专题17 圆锥曲线的定义及性质 讲义-2026届高考数学二轮复习

专题17 圆锥曲线的定义及性质 考向一 圆锥曲线的定义及标准方程 核心知识 1.涉及椭圆、双曲线上的点与焦点的距离，一般要利用定义进行转化． 涉及抛物线上的点到焦点的距离、到准线的距离时需要相互转化． 2.求圆锥曲线标准方程“先定型，后计算”：所谓“定型”，就是确定曲线焦点所在的坐标轴的位置；所谓“计算”，就是指利用待定系数法求出方程中的a2，b2，p的值． 考点一：椭圆： 1.椭圆的定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a(2a|F1F2|)的动点P的轨迹叫作椭圆. 2.椭圆的标准方程 标准方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0) 焦点坐标 F1(-c，0)，F2(c，0) F1(0，-c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|=2c a，b，c的关系 a2=b2+c2 强调： 1．①当时，表示椭圆；②当时，表示两定点确定的线段；③当时，表示无轨迹. 2.椭圆的两焦点分别为，P是椭圆上任意一点，则有以下结论成立： ;   ;    ; 3.与椭圆共焦点的椭圆方程可设为． 4.设P点是椭圆上异于长轴端点的任一点，F1、F2为其焦点记，则 周长为;．焦点三角形的面积： ． 当P点位于短轴顶点处时， 最大，此时也最大; 当底角为，个数：4个(点为通径端点)； 当时，个数：,（点为以为直径的圆与椭圆的交点） 考点二：双曲线 1.双曲线的定义：平面内到两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a(2a|F1F2|)的点P的轨迹叫作双曲线． 2.双曲线的标准方程 标准方程 -=1(a>0，b>0) -=1(a>0，b>0) 焦点坐标 F1(-c，0)，F2(c，0) F1(0，-c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|=2c a，b，c的关系 a2=c2-b2 强调: 1.当时，表示双曲线；加绝对值表示两支(或两条),不加绝对值表示一支(或一条); 当时，表示以两定点为端点向两侧的射线； ③当时，无轨迹； ④当时表示两定点的中垂线. 2.双曲线的两焦点分别为，P是双曲线上任意一点，则有以下结论成立： ; ； 3.与双曲线共焦点的双曲线方程为 4.设P点是双曲线上异于长轴端点的任一点，F1、F2为其焦点记，则 ． 焦点三角形的面积 = 焦点直角三角形的个数：一定为八个，顶角为直角与底角为直角的各为四个. 考点三：抛物线 1.抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线(点F不在直线上)的距离相等的点的轨迹叫作抛物线. 2.抛物线的标准方程 标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 图形 p的几何意义： 焦点F到准线l的距离 焦点 F F F F 准线方程 x=- x= y=- y= 开口方向 向右 向左 向上 向下 典例 例1.( 2023·甲卷理科) 已知椭圆，为两个焦点，为原点，为椭圆上一点，，则(    ) A. B. C. D. 例2.(2025·湖南省单元测试)(多选)已知抛物线：，点是抛物线的焦点，点是抛物线上的一点，点，则下列说法正确的是(    ) A. 抛物线的准线方程为 B. 若，则的面积为 C. 的最大值为 D. 的周长的最小值为 拓展提升 练1-1(2025·广东省单元测试)(多选)已知椭圆，，分别为它的左右焦点，，分别为它的左、右顶点，点是椭圆上的一个动点，下列结论中正确的有(    ) A. 点到右焦点的距离的最大值为，最小值为 B. 的最小值为 C. 若为直角三角形，则的面积为 D. 的范围为 练1-2(2025·山东省·模拟题)(多选)已知双曲线：的左、右焦点分别为过的直线交双曲线的右支于两点，其中点在第一象限．的内心为，与轴的交点为，记的内切圆的半径为，的内切圆的半径为，则下列说法正确的有(    ) A. 若双曲线渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为或 B. 若，且，则双曲线的离心率为 C. 若，，则的取值范围是 D. 若直线的斜率为，，则双曲线的离心率为 考向二 椭圆与双曲线的几何性质 核心知识 考点一：椭圆的简单几何性质 标准方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0) 范围 |x|≤a，|y|≤b |x|≤b，|y|≤a 对称性 对称轴：x轴，y轴;对称中心：原点 顶点坐标 (a，0)，(-a，0)，(0，b)，(0，-b) (b，0)，(-b，0)，(0，a)，(0，-a) 半轴长 长半轴长为a，短半轴长为b 离心率 e==(0<e<1)，e越小，椭圆越圆;e越大，椭圆越扁． 强调： 1． 椭圆中，长轴是最长的弦；过焦点的所有弦长中，垂直长轴的弦长最短，最短为． 距焦点最短的点是相应的对称轴同侧顶点． 2． 与椭圆(a>b>0)有相同的离心率的椭圆可设为，． 考点二：双曲线的简单几何性质 标准方程 -=1(a>0，b>0) -=1(a>0，b>0) 范围 |x|≥a，yR |y|≥a，xR 对称性 对称轴：x轴，y轴;对称中心：原点 顶点坐标 A1(-a，0)，A2(a，0) A1(0，-a)，A2(0，a) 半轴长 实半轴长为a，虚半轴长为b 离心率 e==，e(1，+∞)， e越大，双曲线张口越大; 渐近线 y=±x y=±x 强调： 1.过双曲线的焦点作对称轴的垂线，与双曲线交于A，B两点，|AB|＝． 2.与(a>0，b>0)有相同的渐近线方程为：（a>0，b>0）； 3.由双曲线的方程求渐近线方程： ①已知双曲线方程求渐近线方程:; ②若焦点在轴上，渐近线为；若焦点在轴上，渐近线为. 4.已知渐近线方程设双曲线方程：. 5.双曲线的焦点到渐近线的距离：. 典例 例3.(2025·辽宁省葫芦岛市·期末考试)在平面直角坐标系中，直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为是线段的中点，若，则的离心率为          ． 例4. (2025·广东省单元测试) 已知椭圆的左、右焦点分别为，，且，若椭圆上存在点使得中，，则该椭圆离心率的取值范围为(    ) A. B. C. D. 拓展提升 练2-1(2025·福建省厦门市期中)（多选） 已知点是双曲线的左右焦点，以线段为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为，若，则(    ) A. 与双曲线的实轴长相等 B. 的面积为 C. 双曲线的离心率为 D. 直线是双曲线的一条渐近线 练2-2(2025·四川省·同步练习)加斯帕尔蒙日如图是世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆则被称为“蒙日圆”如图已知矩形的四边均与椭圆相切，则下列说法正确的是(    ) A. 椭圆的离心率为 B. 椭圆与椭圆有相同的焦点 C. 椭圆的蒙日圆方程为 D. 矩形的面积最大值为 考向三 抛物线的几何性质 核心知识 抛物线的简单几何性质 标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0) 顶点 O(0，0) 对称轴 x轴 y轴 离心率 e=1 范围 x≥0，yR x≤0，yR y≥0，xR y≤0，xR 焦半径(其中P(x0，y0)) |PF|=x0+ |PF|=-x0+ |PF|=y0+ |PF|=-y0+ 1.过抛物线的焦点作对称轴的垂线，与抛物线交于A，B两点，|AB|＝2p． 2.已知抛物线的焦点为，直线过点且与抛物线交于两点，，直线的倾斜角为，则 ； ； 以为直径的圆与抛物线的准线相切． 典例 例5.(2024·安徽省合肥市单元测试)（多选）若抛物线：的焦点为，准线为，点在抛物线上且在第一象限，直线的斜率为，在直线上的射影为，则下列选项正确的是(    ) A. 到直线的距离为 B. 的面积为 C. 的垂直平分线过点 D. 以为直径的圆过点 例6.( 2023·新课标Ⅱ卷)(多选) 设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，为的准线，则(    ) A. B. C. 以为直径的圆与相切 D. 为等腰三角形 拓展提升 练3-1(2024·湖南省岳阳市·模拟题)图为一种卫星信号接收器，该接收器的曲面与其轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该接收器的口径，深度，信号处理中心位于抛物线的焦点处，以顶点为坐标原点，以直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系． Ⅰ求该抛物线的方程 Ⅱ设是该抛物线的准线与轴的交点，直线过点，且与抛物线交于，两点，若线段上有一点，满足，求点的轨迹方程． 练3-2(2024·浙江省温州市模拟) 已知抛物线的焦点为，准线为，若位于轴上方的动点在准线上，线段与抛物线相交于点，且，抛物线标准方程为          ． 答案 例1.解：设在椭圆中，则， 所以， 在中，，整理，得， 所以，又， 所以， 故选 B． 例2.解：  ，  ，  ，准线方程为  ，故A正确； 根据抛物线定义得  ，解出 ，   ， 轴，当  时，  ， 若 点在第一象限时，此时  ，故  ， 的高为， 故  ， 若点 在第四象限，此时  ，故  ，  的高为，故  ，故B错误；  ，  ，故C正确； 连接 ，并延长交于抛物线于点 ，此时即为  最大值的情况，图对应如下 过点 作  准线，垂足为点 ， 的周长  ， 若周长最小，则  的长度和最小， 显然当点，， 位于同一条直线上时， 的和最小，此时  ， 故周长最小值为  ，故D正确． 故选：． 练1-1.解：椭圆，所以，， 选项A：易知当为左顶点时，距离最大为，当为右顶点时，距离最小为，故A对； 选项B：当为上下顶点时最大，此时最小，此时， 此时，的最小值为，故B不对； 选项C：为直角三角形，最大值为，可得，或， 设，有， 所以，的面积，故C对； 选项D：设为，则，，，，， 所以，又， ，，则，可知D正确． 故选ACD． 练1-2.解：对于，，故， 或者，故，故A正确； 对于，设，则，，， 故，解得， 又，故，故B正确； 对于，渐近线的斜率为，设直线的倾斜角为， 因为、均在右支上，故． 如图所求，，故C错误； 对于，， 故，而． 故，， 由余弦定理可知，故，故D正确． 例3.解：设直线的方程为， 双曲线的渐近线方程为， 由，解得，，所以， 由，解得，，所以， 可得线段的中点的坐标为，所以， 又，，所以，所以， 所以的离心率为． 故答案为：． 例4.解：设，，，； 在 中，由正弦定理有：；， 则 ；解得：； 由于；即； 所以 且 ；离心率：；故选：． 练2-1.解：根据双曲线的定义可得，又， 所以，即，， 又已知以线段为直径的圆与双曲线在第一象限的交点为， 可得为直角三角形，则由勾股定理可得， 对于，，而实轴长为，所以A错误； 对于，由上述可得，所以B正确； 对于，因为，所以，即，所以C正确； 对于，由，可得，所以，即，所以可得， 所以双曲线的渐近线为，即， 则直线是双曲线的一条渐近线，所以D正确．故选BCD． 练2-2.解：由椭圆，可得，则， 所以椭圆的离心率为，所以 A正确； 由椭圆，可得，则， 故椭圆的焦点与椭圆相同，所以 B正确； 因为矩形的四边均与椭圆相切，所以点，即在蒙日圆上， 可得半径，可得椭圆的蒙日圆方程为，所以错误； 设矩形的相邻两边长分别为和，则有， 所以矩形的面积等于，当且仅当时取等号，所以 D正确． 故选：． 例5.解：对于，抛物线：的焦点为, 到直线的距离为, 故A错误； 对于， 直线的斜率为，，， 可设代入抛物线方程，由于是第一象限内的点，可得， 由抛物线的定义可知， ，故B正确； 对于，由, ,可得为等边三角形,的垂直平分线过点 ,故C正确； 对于，取的中点为，在轴上的射影为，设交轴于点， 则， 可得以为直径的圆过点，由，，即，故D错误． 故选BC． 例6.解：因为过抛物线的焦点，则焦点，，选项正确； 抛物线，的倾斜角，，选项错误； 以为直径的圆一定与准线相切，选项正确； 联立，解得，设， ，，， 所以不是等腰三角形，选项错误； 故选：． 练3-1.解：Ⅰ设抛物线的方程为． 因为，，所以点在抛物线上， 所以，故，所以抛物线的方程为． Ⅱ由知设直线，，，， 由可得， 由，得，且，，． 由，可得，整理得． 又， 所以点的轨迹方程为且．  练3-2.解：设，由，得， 由，得， 由得，可得， 所以，得，所以抛物线的标准方程为． 故答案为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $