空间向量与立体几何考前大题训练-2026届高三数学三轮冲刺

**基本信息** 空间向量与立体几何综合大题，6道题涵盖三棱锥、圆锥、正方体等几何体，聚焦垂直证明、线面角、体积最值等高考核心题型，适配三轮冲刺能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|6道|三棱锥中AP⊥BC证明、四棱锥翻折二面角分析、圆锥轨迹与线面角最值、正方体体积与轨迹探究|问题设计具层次性，基础证明（如第1题AP⊥BC）与创新应用（如第6题动态轨迹）结合；体现空间观念与推理能力，贴合高考命题趋势，如翻折问题（第2题）、存在性探究（第5题）。|

2026高考 必刷大题3　空间向量与立体几何 　　 1.如图，在三棱锥P-ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2. （1）求证：AP⊥BC； （2）若点M是线段AP上一点，且AM＝3.试证明平面AMC⊥平面BMC. 证明：（1）以O为原点，过点O作CB的平行线为x轴，以方向为y轴正方向，以的方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示； 则O（0，0，0），A（0，－3，0）， B（4，2，0），C（－4，2，0），P（0，0，4）， 故＝（0，3，4），＝（－8，0，0）， ∴·＝0×（－8）＋3×0＋4×0＝0， ∴⊥，即AP⊥BC. （2）∵PO⊥平面ABC，AO⊂平面ABC，∴PO⊥AO， ∵PO＝4，AO＝3，故AP＝5，∵M为AP上一点，且AM＝3， ∴M（0，－，），∴＝（0，，），＝（－4，－，），＝（4，－，）. 设平面BMC的法向量为n＝（a，b，c）， 则即令b＝1， 则n＝（0，1，）. 设平面AMC的法向量为m＝（x，y，z），则即令 x＝5， 则m＝（5，4，－3）. 由n·m＝0×5＋1×4＋×（－3）＝0， 得n⊥m，即平面AMC⊥平面BMC. 2.如图，在图①的等腰直角三角形ABC中，AB＝CB＝3，边AB，AC上的点E，F满足＝＝，将△AEF沿EF翻折至△PEF处，得到图②中的四棱锥P-EFCB，且二面角P-EF-B的大小为60°. （1）证明：平面PBC⊥平面EFCB； （2）求直线BE与平面PFC所成角的正弦值. 解：（1）证明：因为＝＝，所以EF∥BC， 因为等腰直角三角形ABC中，AB⊥BC，所以EF⊥AB， 在四棱锥P-EFCB中，EF⊥EB，EF⊥EP. 所以∠PEB为二面角P-EF-B的平面角，即∠PEB＝60°. 又PE＝2，BE＝1，所以PB ＝＝， 满足PE2＝BE2＋PB2. 即BE⊥PB，又BE⊥BC，且PB∩BC＝B，PB，BC⊂平面PBC， 所以BE⊥平面PBC. 又BE⊂平面EFCB，所以平面PBC⊥平面EFCB. （2）由EF⊥EB，EF⊥EP，且EB∩EP＝E，EB，EP⊂平面PBE， 故EF⊥平面PBE，则有EF⊥PB. 又EF∥BC，所以BC⊥PB，即PB，EB，CB两两垂直.以B为坐标原点，，，的方向为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 则有：B（0，0，0），E（0，1，0），C（3，0，0），P（0，0，），F（2，1，0）.＝（0，1，0）. 设平面PFC的法向量n＝（x，y，z），＝（3，0，－），＝（1，－1，0）. 令y＝1，得n＝（1，1，）. 设所求角的大小为θ，则sin θ＝｜cos＜，n＞｜＝＝＝. 所以直线BE与平面PFC所成角的正弦值为. 3.如图，P为圆锥的顶点，O为圆锥底面的圆心，圆锥的底面直径AB＝4，母线PH＝2，M是PB的中点，四边形OBCH为正方形. （1）设平面POH∩平面PBC＝l，证明：l∥BC； （2）设D为OH的中点，N是线段CD上的一个点，当MN与平面PAB所成角最大时，求MN的长. 解：（1）证明：∵四边形OBCH为正方形，∴BC∥OH， ∵BC⊄平面POH，OH⊂平面POH， ∴BC∥平面POH. ∵BC⊂平面PBC，平面POH∩平面PBC＝l，∴l∥BC. （2）∵圆锥的母线长为2，AB＝4，∴OB＝2，OP＝2， 以O为原点，OH，OB，OP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则P（0，0，2），B（0，2，0），D（1，0，0），C（2，2，0），M（0，1，1）， 设＝λ＝（λ，2λ，0）（0≤λ≤1），＝＋＝（1＋λ，2λ，0）， ＝－＝（1＋λ，2λ－1，－1），＝（1，0，0）为平面PAB的一个法向量， 设MN与平面PAB所成的角为θ， 则sin θ＝＝ ，令1＋λ＝t∈[1，2]， 则sin θ＝＝＝ ， ∴当＝时，即λ＝时，sin θ最大，θ亦最大，此时＝， ∴MN＝｜｜＝＝. 4.如图，四边形ABCD为平行四边形，点E在AB上，AE＝2EB＝2，且DE⊥AB.以DE为折痕把△ADE折起，使点A到达点F的位置，且∠FEB＝60°. （1）求证：平面BFC⊥平面BCDE； （2）若直线DF与平面BCDE所成角的正切值为，求点C到平面DEF的距离. 解：（1）证明：∵DE⊥AB，∴DE⊥EB，DE⊥EF， ∵EB∩EF＝E，∴DE⊥平面BEF， ∵BF⊂平面BEF，∴DE⊥BF， ∵AE＝2EB＝2，∴EF＝2，EB＝1， ∵∠FEB＝60°， ∴BF＝＝， ∴EF2＝EB2＋BF2，∴FB⊥EB， ∵DE∩BE＝E，∴BF⊥平面BCDE， ∵BF⊂平面BFC，∴平面BFC⊥平面BCDE. （2）以B为原点，BA所在直线为y轴，在平面ABCD中过B作AB的垂线为x轴，BF所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图，设DE＝a， 则D（a，1，0），E（0，1，0），F（0，0，）， ＝（－a，－1，）， ∵直线DF与平面BCDE所成角的正切值为， ∴直线DF与平面BCDE所成角的正弦值为， 平面BCDE的法向量n＝（0，0，1）， ∴｜cos＜n，＞｜＝＝＝，解得a＝2，∴D（2，1，0），C（2，－2，0）， ∴＝（2，0，0），＝（－2，－1，），＝（0，－3，0）， 设平面EDF的法向量m＝（x，y，z）， 则取z＝1，得m＝（0，，1）， ∴点C到平面DEF的距离d＝＝. 5.如图，在四棱锥S-ABCD中，四边形ABCD是矩形，△SAD是正三角形，且平面SAD⊥平面ABCD，AB＝1，P为棱AD的中点，四棱锥S-ABCD的体积为. （1）若E为棱SB的中点，求证：PE∥平面SCD； （2）在棱SA上是否存在点M，使得平面PMB与平面SAD所成锐二面角的余弦值为？若存在，指出点M的位置并给以证明；若不存在，请说明理由. 解：（1）证明：取SC中点F，连接EF，FD， ∵E，F分别为SB，SC的中点， ∴EF∥BC，EF＝BC， ∵底面四边形ABCD是矩形，P为棱AD的中点， ∴PD∥BC，PD＝BC. ∴EF∥PD，EF＝PD， 故四边形PEFD是平行四边形，∴PE∥FD. 又∵FD⊂平面SCD，PE⊄平面SCD，∴PE∥平面SCD. （2）假设在棱SA上存在点M满足题意， 在等边△SAD中，P为AD的中点，∴SP⊥AD， 又平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝AD，SP⊂平面SAD， ∴SP⊥平面ABCD，则SP是四棱锥S-ABCD的高. 设AD＝m（m＞0），则SP＝m，S矩形ABCD＝m， ∴V四棱锥S-ABCD＝S矩形ABCD·SP＝m×m＝，∴m＝2. 以点P为原点，，的方向分别为x，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 则P（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），S（0，0，）， 故＝（1，0，0），＝（1，1，0），＝（－1，0，）. 设＝λ＝（－λ，0，λ）（0≤λ≤1）， ∴＝＋＝（1－λ，0，λ）. 设平面PMB的一个法向量为n1＝（x，y，z）， 则取z＝λ－1， 得n1＝（λ，－λ，λ－1）. 易知平面SAD的一个法向量为n2＝（0，1，0），｜cos＜n1，n2＞｜＝＝＝， ∵0≤λ≤1，∴λ＝（其中λ＝2舍去）. 故存在点M，且点M位于靠近点S的三等分点处. 6. 已知正方体的棱长为，对角线的中点为，动点在平面内，且点到平面的距离等于. （1）求四棱锥体积的最小值； （2）记点的轨迹为曲线，点，，是曲线上不同三点. （i）若平面与轨迹相交于两点，求线段的长； （ii）若点在点上方，且，，与平面所成角相等，平面过且与平行，判断平面与平面的夹角是否为定值，若是定值，求出这个夹角的余弦值；若不是定值，请说明理由. 解： （1）设点到平面和直线的距离分别为，， 因为点在平面内，且平面与平面的夹角为， 因此，得， 所以点的轨迹是为焦点，为准线的抛物线， 当点在抛物线的顶点处时，最小， 最小值为，此时， 所以四棱锥体积的最小值为； （2）设的中点为，则，如图1，以的中点为原点，所在直线为轴，过点且垂直于平面的直线为轴，过点且平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系，设点，则， （i）平面与平面的交线为， 因此，是直线与抛物线的交点，如图2， 在平面中，可以设：， 与抛物线方程联立，得：， 因此，； （ii）如图3，在平面中，点在点上方，且， 得到点坐标为，因为，与平面所成角相等， 所以，与所成角相等， 因此，，的斜率互为相反数， 设，，则， 得， 因此，， 因此，在空间直角坐标系中，的方向向量为， 又， 设平面的法向量， 由，由， 令，则， 又平面的法向量，， 所以平面与平面的夹角为定值，其余弦值为. 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026高考必刷大题3　空间向量与立体几何 　　 1.如图，在三棱锥P-ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2. （1）求证：AP⊥BC； （2）若点M是线段AP上一点，且AM＝3.试证明平面AMC⊥平面BMC. 2.如图，在图①的等腰直角三角形ABC中，AB＝CB＝3，边AB，AC上的点E，F满足＝＝，将△AEF沿EF翻折至△PEF处，得到图②中的四棱锥P-EFCB，且二面角P-EF-B的大小为60°. （1）证明：平面PBC⊥平面EFCB； （2）求直线BE与平面PFC所成角的正弦值. 3.如图，P为圆锥的顶点，O为圆锥底面的圆心，圆锥的底面直径AB＝4，母线PH＝2，M是PB的中点，四边形OBCH为正方形. （1）设平面POH∩平面PBC＝l，证明：l∥BC； （2）设D为OH的中点，N是线段CD上的一个点，当MN与平面PAB所成角最大时，求MN的长. 4.如图，四边形ABCD为平行四边形，点E在AB上，AE＝2EB＝2，且DE⊥AB.以DE为折痕把△ADE折起，使点A到达点F的位置，且∠FEB＝60°. （1）求证：平面BFC⊥平面BCDE； （2）若直线DF与平面BCDE所成角的正切值为，求点C到平面DEF的距离. 5.如图，在四棱锥S-ABCD中，四边形ABCD是矩形，△SAD是正三角形，且平面SAD⊥平面ABCD，AB＝1，P为棱AD的中点，四棱锥S-ABCD的体积为. （1）若E为棱SB的中点，求证：PE∥平面SCD； （2）在棱SA上是否存在点M，使得平面PMB与平面SAD所成锐二面角的余弦值为？若存在，指出点M的位置并给以证明；若不存在，请说明理由. 6. 已知正方体的棱长为，对角线的中点为，动点在平面内，且点到平面的距离等于. （1）求四棱锥体积的最小值； （2）记点的轨迹为曲线，点，，是曲线上不同三点. （i）若平面与轨迹相交于两点，求线段的长； （ii）若点在点上方，且，，与平面所成角相等，平面过且与平行，判断平面与平面的夹角是否为定值，若是定值，求出这个夹角的余弦值；若不是定值，请说明理由. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $