（小升初培优讲义）专题17 正比例和反比例（讲义）-2025-2026学年六年级下册数学苏教版

专题17 正比例和反比例 知识点01：正比例： （1）两种相关联的量，已知一种量变化，另一种量也随着变化，如果两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫作成正比例的量。 （2）正比例的关系式：用字母x表示一个变量，用字母y表示另一个量，用字母k表示比值（也就是商）一定。（k一定）。 知识点02：反比例： (1)两种相关联的量，已知一种量变化，另一种量也随着变化，如果两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫作成反比例的量。 (2)反比例的关系式：用字母x表示一个变量、用字母y表示另一个量，用字母k表示积一定。（一定）。 知识点03：正比例和反比例的异同： 名称 不同点 相同点 意义不同变化方向不同 关系式不同 正比例 两种量中相对应的两个数的比值，也就是商一定。 一种量扩大（或缩小），另一种量也随之扩大（或缩小）。 两种量相关联的量，一种量变化，另一种量也随之变化。 反比例 两种量中相对应的两个数的乘积一定。 一种量扩大（或缩小），另一种量却随之缩小（或扩大）。 知识点04：判断两种量成不成比例的方法： [提示]在判断两种量是否成比例时，(1)首先要找到这两种相关联的量；(2)然后根据两种量与第三个量的关系，列出数量关系式；(3)根据数量关系式判断︰如果是积一定，则成反比例；如果是比值一定，则成正比例。 【例1】凉粉草是一种重要的药食两用植物资源，含多糖物质，我国两广地区常用它制作仙草冻。凉粉草质量和所制作仙草冻质量情况如下表。 凉粉草质量（千克） 0 1 2 3 4 5 … 所制作仙草冻质量（千克） 0 5 10 15 … (1)把上表填写完整。 (2)所制作仙草冻质量和凉粉草质量成( )比例。 (3)在下图中描出表示所制作仙草冻质量和凉粉草质量的点，然后把它们顺次连起来。 (4)照这样计算，要制作42千克仙草冻，需要( )千克凉粉草。 1．小明把1.6米长的竹竿直立在地面上，测得它的影子长度是3.2米，同时测得旗杆的影子长度是12米。这根旗杆的实际高度是多少米？ 2．甲、乙两车行驶的路程和时间的关系如下图所示。如果甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，经过5小时相遇。则A、B两地相距多少千米？ 3．下面的图象表示一幅地图图上距离和实际距离的关系。 (1)根据图象，求出这幅地图的比例尺。 (2)图上距离和实际距离成( )比例关系。 (3)在这幅地图上量得甲、乙两城的距离是12厘米，爸爸送货从甲城开车到乙城，为了保证食材新鲜，需要在6小时内送达，平均每小时至少行驶多少千米？ 4．下面的图象表示空调和电脑的耗电量情况。 (1)空调的耗电量和运行时间是否成正比例？电脑呢？ (2)根据图象估计一下，空调和电脑运行15小时分别耗电多少千瓦时？ (3)从图象上看，空调和电脑哪个耗电快一些？ 【例2】书店购进一批笔记本，总钱数一定，如果每本笔记本的单价不同，购买的数量也不同，具体如下表： 单价（元/本） 2 3 4 5 6 数量（本） 60 40 30 24 20 (1)单价与数量成( )比例关系。 (2)如果用这些钱全部买单价为8元的笔记本，一共可以买多少本？ 1．裴桥西瓜是永城市裴桥镇规模化种植的特色农产品，具有皮薄、沙瓤、汁甜、个大的特点。当地某西瓜基地近几天每天采摘600千克的成熟西瓜，并进行装筐运输，下表是这几次装筐时平均每筐的质量和所装筐数的情况。（所用的筐完全相同） 平均每筐的质量/kg 15 20 25 … 所装筐数/个 40 30 24 … (1)平均每筐的质量和所装筐数是否成反比例，你是怎么想的？ (2)若平均每筐装10千克西瓜，则需要多少个筐？若这些西瓜正好装满100个筐，则平均每筐装多少千克西瓜？ 2．科技的发展改善了我们的生活，也改变了人们的运输方式，人们可以选择的运输工具多种多样，如：汽车、高铁、火车、飞机等。某运输队需要为灾区抢运120吨救灾物资，如果要一次把所有救灾物资全部运出， 车辆的载重量与所需车辆的数量如下表。 载重量/吨 2.5 4 5 10 数量/辆 48 30 (1)请把表格填写完整。 (2)车辆的载重量和所需车辆的数量成什么比例？为什么？ (3)如果用载重量为6吨的卡车来运，一共需要多少辆？ (4)在比例尺是的地图上，量得甲、乙两地的高速公路全长约3厘米。王师傅匀速驾车行完这段路程（该路段最高限速110千米/时）用了90分钟。他这次驾驶超速了吗？请通过计算说明理由。 3．一辆汽车从炎陵到岳阳楼，原计划每小时行80千米，5小时到达。实际每小时行100千米，实际几小时到达？（用比例解） 4．某电视台五位新闻主播老师播报情况如下表。 新闻主播 李老师 刘老师 闫老师 杨老师 田老师 播音速度（字/分） 180 240 300 360 400 播音时间（分） 20 15 (1)按照规律计算，完成上表。 (2)播音速度和播音时间，这两种量成什么比例？为什么？ 一、填空题 1．如果3A＝5B（A、B≠0），那么A∶B＝( )∶( )。如果A∶9＝5∶B，那么A和B成( )比例。 2．判断下面每题中的两个量成什么比例关系。 (1)工作效率一定，工作时间和工作总量。( ) (2)每袋化肥的质量一定，化肥的袋数与总质量。( ) 3．圆的面积与半径( )比例，如果Y＝8X，那么X和Y成( )比例。 4．如果a与b成正比例，那么x是_____；如果a与b成反比例，那么x是_____。 a 200 160 b 4 x 5．甲的等于乙的30%，甲，乙两数的比是　 　． 6．1995年联合国教科文组织将每年的4月23日定为“世界图书与版权日”，又称“世界图书日”。明明计划读一本儿童文学著作，如果每天读15页，32天可以读完。明明平均每天看的页数和看完书的天数成( )关系（填正比例或反比例）；如果每天读20页，( )天就可以读完。 7．小思和小维计划同看一本书。小思每天看10页，12天可以看完。小维每天看20页，几天可以看完？假设小维x天看完，根据信息写出的比例是( )。 8．甲、乙两个机器人比赛跑100m，同时起跑匀速前进。当甲跑了40m时，乙跑了38m。照这样，当甲到达终点时，乙距终点还有( )m。 9．风能作为一种清洁的可再生能源，可以利用它来进行发电。数学实践小组测得一座风力发电架在阳光下的影长是64米，同时把一根长2米的测杆直立在地上，测得在阳光下的影长是1.6米，风力发电架的高是( )米。 10．圆的周长和直径成( )比例，如果y＝8x，那么x和y成( )比例。 11．在平衡架左边第1格处挂了4个砝码，右边第1格处挂了1个砝码，每个砝码重，为保持平衡架平衡，需要在右边第( )格处挂( )个重的砝码。 12．花生的重量、榨出花生油的重量、花生的出油率这三种量中，当( )一定的时候，其他两种量成反比例关系，请你写出关系式( )。 13．在探究“齿轮传动”课程时，我们发现利用齿轮组传递动力，可以使物体运动起来。有一组齿轮互相咬合，大、小齿轮的齿数分别为35个和20个，当小齿轮转动7圈时，大齿轮转动( )圈。 14．往一个圆柱形水桶里注满水。 (1)把表格填写完整； 每分钟注入水量/升 20 25 所需时间/分钟 10 5 (2)每分钟注入水量与所需时间成( )比例。 (3)这个圆柱形水桶底面积是0.4平方米，那么水桶的高是( )分米。 (4)如果将这个水桶的底面按1∶10的比例尺画在纸上，图上面积是( )平方厘米。 15．x、y均不为0，如果x÷y＝5，那么x和y成( )比例关系；如果x∶7＝3∶y，那么x和y成( )比例关系。 16．如表所示，当和成反比例时，空格里应填( )，当和成正比例时，空格里应填( )。 12 15 5 17．如果与成正比例关系，下表中的“？”处应该是( )；如果与成反比例关系，表中的“？”处应该是( )。 180 ？ 60 50 18．已知x、y（均不为0）能满足x＝y，那么x、y成________比例，并且x∶y＝________∶________。 19．当“复兴号”动车保持280千米/小时的速度行驶时，行驶的路程和时间成( )比例关系；从北京到上海的普通列车约要8小时，而“复兴号”动车只要5小时，“复兴号”动车比普通列车速度提高了( )%。 20．小明家与姥姥家相距5千米。周末小明骑车从家出发去探望姥姥，去的途中修理自行车耽搁了一些时间。从图中可以看出： (1)小明在路上修车用了( )分。 (2)从姥姥家返回时，小明行的路程和时间成( )比例，他的速度是( )千米/分。 21．如果a与b是两种相关联的量（a、b均不为0），当时，a与b成( )比例关系；当时，a与b( )比例关系。 22．吴媛和施燕从学校同时出发到图书馆去，当吴媛走了一半时，施燕离图书馆还有786米，速度不变，吴媛到图书馆时，施燕还有全程的没走，学校到图书馆有( )米。 23．一批本子分发给六年级一班学生，平均每人分到12本。若只发给女生，平均每人可分到20本，若只发给男生，平均每人可分得_____本。 24．甲、乙、丙三人进行60米赛跑。当甲到达终点时，乙跑了50米，丙跑了45米。如果乙、丙赛跑速度不变，那么乙到达终点时，丙离终点还有________米。 二、选择题 25．某游泳池的进水管的进水量与时间的比例如图。按图中的速度，给这个游泳池注水400m3需要（    ）分。 A．10 B．20 C．40 D．200 26．圆柱的体积一定，底面积和高（　　） A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 27．下面各题中的两种量成反比例的是（   ）。 A．圆的周长和直径 B．《儿童画册》的单价一定，订阅《儿童画册》的总钱数与份数 C．速度一定，路程与时间 D．圆柱的体积一定，圆柱的底面积与高 28．下面问题中，不能用比例知识解答的是（    ）。 A．小明买4支钢笔用了18元，小刚想买3支同样的钢笔，要用多少钱？ B．一辆汽车8小时行驶了252千米，照这样计算，10小时行驶多少千米？ C．一项修路工程，A修路队独做要13天，B修路队独做要15天，两队合做多少天能完成？ D．一本书，如果每天读30页，12天可以读完，如果想10天读完，每天要读多少页？ 29．六（1）班总人数一定，期中考试获得优秀的人数与优秀率（    ）。 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．无法确定 30．如果（A、B都不为0），那么A和B（    ）关系。 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．无法确定 31．以下成正比例的是（    ）。 A．周长一定时，长方形的长与宽 B．面积一定时，平行四边形的底和高 C．一个人的身高与年龄 D．正方形的周长与边长 32．下面两个量，成反比例关系的是（    ）。 A．如果5x＝8y，x和y。 B．铺地面积一定，每块砖的面积和砖的数量。 C．圆的面积一定，半径和圆周率。 D．在一定时间里，行驶的路程和平均速度。 33．下面三幅图中，（    ）表示x和y成正比例，（    ）表示x和y成反比例。 A．①③ B．①② C．③② 34．2024年5月16日一个加油站95号汽油的价格为8.58元/升，下面图象（    ）能表示出王老师当天加油总价和数量之间的关系。 A． B． C． 35．下面几种说法中，正确的有（    ）个。 ①行驶的路程一定，车轮的周长与车轮需要转动的圈数成正比例。 ②图中列出的算式是×。 ③米表示1米的，也表示2米的。 ④一个三角形的两个锐角的度数之和小于第三个角的度数，这个三角形一定是钝角三角形。 A．1 B．2 C．3 D．4 36．下面各选项中，两种量不成正比例关系的有（    ）。 A．时间一定，每分钟打字个数和打字总个数 B．长方形的面积一定，它的长和宽 C．速度一定，路程和时间 D．单价一定，购买的数量与总价 37．下图是关于（    ）的图象。 A． B． C． D． 38．下面有（    ）句话是正确的。 ①圆柱体的体积与圆锥体的体积比是3∶1。 ②圆锥体的体积24立方厘米，高是4厘米，底面积是18平方厘米。 ③把一个长5厘米、宽3厘米的长方形按3∶1放大，得到的图形的面积是36平方米。 ④如果3x－5y＝0（x，y不等于0），那么x和y成正比例关系。 ⑤一套家具的原价是4000元，现在打八折出售，现价是5000元。 A．2 B．3 C．4 D．5 三、解答题 39．为备战学校“百年党史竞赛”，老师给莉莉准备了习题册。如果每天做12题，15天可以做完，莉莉想10天就做完，每天应该做几题？（用比例解答） 40．孙丽读一本280页的科技书，前3天读了105页。照这样计算，孙丽还需要几天才能读完这本书？（用比例知识解答） 41．“神舟十五号”，是中国发射载人航天工程的第十五艘飞船，是中国载人航天工程2022年的第六次飞行任务，也是中国空间站建造阶段最后一次飞行任务，它运行的路程与时间如下表。 时间/秒 1 2 3 4 5 6 速度/千米 7.9 15.8 23.7 31.6 39.5 47.4 （1）观察表中数据，运行的时间和路程成（    ）比例。 理由： （2）看了以上数据，奇思问妙想：“你知道当‘神舟十五号’运行到276.5千米时，它运行了多长时间吗？”（用比例知识解答） 42．下面是一辆汽车行驶路程和耗油量的对应数值表。 行驶路程 20 40 60 80 耗油量 1.6 3.2 4.8 6.4 (1)该汽车的耗油量与行驶路程成( )比例关系。 (2)该汽车从甲地行驶到乙地一共耗油40升，那么甲、乙两地相距( )千米。 43．如图所示，某一时刻，同学们在校园里测得6米高的大树的影长是4.5米。同一时刻测得教学楼的影长是9米，则教学楼的实际高度是多少米？（用方程解） 44．探索浩瀚宇宙，发展航天事业，建设航天强国，是我国不懈追求的航天梦。经过几代人的不懈奋斗。我国的航天事业取得了辉煌成就。长征五号系列（简称CZ－5）运载火箭实现数字工程化应用，大大推动了航天产品数字化的进程。 （1）长征五号B型火箭在太空绕地球转了102圈。已知绕地球5圈大约需要7.5小时，那么长征五号B型火箭在太空大约运行了多长时间？（用比例解答） （2）整流罩是运载火箭的重要组成部分，外形通常由近似的圆柱和圆锥组成。如图是某型号运载火箭整流罩的简约示意图，整流罩本身的厚度不计，该整流罩的容积是多少？ 45．张老师要将一个6G（G是表示文件大小的单位）的文件下载到自己的电脑中。他查了一下电脑D盘和E盘的属性，发现如图信息： （1）张老师将文件保存在哪个盘比较合适？请说明理由。 （2）6G的文件，前12分钟下载了25%。照这样的速度，还要几分钟才能下载完毕？（用比例解答） 46．小明一家三口开车从北京去560km外的爷爷家。汽车每100km耗油8L，按照这个耗油量，出发时加满60L汽油，中途不加油能到达爷爷家吗？（用比例知识解答） 47．笑笑家装修面积为10.80平方米的书房，用了120块方砖。淘气家的书房面积为9平方米，如用笑笑家书房同一种型号的方砖，一共需要多少块？（用比例方程解答） 48．一个车队向灾区运送1620吨救灾物资，已知2.4小时运了324吨，照这样进度，运完这批物资还需几小时？（用比例解） 49．春秋战国时期，我国有一位发明家叫鲁班，手艺巧夺天工，传说他用木头组成飞鸟，惟妙惟肖，十分逼真。鲁班3天能做15个飞鸟，如果要做80个飞鸟，需要几天？（用比例解答） 50．铺设一条煤气管道。计划每天铺设120米，用12天完成任务。由于居民着急使用，上级要求每天多铺20%，这样可以提前几天完成？（用比例的知识解） 51．一位打字员打一本书稿，如果每天打18页，15天可以打完。若要10天打完，每天应打多少页？（用比例解答） 52．张叔叔加工一批零件，计划每小时加工25个，6小时完成，实际工作效率提高20%，实际多少小时可以完成？（用比例知识解答） 53．办公室买进一包白纸，计划每天用30张，可以用20天。由于注意了节约用纸，实际每天少用5张，实际比计划多用多少天？（用比例解） 54．2工人师傅安装一批电线杆，计划每天安装12根，30天完成。由于改进了安装技术，实际每天比计划多安装6根。这批电线杆实际安装了多少天？（用比例知识解答） 55．一间房子，如果用边长4分米的方砖铺地，需要108块铺满，如果改用边长是6分米的方砖铺地，需要多少块才能铺满？（用比例解） 56．星星校服厂生产一批校服，原计划每天生产150套，30天可以完工，由于要加快进度，实际每天比原计划多生产20%，实际多少天完成任务？（用比例的知识解答） 57．灵灵做“杠杆原理”实验，选了一根粗细均匀的竹竿，在中点位置拴上绳子，然后从中点开始每隔相等距离画上刻度线。实验时，他在左右两边各放上一袋水果，此时竹竿正好平衡。 (1)已知左边的水果重1.5kg，那么右边的水果重多少千克？请列式计算。 (2)刻度距离和水果质量存在怎样的比例关系？为什么？请用简单文字或数量关系式说明理由。 58．如图是两个互相啮合的齿轮，它们在同一时间内转动时，大齿轮和小齿轮转过的总齿数是相同的。 (1)转过的总齿数一定时，每个齿轮的齿数和转过的圈数是( )关系。 (2)大齿轮有60个齿，小齿轮有15个齿。如果大齿轮每分钟转80圈，小齿轮每分钟转多少圈？ ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题17 正比例和反比例 知识点01：正比例： （1）两种相关联的量，已知一种量变化，另一种量也随着变化，如果两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫作成正比例的量。 （2）正比例的关系式：用字母x表示一个变量，用字母y表示另一个量，用字母k表示比值（也就是商）一定。（k一定）。 知识点02：反比例： (1)两种相关联的量，已知一种量变化，另一种量也随着变化，如果两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫作成反比例的量。 (2)反比例的关系式：用字母x表示一个变量、用字母y表示另一个量，用字母k表示积一定。（一定）。 知识点03：正比例和反比例的异同： 名称 不同点 相同点 意义不同变化方向不同 关系式不同 正比例 两种量中相对应的两个数的比值，也就是商一定。 一种量扩大（或缩小），另一种量也随之扩大（或缩小）。 两种量相关联的量，一种量变化，另一种量也随之变化。 反比例 两种量中相对应的两个数的乘积一定。 一种量扩大（或缩小），另一种量却随之缩小（或扩大）。 知识点04：判断两种量成不成比例的方法： [提示]在判断两种量是否成比例时，(1)首先要找到这两种相关联的量；(2)然后根据两种量与第三个量的关系，列出数量关系式；(3)根据数量关系式判断︰如果是积一定，则成反比例；如果是比值一定，则成正比例。 【例1】凉粉草是一种重要的药食两用植物资源，含多糖物质，我国两广地区常用它制作仙草冻。凉粉草质量和所制作仙草冻质量情况如下表。 凉粉草质量（千克） 0 1 2 3 4 5 … 所制作仙草冻质量（千克） 0 5 10 15 … (1)把上表填写完整。 (2)所制作仙草冻质量和凉粉草质量成( )比例。 (3)在下图中描出表示所制作仙草冻质量和凉粉草质量的点，然后把它们顺次连起来。 (4)照这样计算，要制作42千克仙草冻，需要( )千克凉粉草。 【答案】(1)20；25 (2)正 (3)见详解 (4)8.4 【分析】（1）1千克凉粉草可制作5千克仙草冻，4千克凉粉草可制作4个5千克仙草冻，5千克凉粉草可制作5个5千克仙草冻。 （2）两种相关联的量，若比值（商）一定，则成正比例关系；若乘积一定，则成反比例关系。 （3）正比例关系的图像是一条过原点的直线，根据表格中的对应数据，在图中找到对应点，再顺次连接即可。 （4）利用“凉粉草质量＝仙草冻质量÷每千克凉粉草制作的仙草冻质量”进行计算。 【详解】（1）4×5＝20（千克） 5×5＝25（千克） 凉粉草质量（千克） 0 1 2 3 4 5 … 所制作仙草冻质量（千克） 0 5 10 15 20 25 … （2） 因为，比值一定，所以所制作仙草冻质量和凉粉草质量成正比例。 （3）如图： （4）42÷5＝8.4（千克） 照这样计算，要制作42千克仙草冻，需要8.4千克凉粉草。 1．小明把1.6米长的竹竿直立在地面上，测得它的影子长度是3.2米，同时测得旗杆的影子长度是12米。这根旗杆的实际高度是多少米？ 【答案】 6米 【分析】在同一时间，物体的高度与影长的比值是一定的，即物体高度与影长成正比例关系。设旗杆的实际高度是米，可列比例为，然后根据比例的基本性质（两个内项的积等于两个外项的积），将比例转化为方程，再根据等式的性质求解即可。 【详解】解：设这根旗杆的实际高度是米。 答：这根旗杆的实际高度是6米。 2．甲、乙两车行驶的路程和时间的关系如下图所示。如果甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，经过5小时相遇。则A、B两地相距多少千米？ 【答案】750千米 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系。图中路程和时间的比值一定，那么路程和时间成正比例关系，先根据正比例图象中的数据求出甲车和乙车的速度，再由“总路程＝速度和×相遇时间”，求出A、B两地的距离。 【详解】甲车的速度：（千米/时） 乙车的速度：（千米/时） （90＋60）×5 ＝150×5 ＝750（千米） 答：A、B两地相距750千米。 3．下面的图象表示一幅地图图上距离和实际距离的关系。 (1)根据图象，求出这幅地图的比例尺。 (2)图上距离和实际距离成( )比例关系。 (3)在这幅地图上量得甲、乙两城的距离是12厘米，爸爸送货从甲城开车到乙城，为了保证食材新鲜，需要在6小时内送达，平均每小时至少行驶多少千米？ 【答案】(1)1∶4000000 (2)正 (3)80千米 【分析】（1）图上距离∶实际距离＝比例尺； （2）如果两个量的比值，即商一定，那么这两个量成正比例关系； （3）图上距离÷比例尺＝实际距离，速度＝路程÷时间。 【详解】（1）1厘米∶40千米＝1厘米∶4000000厘米＝1∶4000000 答：这幅地图的比例尺是1∶4000000。 （2）40千米＝4000000厘米、80千米＝8000000厘米、120千米＝12000000厘米…… 1÷4000000＝ 2÷8000000＝＝ 3÷12000000＝＝ …… 图上距离÷实际距离＝，图上距离和实际距离成正比例关系。 （3）12÷＝12×4000000＝48000000（厘米） 48000000厘米＝480千米 480÷6＝80（千米） 答：平均每小时至少行驶80千米。 4．下面的图象表示空调和电脑的耗电量情况。 (1)空调的耗电量和运行时间是否成正比例？电脑呢？ (2)根据图象估计一下，空调和电脑运行15小时分别耗电多少千瓦时？ (3)从图象上看，空调和电脑哪个耗电快一些？ 【答案】(1)都成正比例 (2)空调18千瓦时；电脑6千瓦时 (3)空调 【分析】（1）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系； （2）图中横轴表示运行时间，纵轴表示耗电量，在图中分别找出空调和电脑运行15小时对应的纵轴的耗电量； （3）观察图象可知，相同运行时间下，空调的耗电量远高于电脑的耗电量，如：空调和电脑分别运行20小时，空调的耗电量是24千瓦时，电脑的耗电量是8千瓦时。 【详解】（1）分析可知，（一定），（一定），所以空调和电脑的耗电量和运行时间都成正比例关系。 （2） 由图可知，空调运行15小时耗电18千瓦时，电脑运行15小时耗电6千瓦时。 （3）分析可知，相同运行时间下空调耗电快一些。 【例2】书店购进一批笔记本，总钱数一定，如果每本笔记本的单价不同，购买的数量也不同，具体如下表： 单价（元/本） 2 3 4 5 6 数量（本） 60 40 30 24 20 (1)单价与数量成( )比例关系。 (2)如果用这些钱全部买单价为8元的笔记本，一共可以买多少本？ 【答案】(1)反 (2)15本 【分析】（1）判断比例关系：观察表格中的数据，计算每一组单价与数量的乘积。若乘积一定，则单价与数量成反比例关系；若比值一定，则成正比例关系。 （2）计算总钱数：根据表格中任意一组数据（如单价 2 元，数量 60 本），利用“总价＝单价×数量”求出这批笔记本的总钱数。 求解新数量：已知总钱数一定，当单价变为8元时，利用“数量＝总价÷单价”即可求出购买的本数。 【详解】（1）计算表中各组单价与数量的乘积： 因为单价与数量的乘积一定（即总钱数一定），符合反比例关系的定义。 所以，单价与数量成反比例关系。 （2）根据题意，总钱数不变，列综合算式如下： ＝15（本） 答：一共可以买15本。 1．裴桥西瓜是永城市裴桥镇规模化种植的特色农产品，具有皮薄、沙瓤、汁甜、个大的特点。当地某西瓜基地近几天每天采摘600千克的成熟西瓜，并进行装筐运输，下表是这几次装筐时平均每筐的质量和所装筐数的情况。（所用的筐完全相同） 平均每筐的质量/kg 15 20 25 … 所装筐数/个 40 30 24 … (1)平均每筐的质量和所装筐数是否成反比例，你是怎么想的？ (2)若平均每筐装10千克西瓜，则需要多少个筐？若这些西瓜正好装满100个筐，则平均每筐装多少千克西瓜？ 【答案】(1)成反比例；当西瓜总质量一定时，平均每筐的质量和所装筐数成反比例。 (2)60个；6千克 【分析】（1）判断两种量是否成反比例，关键是看这两种相关联的量的乘积是否一定。通过计算总质量是否一定判断。 （2）根据除法的意义，用总质量除以平均每筐的质量求出筐数，或用总质量除以筐数求出平均每筐的质量。 【详解】（1）（千克） （千克） （千克） 根据每筐质量×筐数＝西瓜总质量。当西瓜总质量一定时，平均每筐的质量和所装筐数成反比例。 （2） （个） （千克） 答：若平均每筐装10千克西瓜，则需要60个筐；若这些西瓜正好装满100个筐，则平均每筐装6千克西瓜。 2．科技的发展改善了我们的生活，也改变了人们的运输方式，人们可以选择的运输工具多种多样，如：汽车、高铁、火车、飞机等。某运输队需要为灾区抢运120吨救灾物资，如果要一次把所有救灾物资全部运出， 车辆的载重量与所需车辆的数量如下表。 载重量/吨 2.5 4 5 10 数量/辆 48 30 (1)请把表格填写完整。 (2)车辆的载重量和所需车辆的数量成什么比例？为什么？ (3)如果用载重量为6吨的卡车来运，一共需要多少辆？ (4)在比例尺是的地图上，量得甲、乙两地的高速公路全长约3厘米。王师傅匀速驾车行完这段路程（该路段最高限速110千米/时）用了90分钟。他这次驾驶超速了吗？请通过计算说明理由。 【答案】(1)24；12 (2)反比例，因为车辆的载重量×所需车辆的数量＝货物的总质量（一定），因此车辆的载重量和所需车辆的数量成反比例。 (3)20 (4)没有超速 【分析】（1）总救灾物资重量固定为120吨，根据“所需车辆数量＝总重量÷载重量”，分别用120除以5、10，求出对应车辆数，补全表格。 （2）判断两个相关联的量的比例，看乘积或比值是否一定。载重量×所需车辆数＝总重量（120吨，定值），乘积一定，因此成反比例。 （3）总重量不变，用总重量120吨除以载重量6吨，得到需要的车辆数量。 （4）先根据比例尺算出甲乙两地的实际距离，再把行驶时间统一成小时，用路程÷时间算出实际车速，最后和限速110千米/时比较，判断是否超速。 【详解】（1）120÷5＝24（辆） 120÷10＝12（辆） 填表如下： 载重量/吨 2.5 4 5 10 数量/辆 48 30 24 12 （2）2.5×48＝120 4×30＝120 5×24＝120 10×12＝120 车辆的载重量和所需车辆的数量成反比例。 理由：因为载重量数量＝救灾物资总重量（一定），即乘积一定，所以成反比例。 （3）120÷6＝20（辆） 答：一共需要20辆。 （4）实际距离：3÷ ＝3×5000000 ＝15000000（厘米） 15000000厘米＝150千米 时间换算：90分钟＝1.5小时 实际速度：150÷1.5＝100（千米/小时） 100＜110 答：他这次驾驶没有超速。 3．一辆汽车从炎陵到岳阳楼，原计划每小时行80千米，5小时到达。实际每小时行100千米，实际几小时到达？（用比例解） 【答案】 4小时 【分析】从炎陵到岳阳楼的总路程是一定的，速度×时间＝路程，当路程一定时，速度和时间成反比例关系。因此，原计划速度与原计划时间的乘积等于实际速度与实际时间的乘积，据此列方程为100x＝80×5，先化简，再根据等式的性质求解即可。 【详解】解：设实际x小时到达。 100x＝80×5 100x＝400 100x÷100＝400÷100 x＝4 答：实际4小时到达。 4．某电视台五位新闻主播老师播报情况如下表。 新闻主播 李老师 刘老师 闫老师 杨老师 田老师 播音速度（字/分） 180 240 300 360 400 播音时间（分） 20 15 (1)按照规律计算，完成上表。 (2)播音速度和播音时间，这两种量成什么比例？为什么？ 【答案】(1)12；10；9 (2)反比例；因为播音速度和播音时间的乘积一定 【分析】（1）根据表格中的数据结合，播音速度×播音时间＝总字数，据此可知总字数是一定的，用总字数除以每个人的播音速度即可得到播音时间，据此填表即可； （2）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两个量中相对应的两个数的比值一定，这两种量叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系，用式子表示为：＝k；如果这两个量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量叫作成反比例的量，它们的关系叫作反比例关系，用式子表示为：xy＝k；据此解答。 【详解】（1）180×20＝240×15＝3600 3600÷300＝12（分） 3600÷360＝10（分） 3600÷400＝9（分） 填表如下： 新闻主播 李老师 刘老师 闫老师 杨老师 田老师 播音速度（字/分） 180 240 300 360 400 播音时间（分） 20 15 12 10 9 （2）答：因为180×20＝240×15＝3600（一定），即播音速度×播音时间＝总字数（一定），播音速度和播音时间的乘积一定，所以播音速度和播音时间成反比例。 一、填空题 1．如果3A＝5B（A、B≠0），那么A∶B＝( )∶( )。如果A∶9＝5∶B，那么A和B成( )比例。 【答案】 5 3 反 【分析】3A＝5B，可以假设A＝5，B＝3，，所以A∶B＝5∶3； A∶9＝5∶B，则AB＝9×5＝45 【详解】如果3A＝5B（A、B≠0），则A∶B＝5∶3； 如果A∶9＝5∶B，则AB＝9×5＝45，所以A和B成反比例。 【点睛】要掌握用比例去解决问题。 2．判断下面每题中的两个量成什么比例关系。 (1)工作效率一定，工作时间和工作总量。( ) (2)每袋化肥的质量一定，化肥的袋数与总质量。( ) 【答案】(1)成正比例 (2)成正比例 【分析】两个相关联的量比值一定，那么这两个量成正比例关系； 两个相关联的量乘积一定，那么这两个量成反比例关系。 【详解】（1）因为工作总量÷工作时间＝工作效率（一定），是比值一定，符合正比例的意义，所以工作效率一定，工作总量与工作时间成正比例。 （2）总质量÷化肥的袋数＝每袋化肥的质量（一定），是比值一定，所以每袋化肥的质量一定，化肥的袋数与总质量成正比例。 【点睛】掌握正比例和反比例的概念，知道两个相关联的量比值一定，那么这两个量成正比例关系；两个相关联的量乘积一定，那么这两个量成反比例关系。 3．圆的面积与半径( )比例，如果Y＝8X，那么X和Y成( )比例。 【答案】 不成 正 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【详解】因为圆的面积÷r＝πr（不一定），所以圆的面积与半径不成比例； 因为Y＝8X，Y÷X＝8（一定），是比值一定，所以X和Y成正比例。 所以圆的面积与半径径不成比例；X和Y成正比例。 【点睛】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断。 4．如果a与b成正比例，那么x是_____；如果a与b成反比例，那么x是_____。 a 200 160 b 4 x 【答案】 3.2 5 【分析】如果a与b成正比例，那么a和b的比值相等，所以200比4等于160比x，解出x即可解答。如果a与b成反比例，那么a和b的乘积相等，所以200乘4等于160乘x，解出x即可解答。 【详解】如果a与b成正比例： 200∶4＝160∶x 200x＝4×160 200x＝640 x＝3.2 如果a与b成反比例： 160x＝200×4 160x＝800 x＝5 5．甲的等于乙的30%，甲，乙两数的比是　 　． 【答案】3：2 【详解】试题分析：根据一个数乘分数的意义可得：甲数×=乙数×30%；根据比例的基本性质可得：如果甲数是外项，那么是外项；则乙数为内项，30%为内项；进而得出答案． 解答：解：甲数×=乙数×30%； 则：甲数：乙数=30%：=3：2； 故答案为3：2． 点评：解答此题应根据比例基本性质的逆运算进行解答． 6．1995年联合国教科文组织将每年的4月23日定为“世界图书与版权日”，又称“世界图书日”。明明计划读一本儿童文学著作，如果每天读15页，32天可以读完。明明平均每天看的页数和看完书的天数成( )关系（填正比例或反比例）；如果每天读20页，( )天就可以读完。 【答案】 反比例 24 【分析】根据xy＝k（一定），x和y成反比例关系，确定比例关系，设x天就可以读完，根据平均每天看的页数×天数＝总页数（一定），列出反比例算式解答即可。 【详解】平均每天看的页数×天数＝总页数（一定），所以明明平均每天看的页数和看完书的天数成反比例关系。 解：设x天就可以读完。 20x＝15×32 20x÷20＝480÷20 x＝24 如果每天读20页，24天就可以读完。 【点睛】关键是确定比例关系，两个相关联的量乘积一定是反比例关系。 7．小思和小维计划同看一本书。小思每天看10页，12天可以看完。小维每天看20页，几天可以看完？假设小维x天看完，根据信息写出的比例是( )。 【答案】 【分析】根据题意知道一本书的总页数一定，每天看书的页数×看书的天数＝一本书的总页数（一定），由此判断每天看书的页数与看书的天数成反比例，设出未知数列出比例解答即可。 【详解】解：设x天可以看完。 20x＝12×10 20x＝120 20x÷20＝120÷20 x＝6 小维每天看20页，6天可以看完。 8．甲、乙两个机器人比赛跑100m，同时起跑匀速前进。当甲跑了40m时，乙跑了38m。照这样，当甲到达终点时，乙距终点还有( )m。 【答案】5 【分析】因为两个机器人的速度比不变，当时间相同时，两个的路程比也不变，设当甲到达终点时，乙距终点还有xm，根据等量关系式：甲到达终点的距离∶此时乙跑的距离＝40∶38，据此列比例并求解。 【详解】解：设当甲到达终点时，乙距终点还有xm， 100∶（100－x）＝40∶38 （100－x）×40＝100×38 4000－40x＝3800 4000－40x＋40x＝3800＋40x 4000＝3800＋40x 3800＋40x－3800＝4000－3800 40x＝200 40x÷40＝200÷40 x＝5 所以当甲到达终点时，乙距终点还有5m。 9．风能作为一种清洁的可再生能源，可以利用它来进行发电。数学实践小组测得一座风力发电架在阳光下的影长是64米，同时把一根长2米的测杆直立在地上，测得在阳光下的影长是1.6米，风力发电架的高是( )米。 【答案】80 【分析】本题考查比例的应用。由于太阳光线平行，物体高度与影长成正比，即测杆高度与影长的比等于风力发电架高度与影长的比。根据给定数据，建立比例关系即可求解。 【详解】设风力发电架的高为米，根据比例关系，可列式： 解：      因此，风力发电架的高是80米。 10．圆的周长和直径成( )比例，如果y＝8x，那么x和y成( )比例。 【答案】 正 正 【分析】判断两种量成正比例还是成反比例的方法：关键看这两种相关联的量中相对应的两个数是比值一定还是乘积一定。如果比值一定，就成正比例；如果乘积一定，就成反比例；如果比值和乘积都不是定量，就不成比例。 【详解】（1）因为（一定），比值一定，所以圆的周长和直径成正比例。 （2）y＝8x即（一定），因为x和y的比值一定，所以x和y成正比例。 【点睛】成比例的两种量必须是相关联的量，而两种相关联的量却不一定都成比例。如两种量的和或差（差不为0）一定时，这两种量虽然是相关联的量，但不成比例。 11．在平衡架左边第1格处挂了4个砝码，右边第1格处挂了1个砝码，每个砝码重，为保持平衡架平衡，需要在右边第( )格处挂( )个重的砝码。 【答案】 3 1 【分析】根据杠杆平衡原理，要保持平衡架平衡，砝码质量×格数＝作用力（一定），确定平衡架左边作用力，右边作用力等于左边作用力即可。 【详解】10×4×1＝40（g） 40－10＝30（g） 10×3＝30（g） 需要在右边第3格处挂1个重的砝码。 12．花生的重量、榨出花生油的重量、花生的出油率这三种量中，当( )一定的时候，其他两种量成反比例关系，请你写出关系式( )。 【答案】 榨出花生油的重量 花生的重量×花生的出油率＝榨出花生油的重量（一定） 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。花生的重量×花生的出油率＝榨出花生油的重量，如果榨出花生油的重量一定，则花生的重量和花生的出油率成反比例。 【详解】花生的重量、榨出花生油的重量、花生的出油率这三种量中，当榨出花生油的重量一定的时候，其他两种量成反比例关系，关系式为：花生的重量×花生的出油率＝榨出花生油的重量（一定）。 13．在探究“齿轮传动”课程时，我们发现利用齿轮组传递动力，可以使物体运动起来。有一组齿轮互相咬合，大、小齿轮的齿数分别为35个和20个，当小齿轮转动7圈时，大齿轮转动( )圈。 【答案】4 【分析】在同一时间内，大、小齿轮转动的总齿数是相同的，即每个齿轮的齿数×转过的圈数＝转过的总齿数（一定），乘积一定，则每个齿轮的齿数与转过的圈数成反比例关系，据此列出反比例方程，并求解。 【详解】解：设当小齿轮转动7圈时，大齿轮转动圈。 35＝7×20 35＝140 ＝140÷35 ＝4 当小齿轮转动7圈时，大齿轮转动4圈。 14．往一个圆柱形水桶里注满水。 (1)把表格填写完整； 每分钟注入水量/升 20 25 所需时间/分钟 10 5 (2)每分钟注入水量与所需时间成( )比例。 (3)这个圆柱形水桶底面积是0.4平方米，那么水桶的高是( )分米。 (4)如果将这个水桶的底面按1∶10的比例尺画在纸上，图上面积是( )平方厘米。 【答案】(1)见详解 (2)反 (3)5 (4)40 【分析】（1）根据“总容量＝每分钟注入水量×所需时间”可求出水桶总容量。由于总容量一定，每分钟注入水量与所需时间的乘积等于总容量，据此可求出表格中未知量。 （2）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。据此解答。 （3）圆柱体积公式为V＝S×h（V表示体积，S表示底面积，h表示高），根据第一小问计算出的体积和已知的底面积，利用公式求出高，注意单位的统一。1升＝1立方分米，1平方米＝100平方分米。 （4）比例尺1∶10是长度比例尺，面积比例尺为长度比例尺的平方，即1∶100。先将实际底面积单位换算为平方厘米（1平方米＝10000平方厘米），再根据面积比例尺求出图上面积，图上面积＝实际面积×比例尺。 【详解】（1）20×10＝200（升） 200÷25＝8（分钟） 200÷5＝40（升） 补充表格如下： 每分钟注入水量/升 20 25 40 所需时间/分钟 10 8 5 （2）因为每分钟注入水量×所需时间＝总容量，总容量（乘积）固定不变，故每分钟注入水量与所需时间成反比例。 （3）200升＝200立方分米 0.4平方米＝40平方分米 200÷40＝5（分米） 因此，水桶的高是5分米。 （4）0.4平方米＝4000平方厘米 4000× ＝4000× ＝40（平方厘米） 因此，如果将这个水桶的底面按1∶10的比例尺画在纸上，图上面积是40平方厘米。 15．x、y均不为0，如果x÷y＝5，那么x和y成( )比例关系；如果x∶7＝3∶y，那么x和y成( )比例关系。 【答案】 正 反 【分析】判断两种量成正比例还是成反比例的方法：关键看这两种相关联的量中相对应的两个数是比值（商）一定还是乘积一定。如果比值（商）一定，就成正比例；如果乘积一定，就成反比例；如果比值和乘积都不是定量，就不成比例。 【详解】x、y均不为0，x÷y＝5，即x与y的商一定，所以x和y成正比例关系；根据比例的基本性质，由x∶7＝3∶y可得：xy＝7×3＝21，即x和y的乘积一定，所以x和y成反比例关系。 【点睛】成比例的两种量必须是相关联的量，而两种相关联的量却不一定都成比例。如两种量的和或差（差不为0）一定时，这两种量虽然是相关联的量，但不成比例。 16．如表所示，当和成反比例时，空格里应填( )，当和成正比例时，空格里应填( )。 12 15 5 【答案】 4 6.25 【分析】当和成反比例时，与的乘积一定，，，空格里应填4；当和成正比例时，与的比值一定，，，空格里应填6.25。 【详解】 当和成反比例时，空格里应填4 当和成正比例时，空格里应填6.25。 17．如果与成正比例关系，下表中的“？”处应该是( )；如果与成反比例关系，表中的“？”处应该是( )。 180 ？ 60 50 【答案】 150 216 【分析】如果与成正比例关系，则x与y的比值一定，据此列出比例式，解比例即可；如果与成反比例关系，则x与y的乘积一定，据此列出反比例算式，求出x的值即可。 【详解】 解： 解： 如果与成正比例关系，表中的“？”处应该是150；如果与成反比例关系，表中的“？”处应该是216。 18．已知x、y（均不为0）能满足x＝y，那么x、y成________比例，并且x∶y＝________∶________。 【答案】 正 3 4 【分析】当两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，这两种量就成正比例关系；如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，这两种量就成反比例关系。 比例的基本性质：两个内项的积等于两个外项的积。 【详解】根据比例的基本性质可得：x∶y＝∶ 因为∶＝÷＝×3＝，所以x∶y＝，即x∶y＝3∶4。 是固定值（一定），就是x与y的比值一定，根据正比例的意义可得x与y成正比例。 那么x、y成正比例，并且x∶y＝3∶4。 19．当“复兴号”动车保持280千米/小时的速度行驶时，行驶的路程和时间成( )比例关系；从北京到上海的普通列车约要8小时，而“复兴号”动车只要5小时，“复兴号”动车比普通列车速度提高了( )%。 【答案】 正 60 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量叫做成正比例的量。路程＝速度×时间，则，所以动车保持280千米/小时的速度行驶，行驶的路程和时间成正比例关系。 路程相等的情况下，普通列车需要8小时，动车要5小时，则普通列车的时间∶动车的时间是8∶5，即普通列车的速度∶动车的速度是5∶8。求“复兴号”动车比普通列车速度提高了百分之多少，用（动车的速度－普通列车的速度）÷普通列车的速度×100%即可。 【详解】（8－5）÷5×100% ＝3÷5×100% ＝0.6×100% ＝60% 当“复兴号”动车保持280千米/小时的速度行驶时，行驶的路程和时间成正比例关系；从北京到上海的普通列车约要8小时，而“复兴号”动车只要5小时，“复兴号”动车比普通列车速度提高了60%。 20．小明家与姥姥家相距5千米。周末小明骑车从家出发去探望姥姥，去的途中修理自行车耽搁了一些时间。从图中可以看出： (1)小明在路上修车用了( )分。 (2)从姥姥家返回时，小明行的路程和时间成( )比例，他的速度是( )千米/分。 【答案】(1)20 (2) 正 0.25 【分析】（1）路程不变的阶段是修车时间。由图可知，第20分钟到第40分钟时路程不变，因此修车用时为40－20＝20分。 （2）从姥姥家返回时（路程从5千米降至 0），路程随时间增加而均匀减少，速度（路程÷时间）恒定，根据“两种相关联的量，比值一定时成正比例”，可知路程和时间成正比例；返回用时为120－100＝20分钟，路程为5千米，根据“速度＝路程÷时间”可求出返回时的速度。 【详解】（1）40－20＝20（分） 小明在路上修车用了20分。 （2）5÷（120－100） ＝5÷20 ＝0.25（千米/分） 所以从姥姥家返回时，小明行的路程和时间成正比例，他的速度是0.25千米/分。 21．如果a与b是两种相关联的量（a、b均不为0），当时，a与b成( )比例关系；当时，a与b( )比例关系。 【答案】 反 不成 【分析】两种相关联的量，若它们的比值一定，两种量成正比例；若它们的乘积一定，两种量成反比例。据此解答。 【详解】由，得a×b＝15，乘积一定，符合反比例的意义，所以a与b成反比例； 由a＝b＋5，得a－b＝5，差一定，所以a与b不成比例关系。 所以当时，a与b成反比例关系；当时，a与b不成比例关系。 【点睛】本题关键是根据正反比例的判定规则，通过变形判断a和b的关系：可推出a×b＝15，乘积一定故成反比例；a＝b＋5仅差一定，不满足正反比例的判定条件，因此不成比例。 22．吴媛和施燕从学校同时出发到图书馆去，当吴媛走了一半时，施燕离图书馆还有786米，速度不变，吴媛到图书馆时，施燕还有全程的没走，学校到图书馆有( )米。 【答案】1310 【分析】由题意可知：设学校到图书馆的距离是x米，当吴媛走了一半时，施燕离图书馆还有786米，即吴媛走了x米时，施燕走了x－786米，速度不变，吴媛到图书馆时，施燕还有全程的没走，即当吴媛走了x米时，施燕走了x米，利用比例的意义进行解答即可。 【详解】解：设学校到图书馆的距离为x米。 x∶（x－786）＝x∶（1－）x x∶（x－786）＝x∶x x∶（x－786）＝5∶4 2x＝5x－3930 3x＝3930 x＝1310 则学校到图书馆有1310米。 【点睛】本题考查用比例解决问题，明确两次走的路程是解题的关键。 23．一批本子分发给六年级一班学生，平均每人分到12本。若只发给女生，平均每人可分到20本，若只发给男生，平均每人可分得_____本。 【答案】30 【分析】12∶20＝3∶5，发给全班每人分得的本数与每位女生分得的本数之比是3∶5，因为人数的占比×每人平均分得的本数＝本子总数（一定），所以人数占比与每人分得的本数成反比，那么总人数可以看作5份，女生人数可以看作3份；所以女生人数占全班的，男生人数占全班的1﹣＝。 设男生平均每人可分得x本，因为这批本子的总数量是一定的，所以人数的占比×每人平均分得的本数＝本子总数（一定），即人数占比与每人分得的本数成反比例。根据男生人数的占比×每位男生平均分得的本数＝女生人数的占比×每位女生平均分得的本数；可得x＝×20，由此解答即可。 【详解】12∶20＝3∶5 女生人数占全班的： 男生人数占全班的：1﹣＝ 解：设男生平均每人可分得x本，由题意得： x＝×20 x＝12 x＝12÷ x＝12× x＝30 答：只发给男生，平均每人可分得30本。 【点睛】应用反比例解决问题，主要是能够根据反比例的意义及辨识来确定反比例关系。 24．甲、乙、丙三人进行60米赛跑。当甲到达终点时，乙跑了50米，丙跑了45米。如果乙、丙赛跑速度不变，那么乙到达终点时，丙离终点还有________米。 【答案】6 【分析】根据时间＝路程÷速度，在相同时间内（时间一定），此时路程和速度成正比。甲乙丙的路程比为60∶50∶45＝12∶10∶9，那么乙与丙的速度比为10∶9，后来的路程比也是10∶9；乙跑完全程还需要跑60－50＝10米，根据比例的基本性质，求出乙跑10米时到终点时丙跑的路程，再用全程分别减去丙2次跑的路程得到丙离终点的路程。 【详解】甲乙丙的路程比为： 60∶50∶45 ＝（60÷5）∶（50÷5）∶（45÷5） ＝12∶10∶9 时间一定时，路程比等于速度比，那么乙与丙的速度比为10∶9。 乙到终点还需跑60－50＝10（米），因此乙跑10米∶丙跑的路程＝10∶9，则在乙到达终点时，丙跑的路程为： 10÷10×9 ＝1×9 ＝9（米） 60－45－9＝6（米） 因此，甲、乙、丙三人进行60米赛跑。当甲到达终点时，乙跑了50米，丙跑了45米。如果乙、丙赛跑速度不变，那么乙到达终点时，丙离终点还有6米。 【点睛】本题需要明确的是在时间一定的情况下，路程比等于速度比（即路程和速度成正比），同时要明确速度比恒定的条件，通过分步计算，得出丙的剩余距离。 二、选择题 25．某游泳池的进水管的进水量与时间的比例如图。按图中的速度，给这个游泳池注水400m3需要（    ）分。 A．10 B．20 C．40 D．200 【答案】C 【分析】由图像可知，图形是一条过原点的直线，进水量与时间成正比例关系。进水量∶时间＝10∶1，游泳池每分钟进水10m3，所以注水400m3需要40分。 【详解】由图像可知，游泳池的进水管的进水量与时间成正比例关系，每分钟进水10m3。 400÷10＝40（分） 故答案为：C 【点睛】成正比例关系的图是一条直线，能准确分析出图像中的数量关系并根据数量关系解决问题是重点。 26．圆柱的体积一定，底面积和高（　　） A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 【答案】B 【详解】判定两种相关联的量是否成正、反比例，要看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定就成正比例；如果是乘积一定就成反比例。 故答案为：B 27．下面各题中的两种量成反比例的是（   ）。 A．圆的周长和直径 B．《儿童画册》的单价一定，订阅《儿童画册》的总钱数与份数 C．速度一定，路程与时间 D．圆柱的体积一定，圆柱的底面积与高 【答案】D 【分析】根据数量关系判断相关联的两个量的比值一定还是乘积一定，如果比值一定就成正比例，如果乘积一定就成反比例。 【详解】A、圆的周长÷直径=π（一定），周长和直径成正比例； B、总钱数÷份数=单价（一定），总钱数和份数成正比例； C、路程÷时间=速度（一定），路程与时间成正比例； D、底面积×高=圆柱的体积（一定），底面积和高成反比例。 故答案为：D 28．下面问题中，不能用比例知识解答的是（    ）。 A．小明买4支钢笔用了18元，小刚想买3支同样的钢笔，要用多少钱？ B．一辆汽车8小时行驶了252千米，照这样计算，10小时行驶多少千米？ C．一项修路工程，A修路队独做要13天，B修路队独做要15天，两队合做多少天能完成？ D．一本书，如果每天读30页，12天可以读完，如果想10天读完，每天要读多少页？ 【答案】C 【分析】判断两种相关联的量成什么比例，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，就成反比例。 【详解】A．因为总价÷数量＝单价（一定），单价一定，所以总价和数量之间成正比例关系，此题可用比例知识作答； B．因为路程÷时间＝速度（一定），速度一定，所以路程和时间之间成正比例关系，此题可用比例知识作答； C．因为A修路队独做要13天，A修路队的工作效率是，B修路队独做要15天，B修路队的工作效率是，求两队合做多少天能完成，可根据工作时间＝工作总量÷两队的工作效率之和，代入数值，直接解答； D．因为工作效率×工作时间＝工作总量（一定） ，工作总量一定，所以工作效率和工作时间之间成反比例关系，此题可用比例知识作答。 故答案为：C 【点睛】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两种量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做出判断。 29．六（1）班总人数一定，期中考试获得优秀的人数与优秀率（    ）。 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．无法确定 【答案】A 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【详解】优秀率＝优秀的人数÷总人数×100%；则优秀的人数÷优秀率×100%＝总人数（一定），即优秀的人数∶优秀率＝总人数（一定），优秀的人数与优秀率成正比例。 六（1）班总人数一定，期中考试获得优秀的人数与优秀率成正比例。 故答案为：A 30．如果（A、B都不为0），那么A和B（    ）关系。 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．无法确定 【答案】A 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例关系；如果是乘积一定，则成反比例关系。 【详解】因为A＝B，所以A∶B＝∶， A∶B＝∶ A∶B＝× A∶B＝（一定），则A和B成正比例关系。 如果A＝B ，那么A和B成正比例关系。 故答案为：A 31．以下成正比例的是（    ）。 A．周长一定时，长方形的长与宽 B．面积一定时，平行四边形的底和高 C．一个人的身高与年龄 D．正方形的周长与边长 【答案】D 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【详解】A．周长一定时，长方形的长与宽；（长＋宽）×2＝周长（一定），长与宽的和一定，所以长与宽不成比例。 B．面积一定时，平行四边形的底和高；底×高＝平行四边形面积（一定），底与高成反比例。 C．一个人的身高与年龄；一个人身高与年龄不成比例。 D．正方形的周长与边长；边长×4＝周长，周长∶边长＝4（一定），周长与边长成正比例。 成正比例的是正方形的周长与边长。 故答案为：D 32．下面两个量，成反比例关系的是（    ）。 A．如果5x＝8y，x和y。 B．铺地面积一定，每块砖的面积和砖的数量。 C．圆的面积一定，半径和圆周率。 D．在一定时间里，行驶的路程和平均速度。 【答案】B 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例关系；如果是乘积一定，则成反比例关系。据此解答。 【详解】A．如果5x＝8y，即x∶y，是比值一定，那么x和y成正比例关系； B．因为每块砖的面积×砖的数量＝铺地面积（一定），是乘积一定，所以每块砖的面积与砖的数量成反比例关系； C．圆的面积S＝πr2，当圆的面积一定时，圆周率也是一个定值，所以这里圆的半径与圆周率不成比例； D．因为路程÷速度＝时间（一定），是比值一定，所以行驶的路程和平均速度成正比例关系。 综上，只有B选项成反比例关系。 故答案为：B 33．下面三幅图中，（    ）表示x和y成正比例，（    ）表示x和y成反比例。 A．①③ B．①② C．③② 【答案】B 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。根据正比例图像可知，是一条经过原点的直线；反比例图像是一条曲线，据此分析解答。 【详解】图①是一条经过原点的直线，对应函数形式 y ＝ kx，表示正比例； 图②是一条随 x 增大而弯曲下降的曲线，对应函数形式 y ＝ ，表示反比例； 图③则是一条不经过原点的直线，既不表示正比例也不表示反比例。 ①表示x和y成正比例，②表示x和y成反比例。 故答案为：B 34．2024年5月16日一个加油站95号汽油的价格为8.58元/升，下面图象（    ）能表示出王老师当天加油总价和数量之间的关系。 A． B． C． 【答案】B 【分析】已知95号汽油的价格为8.58元/升，根据总价÷数量＝单价（一定），商一定，那么总价和数量成正比例关系，图象是正比例图象，据此解答。 【详解】A．数量在增加，但总价不变，不符合题意； B．总价随着数量的变化而变化，且图象是一条直线，是正比例图象，符合题意； C．总价随着数量的变化而变化，但图象不是一条直线，不是正比例图象，不符合题意。 故答案为：B 35．下面几种说法中，正确的有（    ）个。 ①行驶的路程一定，车轮的周长与车轮需要转动的圈数成正比例。 ②图中列出的算式是×。 ③米表示1米的，也表示2米的。 ④一个三角形的两个锐角的度数之和小于第三个角的度数，这个三角形一定是钝角三角形。 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 浅灰色部分代表的是，深灰色部分表示浅灰色部分的，所以算式是×； 求一个数的几分之几是多少用乘法，1米的就用1×即可；2米的就用2×即可； 根据三角形内角和是180°，判断出第三个角与90°的大小关系，进而判断出这个三角形的类型。 【详解】①车轮的周长×转动的圈数＝行驶的路程（一定），所以车轮的周长与车轮需要转动的圈数成反比例。说法错误。 ②图中列出的算式是×＝。说法正确。 ③1×＝（米）； 2×＝（米），米表示1米的，也表示2米的。说法正确。 ④三角形内角和是180°，一个三角形的两个锐角的度数之和小于第三个角的度数，说明第三个角一定大于90°，所以这个三角形一定是钝角三角形。说法正确。 这几种说法中，正确的有3个。 故答案为：C 36．下面各选项中，两种量不成正比例关系的有（    ）。 A．时间一定，每分钟打字个数和打字总个数 B．长方形的面积一定，它的长和宽 C．速度一定，路程和时间 D．单价一定，购买的数量与总价 【答案】B 【分析】根据正比例和反比例的判断方法进行解答。相关联的两种量，如果比值一定，这两种量成正比例；如果乘积一定，这两种量成反比例。据此解答。 【详解】A．因为（一定），所以每分钟打字个数和打字总个数成正比例关系； B．因为长×宽＝长方形的面积（一定），所以它的长和宽成反比例关系； C．因为（一定），所以路程和时间成正比例关系； D．因为（一定），所以购买的数量与总价成正比例关系。 只有B不成正比例关系。 故答案为：B 37．下图是关于（    ）的图象。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两种相关联的量中相对应的两个数的商一定，就成正比例关系，正比例的图形是一条过原点的直线。 两种相关联的量，一个量变化，另一个量也随着变化，如果这两个量的乘积一定，则它们成反比例。据此分析即可。 【详解】根据题意，该图像是经过原点的一条直线，所以是正比例图像。观察图像，当x＝6时，y＝3，说明x÷y＝2。 A．，说明y÷x＝2，y和x的商一定，y和x成正比例。但是不符合图像。 B．，说明xy＝1，x和y的积一定，x和y成反比例。不符合题意。 C．，说明x÷y＝2，x和y的商一定，x和y成正比例。符合题意。 D．， x和y的积一定，x和y成反比例。不符合题意。 故答案为：C 38．下面有（    ）句话是正确的。 ①圆柱体的体积与圆锥体的体积比是3∶1。 ②圆锥体的体积24立方厘米，高是4厘米，底面积是18平方厘米。 ③把一个长5厘米、宽3厘米的长方形按3∶1放大，得到的图形的面积是36平方米。 ④如果3x－5y＝0（x，y不等于0），那么x和y成正比例关系。 ⑤一套家具的原价是4000元，现在打八折出售，现价是5000元。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】①圆柱体积公式V圆柱＝Sh，圆锥体积公式V圆锥＝Sh，只有等底等高时体积比才是3∶1。 ②根据圆锥体积公式V圆锥＝Sh，可推导出S＝3V÷h，代入数据计算验证。 ③图形按n∶1放大，边长放大n倍，面积放大n2倍，同时需统一单位验证。 ④正比例关系的定义是两种相关联的量的比值一定，即＝k（k为非零定值），变形公式验证。 ⑤打几折就是按原价的百分之几十出售，现价＝原价×折扣，计算验证。 【详解】①圆柱和圆锥的底面积、高都不确定，无法确定体积比，因此①错误。 ②24×3÷4＝72÷4＝18（平方厘米），与题目数据一致，因此②正确。 ③放大后长5×3＝15（厘米），宽3×3＝9（厘米），面积15×9＝135（平方厘米），36平方米＝360000平方厘米，数据不符，因此③错误。 ④由3x－5y＝0得3x＝5y，即＝（比值为定值），符合正比例关系定义，因此④正确。 ⑤八折＝80%，现价＝4000×80%＝3200（元），不是5000元，因此⑤错误。 所以正确的句子是②、④，共2句。 三、解答题 39．为备战学校“百年党史竞赛”，老师给莉莉准备了习题册。如果每天做12题，15天可以做完，莉莉想10天就做完，每天应该做几题？（用比例解答） 【答案】18题 【分析】根据题意，习题册的题目总数一定，也就是每天做题数量与所用天数的积一定，因此每天做题数量与所用天数成反比例；设每天应该做题，根据“实际每天做题数量×天数＝计划每天做题数量×天数”进行列式解答即可。 【详解】解：设每天应该做题。 10×＝12×15 10＝180 ＝180÷10 ＝18 答：每天应该做18题。 40．孙丽读一本280页的科技书，前3天读了105页。照这样计算，孙丽还需要几天才能读完这本书？（用比例知识解答） 【答案】5天 【分析】根据题意知道，读书的页数÷读书的时间＝每天读书的页数，因为每天读书的页数一定，所以读书的页数和读书的时间成正比例关系；前3天读了105页，还剩下（280－105）页，设还要x天才能读完这本书，根据正比例关系可得比例：105∶3＝（280－105）∶x；解这个比例即可。 【详解】解：设还要x天才能读完这本书。 105∶3＝（280－105）∶x 105∶3＝175∶x 105x＝3×175 105x＝525 x＝525÷105 x＝5 答：孙丽还要5天才能读完这本书。 【点睛】解答此题的关键是知道读书的页数与读书的时间成正比例，注意要求的问题是还要读几天能读完这本书。 41．“神舟十五号”，是中国发射载人航天工程的第十五艘飞船，是中国载人航天工程2022年的第六次飞行任务，也是中国空间站建造阶段最后一次飞行任务，它运行的路程与时间如下表。 时间/秒 1 2 3 4 5 6 速度/千米 7.9 15.8 23.7 31.6 39.5 47.4 （1）观察表中数据，运行的时间和路程成（    ）比例。 理由： （2）看了以上数据，奇思问妙想：“你知道当‘神舟十五号’运行到276.5千米时，它运行了多长时间吗？”（用比例知识解答） 【答案】（1）正；理由见详解 （2）35秒 【分析】（1）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 （2）再根据判断出的比例进行解答。 【详解】（1）7.9÷1＝15.8÷2＝23.7÷3＝31.6÷4＝39.5÷5＝47.4÷6＝7.9，即＝＝＝＝＝＝7.9（一定），运行的时间和路程成正比例。 （2）解：设它运行了x秒。 ＝ 7.9x＝276.5 x＝276.5÷7.9 x＝35 答：它运行了35秒。 【点睛】熟练掌握正比例意义和辨识、反比例意义和辨识是解答本题的关键。 42．下面是一辆汽车行驶路程和耗油量的对应数值表。 行驶路程 20 40 60 80 耗油量 1.6 3.2 4.8 6.4 (1)该汽车的耗油量与行驶路程成( )比例关系。 (2)该汽车从甲地行驶到乙地一共耗油40升，那么甲、乙两地相距( )千米。 【答案】(1)正 (2)500 【分析】（1）先求出统计表中耗油量与行驶的路程的商，即可确定耗油量与行驶路程成哪种比例关系； （2）用40除以（1）中求出的耗油量与行驶的路程的商（每千米的耗油量），即可求出甲、乙两地相距多少千米。 【详解】（1） 耗油量与行驶路程的商一定，所以该汽车的耗油量与行驶路程成正比例关系。 （2）（千米） 答：甲、乙两地相距500千米。 43．如图所示，某一时刻，同学们在校园里测得6米高的大树的影长是4.5米。同一时刻测得教学楼的影长是9米，则教学楼的实际高度是多少米？（用方程解） 【答案】12米 【分析】根据题意知道，同一时间物体的长度和它的影子的长度的比值一定，即物体的长度和它的影子的长度的成正比例，由此列式解答即可。 【详解】解：设教学楼的实际高度是米。 答：教学楼的实际高度是12米。 【点睛】解答此题的关键是：先判断题中的两种相关联的量成何比例，然后找准对应量，列式解答即可。 44．探索浩瀚宇宙，发展航天事业，建设航天强国，是我国不懈追求的航天梦。经过几代人的不懈奋斗。我国的航天事业取得了辉煌成就。长征五号系列（简称CZ－5）运载火箭实现数字工程化应用，大大推动了航天产品数字化的进程。 （1）长征五号B型火箭在太空绕地球转了102圈。已知绕地球5圈大约需要7.5小时，那么长征五号B型火箭在太空大约运行了多长时间？（用比例解答） （2）整流罩是运载火箭的重要组成部分，外形通常由近似的圆柱和圆锥组成。如图是某型号运载火箭整流罩的简约示意图，整流罩本身的厚度不计，该整流罩的容积是多少？ 【答案】（1）153小时 （2）150.72立方米 【分析】（1）根据题意可知，长征五号B型火箭绕地球的圈数∶转的时间＝长征五号B型火箭每小时转的圈数（一定），比值一定，那么长征五号B型火箭绕地球的圈数与转的时间成正比例关系，据此列出正比例方程，并求解。 （2）观察图形可知，该整流罩的容积＝圆柱的容积＋圆锥的容积，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，圆锥的体积公式V＝πr2h，代入数据计算求解。 【详解】（1）解：设长征五号B型火箭在太空大约运行了小时。 5∶7.5＝102∶ 5＝102×7.5 5＝765 ＝765÷5 ＝153 答：长征五号B型火箭在太空大约运行了153小时。 （2）底面半径：4÷2＝2（米） 3.14×22×10＋×3.14×22×（16－10） ＝3.14×4×10＋×3.14×4×6 ＝125.6＋25.12 ＝150.72（立方米） 答：整流罩的容积是150.72立方米。 45．张老师要将一个6G（G是表示文件大小的单位）的文件下载到自己的电脑中。他查了一下电脑D盘和E盘的属性，发现如图信息： （1）张老师将文件保存在哪个盘比较合适？请说明理由。 （2）6G的文件，前12分钟下载了25%。照这样的速度，还要几分钟才能下载完毕？（用比例解答） 【答案】（1）E盘，理由见详解 （2）36分钟 【分析】（1）把磁盘的总空间看作单位“1”，用1减未用空间占总空间的百分比，得到已用空间占总空间的百分比，再用已用空间除以已用空间占总空间的百分比，求出磁盘的总空间，然后用总空间乘未用空间所占的百分比，分别求出D盘和E盘的未用空间，最后与文件大小比较来确定下载到哪个盘合适，据此解答。 （2）因为下载的速度不变，所以下载量与时间成正比例关系。前12分钟下载了25%，则还剩下（1－25%）未下载，设还要x分钟才能下载完毕，由此可列出比例25%∶12＝（1－25%）∶x，解出比例，即可求出还要多少分钟才能下载完毕，据此解答。 【详解】（1）D盘未用空间： 39.6÷（1－12%）×12% ＝39.6÷0.88×0.12 ＝45×0.12 ＝5.4（G） E盘未用空间： 99÷（1－10%）×10% ＝99÷0.9×0.1 ＝110×0.1 ＝11（G） 11G＞6G＞5.4G 答：张老师将文件保存在E盘比较合适，理由是E盘未用空间大于6G。 （2）解：设还要x分钟才能下载完毕。 25%∶12＝（1－25%）∶x 25%x＝12×（1－25%） 0.25x＝12×0.75 0.25x＝9 x＝9÷0.25 x＝36 答：还要36分钟才能下载完毕。 46．小明一家三口开车从北京去560km外的爷爷家。汽车每100km耗油8L，按照这个耗油量，出发时加满60L汽油，中途不加油能到达爷爷家吗？（用比例知识解答） 【答案】能 【分析】两个相关联的量，一个量随着另一个量的变化而变化，如果两个量的比值一定，那么这两个量是成正比例的量，它们的关系是正比例关系。汽车每千米的耗油量不变，即汽车的耗油量∶汽车行驶的路程＝汽车每千米的耗油量（一定），比值一定，则汽车的耗油量与汽车行驶的路程成正比例关系，由此列出正比例方程，并求解。据此解答。 【详解】解：设开车去爷爷家需要汽油升 ∶560＝8∶100 100＝560×8 100 44.8＜60 答：中途不加油能到爷爷家。 47．笑笑家装修面积为10.80平方米的书房，用了120块方砖。淘气家的书房面积为9平方米，如用笑笑家书房同一种型号的方砖，一共需要多少块？（用比例方程解答） 【答案】100块 【分析】根据题意可知，面积与方砖块数成正比例，设一共需要x块，列比例：10.80∶120＝9∶x，解比例，即可解答。 【详解】解：设一共需要x块。 10.80∶120＝9∶x 10.80x＝120×9 10.80x＝1080 x＝1080÷10.80 x＝100 答：一共需要100块。 48．一个车队向灾区运送1620吨救灾物资，已知2.4小时运了324吨，照这样进度，运完这批物资还需几小时？（用比例解） 【答案】9.6小时 【分析】根据题意可知，物资的吨数∶运送时间＝车队每小时运送物资的吨数（一定），比值一定，则物资的吨数与运送时间成正比例关系，据此列出正比例方程，并求解。 【详解】解：设运完这批物资还需x小时。 （1620－324）∶x＝324∶2.4 324x＝（1620－324）×2.4 324x＝1296×2.4 324x＝3110.4 x＝3110.4÷324 x＝9.6 答：运完这批物资还需9.6小时。 49．春秋战国时期，我国有一位发明家叫鲁班，手艺巧夺天工，传说他用木头组成飞鸟，惟妙惟肖，十分逼真。鲁班3天能做15个飞鸟，如果要做80个飞鸟，需要几天？（用比例解答） 【答案】16天 【分析】鲁班3天能做15个飞鸟，可以用求出一天的量，即总数和天数成正比例关系，根据总数除以对应的天数等于1天的量这一等量关系列比例，需先把需要的天数设为天。 【详解】解：设需要天。 答：如果要做80个飞鸟，需要16天。 50．铺设一条煤气管道。计划每天铺设120米，用12天完成任务。由于居民着急使用，上级要求每天多铺20%，这样可以提前几天完成？（用比例的知识解） 【答案】2天 【分析】把计划每天铺设的长度（120米）看作单位“1”，则实际每天铺设120×（1＋20%）米，设这样可以提前x天完成，实际用了（12－x）天完成。工作效率×工作时间＝工作总量（一定），工作效率与工作时间成反比例。即计划每天铺的米数×计划的天数＝实际每天铺的米数×实际的天数，据此可列比例“120×12＝120×（1＋20%）×（12－x）”解答。 【详解】解：设提前x天完成任务。 120×12＝120×（1＋20%）×（12－x） 1440＝120×1.2×（12－x） 1440＝144×（12－x） 1440÷144＝144×（12－x）÷144 10＝12－x 10＋x＝12－x＋x 10＋x＝12 10＋x－10＝12－10 x＝2 答：这样可以提前2天完成。 【点睛】用比例知识解决问题关键是找到不变的量，只要两种相关联的量中相对应的两个数的比值一定，就可以用正比例知识解答；只要两种相关联的量中相对应的两个数的乘积一定，就可以用反比例知识解答。 51．一位打字员打一本书稿，如果每天打18页，15天可以打完。若要10天打完，每天应打多少页？（用比例解答） 【答案】27页 【分析】根据题意知道，一本书的总页数一定，即总工作量一定，工作效率和工作时间成反比例，关系式是：原来每天打字字数×时间＝现在每天打字字数×时间，由此列式解答即可。 【详解】解：设每天打页。 270＝10x 10x÷10＝270÷10 答：每天打27页。 52．张叔叔加工一批零件，计划每小时加工25个，6小时完成，实际工作效率提高20%，实际多少小时可以完成？（用比例知识解答） 【答案】5小时 【分析】已知计划每小时加工25个，实际工作效率提高20%，把计划工作效率看作单位“1”，则实际工作效率是计划的（1＋20%），单位“1”已知，用计划工作效率乘（1＋20%），即是实际工作效率； 根据题意可知，加工这批零件的工作总量不变，即工作效率×工作时间＝工作总量（一定），乘积一定，则工作效率与工作时间成反比例关系，据此列出反比例方程，并求解。 【详解】解：实际x小时可以完成。 25×（1＋20%）×x＝25×6 25×1.2×x＝150 30x＝150 x＝150÷30 x＝5 答：实际5小时可以完成。 53．办公室买进一包白纸，计划每天用30张，可以用20天。由于注意了节约用纸，实际每天少用5张，实际比计划多用多少天？（用比例解） 【答案】4天 【分析】根据题意可知，这包白纸的总张数不变，即每天用纸的张数×用的天数＝这包白纸的总张数（一定），乘积一定，则每天用纸的张数与用的天数成反比例关系，据此列出反比例方程，并求出实际用的天数；最后用计划用的天数减去实际用的天数，即是实际比计划多用的天数。 【详解】解：设实际可以用x天。 （30－5）x＝30×20 25x＝600 x＝600÷25 x＝24 24－20＝4（天） 答：实际比计划多用4天。 54．2工人师傅安装一批电线杆，计划每天安装12根，30天完成。由于改进了安装技术，实际每天比计划多安装6根。这批电线杆实际安装了多少天？（用比例知识解答） 【答案】20天 【分析】由于安装的电线杆数是一定的，所以每天安装的根数与工作的天数成反比例。设实际安装了天，据此列比例并解比例。 【详解】解：设实际安装了天 答：这批电线杆实际安装了20天。 55．一间房子，如果用边长4分米的方砖铺地，需要108块铺满，如果改用边长是6分米的方砖铺地，需要多少块才能铺满？（用比例解） 【答案】48块 【分析】根据题意，房子地面的面积一定，即每块方砖的面积×方砖的块数＝房子地面的面积（一定），积一定，那么每块方砖的面积与方砖的块数成反比例关系，设需要用边长6分米的方砖x块，根据反比例关系列出方程。 【详解】解：设需要边长是6分米的方砖x块才能铺满。 （6×6）x＝（4×4）×108 36x＝16×108 36x＝1728 x＝1728÷36 x＝48 答：需要48块才能铺满。 56．星星校服厂生产一批校服，原计划每天生产150套，30天可以完工，由于要加快进度，实际每天比原计划多生产20%，实际多少天完成任务？（用比例的知识解答） 【答案】 25天 【分析】由题意可知，这批服装的总数量不变，则每天生产服装的数量和需要的天数成反比例，实际每天生产服装的数量×实际需要的天数＝原计划每天生产服装的数量×原计划需要的天数，据此解答。 【详解】解：设实际x天完成任务。 150×（1＋20%）×x＝150×30 150×1.2×x＝150×30 180x＝4500 x＝4500÷180 x＝25 答：实际25天完成任务。 57．灵灵做“杠杆原理”实验，选了一根粗细均匀的竹竿，在中点位置拴上绳子，然后从中点开始每隔相等距离画上刻度线。实验时，他在左右两边各放上一袋水果，此时竹竿正好平衡。 (1)已知左边的水果重1.5kg，那么右边的水果重多少千克？请列式计算。 (2)刻度距离和水果质量存在怎样的比例关系？为什么？请用简单文字或数量关系式说明理由。 【答案】(1)0.9千克 (2)成反比例关系；理由见详解 【分析】（1）根据题意，用左边水果的质量×左边刻度距离＝右边水果质量×右边刻度距离。所以用左边水果质量×左边刻度距离÷右边刻度距离＝右边水果质量。 （2）因为左边水果质量×左边刻度距离＝右边水果质量×右边刻度距离。两个量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就成反比例关系。而刻度距离乘水果质量的积是一定的， 它们成反比例关系。据此分析即可。 【详解】（1）1.5×3÷5 ＝4.5÷5 ＝0.9（千克） 答：那么右边的水果重0.9千克。 （2）刻度距离和水果质量存在反比例关系。因为左边水果质量×左边刻度距离＝右边水果质量×右边刻度距离。刻度距离和水果质量的乘积一定，所以刻度距离和水果质量存在反比例关系。 58．如图是两个互相啮合的齿轮，它们在同一时间内转动时，大齿轮和小齿轮转过的总齿数是相同的。 (1)转过的总齿数一定时，每个齿轮的齿数和转过的圈数是( )关系。 (2)大齿轮有60个齿，小齿轮有15个齿。如果大齿轮每分钟转80圈，小齿轮每分钟转多少圈？ 【答案】(1)反比例 (2)320圈 【分析】（1）齿轮转动中，两齿轮在相同时间内的总齿数相等。即每个齿轮的齿数×转过的圈数＝转过的总齿数（一定），乘积一定，那么每个齿轮的齿数和转过的圈数成反比例关系。 （2）根据每个齿轮的齿数和转过的圈数成反比例关系，可得出等量关系：小齿轮的齿数×小齿轮每分钟转的圈数＝大齿轮的齿数×大齿轮每分钟转的圈数，据此列出反比例方程，并求解。 【详解】（1）转过的总齿数一定时，每个齿轮的齿数和转过的圈数是反比例关系。 （2）解：设小齿轮每分钟转圈。 15＝60×80 15＝4800 ＝4800÷15 ＝320 答：小齿轮每分钟转320圈。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $