（小升初培优）专题18 比和比例应用题（讲义）-2025-2026学年六年级下册数学苏教版

专题18 比和比例应用题 知识点01：按比分配问题： 把一个数量按照一定的比分成几部分，求各部分数量是多少的问题叫作按比分配问题。 解题方法： （1）一般方法：把比转化成分数，用分数乘法解答，即先求总份数，然后求出各部分量占总量的几分之几，最后按照“求一个数的几分之几是多少”的解题方法分别求出各部分量是多少。 （2）归一法：把比看作分得的份数，先求出总份数，然后用“总量÷总份数=每份的量（归一）”，再用“每份的量×各部分量所对应的份数”求出各部分量。 （3）用比例知识解答：首先设未知量为x，然后根据题中“已知比等于相对应的量的比”作为等量关系式列出含有x的比例式，再解比例求出x的值。 知识点02：用比例知识解决问题： 正比例关系式：（一定） 反比例关系式：x y = k（一定） 用正比例和反比例解决问题的步骤： （1）分析数量关系，判断成什么比例。 （2）找等量关系。如果成正比例，则按“等比”找等量关系；如果成反比例，则按“等积”找等量关系式。 （3）列比例式。设未知量为x,并代入等量关系式，得出正比例式或反比例式。 （4）解比例。 （5）检验，并写出答语。 【例1】我国有悠久的青铜器铸造史，其中后母戊鼎是商周时期青铜文化的代表作，是迄今世界上出土最大、最重的青铜礼器，享有“镇国之宝”的美誉，现藏于中国国家博物馆。经测定，鼎重约833千克，其中含铜、锡、铅的比约为85∶12∶3，鼎中含锡和铅各约有多少千克？ 1．某班有 40 名同学，下图是六（1）班在一次数学考试中的等级分布情况。其中甲等级为优良，丙等级及以上均为合格。已知获乙等级和丙等级的人数比为 4：1，全班均合格。 （1）问甲、乙、丙等级分别有多少人？请写出计算过程。 （2）奇思：丙等级比乙等级少33%。妙想：丙等级比乙等级少75%。你同意谁的说法，请算一算。 2．为践行青岛市“十个一项目行动计划”要求，实验小学举行了经典阅读活动。丁丁读一本书，已读的页数与全书页数的比是1∶3。如果再读100页，正好读完全书页数的一半。丁丁读的这本书一共有多少页？ 3．王叔叔公司附近有一处停车场，共有220个停车位，分为普通车位和充电桩车位，普通车位和充电桩车位的数量比是9∶2，这个停车场充电桩车位有多少个？ 4．4月23日是世界读书日，在这一天，某小学新买来300本图书，其中放在了图书室，剩下的书按3∶4∶5分给了四、五、六年级，那么六年级分到多少本书？ 【例2】在1∶8000000的地图上，量得A、B两地间的距离为10cm，甲乙两列火车同时从A、B两地相对开出，5小时后相遇。已知甲乙两车速度比是11∶9，两车相遇时，甲车行了多少千米？ 1．在一幅比例尺是1∶3000000的地图上，量得A、B两座城市之间的距离是15cm。一辆客车和一辆小轿车同时从两地相向而行，3小时相遇。已知客车和小轿车的速度比是2∶3，求两车的速度各是多少？ 2．在比例尺是1∶3000000的地图上，量得两地距离是10厘米，甲、乙两车同时从两地相向而行，3小时后两车相遇。已知甲、乙两车的速度比是2∶3，求甲、乙两车每小时各行多少千米？ 3．在标有比例尺1∶4000000的地图上量得甲乙两地相距9厘米，一列货车和一列客车同时从甲乙两地相向而行，2小时相遇，已知客车与货车的速度比为5∶4，求客车的速度是多少？ 【例3】菠萝用食盐水浸泡后，能抑制菠萝蛋白酶的活力，有助于抑制菠萝蛋白酶对口腔黏膜的刺激，同时让菠萝更香甜可口。已知浸泡菠萝的食盐水中，食盐与水的比是，如果有30克食盐，需要多少克水？ 1．小明家饲养的鸡与猪的数量比为26∶5，猪与马的数量比为4∶3。如果鸡有312只，求马有多少匹？ 2．数学组的同学们在上拓展课，张老师和四名同学测量一些螺丝钉的体积，他们合作进行如下操作： ①小明准备了一个圆柱体玻璃杯，从里面测量得到底面直径是厘米，高是厘米。 ②小刚往玻璃杯里注入一些水，水的高度与水面离杯口的距离之比是1∶1。 ③小亮把20枚完全一样的螺丝钉放入水中。（螺丝钉完全浸没在水中） ④小强测量此时水的高度与水面离杯口的距离之比是3∶2。请根据以上信息，计算出一枚螺丝钉的体积。（π取3.14） 3．甲、乙两数的平均数是60，甲、乙两数的比是，甲数和乙数分别是多少？ 4．一辆客车从甲地开往乙地，第一天行驶了全程的，第二天行驶了600千米；这时已行的路程和总路程的比是3∶5，甲、乙两地相距多少千米？ 【例4】人的腰线是人的黄金分割线，当腰线到脚底的高度与整个身高的比越接近时，越给人以美的感觉。一位同志身高175厘米，腰线到脚底的高度是103厘米。为了更美，他需要穿多高的高跟鞋？从3厘米、4厘米、5厘米、6厘米中选一个答案，并说说为什么这样选的理由。（在解答时，0.618取成0.6参与列式和计算） 1．阅读下面的信息，解决问题。 黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618。把这个比应用于艺术，可以给人以最美的感觉，它也叫作“黄金比”。黄金比在作曲领域也被广泛认可，在创作一些乐曲时，音乐家会将高潮部分安排在全曲的黄金比处，比如要创作89节的乐曲，其高潮便在第55节处。（55÷89≈0.618） (1)请根据材料完成填空。 ( )∶整体部分＝( )∶较大部分＝黄金比。 (2)如果一位音乐家要创作60节的乐曲，高潮最好在第几节？请通过计算说明。（得数保留整数） (3)报幕员站在舞台黄金分割点处最自然得体。一个舞台长10米，现报幕员已站在台上，距舞台一侧2米处，要想处于最自然得体的位置，她至少再走多少米？ 2．黄金比是公认的最具审美意义的比，人体中就藏着黄金比。以肚脐眼为分割点，当上半身与下半身的比大约是5∶8时，给人一种美感，达不到的话可以穿高跟鞋来改善。妈妈的身高是165厘米，下半身长100厘米。为了尽可能达到好的美感比例，她穿的高跟鞋的最佳高度大约为多少厘米？ 3．人体上半身长和下半身长的黄金比为0.618∶1，妈妈上半身长62厘米，下半身长98厘米，她想通过穿高跟鞋使身长比例更美观，依据“黄金比”，妈妈买了一双6厘米的高跟鞋。这双高跟鞋的高度是偏高了还是偏低了？请通过列式计算说明。 一、填空题 1．“大美兰考是一个值得所有兰考人骄傲的地方”。六年级学生举办了“自己心目中的大美兰考——绘画比赛”。乐乐画了一幅图，用的线段表示实际。这幅图的比例尺是( )。 2．线段比例尺表示图上距离1厘米相当于实际距离( )米，已知用这个比例尺画的绍兴地铁“2号线”全长36.7厘米，那么，绍兴地铁“2号线”实际全长( )千米。 3．如果a、b均不为0，且有4∶a＝b∶m，那么m＝( )。 4．化简比：( )；用12、5、4和四个数组成比例，的值最大是( )。 5．如果（a、b均不为0），那么与的最简整数比是( )，比值是( )。 6．一幅地图的线段比例尺是，在此地图上量得甲、乙两地的距离为12厘米，那么甲、乙两地的实际距离是________千米。 7．在一个比例中，两个内项的积是最小的质数，其中一个外项是0.4，另一个外项是( )。 8．m、n均不为0，若m∶4＝7∶n，则m和n成( )比例关系。 9．如果∶＝1∶x，则x＝( )。 10．一个零件实际长4毫米，画在图纸上长8厘米，这个零件图的比例尺是( )。 11．甲、乙、丙三个数，已知甲∶（乙＋丙）＝4∶3，乙∶丙＝2∶7，则甲∶乙∶丙＝( )∶( )∶( )。 12．长征二号F运载火箭实际高度约58m，厂家按1∶200的比例尺定制火箭模型，模型的高度是________cm。每个火箭模型售价23元，“六一”儿童节商场做“买四送一”的促销活动，李老师要买50个火箭模型送给全班同学，他一共要付________元。 13．甲、乙两座城市的实际距离是180千米，在一幅地图上量得两地间的距离是5厘米，这幅地图的比例尺是( )。 14．下面的表格数据不小心被墨水打湿弄脏，如果x和y成正比例关系，那么原数是( )；如果x和y成反比例关系，那么原数是( )。 x 6 y 25 50 15．科学课上，欢欢在利用直尺和橡皮筋进行实验探究时发现，在皮筋上标注A、B、C三个点的位置，如果将点A的位置固定不动，拉动橡皮筋的另一端，橡皮筋上B、C两点与点A的距离的比值总是一个定值。如图，欢欢将A点固定在0cm的位置，拉动时B、C所在的位置在9cm和12cm处，若此时沿着直尺的方向将橡皮筋继续拉长，当点B的位置在15cm处时，点C的位置应在( )cm处。 16．在比例尺是1∶4000000的地图，量得A、B两港的距离9厘米，一艘货船于上午6时以每小时24千米的速度从A港开向B港，货轮到达B港的时间是( )。 17．旅居美国孟菲斯动物园的大熊猫“丫丫”由专机运送抵达上海，按期返回中国。在比例尺是1∶60000000的地图上，量得孟菲斯到上海的图上距离是20厘米，那么从孟菲斯到上海的实际距离为( )千米，请将该比例尺改写成线段比例尺是( )。 18．如3∶x＝0.5∶y，y和x成( )比例，若x＝2，则6y－2＝( )。 19．在线段比例尺是的地图上，量得甲、乙两地之间的距离是6厘米，两地的实际距离是( )千米。在另一幅地图上，甲、乙两地之间的距离是5厘米，这幅地图的比例尺是( )。 20．甲、乙两地相距240千米，画在比例尺1∶3000000的地图上，应画( )厘米。一辆汽车从甲地开往乙地，1.2小时后距离乙地的图上距离是4.8厘米，这辆汽车每小时行( )千米。 二、选择题 21．下列X和Y成反比例关系的是（    ）。 A． Y＝3＋X B．X＋Y＝ C．X＝Y D． 22．把线段比例尺改写成数值比例尺是（    ）。 A．1∶30 B．1∶3000000 C．1∶30000 D．1∶300000 23．在下面各比中，能与组成比例的是（    ）。 A．5∶6 B．6∶5 C．4∶3 D．3∶4 24．下列各式中，与成反比例关系的是（    ）。（，均不为0） A． B． C． D． 25．一个零件的高是2mm，在图纸上的高是3cm。这幅图纸的比例尺是（    ）。 A．15∶1 B．1∶15 C．2∶30 D．30∶2 26．如图：平行四边形a边上的高为b，c边上的高为d，根据这些信息，下列式子中（    ）不成立。 A．a∶c＝d∶b B．a∶c＝b∶d C．＝ D．＝ 27．下列表述中，成反比例关系的是（    ）。 A．三角形的高不变，它的底和面积 B．平行四边形的面积一定，它的底和高 C．圆的面积是24m2，它的半径与圆周率 D．你的年龄一定，你的身高与体重 28．下面每题中的两种量成反比例关系的是（    ）。 A．正方体的表面积和它的棱长 B．圆锥的高一定，它的体积和底面积 C．已知xy＝1，y与x D．全班人数一定，出勤人数和缺勤人数 29．已知，下面推断错误的选项是（    ）。 A． B． C． D． 30．利用比例的基本性质，判断下列选项中的两个比能组成比例的是（    ）。 A．和 B．和 C．和 D．和 31．平行四边形的面积一定，它的底和高（    ）。 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．不确定 32．小学阶段学了很多数学知识，它们之间有密切的联系。下面不能正确表示它们之间关系的是（    ）。 A．  B．  C．   D．   33．下面说法正确的有（    ）。 ①一个质数和一个合数的和一定是奇数； ②分数的分子和分母同时乘或除以同一个数，分数的大小不变； ③圆的周长一定，圆的半径和圆周率成反比例。 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 34．下列几组相关联的量中，不成正比例关系的是（    ）。 A．梨的单价一定，妈妈购买梨的总价和重量。 B．圆的直径一定，圆的周长和圆周率。 C．汽车的速度一定，行驶的路程和时间。 D．当时（a、b都是不为0的量），a和b。 35．下列四组数中，（    ）组中的四个数能组成比例。 A．2、3、5、6 B．0.1、0.5、2、8 C．、、6、12 D．1、、、 36．神舟十八号载人飞船与长征二号F遥十八运载火箭组合体，总重量400多吨，总高度约60米。小军制作了一艘神舟十八号载人飞船与长征二号F遥十八运载火箭组合体模型，模型高度与实际高度的比是1∶150，则这个模型的高度约（    ）厘米。 A．4 B．40 C．15 D．150 37．已知，且和都不为0，当一定时，和（    ）。 A．成正比例关系 B．成反比例关系 C．不成比例关系 D．以上都不对 38．李老师的手机上保存着“厦门市地铁线网”截图，供同学们课后实践使用，下左图是小华把李老师的原图按1∶a缩小后的图片，下右图是小丽把原图按（    ）缩小后的图片。 A．1∶a B．1∶a C．1∶2a D．1∶4a 39．有两杯水，甲杯倒去，乙杯倒去后，两杯剩下的水一样多。原来甲乙两杯水的比是（    ）。 A．9∶10 B．6∶5 C．5∶6 D．10∶9 40．以下数学知识运用正确的是哪几个（    ）。 ①用一根纸条扭成莫比乌斯带，沿着二等分线剪开得到的是更大的莫比乌斯环。 ②我们用的一寸二寸的证件照片，是根据一定的比例尺将图片进行缩小的。 ③自行车车轮是圆的，运用的几何原理是圆心到圆上的任何一点距离相等。 ④在利用圆柱的体积公式推导圆锥的体积公式时，发现了等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍。 A．①③ B．②③④ C．② D．③④ 41．小丽调制两杯蜂蜜水，第一杯用了25mL蜂蜜和200mL水，第二杯用了30mL蜂蜜和xmL水。以下比例不能说明两杯蜂蜜水一样甜的是（    ）。 A．25∶200＝30∶x B．200∶225＝x∶（30＋x） C．25∶225＝30∶x D．225∶25＝（30＋x）∶30 42．在下面几组相关联的量中，两种量成反比例关系的有（    ）个。 ①小玲每分钟浇树的棵数一定，浇树的时间和浇树的总棵数 ②用同样的正方形地砖铺地，地砖的块数和铺地的面积 ③在正方形铁皮上剪出最大的圆形，正方形的面积和圆的面积 ④购买商品的总价一定，商品的单价和数量 A．1 B．2 C．3 D．4 43．下面说法中，正确的是（    ）。 A．男生比女生多，则女生比男生少。 B．把一个长方形按4∶1的比放大，放大后的图形面积是原来的16倍。 C．把一个圆柱削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是圆锥体积的3倍。 D．用8个小正方体拼成一个大正方体，任意拿走一个小正方体后表面积一定减少。 44．盒子里有黑、白两种棋子，先放入一些白棋子，这样使得盒子中黑、白棋子的比是2∶5，然后又放入一些黑棋子，这样使得盒子中的黑、白棋子的比是3∶5。如果放入的黑棋子和白棋子的数量比是3∶7，那么原来盒子中黑、白棋子的数量之比是（    ）。 A．6∶5 B．5∶6 C．4∶3 D．3∶4 45．甲、乙、丙三人共同加工一批零件，甲比乙多加工100个，丙∶乙＝3∶4，甲∶（乙＋丙）＝2∶3，甲、乙、丙一共加工了（    ）个零件。 A．1750 B．1800 C．1850 D．1900 三、计算题 46．解下面的方程或比例。                                 47．解方程或解比例。                              48．解方程或者比例。 （1）              （2）4              （3） 49．解方程。            四、解答题 50．一般认为，如果一个人肚脐以上与肚脐以下的长度比符合黄金比0.618∶1，那么这个人的身材比较好。杨老师身高165cm，她的肚脐以上的部分长65cm，为了显得身材好，她应该穿鞋跟多高的鞋子？（得数保留整数） 51．研究表明：当人的下半身长度与身高的比的比值越接近黄金比（约为0.62）时，越给人一种美感。一位身高170厘米的时装模特，她的下半身是103.5厘米，为了达到黄金比的美感效果，她需要穿上大约多高的高跟鞋？ 52．当单肩包的背带总长度与人身高的比为0.618∶1时，背起来最舒服。王阿姨臂展长160厘米，她的臂展长是身高的。王阿姨准备背一个单肩包上班，她把背带总长度调整到多少厘米最舒服？（得数保留整数） 53．黄金比是公认的最具审美意义的比，人体中存在着黄金比。以肚脐为分界点，当上半身与下半身的比是5∶8时，身材显得最美。妈妈的上半身长65厘米，下半身长100厘米，她想要通过穿高跟鞋来达到黄金比。妈妈穿的高跟鞋的最佳高度是多少厘米？（用方程解决问题） 54．刘师傅要加工一批零件，已加工的零件个数与这批零件总个数的比是2∶7，如果再加工55个零件就可以完成这批零件的60%。这批零件一共有多少个？ 55．有一辆客车和一辆小轿车同时从甲、乙两地出发，相向而行，2小时后相遇。相遇时客车和小轿车所行路程的比为4∶5，甲、乙两地相距360千米，则客车和小轿车的速度分别是多少千米/时？ 56．小红看一本书，两天一共看了这本书的。已知第一天看了20页，第一天与第二天看的页数比是5∶6，她第二天看了多少页？这本书有多少页？ 57．一辆吉普车和一辆小轿车从两地同时出发，相向而行，两车相遇的时候距离两地中点6千米，吉普车和小轿车的速度比是3∶4，请你计算两地相距多少千米？ 58．某厂有甲、乙两个仓库存放货物。甲仓库和乙仓库存放货物的质量比是7∶3，如果甲仓库运48吨货物到乙仓库，甲乙两仓库的货物就一样多。原来两仓库各有多少货物？ 59．小红看一本书，第一次看了45页，第二次看了全书的。此时已看的页数与没看的页数的比是9∶5，这本书有多少页？ 60．3月12日植树节活动中学校把植树的任务按5∶3分给六年级和五年级。六年级实际栽了108棵，完成了原分配任务的120%。五年级实际栽了多少棵树？ 61．婷婷读一本故事书，第一天看的页数与剩下页数的比是1∶4，第二天看了15页，正好看完了全书的一半，第一天看了多少页？ 62．工地上需要一种混凝土，已知水泥、河沙和砂石的比是2∶3∶5，现在工地上存有水泥、河沙和砂石各60吨，当河沙全部用完时，水泥还有多少吨没用完，砂石还要增加多少吨？ 63．“十一”国庆节期间，某景区一停车场，停着小轿车、小客车和旅游大巴共200辆，这三种车的辆数比是2∶3∶5，每种车各有多少辆？ 64．如图的四边形土地的总面积是18公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形土地，其中2个小三角形土地的面积分别是8公顷和4公顷。那么最大的一个三角形土地的面积是多少公顷？ 65．家电商城有一批彩电在“五一”劳动节期间促销，每台售价2100元，比原价降低了30%。原计划第一天和第二天的销售量的比是5∶3，实际第一天就销售了54台，比原计划的销售量多20%，两天共盈利21600元。家电商城原计划第二天销售多少台彩电？ 66．用一条长108厘米的铁丝做成一个长方体模型，要求长、宽、高的比为2∶3∶4，如果每个面都用铁皮做成铁盒，那么这个铁盒的体积是多少？ 67．在比例尺1∶2000000的地图上，量得甲乙两地相距3.6厘米。如果一辆卡车以每小时45千米的速度在上午9时从甲地出发，那么什么时间可以到达乙地？ 68．在一幅比例尺为1∶4000000的地图上，量得甲、乙两地的图上距离是4.5厘米。两辆汽车分别从甲乙两地同时相向而行，甲车平均每小时行55.5千米，乙车平均每小时行44.5千米。两车行驶多少小时后途中相遇？ 69．五星红旗是国家主权和尊严的象征，见证了中国每一次腾飞的时刻，在珠峰之巅、在南极科考站、在太空都有她的身影，她永远在每个中国人的心中高高飘扬。数学小组的同学在开展“五星红旗”主题式学习，发现国旗上五角星的五个角都是顶角为36°的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究。 如图1，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC。 （1）操作发现：将△ABC折叠，使边BC落在边BA上，点C的对应点是点E，折痕BD交AC于点D，连接DE、DB，∠1的度数是多少？设AC＝1，BC＝，请用含的式子表示AE的长度。 （2）进一步探究发现：＝0.618，这个比值被称为黄金比。当等腰三角形的底和腰的比等于黄金比时，这个三角形叫做黄金三角形。例如，图1中的△ABC、△BCD都是黄金三角形。根据上述结论，如果BC＝10厘米，你能求出DC的长度吗？ 70．小明读一本书，上午读了一部分，这时读的页数与未读页数的比是1∶9；下午比上午多读6页，这时已读的页数与未读的页数的比变成了1∶3，这本书共多少页？ 71．快递员把一批货物从物流中心运往仓库，原计划3.5小时到达。在行驶过程中，有一段4.8千米的道路因暴雨受损，在这段路上的行驶速度仅为正常速度的，因此比原计划晚到了12分钟。物流中心到仓库的路程是多少千米？ ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题18 比和比例应用题 知识点01：按比分配问题： 把一个数量按照一定的比分成几部分，求各部分数量是多少的问题叫作按比分配问题。 解题方法： （1）一般方法：把比转化成分数，用分数乘法解答，即先求总份数，然后求出各部分量占总量的几分之几，最后按照“求一个数的几分之几是多少”的解题方法分别求出各部分量是多少。 （2）归一法：把比看作分得的份数，先求出总份数，然后用“总量÷总份数=每份的量（归一）”，再用“每份的量×各部分量所对应的份数”求出各部分量。 （3）用比例知识解答：首先设未知量为x，然后根据题中“已知比等于相对应的量的比”作为等量关系式列出含有x的比例式，再解比例求出x的值。 知识点02：用比例知识解决问题： 正比例关系式：（一定） 反比例关系式：x y = k（一定） 用正比例和反比例解决问题的步骤： （1）分析数量关系，判断成什么比例。 （2）找等量关系。如果成正比例，则按“等比”找等量关系；如果成反比例，则按“等积”找等量关系式。 （3）列比例式。设未知量为x,并代入等量关系式，得出正比例式或反比例式。 （4）解比例。 （5）检验，并写出答语。 【例1】我国有悠久的青铜器铸造史，其中后母戊鼎是商周时期青铜文化的代表作，是迄今世界上出土最大、最重的青铜礼器，享有“镇国之宝”的美誉，现藏于中国国家博物馆。经测定，鼎重约833千克，其中含铜、锡、铅的比约为85∶12∶3，鼎中含锡和铅各约有多少千克？ 【答案】 锡99.96千克；铅24.99千克 【分析】已知鼎重约833千克，其中含铜、锡、铅的比约为85∶12∶3，则铜85份、锡12份、铅3份，共85＋12＋3＝100份，用鼎的重量除以100份求出每份的重量，再分别乘12、乘3求出锡和铅的重量。据此解答。 【详解】85＋12＋3 ＝97＋3 ＝100 833÷100＝8.33（千克） 8.33×12＝99.96（千克） 8.33×3＝24.99（千克） 答：鼎中含锡约有99.96千克，含铅约有24.99千克。 1．某班有 40 名同学，下图是六（1）班在一次数学考试中的等级分布情况。其中甲等级为优良，丙等级及以上均为合格。已知获乙等级和丙等级的人数比为 4：1，全班均合格。 （1）问甲、乙、丙等级分别有多少人？请写出计算过程。 （2）奇思：丙等级比乙等级少33%。妙想：丙等级比乙等级少75%。你同意谁的说法，请算一算。 【答案】（1）甲：30人；乙：8人；丙：2人 （2）妙想说得对；算法见详解 【分析】（1）把总人数看作单位“1”，甲等级人数占总人数的75%，用总人数×75%，求出甲等级的人数；再用总人数－甲等级人数，求出乙、丙等级人数和，已知获乙等级和丙等级的人数比为 4：1，即乙等级人数占乙、丙等级人数的，用乙、丙等级人数和×，求出乙等级人数，进而求出丙等级人数。 （2）用乙等级人数与丙等级人数的差，除以乙等级人数，再乘100%，求出丙等级比乙等级少百分之几；再判断谁说的对，据此解答。 【详解】（1）40×75%＝30（人） （40－30）× ＝10× ＝8（人） （40－30）× ＝10× ＝2（人） 答：甲等级人数是30人，乙等级人数是8人，丙等级人数是2人。 （2）（8－2）÷8×100% ＝6÷8×100% ＝0.75×100% ＝75% 妙想说得对。 答：妙想说得对。 2．为践行青岛市“十个一项目行动计划”要求，实验小学举行了经典阅读活动。丁丁读一本书，已读的页数与全书页数的比是1∶3。如果再读100页，正好读完全书页数的一半。丁丁读的这本书一共有多少页？ 【答案】600页 【分析】将全书页数看作单位“1”，根据已读的页数与全书页数的比是1∶3，可知已读页数是全书页数的，全书页数的一半是，再读全书页数的（－）是一半，再读的页数÷对应分率＝全书页数，据此列式解答。 【详解】100÷（－） ＝100÷ ＝100×6 ＝600（页） 答：丁丁读的这本书一共有600页。 3．王叔叔公司附近有一处停车场，共有220个停车位，分为普通车位和充电桩车位，普通车位和充电桩车位的数量比是9∶2，这个停车场充电桩车位有多少个？ 【答案】40个 【分析】已知普通车位和充电桩车位的数量比是9∶2，即充电桩车位占停车场总车位的，根据求一个数的几分之几是多少，用停车场总车位乘，求出充电桩车位的数量。 【详解】220× ＝220× ＝40（个） 答：这个停车场充电桩车位有40个。 4．4月23日是世界读书日，在这一天，某小学新买来300本图书，其中放在了图书室，剩下的书按3∶4∶5分给了四、五、六年级，那么六年级分到多少本书？ 【答案】50本 【分析】把新买来图书的总本数看作单位“1”， 其中放在了图书室，则剩下的书占总本数的（1－），单位“1”已知，用总本数乘（1－），求出剩下的图书数； 已知剩下的书按3∶4∶5分给了四、五、六年级，那么六年级分到图书的本数占剩下图书的，根据求一个数的几分之几是多少，用剩下图书的本数乘，即可求出六年级分到图书的本数。 【详解】剩下的图书有： 300×（1－） ＝300× ＝120（本） 六年级分到： 120× ＝120× ＝50（本） 答：六年级分到50本书。 【例2】在1∶8000000的地图上，量得A、B两地间的距离为10cm，甲乙两列火车同时从A、B两地相对开出，5小时后相遇。已知甲乙两车速度比是11∶9，两车相遇时，甲车行了多少千米？ 【答案】440千米 【分析】根据实际距离＝图上距离÷比例尺，求出实际距离，再根据速度和＝路程÷时间，求出速度和，再把速度和按11∶9进行分配，求出甲车速度，再根据路程＝速度×时间，即可解答。 【详解】10÷＝80000000（厘米） 80000000厘米＝800千米 800÷5＝160（千米/小时） 160× ＝160× ＝88（千米/小时） 88×5＝440（千米） 答：甲车行了440千米。 1．在一幅比例尺是1∶3000000的地图上，量得A、B两座城市之间的距离是15cm。一辆客车和一辆小轿车同时从两地相向而行，3小时相遇。已知客车和小轿车的速度比是2∶3，求两车的速度各是多少？ 【答案】60千米/时；90千米/时 【分析】根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”，即可求得甲、乙两地的实际距离，再除以相遇时间求得两辆车的速度和，进而利用按比例分配的方法，已知客车和小轿车的速度比是2∶3，就是客车的速度是2份，小轿车的速度是3份，速度和是5份。客车的速度占速度和的，小轿车的速度占速度和的，据此分别求出这两辆车的速度各是多少。 【详解】（厘米） 45000000厘米＝450千米 450÷3＝150（千米/时） 2＋3＝5 （千米/时） （千米/时） 答：客车的速度是60千米/时，小轿车的速度是90千米/时。 2．在比例尺是1∶3000000的地图上，量得两地距离是10厘米，甲、乙两车同时从两地相向而行，3小时后两车相遇。已知甲、乙两车的速度比是2∶3，求甲、乙两车每小时各行多少千米？ 【答案】甲车每小时行40千米；乙车每小时行60千米 【分析】用图上距离除以比例尺可以求出实际距离，然后用路程除以时间可以求出速度和，然后按照2∶3分配可以求出甲、乙两车的速度。 【详解】10÷＝30000000（厘米）＝300（千米） 300÷3＝100（千米） 100× ＝100× ＝40（千米） 100× ＝100× ＝60（千米） 答：甲车每小时行40千米，乙车每小时行60千米。 3．在标有比例尺1∶4000000的地图上量得甲乙两地相距9厘米，一列货车和一列客车同时从甲乙两地相向而行，2小时相遇，已知客车与货车的速度比为5∶4，求客车的速度是多少？ 【答案】100千米/时 【分析】图上距离÷比例尺＝实际距离，将数据代入算出甲乙两地的路程；然后根据路程÷相遇时间＝速度和，用甲乙两地的路程除以两车相遇时间，算出客车和货车的速度之和；再按比例分配算出客车的速度。 【详解】9÷ ＝9×4000000 ＝36000000（厘米）   ＝360（千米） 360÷2＝180（千米） 180× ＝180× ＝100（千米） 答：客车的速度是100千米/时。 【点睛】此题考查的是相遇问题和按比例分配问题，熟记图上距离、比例尺、实际距离之间关系是解题关键。 【例3】菠萝用食盐水浸泡后，能抑制菠萝蛋白酶的活力，有助于抑制菠萝蛋白酶对口腔黏膜的刺激，同时让菠萝更香甜可口。已知浸泡菠萝的食盐水中，食盐与水的比是，如果有30克食盐，需要多少克水？ 【答案】100克 【分析】将比的前后项看成份数，食盐的质量÷对应份数＝一份数，一份数×水的对应份数＝水的质量，据此列式解答。 【详解】30÷3×10＝100（克） 答：需要100克水。 1．小明家饲养的鸡与猪的数量比为26∶5，猪与马的数量比为4∶3。如果鸡有312只，求马有多少匹？ 【答案】45匹 【分析】已知鸡与猪的数量比为26∶5，即鸡的数量占26份，猪的数量占5份；已知鸡有312只，用鸡的只数除以26份，求出一份数，再用一份数乘5份，求出猪的数量； 已知猪与马的数量比为4∶3，即猪的数量占4份，马的数量占3份，用猪的数量除以4份，求出一份数，再用一份数乘3份，求出马的数量。 【详解】猪的数量： 312÷26×5 ＝12×5 ＝60（头） 马的数量： 60÷4×3 ＝15×3 ＝45（匹） 答：马有45匹。 2．数学组的同学们在上拓展课，张老师和四名同学测量一些螺丝钉的体积，他们合作进行如下操作： ①小明准备了一个圆柱体玻璃杯，从里面测量得到底面直径是厘米，高是厘米。 ②小刚往玻璃杯里注入一些水，水的高度与水面离杯口的距离之比是1∶1。 ③小亮把20枚完全一样的螺丝钉放入水中。（螺丝钉完全浸没在水中） ④小强测量此时水的高度与水面离杯口的距离之比是3∶2。请根据以上信息，计算出一枚螺丝钉的体积。（π取3.14） 【答案】0.628立方厘米 【分析】根据圆柱体积公式计算玻璃杯的容积；由初始水的高度与水面离杯口的距离比为1：1，可知水体积占杯容积的一半；由放入螺丝钉后水的高度与水面离杯口的距离比为3：2，可知水加螺丝钉的体积占杯容积的；螺丝钉的总体积等于水加螺丝钉的体积减去水的体积；再除以螺丝钉的数量20，得到一枚螺丝钉的体积。 【详解】圆柱形玻璃杯的底面半径：（厘米） 圆柱形玻璃杯的底面积： （平方厘米） 圆柱形玻璃杯的容积：（立方厘米） 初始水的高度： （厘米） 初始水的体积：（立方厘米） 放入螺丝钉后水的高度： （厘米） 水加螺丝钉的体积：（立方厘米） 螺丝钉的总体积：（立方厘米） 一枚螺丝钉的体积：（立方厘米） 答：一枚螺丝钉的体积为0.628立方厘米。 【点睛】本题考查了比的应用和圆柱的体积，能根据比求出水和螺丝钉的体积占玻璃杯的几分之几，会灵活运用圆柱的体积公式是解题的关键。 3．甲、乙两数的平均数是60，甲、乙两数的比是，甲数和乙数分别是多少？ 【答案】甲数：45；乙数：75 【分析】已知甲、乙两数的比是3∶5，甲、乙两数分别占甲、乙两数和的和。甲、乙两数的平均数是60，甲、乙两数之和是120，用甲、乙两数之和分别乘甲、乙两数占甲、乙两数和的分率，即可求出甲、乙两数。 【详解】甲数：60×2× ＝120× ＝45 乙数：60×2× ＝120× ＝75 答：甲数是45，乙数是75。 4．一辆客车从甲地开往乙地，第一天行驶了全程的，第二天行驶了600千米；这时已行的路程和总路程的比是3∶5，甲、乙两地相距多少千米？ 【答案】2250千米 【分析】将全程看作单位“1”，根据这时已行的路程和总路程的比是3∶5，可知这时已行的路程是总路程的，第二天行驶路程是总路程的，第二天行驶路程÷对应分率＝总路程，据此列式解答。 【详解】 ＝ ＝ ＝2250（千米） 答：甲、乙两地相距2250千米。 【例4】人的腰线是人的黄金分割线，当腰线到脚底的高度与整个身高的比越接近时，越给人以美的感觉。一位同志身高175厘米，腰线到脚底的高度是103厘米。为了更美，他需要穿多高的高跟鞋？从3厘米、4厘米、5厘米、6厘米中选一个答案，并说说为什么这样选的理由。（在解答时，0.618取成0.6参与列式和计算） 【答案】见详解 【分析】先求出腰线上方的高度为175－103＝72 厘米，这部分高度在黄金分割比中占整体身高的占比是1－0.6＝0.4。用这部分高度除以它对应的占比，求出满足黄金分割的理想身高，再用理想身高减去原身高，即可求出需要穿的高跟鞋高度。 【详解】（175－103）÷（1－0.6）－175 ＝72÷0.4－175 ＝180－175 ＝5（厘米） 答：他需要穿5厘米的高跟鞋，从3厘米、4厘米、5厘米、6厘米中选择5厘米，理由： 穿上5厘米高跟鞋后，腰线到底高度与身高的比值正好是0.6，满足黄金分割的占比要求，所以选5厘米。 1．阅读下面的信息，解决问题。 黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618。把这个比应用于艺术，可以给人以最美的感觉，它也叫作“黄金比”。黄金比在作曲领域也被广泛认可，在创作一些乐曲时，音乐家会将高潮部分安排在全曲的黄金比处，比如要创作89节的乐曲，其高潮便在第55节处。（55÷89≈0.618） (1)请根据材料完成填空。 ( )∶整体部分＝( )∶较大部分＝黄金比。 (2)如果一位音乐家要创作60节的乐曲，高潮最好在第几节？请通过计算说明。（得数保留整数） (3)报幕员站在舞台黄金分割点处最自然得体。一个舞台长10米，现报幕员已站在台上，距舞台一侧2米处，要想处于最自然得体的位置，她至少再走多少米？ 【答案】(1) 较大部分 较小部分 (2)37节 (3)1.82米 【分析】（1）根据较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618，这个比叫作“黄金比”，填空即可。 （2）高潮所在音节∶乐曲总音节＝0.618，根据比值×后项＝前项，列式解答即可，结果根据四舍五入法保留整数。 （3）较长部分∶整体长度＝0.618，根据比值×后项＝前项，计算出较长部分，整体长度－较长部分＝较短部分，较短部分－2米＝至少再走的距离。 【详解】（1）较大部分∶整体部分＝较小部分∶较大部分＝黄金比。 （2）0.618×60≈37（节） 答：高潮最好在第37节。 （3）10－0.618×10 ＝10－6.18 ＝3.82（米） 3.82－2＝1.82（米） 答：她至少再走1.82米。 2．黄金比是公认的最具审美意义的比，人体中就藏着黄金比。以肚脐眼为分割点，当上半身与下半身的比大约是5∶8时，给人一种美感，达不到的话可以穿高跟鞋来改善。妈妈的身高是165厘米，下半身长100厘米。为了尽可能达到好的美感比例，她穿的高跟鞋的最佳高度大约为多少厘米？ 【答案】 4厘米 【分析】上半身与下半身的比大约是5∶8，也就是上半身长度占总身高的；用165减去100计算出上半身的长度65厘米；再根据“已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算”用65除以计算出上半身长度65厘米时的总身高应为169厘米；用169减去165即可计算高跟鞋的最佳高度。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝4（厘米） 答：高跟鞋的最佳高度大约为4厘米。 3．人体上半身长和下半身长的黄金比为0.618∶1，妈妈上半身长62厘米，下半身长98厘米，她想通过穿高跟鞋使身长比例更美观，依据“黄金比”，妈妈买了一双6厘米的高跟鞋。这双高跟鞋的高度是偏高了还是偏低了？请通过列式计算说明。 【答案】偏高；说明见详解 【分析】已知妈妈上半身长62厘米，下半身长98厘米，买了一双6厘米的高跟鞋，则穿高跟鞋后下半身长（98＋6）厘米。根据比值的意义，求出妈妈上半身与穿上高跟鞋的下半身长的比值，并与黄金比的比值进行比较，如果小于黄金比的比值，则这双高跟鞋的高度偏高；如果大于黄金比的比值，则这双高跟鞋的高度偏低。 【详解】0.618∶1＝0.618÷1＝0.618 穿高跟鞋后下半身长：98＋6＝104（厘米） 上身与下身的比值：62∶104＝62÷104≈0.596 0.596＜0.618 答：这双高跟鞋的高度偏高了。 一、填空题 1．“大美兰考是一个值得所有兰考人骄傲的地方”。六年级学生举办了“自己心目中的大美兰考——绘画比赛”。乐乐画了一幅图，用的线段表示实际。这幅图的比例尺是( )。 【答案】1∶20000/ 【分析】比例尺＝图上距离∶实际距离，代入数据化简为比即可得出答案。 【详解】1200m＝120000cm 6cm∶120000cm ＝6∶120000 ＝1∶20000 所以这幅图的比例尺是1∶20000。 2．线段比例尺表示图上距离1厘米相当于实际距离( )米，已知用这个比例尺画的绍兴地铁“2号线”全长36.7厘米，那么，绍兴地铁“2号线”实际全长( )千米。 【答案】 1000 36.7 【分析】 根据比例尺的意义可知，线段比例尺表示图上距离1厘米相当于实际距离1千米，那么图上36.7厘米就相当于实际距离36.7千米。 【详解】1千米＝1000米 36.7×1＝36.7（千米） 填空如下： 线段比例尺表示图上距离1厘米相当于实际距离（1000）米，已知用这个比例尺画的绍兴地铁“2号线”全长36.7厘米，那么，绍兴地铁“2号线”实际全长（36.7）千米。 3．如果a、b均不为0，且有4∶a＝b∶m，那么m＝( )。 【答案】//0.25ab 【分析】根据比例的基本性质，在比例里，两个内项之积等于两个外项之积。将比例转化成等式来解答。 【详解】4∶a＝b∶m， 解：4m＝ab m＝ab÷4 m＝ 因此，如果a、b均不为0，且有4∶a＝b∶m，那么m＝（或或0.25ab）。 4．化简比：( )；用12、5、4和四个数组成比例，的值最大是( )。 【答案】 15 【分析】化简比是用比的前项除以后项；用12、5、4和四个数组成比例，根据比例的性质：在比例中，两个外项的积等于两个内项的积。的值最大。 【详解】 化简比：；用12、5、4和四个数组成比例，的值最大是15。 5．如果（a、b均不为0），那么与的最简整数比是( )，比值是( )。 【答案】 【分析】比例的两内项积＝两外项积，逆用比例的基本性质，把改写成比例的形式，使相乘的两个数和3做比例的外项，则相乘的另两个数和2就做比例的内项，进而把比化成最简比，求比值用比的前项除以后项即可。 【详解】因为 所以 如果（a、b均不为0），那么与的最简整数比是，比值是。 6．一幅地图的线段比例尺是，在此地图上量得甲、乙两地的距离为12厘米，那么甲、乙两地的实际距离是________千米。 【答案】48 【分析】观察线段比例尺，图上1厘米表示实际4千米，图上厘米数×1厘米表示的千米数＝实际距离，据此进行换算。 【详解】12×4＝48（千米） 甲、乙两地的实际距离是48千米。 7．在一个比例中，两个内项的积是最小的质数，其中一个外项是0.4，另一个外项是( )。 【答案】5 【分析】比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 已知两个内项的积是最小的质数即2，根据比例的基本性质，那么这个比例的两个外项的积也是2，用两个外项的积除以已知的一个外项，即可求出另一个外项。 【详解】2÷0.4＝5 另一个外项是5。 8．m、n均不为0，若m∶4＝7∶n，则m和n成( )比例关系。 【答案】反 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 在m∶4＝7∶n中，根据比例的性质可得mn＝4×7＝28，m和n的乘积一定。 【详解】综上分析所述，m、n均不为0，若m∶4＝7∶n，则m和n成反比例关系。 9．如果∶＝1∶x，则x＝( )。 【答案】 【分析】根据比例的基本性质：两内项之积等于两外项之积。将等式转化为一般方程，再解方程即可得解。 【详解】∶＝1∶x 如果∶＝1∶x，则x＝。 10．一个零件实际长4毫米，画在图纸上长8厘米，这个零件图的比例尺是( )。 【答案】20∶1 【分析】根据图上距离∶实际距离＝比例尺，代入数据列式，然后化简即可。 【详解】8厘米＝80毫米， 80∶4＝20∶1； 比例尺是20∶1。 11．甲、乙、丙三个数，已知甲∶（乙＋丙）＝4∶3，乙∶丙＝2∶7，则甲∶乙∶丙＝( )∶( )∶( )。 【答案】 12 2 7 【分析】已知乙∶丙＝2∶7，设乙为2，丙为7，则乙＋丙＝9； 已知甲∶（乙＋丙）＝4∶3，即甲∶9＝4∶3，据此解比例，求出甲的值； 根据比的意义得出甲、乙、丙三个数的比。 【详解】设乙为2，丙为7； 乙＋丙＝2＋7＝9 甲∶（乙＋丙）＝4∶3 甲∶9＝4∶3 解：3×甲＝9×4 3×甲＝36 甲＝36÷3 甲＝12 则甲∶乙∶丙＝12∶2∶7。 12．长征二号F运载火箭实际高度约58m，厂家按1∶200的比例尺定制火箭模型，模型的高度是________cm。每个火箭模型售价23元，“六一”儿童节商场做“买四送一”的促销活动，李老师要买50个火箭模型送给全班同学，他一共要付________元。 【答案】 29 920 【分析】（1）已知火箭实际高度约58m，比例尺为1∶200，根据“图上距离＝实际距离×比例尺”，以及进率“1m＝100cm”，求出模型的高度； （2）把“买四送一”看作一组，先用除法求出50个模型里有几组，再用每组买的个数乘组数，求出实际需买模型的个数；根据“单价×数量＝总价”求出一共要付的钱数。 【详解】（1）58m＝5800cm 5800×＝29（cm） （2）50÷（4＋1） ＝50÷5 ＝10（组） 4×10＝40（个） 23×40＝920（元） 填空如下： 模型的高度是（29）cm，他一共要付（920）元。 13．甲、乙两座城市的实际距离是180千米，在一幅地图上量得两地间的距离是5厘米，这幅地图的比例尺是( )。 【答案】1∶3600000 【分析】先统一单位，根据比例尺＝图上距离∶实际距离，代入数据解答即可。 【详解】5厘米∶180千米 ＝5厘米∶18000000厘米 ＝1∶3600000 所以这幅地图的比例尺是1∶3600000。 14．下面的表格数据不小心被墨水打湿弄脏，如果x和y成正比例关系，那么原数是( )；如果x和y成反比例关系，那么原数是( )。 x 6 y 25 50 【答案】 12 3 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两个量中相对应的两个数的比值一定，这两种量叫作成正比例的量，它们的关系叫作正比例关系，用式子表示为：＝k；如果这两个量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量叫作成反比例的量，它们的关系叫作反比例关系，用式子表示为：xy＝k；据此根据表格中给出的数列出对应的比例，并解比例即可。 【详解】如果x和y成正比例关系； 解：设弄湿的数是a。 6∶25＝a∶50 25a＝6×50 25a＝300 25a÷25＝300÷25 a＝12 如果x和y成反比例关系； 解：设弄湿的数是b。 50b＝25×6 50b＝150 50b÷50＝150÷50 b＝3 如果x和y成正比例关系，那么原数是12；如果x和y成反比例关系，那么原数是3。 15．科学课上，欢欢在利用直尺和橡皮筋进行实验探究时发现，在皮筋上标注A、B、C三个点的位置，如果将点A的位置固定不动，拉动橡皮筋的另一端，橡皮筋上B、C两点与点A的距离的比值总是一个定值。如图，欢欢将A点固定在0cm的位置，拉动时B、C所在的位置在9cm和12cm处，若此时沿着直尺的方向将橡皮筋继续拉长，当点B的位置在15cm处时，点C的位置应在( )cm处。 【答案】20 【分析】用比例解决问题只要比例两边的比统一即可。设点C的位置应在xcm处，根据点B的位置∶点C的位置＝9∶12，列出比例解答即可。 【详解】解：设点C的位置应在xcm处。 15∶x＝9∶12 9x＝12×15 9x÷9＝180÷9 x＝20 点C的位置应在20cm处。 16．在比例尺是1∶4000000的地图，量得A、B两港的距离9厘米，一艘货船于上午6时以每小时24千米的速度从A港开向B港，货轮到达B港的时间是( )。 【答案】21时 【分析】先依据“实际距离＝图上距离÷比例尺”以及1千米＝100000厘米，求出两港的实际距离，再据“路程÷速度＝时间”求出货船从A港到B港需要的时间，最后根据到达时间＝出发时间＋经过时间，据此解答。 【详解】9÷ ＝9×4000000 ＝36000000（厘米） 36000000厘米＝360千米 360÷24＝15（小时） 上午6时为6时 6时＋15时＝21时 因此货轮到达B港的时间是21时。 17．旅居美国孟菲斯动物园的大熊猫“丫丫”由专机运送抵达上海，按期返回中国。在比例尺是1∶60000000的地图上，量得孟菲斯到上海的图上距离是20厘米，那么从孟菲斯到上海的实际距离为( )千米，请将该比例尺改写成线段比例尺是( )。 【答案】 12000 【分析】一幅图的图上距离与实际距离的比，叫作这幅图的比例尺，比例尺＝图上距离∶实际距离，实际距离＝图上距离÷比例尺，把题目中的数据代入公式求出从孟菲斯到上海的实际距离，比例尺1∶60000000表示图上1厘米代表实际距离60000000厘米，把60000000厘米转化为600千米，画出1厘米的线段表示600千米，据此解答。 【详解】20÷ ＝20×60000000 ＝1200000000（厘米） 1200000000厘米＝12000千米 1∶60000000表示图上1厘米代表实际距离60000000厘米。 60000000厘米＝600千米 所以，从孟菲斯到上海的实际距离为12000千米，该比例尺改写成线段比例尺是。 18．如3∶x＝0.5∶y，y和x成( )比例，若x＝2，则6y－2＝( )。 【答案】 正 0 【分析】判断两种相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值（商）一定，还是对应的乘积一定；如果是比值（商）一定，这两种相关联的量成正比例；如果是乘积一定，这两种相关联的量成反比例。把x＝2代入求出y，再代入6y－2即可。 【详解】如3∶x＝0.5∶y，则y∶x＝0.5∶3，即y∶x＝，比值一定，那么y和x成正比例； 因为y∶x＝，若x＝2，y∶2＝，则y＝，6y－2＝6×－2＝2－2＝0。 所以y和x成正比例，若x＝2，则6y－2＝0。 19．在线段比例尺是的地图上，量得甲、乙两地之间的距离是6厘米，两地的实际距离是( )千米。在另一幅地图上，甲、乙两地之间的距离是5厘米，这幅地图的比例尺是( )。 【答案】 180 1∶3600000/ 【分析】由线段比例尺可知，图上1厘米代表实际距离30千米，甲、乙两地之间的距离是6厘米，则两地的实际距离是6个30千米，即30×6＝180千米； 根据1千米＝100000厘米将千米换算为厘米，180千米＝18000000厘米，另一幅地图上，甲、乙两地之间的距离是5厘米，根据“比例尺＝图上距离∶实际距离”即可求出这幅地图的比例尺。 【详解】30×6＝180（千米） 180千米＝18000000厘米 5∶18000000 ＝（5÷5）∶（18000000÷5） ＝1∶3600000 所以两地的实际距离是180千米；在另一幅地图上比例尺是1∶3600000。 20．甲、乙两地相距240千米，画在比例尺1∶3000000的地图上，应画( )厘米。一辆汽车从甲地开往乙地，1.2小时后距离乙地的图上距离是4.8厘米，这辆汽车每小时行( )千米。 【答案】 8 80 【分析】（1）比例尺是图上距离与实际距离的比。题目中的线段比例尺表示图上1厘米代表实际3000000厘米，先根据1千米＝1000米，1米＝100厘米，即1千米＝100000厘米，把240千米换算成240×100000＝24000000厘米；再根据图上距离＝实际距离×比例尺，求得图上应画几厘米。 （2）根据实际距离＝图上距离÷比例尺，求出距离乙地的实际距离，再进行单位换算，然后计算已行驶路程，最后除以时间1.2小时得到速度。 【详解】（1）1千米＝1000米，1米＝100厘米，即1千米＝100000厘米。 240×100000＝24000000（厘米） 24000000×＝8（厘米） 因此，甲、乙两地相距240千米，画在比例尺1∶3000000的地图上，应画8厘米。 （2）4.8÷ ＝4.8×3000000 ＝14400000（厘米） 14400000÷100000＝144（千米） 240－144＝96（千米） 96÷1.2＝80（千米/时） 因此，一辆汽车从甲地开往乙地，1.2小时后距离乙地的图上距离是4.8厘米，这辆汽车每小时行80千米。 二、选择题 21．下列X和Y成反比例关系的是（    ）。 A． Y＝3＋X B．X＋Y＝ C．X＝Y D． 【答案】D 【分析】两个相关联的量，当比值一定时成正比例关系；当乘积一定时成反比例关系，据此解答即可。 【详解】A．Y－X＝3，差一定，不成反比例关系； B．X＋Y＝，和一定，不成反比例关系； C．＝，比值一定，成正比例关系； D．XY＝6（一定），乘积一定，成反比例关系； 故答案为：D。 【点睛】明确正、反比例的意义是解答本题的关键。 22．把线段比例尺改写成数值比例尺是（    ）。 A．1∶30 B．1∶3000000 C．1∶30000 D．1∶300000 【答案】B 【分析】由线段比例尺可知，图上1厘米表示实际30km，根据“图上距离∶实际距离＝比例尺”计算（注意单位统一：1km＝100000cm）。 【详解】1cm∶30km ＝1cm∶3000000cm ＝1∶3000000 所以改写成数值比例尺是1∶3000000。 23．在下面各比中，能与组成比例的是（    ）。 A．5∶6 B．6∶5 C．4∶3 D．3∶4 【答案】A 【分析】若两个比的比值相等，能组成比例，分别求得各选项比的比值，与题目中的比值比较，据此判断。 【详解】 ＝ A．5∶6，所以＝5∶6； B．6∶5，，不能组成比例； C．4∶3，，不能组成比例； D．3∶4，，不能组成比例。 24．下列各式中，与成反比例关系的是（    ）。（，均不为0） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如果x÷y＝k（一定），x和y成正比例关系；如果xy＝k（一定），x和y成反比例关系；除此之外不成比例关系。 【详解】A．，两边同时乘3，可得，与成反比例关系； B．，两边同时除以8再同时除以，可得，与成正比例关系； C．，两边同时除以9再同时除以，可得，与成正比例关系； D．，两边同时乘10再同时减，，与不成比例关系。 与成反比例关系的是。 25．一个零件的高是2mm，在图纸上的高是3cm。这幅图纸的比例尺是（    ）。 A．15∶1 B．1∶15 C．2∶30 D．30∶2 【答案】A 【分析】根据图上距离∶实际距离＝比例尺，据此计算即可。 【详解】3cm∶2mm＝30mm∶2mm＝（30÷2）∶（2÷2）＝15∶1 这幅图的比例尺是15∶1。 26．如图：平行四边形a边上的高为b，c边上的高为d，根据这些信息，下列式子中（    ）不成立。 A．a∶c＝d∶b B．a∶c＝b∶d C．＝ D．＝ 【答案】B 【分析】根据平行四边形的面积＝底×高，得出ab＝cd，再利用比例的基本性质（在比例里，两个外项的积等于两个内项的积）对给出的选项逐一分析，做出选择。 【详解】因为平行四边形a边上的高为b，c边上的高为d，所以ab＝cd， A．a∶c＝d∶b，cd＝ab，所以符合题意，此选项正确； B．a∶c＝b∶d，ad＝bc，与题意不符，此选项错误； C．＝，ab＝cd，符合题意，此选项正确； D．＝，ab＝dc，符合题意，此选项正确； 故答案为：B 【点睛】本题主要是利用平行四边形的面积公式与比例的基本性质解决问题。 27．下列表述中，成反比例关系的是（    ）。 A．三角形的高不变，它的底和面积 B．平行四边形的面积一定，它的底和高 C．圆的面积是24m2，它的半径与圆周率 D．你的年龄一定，你的身高与体重 【答案】B 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，如果是比值一定，就成正比例，如果是乘积一定，则成反比例。据此解答。 【详解】A．三角形的面积×2÷底＝高（一定），商一定，所以三角形的底和面积成正比例关系，所以A不符合； B．平行四边形的底×高＝平行四边形的面积（一定），乘积一定，所以它的底和高成反比例，所以B符合； C．圆周率是一个定值，不是变量，所以圆的半径与圆周率不成比例，所以C不符合； D．一个人的身高和年龄不成比例，通常在生长期，人的身高是随着年龄的增长而增长，但是生长期过了后，骨膜会闭合，停止长高，所以D不符合。 故答案为：B 【点睛】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再作判断。 28．下面每题中的两种量成反比例关系的是（    ）。 A．正方体的表面积和它的棱长 B．圆锥的高一定，它的体积和底面积 C．已知xy＝1，y与x D．全班人数一定，出勤人数和缺勤人数 【答案】C 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 【详解】A．正方体的表面积÷棱长＝棱长×6，所以正方体的表面积和它的棱长不成比例； B．圆锥的高＝圆锥的体积×3÷底面积，比值一定，圆锥的体积和底面积成正比例关系； C．xy＝1，乘积一定，y与x成反比例关系； D．全班人数＝出勤人数＋缺勤人数，即出勤人数与缺勤人数的和一定，既不符合正比例的意义，也不符合反比例的意义，所以出勤人数和缺勤人数不成比例。 故答案为：C 【点睛】此题属于辨识成正、反比例的量，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定，再做判断。 29．已知，下面推断错误的选项是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】A．根据被除数＝除数×商，据此判断即可； B．被除数除以n，除数除以m，则商除以，据此判断即可； C．根据比例的基本性质，内项积等于外项积， 判断即可； D．被除数乘n，除数除以m，则商乘nm，据此判断即可。 【详解】A．因为，所以，原题干算式正确； B．因为，所以，原题干算式正确； C．因为，所以5∶8，则，原题干算式正确； D．因为，所以，原题干算式错误。 故答案为：D 【点睛】本题考查商的变化规律和比例的基本性质，明确内项积等于外项积是解题的关键。 30．利用比例的基本性质，判断下列选项中的两个比能组成比例的是（    ）。 A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】根据比例的意义“比值相等的两个比可以组成比例”，分别计算求出两个比的比值，如果比值相等，可以组成比例，如果比值不相等，就不可以组成比例。 【详解】A．6∶9＝，9∶12＝，因为6∶9与9∶12的比值不相等，所以不能组成比例； B．1.2∶2＝0.6，28∶40＝，因为，所以不能组成比例； C．∶＝，∶＝，比值相等，所以能组成比例； D．7∶1＝7，5∶3＝，比值不相等，所以不能组成比例。 故答案为：C 【点睛】解决此题也可以根据比的意义，先逐项求出每个比的比值，进而根据两个比的比值相等，就能组成比例，比值不相等，就不能组成比例。 31．平行四边形的面积一定，它的底和高（    ）。 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．不确定 【答案】B 【分析】平行四边形面积＝底×高，乘积一定的两个量成反比例关系，据此解题。 【详解】底×高＝平行四边形面积（一定） 所以，平行四边形的面积一定，它的底和高成反比例。 故答案为：B 【点睛】本题考查了反比例和平行四边形的面积，掌握反比例的意义以及平行四边形的面积公式是解题的关键。 32．小学阶段学了很多数学知识，它们之间有密切的联系。下面不能正确表示它们之间关系的是（    ）。 A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】正方形是特殊的长方形； 三角形按角分类分为：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形； 含有未知数的等式叫方程； 如果一个量变化另一个量也随之变化，并且这两个量的比值一定，那么这两个量成正比例关系；如果一个量变化另一个量也随之变化，并且这两个量的乘积一定，那么这两个量成反比例关系；据此解答。 【详解】A．，因为正方形是特殊的长方形，所以关系图正确； B．，因为三角形按角分类分为：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，所以关系图正确； C．，因为含有未知数的等式叫方程，方程一定是等式，而等式不一定是方程，所以关系图正确； D．，因为如果一个量变化另一个量也随之变化，并且这两个量的比值一定，那么这两个量成正比例关系；如果一个量变化另一个量也随之变化，并且这两个量的乘积一定，那么这两个量成反比例关系；正比例和反比例不一样，所以关系图不正确。 故答案为：D 【点睛】本题考查长方形与正方形的关系、三角形的分类、方程与等式的关系、正比例与反比例的意义。 33．下面说法正确的有（    ）。 ①一个质数和一个合数的和一定是奇数； ②分数的分子和分母同时乘或除以同一个数，分数的大小不变； ③圆的周长一定，圆的半径和圆周率成反比例。 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】只有1和它本身两个因数的数叫做质数；一个数如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫做合数；整数中，不是2的倍数的数叫做奇数。 分数的基本性质：分子和分母同时乘（或除以）同一个数（0除外），分数大小不变。 圆的周长.两个相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就成反比例关系。 【详解】①×，，6是偶数不是奇数。 ②×，分数的分子和分母同时乘或除以同一个数（0除外），分数大小不变。 ③×，，周长一定，半径和圆周率都不变，不成比例。 所以说法正确的个数为0个。 故答案为：A 【点睛】考查了质数、合数、奇数的含义；分数的基本性质以及圆的周长公式、反比例的辨别，熟练掌握基础知识是关键。 34．下列几组相关联的量中，不成正比例关系的是（    ）。 A．梨的单价一定，妈妈购买梨的总价和重量。 B．圆的直径一定，圆的周长和圆周率。 C．汽车的速度一定，行驶的路程和时间。 D．当时（a、b都是不为0的量），a和b。 【答案】B 【分析】判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例；如果两个量既不是比值一定，也不是乘积一定，两个量不成比例，据此解答。 【详解】A．妈妈购买梨的总价÷重量＝梨的单价（一定），妈妈购买梨的总价和重量成正比例； B．圆的周长÷π＝圆的直径（一定），π是定值，圆的周长和圆周率不成比例； C．行驶的路程÷时间＝行驶的速度（一定），行驶的路程和时间成正比例； D．10a＝ 20a＝b b÷a＝20（一定），a和b成正比例。 不成正比例关系的是圆的直径一定，圆的周长和圆周率。 故答案为：B 35．下列四组数中，（    ）组中的四个数能组成比例。 A．2、3、5、6 B．0.1、0.5、2、8 C．、、6、12 D．1、、、 【答案】D 【分析】比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 根据比例的基本性质，用各组数中的最大数与最小数相乘，剩下的两个数相乘，如果它们的积相等，就可以组成比例，否则不可以组成比例。 【详解】A．2×6＝12，3×5＝15，12≠15，所以2、3、5、6不能组成比例； B．0.1×8＝0.8，0.5×2＝1，0.8≠1，所以0.1、0.5、2、8不能组成比例； C．×12＝3，×6＝4，3≠4，所以、、6、12不能组成比例； D．×1＝，×＝，＝，所以1、、、能组成比例。 故答案为：D 36．神舟十八号载人飞船与长征二号F遥十八运载火箭组合体，总重量400多吨，总高度约60米。小军制作了一艘神舟十八号载人飞船与长征二号F遥十八运载火箭组合体模型，模型高度与实际高度的比是1∶150，则这个模型的高度约（    ）厘米。 A．4 B．40 C．15 D．150 【答案】B 【分析】模型的高度＝实际高度×比例尺，即模型的高度为（60×）米，再将模型的高度转换成厘米即可，1米＝100厘米。 【详解】60×＝0.4（米） 0.4米＝40厘米 这个模型的高度约40厘米。 故答案为：B 37．已知，且和都不为0，当一定时，和（    ）。 A．成正比例关系 B．成反比例关系 C．不成比例关系 D．以上都不对 【答案】B 【分析】两种相关联的量，一种量变化另一种量随着变化，无论怎么变，如果x÷y＝k（一定），x和y成正比例关系；如果xy＝k（一定），x和y成反比例关系；除此之外不成比例关系，据此根据等式的性质2，将转化后，确定比例关系。 【详解】，两边同时×，可得，当一定时，也一定，和成反比例关系。 故答案为：B 38．李老师的手机上保存着“厦门市地铁线网”截图，供同学们课后实践使用，下左图是小华把李老师的原图按1∶a缩小后的图片，下右图是小丽把原图按（    ）缩小后的图片。 A．1∶a B．1∶a C．1∶2a D．1∶4a 【答案】C 【分析】已知左图是小华把原图按1∶a缩小后的图片，缩小后的长度是36cm，根据“实际距离＝图上距离÷比例尺”，求出原图实际的长度； 已知右图是小丽把原图缩小后的图片，缩小后的长度是18cm，根据“比例尺＝图上距离∶实际距离”，求出右图的比例尺。 【详解】原图实际的长：     36÷ ＝36×a ＝36a（cm） 右图的比例尺： 18∶36a ＝（18÷18）∶（36a÷18） ＝1∶2a 右图是小丽把原图按1∶2a缩小后的图片。 故答案为：C 39．有两杯水，甲杯倒去，乙杯倒去后，两杯剩下的水一样多。原来甲乙两杯水的比是（    ）。 A．9∶10 B．6∶5 C．5∶6 D．10∶9 【答案】A 【分析】甲杯水倒去，甲杯水还剩（）；乙杯倒去后，乙杯还剩（），由于甲，乙两杯剩下的水一样多，即原来甲杯水×＝原来乙杯水×；根据比例的性质：内项积＝外项积，即原来甲杯水∶原来乙杯水＝∶，化简比即可解答。 【详解】 因此原来甲乙两杯水的比是9∶10。 故答案为：A 40．以下数学知识运用正确的是哪几个（    ）。 ①用一根纸条扭成莫比乌斯带，沿着二等分线剪开得到的是更大的莫比乌斯环。 ②我们用的一寸二寸的证件照片，是根据一定的比例尺将图片进行缩小的。 ③自行车车轮是圆的，运用的几何原理是圆心到圆上的任何一点距离相等。 ④在利用圆柱的体积公式推导圆锥的体积公式时，发现了等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍。 A．①③ B．②③④ C．② D．③④ 【答案】B 【分析】①将莫比乌斯带沿着二等分线剪开，得到的不是更大的莫比乌斯环，而是一个有两个扭转的环。 ②一寸二寸的证件照片，确实是按照一定比例尺将实际的人像进行缩小处理得到的，这符合比例尺在实际中的应用。 ③因为圆心到圆上任意一点距离都相等，这样自行车车轮滚动时车轴到地面距离始终保持不变，能保证车辆行驶平稳，所以自行车车轮设计成圆运用了此原理。 ④在数学推导中，通过实验等方法发现，等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍，这是圆柱和圆锥体积关系的重要知识点。 【详解】由分析可得，①说法错误；②③④说法正确。 故答案为：B 41．小丽调制两杯蜂蜜水，第一杯用了25mL蜂蜜和200mL水，第二杯用了30mL蜂蜜和xmL水。以下比例不能说明两杯蜂蜜水一样甜的是（    ）。 A．25∶200＝30∶x B．200∶225＝x∶（30＋x） C．25∶225＝30∶x D．225∶25＝（30＋x）∶30 【答案】C 【分析】判断两杯甜度相同的关键是蜂蜜与水的比例或蜂蜜占总体积的比例相等。 【详解】A．左边是第一杯蜂蜜与水的比例，右边是第二杯蜂蜜与水的比例。若该比例成立，说明两杯蜂蜜与水的比例相同，甜度一样。 B．左边是第一杯水与总量的比例，右边是第二杯水与总量的比例。若该比例成立，说明水与总量的比例相同，则蜂蜜与总量的比例也相同（总量＝蜂蜜＋水），甜度一样。 C．左边是第一杯蜂蜜与总量的比例，右边是第二杯蜂蜜与水的比例（为水的量，非总量）。若该比例成立，需，解得，此时第二杯总量为mL，蜂蜜与总量的比例为，与第一杯不一致，甜度不同，所以不能说明一样甜。 D．左边是第一杯总量与蜂蜜的比例，右边是第二杯总量与蜂蜜的比例。若该比例成立，说明总量与蜂蜜的比例相同，则蜂蜜与总量的比例也相同，甜度一样。 42．在下面几组相关联的量中，两种量成反比例关系的有（    ）个。 ①小玲每分钟浇树的棵数一定，浇树的时间和浇树的总棵数 ②用同样的正方形地砖铺地，地砖的块数和铺地的面积 ③在正方形铁皮上剪出最大的圆形，正方形的面积和圆的面积 ④购买商品的总价一定，商品的单价和数量 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】两种相关联的量，若它们的乘积一定，则成反比例关系；若比值一定，则成正比例关系；据此逐一分析。 【详解】①每分钟浇树棵数（一定）＝总棵数÷时间，比值一定，成正比例，不是反比例。 ②每块地砖面积（一定）＝铺地面积÷地砖块数，比值一定，成正比例，不是反比例。 ③正方形内最大圆的直径＝正方形边长，设边长为a，则S正＝a2，S圆＝π（）2＝π×＝ π，S圆÷S正＝ a2÷a2＝（一定），比值一定，成正比例，不是反比例。 ④总价（一定）＝单价×数量，乘积一定，成反比例。 综上，只有1组成反比例关系。 43．下面说法中，正确的是（    ）。 A．男生比女生多，则女生比男生少。 B．把一个长方形按4∶1的比放大，放大后的图形面积是原来的16倍。 C．把一个圆柱削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是圆锥体积的3倍。 D．用8个小正方体拼成一个大正方体，任意拿走一个小正方体后表面积一定减少。 【答案】B 【分析】选项A中，把女生人数看作整体“1”，则女生有5份，男生有5＋1＝6份，女生比男生少（6－5）÷6＝。 选项B中，长方形的长和宽都扩大到原来的4倍，则面积扩大到原来的16倍。 选项C中，把一个圆柱削成一个最大的圆锥，削去圆柱的° 选项D中，用8个小正方体拼成一个大正方体，任意拿走一个小正方体后表面积不变。 【详解】A．（6－5）÷6＝ B．把一个长方形按4∶1的比放大，放大后的长方形的长和宽分别是原长方形长和宽的4倍，放大后的长方形面积是原长方形面积的16倍。 C．把一个圆柱削成一个最大的圆锥，此圆锥和圆柱等底等高，是圆柱体积的，削去部分的体积是圆锥体积的2倍。 D．用8个小正方体拼成一个大正方体，任意拿走一个小正方体后表面积不变。 故答案为：B 【点睛】本题考查了分数的意义、图形的放大与缩小、圆柱与圆锥、观察物体四个方面的知识。 44．盒子里有黑、白两种棋子，先放入一些白棋子，这样使得盒子中黑、白棋子的比是2∶5，然后又放入一些黑棋子，这样使得盒子中的黑、白棋子的比是3∶5。如果放入的黑棋子和白棋子的数量比是3∶7，那么原来盒子中黑、白棋子的数量之比是（    ）。 A．6∶5 B．5∶6 C．4∶3 D．3∶4 【答案】D 【分析】设原来有黑棋子x个，白棋子y个。先放入一些白棋子，这样使得盒子中黑、白棋子的比是2∶5，黑棋子没有发生改变，则现在的白棋子是黑棋子的，则白棋子有个，则放进白棋子的数量＝现在白棋子的数量－原来白棋子的数量＝个。然后又放入一些黑棋子，这样使得盒子中的黑、白棋子的比是3∶5，白棋子的数量没有发生改变，现在黑棋子的数量是白棋子的，则现在黑棋子的数量为个，那么放进去的黑棋子的数量＝现在黑棋子的数量－原来黑棋子的数量＝个。根据放入的黑棋子和白棋子的数量比是3∶7列出比例，再根据比例的基本性质化简比例得出，根据比例的基本性子，x∶y＝3∶4。 【详解】设：原来有黑棋子x个，白棋子y个。 x∶y＝3∶4 原来盒子中黑、白棋子的数量之比是3∶4 故答案为：D 45．甲、乙、丙三人共同加工一批零件，甲比乙多加工100个，丙∶乙＝3∶4，甲∶（乙＋丙）＝2∶3，甲、乙、丙一共加工了（    ）个零件。 A．1750 B．1800 C．1850 D．1900 【答案】A 【分析】根据题意，设乙加工零件为个。已知甲比乙多加工100个，则甲加工（＋100）个；已知丙∶乙＝3∶4，即丙加工零件个数是乙的，也就是丙加工个； 根据甲∶（乙＋丙）＝2∶3，列出比例方程，并求出方程的解，即乙加工零件的个数，进而求出甲、丙加工零件的个数； 最后把三人加工零件的个数相加，求出他们一共加工零件的总个数。 【详解】解：设乙加工零件个，则甲加工零件为（＋100）个，丙加工零件为个。 （＋100）∶（＋）＝2∶3 2（＋）＝3（＋100） 2×＝3＋300 ＝3＋300 －3＝300 ＝300 ＝300÷ ＝300×2 ＝600 甲：600＋100＝700（个） 丙：600×＝450（个） 一共：700＋600＋450＝1750（个） 甲、乙、丙一共加工了1750个零件。 故答案为：A 【点睛】根据甲、乙、丙加工零件个数之间的关系，用未知数表示甲、乙、丙加工零件的个数，再根据已知的比例式列出比例方程是解题的关键。 三、计算题 46．解下面的方程或比例。                                 【答案】；； 【分析】第1题，在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。先把比例改写成方程，方程两边再同时除以。 第2题，先算，方程两边再同时除以10。 第3题，方程两边先同时加上，方程两边再同时减去69，方程两边最后再同时除以0.8。 【详解】 解：           解：                  解： 47．解方程或解比例。                             【答案】；； 【分析】，根据比例的基本性质，先写成的形式，两边同时除以即可； ，将小数化成分数，左边合并成，根据等式的性质2，两边同时除以即可； ，根据比例的基本性质，先写成的形式，两边同时除以即可。 【详解】 解： 解： 解： 48．解方程或者比例。 （1）              （2）4              （3） 【答案】（1）；（2）；（3）； 【分析】，先变形为，将式子化简为，为了使等式左边只剩下x，根据等式的基本性质，等式两边同时减去1.64。 4，先根据等式的基本性质，等式的两边同时除以4，变式为；为了使等式左边只剩下1.2，根据等式的基本性质，等式两边同时加x，变式为，为了使等式左边只剩下x，根据等式的基本性质，等式两边同时减去0.9。 ，运用比例的基本性质，在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，把比例形式转化为乘积形式，即，化简为，为了使等式左边只剩下x，根据等式的基本性质，等式两边同时除以。 【详解】 解： 4 解： 解： 49．解方程。          【答案】；； 【分析】（1）先把方程左边化简为2.4x，再根据等式的性质2：等式两边同时除以2.4求解出x； （2）先把方程左边化简为，再根据等式的性质2：等式两边同时除以求解出x； （3）先把方程左边化为比的形式，再根据比例的基本性质：内项之积等于外项之积求解出x。 【详解】 解： 解： 解： 四、解答题 50．一般认为，如果一个人肚脐以上与肚脐以下的长度比符合黄金比0.618∶1，那么这个人的身材比较好。杨老师身高165cm，她的肚脐以上的部分长65cm，为了显得身材好，她应该穿鞋跟多高的鞋子？（得数保留整数） 【答案】5厘米 【分析】用杨老师的身高165厘米减去肚脐以上的部分长65厘米即可求出肚脐以下的长度； 用肚脐以上的部分长除以肚脐以上与肚脐以下的长度比0.618即可求出黄金比下的肚脐以下的长，与肚脐以下的长度作差即可求出鞋子的高度。 【详解】165－65＝100（厘米） 65÷0.618≈105（厘米） 105－100＝5（厘米） 答：她应该穿鞋跟5厘米高的鞋子。 51．研究表明：当人的下半身长度与身高的比的比值越接近黄金比（约为0.62）时，越给人一种美感。一位身高170厘米的时装模特，她的下半身是103.5厘米，为了达到黄金比的美感效果，她需要穿上大约多高的高跟鞋？ 【答案】5厘米 【分析】由于为了达到黄金比的美感效果，人的下半身长度∶身高＝0.62，根据比的前项除以比的后项等于比值； 即可设她需要穿上大约厘米的高跟鞋，即用下半身的长度厘米除以她的身高等于0.62，由此即可列方程并解出她需要穿上大约多高的高跟鞋。 【详解】解：设她需要穿上大约厘米的高跟鞋 答：她需要穿上大约5厘米高的高跟鞋。 52．当单肩包的背带总长度与人身高的比为0.618∶1时，背起来最舒服。王阿姨臂展长160厘米，她的臂展长是身高的。王阿姨准备背一个单肩包上班，她把背带总长度调整到多少厘米最舒服？（得数保留整数） 【答案】104厘米 【分析】臂展长是身高的，王阿姨臂展长160厘米，已知一个数的几分之几是多少，求这个数用除法，用160除以即可得出王阿姨的身高；背带总长度与身高的比为0.618∶1，即背带长度是身高的0.618倍。则背带长度＝身高×0.618，用王阿姨的身高乘0.618计算后根据“四舍五入”法保留整数。 【详解】160÷×0.618 ＝160××0.618 ＝168×0.618 ≈104（厘米） 答：她把背带总长度调整到104厘米最舒服。 53．黄金比是公认的最具审美意义的比，人体中存在着黄金比。以肚脐为分界点，当上半身与下半身的比是5∶8时，身材显得最美。妈妈的上半身长65厘米，下半身长100厘米，她想要通过穿高跟鞋来达到黄金比。妈妈穿的高跟鞋的最佳高度是多少厘米？（用方程解决问题） 【答案】4厘米 【分析】根据题意，设妈妈穿的高跟鞋的最佳高度是厘米，则妈妈穿上高跟鞋后下半身的高度是（100＋）厘米； 已知人体的黄金比是指上半身与下半身的比是5∶8，即上半身的高度占下半身的；可得出等量关系：妈妈穿上高跟鞋后下半身的高度×＝妈妈上半身的高度，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设妈妈穿的高跟鞋的最佳高度是厘米。 （100＋）×＝65 100＋＝65÷ 100＋＝65× 100＋＝104 ＝104－100 ＝4 答：妈妈穿的高跟鞋的最佳高度是4厘米。 54．刘师傅要加工一批零件，已加工的零件个数与这批零件总个数的比是2∶7，如果再加工55个零件就可以完成这批零件的60%。这批零件一共有多少个？ 【答案】175个 【分析】设这批零件一共有x个；已加工的零件个数与这批零件总个数的比是2∶7，由此可知，已加工的零件个数占这批零件总个数的，即已加工了x个；如果再加个55个零件就可以完成60%，即已加工的零件个数＋55个＝这批零件总个数×60%，列方程：x＋55＝60%x，解方程，即可解答。 【详解】解：设这批零件一共有x个。 x＋55＝60%x 60%x－x＝55 x－x＝55 x－x＝55 x＝55 x＝55÷ x＝55× x＝175 答：这批零件一共有175个。 55．有一辆客车和一辆小轿车同时从甲、乙两地出发，相向而行，2小时后相遇。相遇时客车和小轿车所行路程的比为4∶5，甲、乙两地相距360千米，则客车和小轿车的速度分别是多少千米/时？ 【答案】客车：80千米/时；小轿车：100千米/时 【分析】由于相遇时客车和小轿车所行路程的比为4∶5，则客车走了4份，小轿车走了5份，根据比的应用公式：总数÷总份数＝1份量，即360÷（4＋5），求出1份量，用1份量×4求出客车2小时走的路程；用1份量乘5求出小轿车2小时走的路程，再把两车2小时走的路程各自除以时间2小时即可求出速度。 【详解】360÷（4＋5） ＝360÷9 ＝40（千米） 40×4÷2＝80（千米/时） 40×5÷2＝100（千米/时） 答：客车的速度是80千米/时；小轿车的速度是100千米/时。 56．小红看一本书，两天一共看了这本书的。已知第一天看了20页，第一天与第二天看的页数比是5∶6，她第二天看了多少页？这本书有多少页？ 【答案】24页；100页 【分析】第一天与第二天看的页数比是5∶6，即第二天看的页数是第一天的，用第一天看的页数×，求出第二天看的页数；再把第一天看到页数与第二天看的页数相加，求出两天一共看的页数；把这本书的总页数看作单位“1”，两天一共看了这本书的，对应的是两天一共看的页数，求单位“1”，用两天一共看的页数÷，即可求出这本数的总页数，据此解答。 【详解】20×＝24（页） （20＋24）÷ ＝44÷ ＝44× ＝100（页） 答：她第二天看了24页，这本书有100页。 57．一辆吉普车和一辆小轿车从两地同时出发，相向而行，两车相遇的时候距离两地中点6千米，吉普车和小轿车的速度比是3∶4，请你计算两地相距多少千米？ 【答案】 84千米 【分析】两车相遇的时候距离两地中点6千米，说明两车行驶的路程差是（6×2）千米，又知吉普车和小轿车的速度比是3∶4，在时间相等时，说明相遇时吉普车和小轿车的路程比是3∶4，根据比的意义，把吉普车的路程看作3份，小轿车的路程看作4份，则它们的路程差是份，两地的路程是份，用1份的路程乘两地路程的份数即可得解。 【详解】6×2÷（4－3）×（4＋3） ＝6×2÷1×7 ＝12÷1×7 ＝12×7 ＝84（千米） 答：两地相距84千米。 58．某厂有甲、乙两个仓库存放货物。甲仓库和乙仓库存放货物的质量比是7∶3，如果甲仓库运48吨货物到乙仓库，甲乙两仓库的货物就一样多。原来两仓库各有多少货物？ 【答案】甲仓库有168吨货物，乙仓库有72吨货物 【分析】已知甲仓库运48吨货物到乙仓库，两仓库货物就一样多，这说明原来甲仓库比乙仓库多的货物质量为48×2＝96吨；因为甲仓库和乙仓库存放货物的质量比是7∶3，那么甲仓库比乙仓库多的份数为7－3＝4份，而这多的4份对应的实际质量就是96吨，所以1份的质量为96÷4＝24吨；甲仓库货物质量占7份，所以甲仓库原来的货物质量为24×7＝168吨，乙仓库货物质量占3份，所以乙仓库原来的货物质量为24×3＝72吨。 【详解】48×2＝96（吨） 96÷（7－3） ＝96÷4 ＝24（吨） 24×7＝168（吨） 24×3＝72（吨） 答：原来甲仓库有168吨货物，乙仓库有72吨货物。 59．小红看一本书，第一次看了45页，第二次看了全书的。此时已看的页数与没看的页数的比是9∶5，这本书有多少页？ 【答案】210页 【分析】根据题意，已知已看页数与没看页数的比是9∶5，则已看页数占全书的。第一次看了45页，第二次看了全书的，所以第一次看的45页占全书的－，用45÷这个占比即可求出全书页数，据此解答。 【详解】已看页数占全书的：＝ 45÷（－） ＝45÷（－） ＝45÷ ＝45× ＝210（页） 答：这本书有210页。 60．3月12日植树节活动中学校把植树的任务按5∶3分给六年级和五年级。六年级实际栽了108棵，完成了原分配任务的120%。五年级实际栽了多少棵树？ 【答案】36棵 【分析】已知一个数的百分之几是多少，求这个数，用除法计算。将六年级的原分配任务棵数看作单位“1”，先用108除以120%求出六年级的原分配任务棵数；六年级和五年级的植树任务是5∶3，将六年级的植树棵数看作5份，五年级的植树棵数看作3份，用（5＋3）求出总份数；用六年级的原分配任务棵数除以六年级的份数，计算出每一份的棵数；用每一份的棵数乘总份数，计算出本次植树任务的总棵数；用总棵数减六年级的植树棵数，即可求出五年级实际植树棵数；据此解答。 【详解】108÷120%÷5×（5＋3）－108 ＝108÷1.2÷5×（5＋3）－108 ＝90÷5×（5＋3）－108 ＝18×（5＋3）－108 ＝18×8－108 ＝144－108 ＝36（棵） 答：五年级实际栽了36棵树。 61．婷婷读一本故事书，第一天看的页数与剩下页数的比是1∶4，第二天看了15页，正好看完了全书的一半，第一天看了多少页？ 【答案】10页 【分析】将总页数看作单位“1”，根据已看的页数与剩下的页数的比是1∶4，可知已看页数是总页数的，第二天看了15页，正好看完了全书的一半，15页的对应分率是； 已知一个数的几分之几是多少，求这个数的问题可以用除法解决；用15除以对应分率即可求出这本书一共多少页；求一个数的几分之几是多少的问题，可以用乘法解决；用本书的总页数乘第一天已读的分率即可列式解答。 【详解】 ＝50（页） ＝10（页） 答：第一天看了10页。 62．工地上需要一种混凝土，已知水泥、河沙和砂石的比是2∶3∶5，现在工地上存有水泥、河沙和砂石各60吨，当河沙全部用完时，水泥还有多少吨没用完，砂石还要增加多少吨？ 【答案】水泥还有20吨没用完，砂石还要增加40吨 【分析】已知水泥、河沙和砂石的比是2∶3∶5，当河沙全部用完时，用河沙的吨数60吨除以对应的份数3份即可求出每份的吨数，用每份的吨数乘水泥对应的份数2份即可求出水泥用的吨数，用60吨减去水泥用的吨数即可求出水泥还有多少吨没用完；用每份的吨数乘砂石对应的份数5份即可求出砂石需要用的吨数，用砂石用的吨数减去60吨即可求出砂石还要增加多少吨。 【详解】60÷3＝20（吨）           20×2＝40（吨）     60－40＝20（吨） 20×5＝100（吨） 100－60＝40（吨） 答：水泥还有20吨没用完，砂石还要增加40吨。 63．“十一”国庆节期间，某景区一停车场，停着小轿车、小客车和旅游大巴共200辆，这三种车的辆数比是2∶3∶5，每种车各有多少辆？ 【答案】小轿车40辆；小客车60辆；旅游大巴100辆 【分析】已知小轿车、小客车和旅游大巴共200辆，这三种车的辆数比是2∶3∶5，把小轿车看作2份，小客车看作3份，旅游大巴看作5份，一共是（2＋3＋5）份；先用三种车的总辆数除以总份数，求出一份数；再用一份数分别乘三种车的份数，即可求出每种车的辆数。 【详解】一份数： 200÷（2＋3＋5） ＝200÷10 ＝20（辆） 小轿车：20×2＝40（辆） 小客车：20×3＝60（辆） 旅游大巴：20×5＝100（辆） 答：小轿车有40辆，小客车有60辆，旅游大巴有100辆。 【点睛】本题考查按比分配问题，把三种车的辆数比看作份数，求出一份数是解题的关键。 64．如图的四边形土地的总面积是18公顷，两条对角线把它分成了4个小三角形土地，其中2个小三角形土地的面积分别是8公顷和4公顷。那么最大的一个三角形土地的面积是多少公顷？ 【答案】8公顷 【分析】三角形BOC和三角形DOC是等高不等底的两个三角形，所以这两个三角形的面积比就等于这两个三角形底的比。即OB∶OD＝8∶4＝2∶1。同理三角形AOB和三角形AOD也是等高不同底的两个三角形，则三角形AOB的面积∶三角形AOD＝OB∶OD＝2∶1。且这两个三角形的和＝四边形的面积－三角形BOC面积－三角形DOC面积，按比例分配求出另外两个小三角形的面积，对比四个三角形的面积，找出最大的三角形面积。 【详解】三角形AOB和三角形AOD面积和：18－8－4＝6（公顷） 三角形AOB面积：6×＝4（公顷） 三角形AOD面积：6×＝2（公顷） 8＞4＞2 答：最大的一个三角形土地的面积是8公顷。 65．家电商城有一批彩电在“五一”劳动节期间促销，每台售价2100元，比原价降低了30%。原计划第一天和第二天的销售量的比是5∶3，实际第一天就销售了54台，比原计划的销售量多20%，两天共盈利21600元。家电商城原计划第二天销售多少台彩电？ 【答案】27台 【分析】第一天实际比原计划的销售量多20%，以原计划的销售量为单位“1”，第一天实际是原计划的销售量的（1＋20%），用除法求出第一天原计划的销售量。原计划第一天和第二天的销售量的比是5∶3，则原计划第一天是5份就是45台，每一份就是9台，原计划第二天是这样的3份，原计划第二天销售了27台。 【详解】54÷（1＋20%） ＝54÷120% ＝54÷1.2 ＝45（台） 45÷5×3 ＝9×3 ＝27（台） 答：家电商城原计划第二天销售27台彩电。 66．用一条长108厘米的铁丝做成一个长方体模型，要求长、宽、高的比为2∶3∶4，如果每个面都用铁皮做成铁盒，那么这个铁盒的体积是多少？ 【答案】648立方厘米 【分析】先用“”求出长方体的一条长、宽、高的和，再根据按比例分配知识分别求出长方体的长、宽、高；进而根据“长方体的体积长宽高”解答即可。 【详解】（厘米） （厘米） （厘米） （厘米） （厘米） （立方厘米） 答：这个铁盒的体积是648立方厘米。 【点睛】考查了长方体有关棱长的应用、按比例分配及长方体体积，综合题，牢记公式是关键。 67．在比例尺1∶2000000的地图上，量得甲乙两地相距3.6厘米。如果一辆卡车以每小时45千米的速度在上午9时从甲地出发，那么什么时间可以到达乙地？ 【答案】 10时36分 【分析】根据比例尺的定义，比例尺＝图上距离∶实际距离。已知比例尺为1∶2000000，即图上1厘米代表实际2000000厘米，图上距离是量得甲乙两地相距3.6厘米，所以实际距离＝图上距离×比例尺的后项，因为1千米＝100000厘米，求出实际距离；根据时间＝路程÷速度，已知路程，速度为每小时45千米，用路程除以速度可得到行驶时间。用出发的时刻加上行驶时间，求出到达时刻。 【详解】甲、乙两地的实际距离：3.6×2000000＝7200000（厘米） 1千米＝100000厘米，7200000＝72千米。 行驶时间：72÷45＝1.6（小时） 1小时＝60分，0.6×60＝36（分），1.6小时＝1小时36分。 到达时间：9时＋1小时36分＝10时36分 答：上午10时36分可以到达乙地。 68．在一幅比例尺为1∶4000000的地图上，量得甲、乙两地的图上距离是4.5厘米。两辆汽车分别从甲乙两地同时相向而行，甲车平均每小时行55.5千米，乙车平均每小时行44.5千米。两车行驶多少小时后途中相遇？ 【答案】1.8小时 【分析】图上距离和比例尺已知，依据“图上距离÷比例尺＝实际距离”即可求出两地的实际距离，根据1千米＝100000厘米，用求出的距离除以进率100000即可换算为千米。 再根据“相遇时间＝路程÷速度和”用两地之间的距离除以速度和，即可求出两车行驶多少小时后途中相遇，据此解答。 【详解】4.5÷＝4.5×4000000＝18000000（厘米） 18000000÷100000＝180（千米） 180÷（55.5＋44.5） ＝180÷100 ＝1.8（小时） 答：两车行驶1.8小时后途中相遇。 69．五星红旗是国家主权和尊严的象征，见证了中国每一次腾飞的时刻，在珠峰之巅、在南极科考站、在太空都有她的身影，她永远在每个中国人的心中高高飘扬。数学小组的同学在开展“五星红旗”主题式学习，发现国旗上五角星的五个角都是顶角为36°的等腰三角形，对此三角形产生了极大兴趣并展开探究。 如图1，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC。 （1）操作发现：将△ABC折叠，使边BC落在边BA上，点C的对应点是点E，折痕BD交AC于点D，连接DE、DB，∠1的度数是多少？设AC＝1，BC＝，请用含的式子表示AE的长度。 （2）进一步探究发现：＝0.618，这个比值被称为黄金比。当等腰三角形的底和腰的比等于黄金比时，这个三角形叫做黄金三角形。例如，图1中的△ABC、△BCD都是黄金三角形。根据上述结论，如果BC＝10厘米，你能求出DC的长度吗？ 【答案】（1）72°；（1－） （2）6.18厘米 【分析】（1）已知三角形的内角和是180°，∠A＝36°，且AB＝AC，那么△ABC是等腰三角形，两个底角的度数相等；用内角和减去36°，求出两个底角之和，再除以2，即是∠C与∠BED的度数；根据对折的特征可知，∠C与∠BED相等； 根据对折的特征可知，∠EBD＝∠DBC＝∠ABC÷2，由此求出∠EBD的度数； 在△BDE中，用内角和减去∠EBD，再减去∠BED，即是∠1的度数。 因为AB＝AC＝1，AE＝AB－BE，根据对折的特征可知，BE＝BC＝，据此用含的式子表示AE的长度。 （2）根据黄金三角形的定义，等腰三角形的底和腰的比等于黄金比；因为△BCD是等腰三角形，那么可得出＝0.618，已知BC＝10厘米，据此求出DC的长度。 【详解】（1）已知∠A＝36°，AB＝AC，则∠C、∠ABC、∠BED： （180°－36°）÷2 ＝144°÷2 ＝72° ∠EBD＝∠DBC＝∠ABC÷2＝72°÷2＝36° ∠1＝180°－∠EBD－∠BED＝180°－36°－72°＝72° 因为BC＝，AB＝AC＝1，则 AE＝AB－BE＝1－ 答：∠1的度数是72°，AE的长度是（1－）。 （2）由黄金三角形的定义，可得：＝＝0.618，那么 DC＝0.618×10＝6.18（厘米） 答：DC的长度是6.18厘米。 【点睛】（1）本题考查三角形的内角和、等腰三角形特征的应用，利用对折图形对称的特性找出相等的边和角是解题的关键。 （2）理解黄金三角形的定义，得出等腰三角形底和腰的黄金比是解题的关键。 70．小明读一本书，上午读了一部分，这时读的页数与未读页数的比是1∶9；下午比上午多读6页，这时已读的页数与未读的页数的比变成了1∶3，这本书共多少页？ 【答案】120页 【分析】把这本书的总页数看作单位“1”，上午读了全书的，下午与上午加在一起读了全书的，下午比上午多读6页，那么这6页占全书的（－－），单位“1”未知，根据分数除法的意义求出总页数。 【详解】6÷（－－） ＝6÷（－－） ＝6÷（－－） ＝6÷ ＝6×20 ＝120（页） 答：这本书共120页。 【点睛】抓住总页数不变，把比转化成分数，分析出下午比上午多读6页占总页数的几分之几，根据分数除法的意义解答。 71．快递员把一批货物从物流中心运往仓库，原计划3.5小时到达。在行驶过程中，有一段4.8千米的道路因暴雨受损，在这段路上的行驶速度仅为正常速度的，因此比原计划晚到了12分钟。物流中心到仓库的路程是多少千米？ 【答案】28千米 【分析】4.8千米的道路因暴雨受损，走这段路时速度只有原来的，那么走这段路需要的时间与原来需要的时间比就是4∶3，则实际走这段路需要的时间比原来多用了份时间，是12分钟，即小时；求出1份时间占原来需要时间（3份）的几分之几，根据分数除法意义列式为÷求出原计划走这段路需要的时间；根据速度＝路程÷时间，用4.8千米除以原计划走这段路的时间即可求出邮递员原计划的速度；根据路程＝速度×时间列式计算即可解答。 【详解】12分钟＝小时 行4.8千米的道路，原计划需要的时间：（小时） 原计划的速度：（千米/时） 物流中心到仓库的路程：8×3.5＝28（千米） 答：物流中心到仓库的路程是是28千米。 【点睛】关键是理解速度、时间、路程之间的关系，理解分数除法的意义。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $