专题15 空间角与空间距离 讲义-2026届高考数学二轮复习

专题15 空间角与空间距离 考向一 空间角 核心知识 1.异面直线所成的角 定义：设是两条异面直线，经过空间任一点作直线，把与所成的锐角（或直角）叫做异面直线与所成的角（或夹角）． 2.直线与平面所成的角 平面的一条斜线与平面交于点,于点,即为直线在平面上的射影，直线与其投影所成的锐角，叫做直线和平面所成的角. 3.二面角 在二面角的棱上任取一点，以点为垂足，在半平面内分别作垂直于棱的射线，则射线和构成的,叫做二面角的平面角.平面角为直角的二面角为直二面角. 几何法求空间各种角的大小一般都转化为平面角来计算，求空间角的计算步骤：一作、二证、三计算.求异面直线所成的角，常用平移转化，求直线与平面所成的角，常用射影转化法。二面角的平面角的作法有三种，即定义法、垂线法、垂面法.向量法求解时通常借助直线方向向量与平面法向量进行求解. 典例 例1.(2025·新课标一卷·真题)（多选题）已知正方体，则(    ) A. 直线与所成的角为 B. 直线与所成的角为 C. 直线与平面所成的角为 D. 直线与平面所成的角为 拓展提升 练1-1.(2025·广东省·模拟题) 已知三棱柱中，，，，． 求证：平面平面 若，且是的中点，求平面和平面的夹角的大小． 练习1-2(2025·福建省厦门市·月考试卷)如图，在圆柱中，，为圆上一定点，为圆上异于点的一动点，，过点作平面的垂线，垂足为点 若，求证：． 若为等边三角形，求二面角的余弦值． 考向二 空间距离 核心知识 点到平面的距离与直线到平面的距离 ⑴点到直线的距离 设是直线的单位方向向量，则向量在直线上的投影向量.在中，由勾股定理，得. ⑵点到平面的距离 若平面的法向量为，平面内一点为，则平面外一点到平面的距离，如图所示. ⑶线面间距离、面面间距离与线线间、点线间距离常常可以相互转化. 典例 例2.(2025·福建省漳州市·模拟题)（多选题）在棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则下列正确的是(    ) A. 点到直线的距离为 B. 直线到直线的距离为 C. 点到平面的距离 D. 直线到平面的距离 例3.(2025·江苏省扬州市·联考题)如图，在中，为的中点，现将及其内部以边为轴进行旋转，得到如图所示的新的几何体，点为点在旋转过程中形成的圆的圆心，点为圆上任意一点． 求新的几何体的体积； 记与底面所成角为，求的取值范围； 当时，求点关于平面的对称点到平面的距离． 拓展提升 练2-1.(2025·河北省沧州市·联考题））（多选题）如图，在正四棱锥中，，，分别是，的中点，则下列说法正确的是(    ) A. B. 直线和所成角的余弦值是 C. 点到直线的距离是 D. 点到平面的距离是 练2-2.(2025·河北省承德市·月考试卷)已知正四棱锥中异面的两条棱所在直线所成角的余弦值为，过的平面与线段交于点，，，则点到的距离为          ． 答案 例1.解：如图，因为，，所以，故A正确 对于选项B因为平面，平面， 所以， 又，且，，平面， 所以平面，且平面， 所以直线，故B正确 对于选项C连接与交于点， 因为平面，平面， 所以， 又，且，，平面， 所以平面， 则即为直线与平面所成的角， ，所以，故C错误 对于选项D直线与平面所成的角即为，所以D正确． 练习1-1.解：在三棱柱中，四边形是平行四边形，而， 则平行四边形是菱形， 连接，如图，则有， 因为，，，平面， 于是得平面， 而平面，则， 由，得，，，平面， 从而得平面， 又平面， 所以平面平面． 在平面内过作， 由知平面平面，平面平面，则平面， 以为原点，以射线，，分别为轴，轴，轴正半轴建立空间直角坐标系，如图， 因，，， 则，，，，， 则有，， 设平面的一个法向量，则有 ，解得：， 令得，而平面的一个法向量， 依题意，， 设平面和平面的夹角是， 则， ，， 所以平面和平面的夹角是．  练习1-2解：证明：由圆柱的性质得：  ，  因为  ，平面， 所以  ， 因为  ，所以  ， 因为  ，  ， 所以  ， 又因为  ，平面， 所以  ， 因为  ， 所以  ． 过点  作  垂足为  ，过  作  于  ，连接  ， 由已知  ，  所以  ，又 ，，平面， 所以平面，又平面， 所以  ， 又，，平面， 所以  ，又平面， 所以  ，所以  为二面角  的平面角， 又因为  为等边三角形，  ， 所以  ，在直角三角形  中，  ， 因为 ，所以，即 ，所以  ， 在直角三角形  中，  ， 所以  ． 例2.解：建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 对于：因为， 所以， 所以点到直线的距离为，故A正确； 对于：因为， 所以，即， 所以点到直线的距离即为直线到直线的距离， 因为，， 所以直线到直线的距离为，故B正确； 对于：设平面的一个法向量为，，， 则，由 令，则，，即， 设点到平面的距离为， 则，即点到平面的距离为，故C错误； 对于：因为，所以， 所以直线到平面的距离等于到平面的距离， 又， 由得平面的一个法向量为， 所以到平面的距离为， 所以直线到平面的距离为，故D正确． 故选：． 例3解：连接， 在中，由题可得， 因为新的几何体是以为高的圆锥挖去以为高的圆锥后剩余的部分， 所以新的几何体的体积； 如图，取的中点，连接， 因为分别为的中点，所以， 因为平面，所以平面， 所以为与底面所成的角， 所以， 又因为，所以， 所以，所以； 以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，则， 所以， 易求得平面的法向量为， 若平面于点，设， 则， 则根据可求得， ， 由条件可求得平面的法向量为， 所以， 所以点到平面的距离为． 练2-1.解：：连接，分别为，的中点，即为中位线，则， 由为正四棱锥，故为正方形，则，所以，对； ：过作，交延长线于，若为中点，连接， 又，即，则为平行四边形，故，， 而且，故且，即为平行四边形， 所以且，故直线和所成角，即为或其补角， 及正四棱锥的性质知：侧面为等边三角形，底面为正方形，且棱长均为， 所以，， ，故直线和所成角的余弦值是，对； ：中，又，则， 所以，则， 所以，故， 所以点到直线的距离是，对； ：由上分析知：，若为底面中心，则为中点，， 连接，交为，则，则， 又，， 平面， 所以 平面，即 平面，易知：， 令到平面的距离为，则， 由，则中上的高为，故， 由，，则， 所以，错． 故选：． 练2-2.解：如图所示，正四棱锥中异面的两条棱一定是一条侧棱和底面中与其不相交的一条棱，则与所成角的余弦值为， 又，， ，，又，； 点到底面的距离为， 又，点到底面的距离为； 连接，则平面即平面，连接， 在中，，， ， 在中，，，， ，， ，， 设点到平面的距离为， 由得：，解得：， 点到平面的距离为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $