围的步骤 (1)将分式方程化为整式方程,把未知数用其他字母表示; (2)根据分式方程的解的符号和最简公分母不等于零两个条件,列不等式组求解. ‹#› 变式2-2　(2025·齐齐哈尔中考)如果关于x的分式方程+=2无解,那么实 数m的值是( ) A.m=1 B.m=-1 C.m=1或m=-1 D.m≠1且m≠-1 C ‹#› 名师点金 分式方程的增根与无解的关系 (1)分式方程无解,可能是解为增根,也可能是去分母后整式方程无解; (2)分式方程的增根有两层含义: ①去分母后的整式方程的根; ②使分式方程的最简公分母为0. ‹#› 考点3分式方程的应用 例3　(2025·扬州中考)某文创商店推出甲、乙两款具有纪念意义和实用价值的书签,已知甲款书签价格是乙款书签价格的倍,且用100元购买甲款书签的数量比用128元购买乙款书签的数量少3个.求这两款书签的单价. ‹#› 【解析】设乙款书签的单价是x元,则甲款书签的单价是x元, 根据题意得:-=3, 解得:x=16, 经检验,x=16是所列方程的解,且符合题意, ∴x=×16=20. 答:甲款书签的单价是20元,乙款书签的单价是16元. ‹#› 变式3-1　(2025·深圳中考)某社区植树60棵,实际种植人数是原计划人数的2 倍,实际平均每人种植棵数比原计划少了3棵.若设原计划人数为x人,则下列方 程正确的是( ) A.-=3 B.-=3 C.=2× D.=2× A ‹#› 变式3-2　(2025·河北中考)“这么近,那么美,周末到河北”.嘉嘉周末到弘济桥游览, 发现青石桥面上有三叶虫化石,他想了解其长度,在化石旁放了一支笔拍下照 片(如图).回家后量出照片上笔和化石的长度分别为7 cm和4 cm,笔的实际长度 为14 cm,则该化石的实际长度为( ) A.2 cm B.6 cm C.8 cm D.10 cm C ‹#› 变式3-3　(2025·重庆中考)列方程解下列问题:某厂生产甲、乙两种文创产品.每天生产甲种文创产品的数量比每天生产乙种文创产品的数量多50个,3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个. (1)求该厂每天生产的甲、乙文创产品数量分别是多少个. (2)由于市场需求量增加,该厂对生产流程进行了改进.改进后,每天生产乙种文创产品的数量较改进前每天生产的数量增加同样的数量,且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙种文创产品每天增加数量的2倍.若生产甲、乙两种文创产品各1 400个,乙比甲多用10天,求每天生产的乙种文创产品增加的数量. ‹#› 【解析】(1)设该厂每天生产甲种文创产品的数量是x个,则每天生产乙种文创产品的数量是(x-50)个, 根据题意得:3x-4(x-50)=100, 解得:x=100,∴x-50=100-50=50. 答:该厂每天生产甲种文创产品的数量是100个,每天生产乙种文创产品的数量是50个. ‹#› (2)设每天生产的乙种文创产品增加的数量是y个,则每天生产的甲种文创产品增加的数量是2y个, 根据题意得:-=10, 解得:y=20, 经检验,y=20是所列方程的解,且符合题意. 答:每天生产的乙种文创产品增加的数量是20个. ‹#› 名师点金 行程问题、打折销售问题、工程问题中的常用关系式 (1)行程问题:=时间; (2)打折销售问题:=数量; (3)工程问题:①=工作时间; ②=工作效率(工作总量看作整体“1”). ‹#› 中考真题 体验 1.(2024·德阳中考)分式方程=的解是( ) A.3 B.2 C. D. 2.(2025·绥化中考)用A,B两种货车运输化工原料,A货车比B货车每小时多运输 15吨,A货车运输450吨所用时间与B货车运输300吨所用时间相等.若设B货车 每小时运输化工原料x吨,则可列方程为( ) A.= B.= C.= D.= D C ‹#› 3.(2025·宜宾中考)分式方程+=0的解为_________.  4.(2024·牡丹江中考)若分式方程=3-的解为正整数,则整数m的值 为_______.  　x=1　 　-1　 ‹#› 5.(2025·山西中考)我国自主研发的HGCZ-2000型快速换轨车,采用先进的自动化技术,能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务.一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的公里数是一个工作队人工更换钢轨的2倍,它更换116公里钢轨比一个工作队人工更换80公里钢轨所用时间少22小时.求一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少公里. ‹#› 【解析】设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨x公里. 根据题意得:-=22. 解得:x=2. 经检验,x=2是原方程的解,且符合题意. 答:一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2公里. ‹#› 本课结束 ‹#› $第七讲　一元二次方程 核心知识 夯实 典型例题 研析 中考真题 体验 核心知识 夯实 知识要点 1.一元二次方程的概念 (1)定义:只含有_______个未知数,并且未知数的最高次数是_______的整式方程.  (2)一般形式:____________________.  　1　 　2　 　ax2+bx+c=0(a≠0)　 ‹#› 1.下列方程中是一元二次方程的是( ) A.(x-2)2+4=x2　　B.x2+2x+2=0 C.x2+-3=0 D.xy+2=1 对点练习 B ‹#› 2.一元二次方程的解法 知识要点 ‹#› 2.一元二次方程x2+4x-8=0的解是( ) A.x1=2+2,x2=2-2 B.x1=2+2,x2=2-2 C.x1=-2+2,x2=-2-2 D.x1=-2+2,x2=-2-2 对点练习 D ‹#› 3.根的判别式与一元二次方程的根的情况 (1)Δ=b2-4ac>0⇔方程______________的实数根. (2)Δ=b2-4ac=0⇔方程________________的实数根.  (3)Δ=b2-4ac<0⇔方程__________实数根.  知识要点 有两个不相等 　有两个相等　 　没有　 ‹#› 3.下列一元二次方程无实数根的是( ) A.x2+x-2=0 B.x2-2x=0 C.x2+x+5=0 D.x2-2x+1=0 对点练习 C ‹#› 4.根与系数的关系 如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根是x1,x2,那么x1+x2=_______,x1·x2=_____.  知识要点 　-　  　 4.已知实数x1,x2是方程x2+x-1=0的两根,则x1x2=_______.  对点练习 　-1　 ‹#› 5.一元二次方程的应用 常考类型及公式: (1)面积问题:S矩形=长×宽,S△=×底×高; (2)增长率问题:原量×(1+x)2=新量; (3)互赠、握手问题: x人互赠:x(x-1),x人两两握手:x(x-1); (4)营销问题:总利润=一件利润×销售量. 知识要点 ‹#› 5.某电动自行车厂四月份的产量为1 000辆,由于市场需求量不断增大,六月份 的产量提高到1 210辆,则该厂五、六月份的月平均增长率为( ) A.10% B.11% C.12.1% D.21% 对点练习 A ‹#› 典型例题 研析 考点1一元二次方程的解法及根的判别式 【一题多设问】 例1　已知关于x的方程(k-3)x2-3x+2=0. (1)根据定义求参数的值或取值范围:若方程是一元二次方程,则k的取值范围 为_________.  　k≠3　 ‹#› (2)解一元二次方程:当k=4时,请用三种方法解一元二次方程. 【解析】当k=4时,原方程为x2-3x+2=0. ①公式法:Δ=b2-4ac=(-3)2-4×1×2=9-8=1, ∴x===,∴x1=1,x2=2. ②配方法:x2-3x+2=0,x2-3x=-2, ∴x2-3x+(-)2=-2+(-)2,∴(x-)2=, ∴x-=±=±,∴x1=2,x2=1. ③因式分解法:x2-3x+2=0,(x-1)(x-2)=0, ∴x-1=0或x-2=0,∴x1=2,x2=1. ‹#› (3)已知方程的根,求参数的值:若关于x的一元二次方程(k-3)x2-3x+2=0一个根 为-1,则k的值为_______.  (4)已知方程的根的情况,求参数的取值范围: 若关于x的一元二次方程(k-3)x2-3x+2=0有实数根,求k的取值范围. 【解析】∵一元二次方程有实数根, ∴解得k≤且k≠3. 　-2　 ‹#› (5)已知方程的根的情况,求参数的值或取值范围:若方程有实数根,求k的取值范围. 【解析】当k-3=0,即k=3时,方程为-3x+2=0,解得x=.方程有解满足题意.当k-3≠0,即k≠3时,方程为一元二次方程(k-3)x2-3x+2=0.此方程有实数根,则(-3)2-4×2×(k-3)≥0,解得k≤. 综上所述,k的取值范围是k≤. ‹#› 满分技法 1.若方程的二次项系数含有字母,则必须注意只有当这个字母的取值使二次项系数不为0时,该方程才是一元二次方程. 2.配方时易出现的错误 (1)移项忘记变号. (2)系数化为1时漏项. (3)方程两边没有同时加上一次项系数一半的平方. 3.若已知方程的一根,求代数式或待定系数的值时,则可根据一元二次方程的根的定义,把根代入原方程,得到一个关于某个字母的方程,通过方程巧求代数式的值或解方程求字母的值. ‹#› 4.根据一元二次方程有实数根的情况列出方程或不等式,解方程或不等式求出字母的值或取值范围. 特别提醒:①若二次项系数中含有字母,则要加上二次项系数不为零这个限制条件; ②若未指明方程类型, 则需分情况讨论. ‹#› 考点2一元二次方程的应用 例2　(2025·威海中考)如图,某校有一块长20 m、宽14 m的矩形种植园.为了方便耕作管理,在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路(图中阴影部分).小路把种植园分成面积均为24 m2的9个矩形地块,请你求出小路的宽度. ‹#› 【解析】设小路的宽度为x m,则9块矩形地块可合成长为(20-4x)m,宽为(14-4x)m的矩形, 根据题意得:(20-4x)(14-4x)=24×9, 整理得:2x2-17x+8=0, 解得:x=或x=8(不符合题意,舍去). 答:小路的宽度为 m. ‹#› 变式2-1　(2025·广东中考)广东省统计局的相关数据显示,近年来高技术制造 业呈现快速增长态势.某公司工业机器人在今年5月产值达到2 500万元,预计7 月产值将增至9 100万元.设该公司6,7两个月产值的月均增长率为x,可列出的 方程为( ) A.2 500(1+x)2=9 100 B.2 500(1-x)2=9 100 C.2 500(1-2x)2=9 100 D.2 500(1+2x)2=9 100 A ‹#› 变式2-2　(2023·鸡西中考)如图,在长为100 m,宽为50 m的矩形空地上修筑四 条宽度相等的小路,若余下的部分全部种上花卉,且花圃的面积是3 600 m2,则 小路的宽是( ) A.5 m B.70 m C.5 m或70 m D.10 m A ‹#› 变式2-3　(人教九上P17T12)一个凸多边形共有20条对角线,它是几边形?是否存在有18条对角线的多边形?如果存在,它是几边形?如果不存在,说明得出结论的道理. 【解析】设这个多边形是n边形,则=20,∴n2-3n-40=0,(n-8)(n+5)=0, 解得n=8,n=-5(舍去),故多边形的边数为8; ∵=18,∴n2-3n-36=0, ∵b2-4ac=9+144=153,∴方程的根无法求出整数,故这样的多边形不存在. ‹#› 变式2-4　列方程(组)解应用题 端午节期间,某水果超市调查某种水果的销售情况,下面是调查员的对话: 小王:该水果的进价是每千克22元; 小李:当销售价为每千克38元时,每天可售出160千克;若每千克降低3元,每天的销售量将增加120千克. 根据他们的对话,解决下面所给问题:超市每天要获得销售利润3 640元,又要尽可能让顾客得到实惠,求这种水果的销售价为每千克多少元. ‹#› 【解析】设降低x元,超市每天可获得销售利润3 640元,由题意得, (38-x-22)=3 640, 整理得x2-12x+27=0,∴x=3或x=9. ∵要尽可能让顾客得到实惠,∴x=9, ∴售价为38-9=29(元). 答:水果的销售价为每千克29元时,超市每天可获得销售利润3 640元. ‹#› 中考真题 体验 1.(2023·新疆建设兵团中考)用配方法解一元二次方程x2-6x+8=0,配方后得到的 方程是( ) A.(x+6)2=28 B.(x-6)2=28 C.(x+3)2=1 D.(x-3)2=1 2.(2025·安徽中考)下列方程中,有两个不相等的实数根的是( ) A.x2+1=0 B.x2-2x+1=0 C.x2+x+1=0 D.x2+x-1=0 D D ‹#› 3.(2025·内江中考)若关于x的一元二次方程(a-1)x2+2x+1=0有实数根,则实数 a的取值范围是( ) A.a≤2 B.a<2 C.a≤2且a≠1 D.a<2且a≠1 C ‹#› 4.(2025·龙东中考)随着“低碳生活,绿色出行”理念的普及,新能源汽车已经逐渐 成为人们喜爱的交通工具.某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8 000辆 增加到三月份的12 000辆,设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x,则 可列方程为( ) A.8 000(1+2x)=1 200 B.8 000(1+x)2=12 000 C.8 000+8 000(1+x)+8 000(1+x)2=12 000 D.8 000×2(1+x)=12 000 B ‹#› 5.(2025·达州中考)已知关于x的方程x2+mx-3=0的一个根是1,则m的值为_______.  6.(2025·绥化中考)已知m,n是关于x的一元二次方程x2-2 025x+1=0的两个根, 则(m+1)(n+1)=__________.  　2　 　2 027　 ‹#› 7.(2024·安徽中考)解方程:x2-2x=3. 【解析】x2-2x=3, x2-2x-3=0,(x-3)(x+1)=0, ∴x1=3,x2=-1. ‹#› 8.(人教九上P25T7)要组织一次篮球联赛,赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场),计划安排15场比赛,应邀请多少个球队参加比赛? 【解析】设应邀请x个球队参加比赛, 依题意得:x(x-1)=15, 整理得:x2-x-30=0, 解得x1=6,x2=-5(不合题意,舍去). 答:应邀请6个球队参加比赛. ‹#› 9.(2025·南充中考)设x1,x2是关于x的方程(x-1)(x-2)=m2的两根. (1)当x1=-1时,求x2及m的值. (2)求证:(x1-1)(x2-1)≤0. 【解析】(1)把x1=-1代入方程(x-1)(x-2)=m2,得m2=6,∴m=±. ∴(x-1)(x-2)=6,即x2-3x-4=0, ∴(x-4)(x+1)=0, ∴x1=-1,x2=4. ‹#› (2)方程(x-1)(x-2)=m2可化为x2-3x+2-m2=0. ∴Δ=9-4(2-m2)=4m2+1>0, ∴方程有两个不相等的实数根. ∵方程(x-1)(x-2)=m2的两根分别为x1,x2, ∴x1+x2=3,x1·x2=2-m2. ∴(x1-1)(x2-1) =x1·x2-(x1+x2)+1 =2-m2-3+1 =-m2. ∵m2≥0,∴-m2≤0,即(x1-1)(x2-1)≤0. ‹#› 本课结束 ‹#› $第五讲　一次方程(组) 核心知识 夯实 典型例题 研析 中考真题 体验 核心知识 夯实 知识要点 1.等式的性质 等式的性质1:如果a=b,那么a±c=_________;  等式的性质2:如果a=b,那么ac=_______;  如果a=b,那么=_____(c≠0).  　b±c　 　bc　  　 ‹#› 1.根据等式的性质,下列各式变形正确的是( ) A.若=,则a=b B.若ac=bc,则a=b C.若a2=b2,则a=b D.若-x=6,则x=-2 对点练习 A ‹#› 2.一元一次方程及其解法 (1)定义:含有__________未知数,且未知数的次数都是_______,等号两边都是 __________的方程.  (2)一元一次方程的解:能使一元一次方程左右两边__________的未知数的值.  (3)解一元一次方程的步骤:去分母、____________、__________、____________ ______、系数化为1.  知识要点 　一个　 　1　 　整式　 　相等　 　去括号　 　移项　 　合并同类 项　 ‹#› 2.(1)在下列方程:①3x-y=2,②x2-2x-3=0,③=1,④=1,⑤m-5=m中,一元一 次方程的个数为( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 (2)方程3(x+3)=6的解是_________.  对点练习 B 　x=-1　 ‹#› 3.二元一次方程组及其解法 (1)定义:含有________个未知数,并且含有________________的次数都是1的 __________方程叫做二元一次方程.把具有相同未知数的两个二元一次方程组 合在一起叫做二元一次方程组.  (2)二元一次方程组的解:能够使方程组的每个方程都成立的未知数的值. (3)解二元一次方程组的思想:__________.  (4)解法:①________消元法.  ②__________消元法.  知识要点 　两　 　未知数的项　 　整式　 　消元　 代入　 　加减　 ‹#› 3.(1)下列方程中,是二元一次方程的是( ) A.3x+2y=7 B.3x3-2x=1 C.x-2=3 D.x-1= 对点练习 A ‹#› (2)解方程组:. 【解析】,②-①得:y=1, 把y=1代入①得:x=2, ∴原方程组的解为. ‹#› 典型例题 研析 考点1一次方程(组)的解 例1　(2025·贵州中考)已知x=2是关于x的方程x+m=7的解,则m的值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 变式1　已知关于x,y的二元一次方程组的解是,则a-b的 值是( ) A.1 B.2 C.-1 D.0 C D ‹#› 名师点金 已知一次方程(组)的解,求方程(组)中字母的值的两种方法 (1)代入法:当已知方程(组)的解时,把解代入方程(组),得到新的方程(组),再解新的方程(组),从而求出字母的值. (2)整体法:根据方程(组)中的未知数的系数特点,利用整体思想求代数式的值. ‹#› 考点2一次方程(组)的解法 例2　(2025·山西中考)解方程组: . 【解析】①+②,得4x=12,解得x=3; 将x=3代入②,得3+2y=1,解得y=-1, 所以原方程组的解是. ‹#› 变式2-1　(2023·怀化中考)定义新运算:(a,b)·(c,d)=ac+bd,其中a,b,c,d为实数. 例如:(1,2)·(3,4)=1×3+2×4=11.如果(2x,3)·(3,-1)=3,那么x=_______.  变式2-2　(2025·眉山中考)解方程:2(x-1)=2+x. 【解析】2(x-1)=2+x, 2x-2=2+x, 2x-x=2+2, x=4. 　1　 ‹#› 变式2-3　(2025·新疆中考)解方程组:. 【解析】①+②,得4x=8,解得x=2, 把x=2代入②,得2+y=3, 解得y=1, ∴原方程组的解为. ‹#› 变式2-4　已知方程组的解也是关于x,y的方程ax+y=4的一个解,求a的值. 【解析】方程组,把②代入①得: 2(y-1)+y=7,解得y=3,代入①中,解得x=2, 把x=2,y=3代入方程ax+y=4,得2a+3=4, 解得a=. ‹#› 名师点金 二元一次方程组解法选择 代入法 方程组中某一个未知数的系数是±1 方程组中某一个方程的常数项为0 加减法 两个方程中同一个未知数的系数相同或互为相反数 两个方程中同一个未知数的系数成整数倍关系 ‹#› 考点3一次方程(组)的应用 例3　(2025·广西中考)自2025年5月9日起至2025年12月31日,周末自驾游广西的外省籍小客车,可享受高速公路车辆通行费(以下简称高速费)优惠.小悦一家5月中旬从湖南自驾到广西探亲游玩,此次全程所产生的高速费享受的优惠如下:   湖南境内 路段 广西境内 特定路段 广西境内 其他路段 周一至周四 9.5折 周五至周日 9.5折 全免 5折 ‹#› (1)周六小悦一家从湖南Z市到广西A市,所经湖南境内路段、广西境内特定路段和其他路段的高速费原价分别为a元、b元和c元.求此行程的高速费实付多少元?比原价优惠了多少元?(用代数式表示) (2)周日他们从A市到K市(全程在广西境内),高速费实付27.55元;周一从K市原路返回到A市,高速费实付95.95元.求此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是多少元. ‹#› 【解析】(1)此行程高速费原价总共为(a+b+c)元,此行程的高速费实付0.95a+0+ 0.5c=(0.95a+0.5c)元,比原价优惠了(a+b+c)-(0.95a+0.5c)=(0.05a+b+0.5c)元. (2)设广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是x元和y元, , 解得, 故此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是45.9元和55.1元. ‹#› 变式3-1　(2025·烟台中考)某商场打折销售一款风扇,若按标价的六折出售,则 每台风扇亏损10元;若按标价的九折出售,则每台风扇盈利95元.这款风扇每台 的标价为( ) A.350元 B.320元 C.270元 D.220元 A ‹#› 变式3-2　(2025·吉林中考)吉林省长白山盛产人参.为促进我省特色经济的发展,某公司现将人参加工成甲、乙两种盒装的商品出售,甲、乙两种商品的售价分别为每盒25元和20元.某游客购买了甲、乙两种商品共10盒,花费230元.求该游客购买甲种商品和乙种商品的盒数. 【解析】设游客购买甲种商品x盒,购买乙种商品y盒, 由题意得:,解得:. 答:游客购买甲种商品6盒,购买乙种商品4盒. ‹#› 名师点金 常见应用题类型及基本数量关系 常见类型 基本数量关系 行程问题 (路程=速度×时间) 相遇问题 甲走的路程+乙走的路程=两地距离 追及 问题 同地不同时出发:前者走的路程=追者走的路程;同时不同地出发:前者走的路程+两地距离=追者走的路程 航行问题 顺水速度=静水速度+水流速度;逆水速度=静水速度-水流速度 工程问题 工作总量=工作效率×工作时间;各部分工作量之和=1 销售问题 售价=标价×折扣;销售额=售价×销量;利润=售价-进价;利润=进价×利润率 ‹#› 中考真题 体验 1.(2025·山东中考)明代数学家吴敬的《九章算法比类大全》中有一个“哪吒夜 叉”问题,大意是:有3个头6只手的哪吒若干,有1个头8只手的夜叉若干,两方交 战,共有36个头,108只手.问哪吒、夜叉各有多少?设哪吒有x个,夜叉有y个,则根 据条件所列方程组为( ) A. B. C. D. D ‹#› 2.(2025·德阳中考)在2000多年前的《九章算术》中记载了“共买鸡问题”:“今有 共买鸡,人出九,盈十一;人出六,不足十六.问人数、物价各几何?”题意是:有若干 人一起买鸡,如果每人出9文钱,就多11文钱;如果每人出6文钱,就差16文钱.问买鸡 的人数、鸡的价钱各是多少?设买鸡的人数为x人,则x为( ) A.5 B.7 C.8 D.9 D ‹#› 3.(2025·龙东中考)为促进学生德智体美劳全面发展,某校计划用1 200元购买足 球和篮球用于课外活动(足球与篮球均需购买),其中足球80元/个,篮球120元/个, 共有　　种购买方案( )  A.6 B.7 C.4 D.5 C ‹#› 4.(2024·滨州中考)解方程:=. 【解析】去分母得2(2x-1)=3(x+1), 去括号得4x-2=3x+3, 移项得4x-3x=3+2, 合并同类项得x=5. ‹#› 5.(2024·苏州中考)解方程组:. 【解析】,①-②得4y=4,即y=1,将y=1代入①得x=3,则方程组的解为. ‹#› 6.(2025·江西中考)某文物考古研究院用1∶1复原的青铜蒸馏器进行了蒸馏酒实验.用复原的青铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋头酒,需要的原材料与出酒率(出酒率=×100%)如表: 类别 原材料 出酒率 粮食酒 粮食糟醅(含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏水) 30% 芋头酒 芋头糟醅(含芋头、小曲和蒸馏水) 20% ‹#› 如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共16 kg;第二次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共36 kg,且所用的粮食糟醅量是第一次的2倍,芋头糟醅量是第一次的3倍. (1)求第一次实验分别用了多少千克粮食糟醅和芋头糟醅? (2)受限于当时的生产条件,古代青铜蒸馏器的出酒量约为现代 复原品的80%.若粮食糟醅中大米占比约为,请问,在古代要想蒸 馏出这两次实验得到的粮食酒总量,需要准备多少千克大米? ‹#› 【解析】(1)设第一次实验用了x kg粮食糟醅,y kg芋头糟醅, 根据题意得:, 解得. 答:第一次实验用了40 kg粮食糟醅,20 kg芋头糟醅. (2)设需要准备m kg大米, 根据题意得: (m÷)×30%×80%=(40+40×2)×30%,解得:m=37.5. 答:需要准备37.5 kg大米. ‹#› 本课结束 ‹#› $