第二部分方法专题聚焦课件 2026年中考数学专题复习（四川）

第二部分　方法专题聚焦 专题聚焦一　角平分线常见图形 及辅助线作法 类型一　作边的垂线段,利用角平分线性质解题 过角平分线上的点作角两边的垂线,利用“角平分线上的点到角两边的距离相等”,得到线段相等,进而解决相关问题,图示如下: 1.如图所示,在四边形ABCD中,∠A=90°,AD=3,BC=5,对角线BD平分 ∠ABC,则△BCD的面积为( ) A.8 B.7.5 C.15 D.无法确定 B 2.如图所示,在△ABC中,AB=10,AC=8,∠BAC=45°,AD是∠BAC的平分线, DE⊥AB于点E,则DE的长为　 　.  类型二　作角平分线的垂线构造等腰三角形 如图所示,作∠MON平分线上的一点P及角平分线上的垂线PA,延长AP交ON于点B,易得全等三角形和等腰三角形. 3.如图所示,在△ABC中,AD平分∠BAC,且AD⊥BD于点D,连接CD,若△ABC的面积为12,则△ACD的面积为　 　.  6 类型三　作等线段构造全等三角形 通过截长补短法得到线段相等,结合角平分线的性质得证三角形全等,进而解决相关问题.图示如下. 1.截长法 2.补短法 C 类型四　作平行线构造等腰三角形 通过作某条线的平行线,结合角平分线的性质解决相关问题.图示如下: 谢谢观赏！ 13 4.如图所示,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,∠ABC+∠ADC=180°,若BC=2,则CD的长为( ) A. B. C.2 D. 5.如图所示,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BD平分∠ABC,AB=3,BD=2,求CB的长. 解:如图所示,过点A作AE∥DB交CB延长线于点E. ∵BD平分∠ABC,∠ABC=90°,AE∥DB, ∴∠ABE=90°,∠ABD=∠CBD=∠EAB=45°,∠E=∠CBD=45°. ∴∠E=∠EAB.∴EB=AB=3.∴AE==3. 又∵AE∥DB,∴△CBD∽△CEA. ∴=,即=.解得CB=6. $专题聚焦三　回归教材——相似三角形模型“双垂图”的综合与探究 条件:AD是Rt△ABC斜边上的高. 结论:①△DBA∽△DAC,AD2=BD·CD; ②△DBA∽△ABC,AB2=BD·BC; ③△DAC∽△ABC,AC2=CD·BC. 教材母题再练　人教九下P43T7　 如图所示,AD是Rt△ABC斜边上的高.若AB=4 cm,BC=10 cm,求BD的长. 教材母题拓展与延伸　 数学实验能增加学习数学的乐趣,还能经历知识“再创造”的过程,更是培养动手能力、创新能力的一种手段.在解答教材母题时,小明对图中所示的基本图形提出了如下问题,请你帮他解决. 在△ABC中,点D为边AB上一点,连接CD. 【初步探究】 (1)如图(1)所示,若∠ACD=∠B,求证:AC2=AD·AB;　 图(1) 【尝试应用】 (2)如图(2)所示,在(1)的条件下,若点D为AB的中点,BC=4,求CD的长. 图(2) 谢谢观赏！ 9 解:∵AD是Rt△ABC斜边上的高, ∴∠BDA=∠BAC=90°. ∵∠B=∠B,∠BDA=∠BAC, ∴△ABD∽△CBA,∴=. ∵AB=4 cm,BC=10 cm, ∴BD==1.6(cm). (1)证明:∵∠A=∠A,∠ACD=∠B, ∴△ACD∽△ABC. ∴=. ∴AC2=AD·AB. (2)解:设AD=m. ∵点D为AB的中点, ∴AD=BD=m,∴AB=2m. 由(1),得△ACD∽△ABC,∴==. ∴AC2=AD·AB=m×2m=2m2.∴AC=m或AC=-m(不符合题意,舍去). ∴===. ∵BC=4,∴CD=BC=×4=2.∴CD的长是2. $专题聚焦六　四边形常见模型(二) —— 对角互补模型 模型 已知:∠ABC+∠ADC=180° 辅助线作法 作垂直: 作旋转: 结论 ①若AD=CD,则△AFD≌△CED, BD平分∠ABC; ②若AD≠CD,则△AFD∽△CED ①若AD=CD,则△ABD≌△CED, BD平分∠ABC; ②若AD≠CD,则△ABD∽△CED 例题　如图所示,在四边形ABCD中,∠BAD=∠BCD=90°,AB=AD.求证:CA平分∠BCD. 小红的思路:延长CD至M,使得DM=BC,连接AM,即可证明. 小星的思路:过点A分别作AQ⊥CD于点Q,AP⊥CB交CB的延长线于点P,即可证明. (1)请你选择一个同学的思路进行证明; 解:(1)(答案不唯一)选择小红的思路. 证明如下:如图所示,延长CD至点M,使得DM=BC,连接AM. ∵在四边形ABCD中,∠BAD=∠BCD=90°, ∴∠B+∠ADC=180°. 又∵∠ADM+∠ADC=180°,∴∠B=∠ADM. 在△ABC和△ADM中, ∵BC=DM,∠B=∠ADM,AB=AD, ∴△ABC≌△ADM(SAS). ∴AC=AM,∠BAC=∠DAM. ∵∠BAC+∠CAD=∠BAD=90°, ∴∠DAM+∠CAD=∠CAM=90°. ∴△ACM是等腰直角三角形. ∴∠ACD=45°. 又∵∠BCD=90°, ∴∠BCA=∠ACD=45°. ∴CA平分∠BCD. (2)通过证明过程,请直接写出CB,CD,CA之间的数量关系:　 　. 针对训练 谢谢观赏！ 9 CD+BC=AC 1.如图所示,将一个直角的顶点P放在矩形ABCD的对角线BD上滑动,并使其一条直角边始终经过点A,另一条直角边与边BC相交于点E,且 AD=8,DC=6,则=　 　.  2.如图所示,在四边形ABCD中,∠BAD=120°,∠BCD=60°,AB=AD,连接AC,若AC=2,求四边形ABCD的面积. S四边形ABCD=3(解题过程略). $专题聚焦十　几何图形的最值问题 类型一　利用二次函数性质求最值 通过列关系式得到二次函数表达式,利用二次函数的性质求最值,注意自变量的取值范围. 1.【人教九下P44习题T14变式】 如图所示,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=8,AC=6,若动点D从点B出发,沿线段BA向点A运动,运动速度为每秒2个单位长度,到达点A后停止运动,过点D作DE∥BC交AC于点E,则△BDE的面积最大为　 　.  6 类型二　利用垂线段最短求最值 方法1　一动一定 条件:如图(1)所示,点A是直线l外一定点,在直线l上找一点P,使AP的长最短. 解题路径:如图(2)所示,过点A作AP⊥l于点P,此时AP的长最短. A 3.如图所示,在等边三角形ABC中,AB=6,点P是边BC上的动点,将△ABP绕点A逆时针旋转60°得到△ACQ,点D是AC边的中点,连接DQ,则DQ长度的 最小值是　 　.  方法2　两动一定 条件:如图(1)所示,已知定点P和∠AOB,在OA上找一点M,在OB上找一点N,使得PM+MN的值最小. 解题路径:如图(2)所示,作定点P关于OA的对称点P′,过点P′作OB的垂线,交OA于点M,交OB于点N,此时PM+MN的值最小,最小值为P′N的长. 图(1)　　　图(2) 4.如图所示,菱形ABCD的边长为4,∠ABC=45°,点P,Q分别是BC,BD上的动点,则CQ+PQ的最小值为　 　.  方法3　一动两定(“胡不归”模型) 条件:如图(1)所示,点A为直线l上一定点,点B为直线l外一定点,点P在直线l上运动. 在l上找一点P,使得kAP+BP(0<k<1)的值最小. 解题路径:如图(2)所示,求这类带有系数的折线最值问题,通常我们都是将折线转化成为线段,再利用两点之间线段最短或垂线段最短求解. 图(1)　　　图(2) 该模型就是利用了垂线段最短的性质,具体解题步骤如下. 一找:找带有系数k的线段kAP. 二构造:在点B异侧构造以线段AP为斜边的直角三角形. ①以定点A为顶点作∠PAC,使sin∠PAC=k;②过动点P作AC的垂线,构造Rt△PAC. 三转化:化折为直,将kAP转化为PC. 四求解:使得kAP+BP=PC+BP,利用“垂线段最短”转化为求BD的长. 图(2) 图(3) 类型三　利用轴对称性质求最值 方法1　两定一动 条件:已知两定点A,B和直线l,在直线l上求一点P,使PA+PB的值最小. 解题路径: (1)如图(1)所示,当两定点在直线l异侧时,连接AB交直线l于点P,此时PA+PB的值最小,最小值为线段AB的长; 图(1) (2)如图(2)所示,当两定点在直线l同侧时,作点B关于直线l的对称点B′,连接AB′交直线l于点P,此时PA+PB的值最小,最小值为线段AB′ 的长. 图(2) 口诀:线段之和有最小值,对称异侧连线找. C 7.(2024成都)如图所示,在平面直角坐标系中,已知A(3,0),B(0,2),过点B作y轴的垂线l,P为直线l上一动点,连接PO,PA,则PO+PA的最小值为　 . 5 方法2　两动一定 条件:如图(1)所示,已知定点P和∠AOB,点M是OA上一动点,点N是OB上一动点,求△PMN周长的最小值. 解题路径:如图(2)所示,分别作点P关于OA,OB的对称点P′,P″,连接P′P″分别交OA,OB于点M,N,此时△PMN的周长最小,最小值为P′P″ 的长. A 谢谢观赏！ 18 2.如图所示,在矩形ABCD中,AD=3,AB=4,M为线段BD上一动点,MP⊥CD于点P,MQ⊥BC于点Q,则PQ长度的最小值为( ) A. B. C.3 D.5 2 5.如图所示,在矩形ABCD中,AB=4,对角线AC,BD相交于点O,∠AOB=60°. (1)如图(1)所示,若点P是BC边上一动点,则DP+BP的最小值为　 　; (2)如图(2)所示,点E是AO的中点,若点P是对角线BD上一点,则EP+DP的最小值为　 　.  4 3 6.(2025南充)如图所示,AB是☉O的直径,AD⊥AB于点A,OD交☉O于点C,AE⊥OD于点E,延长AE交☉O于点F,F为的中点,P为线段AB上一动点,若CD=4,则PE+PF的最小值是( ) A.4 B.2 C.6 D.4 8.如图所示,在▱ABCD中,AB=2,BC=4,∠B=60°,点F在BC边上运动,连接DF,若H是FD的中点,E为AD边的中点,则EH+HD的最小值为( ) A. B.3 C.2 D.6 $专题聚焦九　解决特殊图形的存在性问题 的方法 类型一　等腰三角形的存在性问题 等腰三角形存在性问题找点方法(线段相等联想到“垂直平分线”“定点定长作圆”): 已知线段AB,在平面内找一点P,使得△ABP为等腰三角形,这样的点P位置有以下两种情况: (1)以AB为底:作AB的垂直平分线; (2)以AB为腰:①若AB=AP,则以点A为圆心,AB长为半径画圆;②若AB=BP,则以点B为圆心,AB长为半径画圆. 1.在正方形网格中,网格线的交点称为格点.如图所示,A,B分别在格点 处,若C也是图中的格点,且使得△ABC是以AB为腰的等腰三角形.则符合条件的点C有( ) A.7个 B.6个 C.5个 D.4个 D 2.如图所示,在平面直角坐标系中,点A(4,0)是x轴上一点,点B(0,3)是y轴上一点.连接BA,在坐标轴上找一点N,使得△BAN为等腰三角形,则满足条件的点N的所有坐标为　 . 　 .  类型二　直角三角形的存在性问题 直角三角形存在性问题找点方法(90°联想到“垂直平分线”“圆周角定理”) 已知线段AB,在平面内找一点P,使△ABP为直角三角形,这样的点P位置有以下三种情况: (1)以A为直角顶点,AB为直角边,点P在过点A与AB垂直的直线上; (2)以B为直角顶点,AB为直角边,点P在过点B与AB垂直的直线上; (3)以点P为直角顶点,AB为斜边,点P在以AB为直径的圆上(除A,B两点). 3.如图所示,在平面直角坐标系中,直线AB分别与x轴,y轴交于点A(3,0), B(0,4),点P为y轴上一点,当△PAB为直角三角形时,求点P的坐标. 解:设点P坐标为(0,p), △PAB为直角三角形分情况讨论: ①∠APB=90°,此时点P与点O重合,∴点P的坐标为(0,0). 类型三　特殊四边形的存在性问题 平行四边形存在性问题找点方法(对角线互相平分)　 情形1:已知三定点(A,B,C)+一动点(D):分别过点A,B,C作BC,AC,AB的平行线,其中每两条平行线的交点即为所求点; 情形2:已知两定点(A,C)+两动点(M,N):以AC为边时,平移AC,与对称轴和抛物线的交点即为点N,M;以AC为对角线时,取AC的中点,作过中点的直线MN,当AC,MN互相平分时确定点M,N的位置. 4.如图所示,已知平面上不共线的三点A,B,C,在平面内确定一点P,使得以A,B,C,P为顶点的四边形是平行四边形.请在图中画出符合要求的点P,保留作图痕迹并写出作图过程. 解:如图所示,连接AB,AC,BC,分别过点A,B,C作BC,AC,AB的平行线,三条平行线的交点分别为P1,P2,P3, 则点P1,P2,P3即为所求. 5.如图所示,在平面直角坐标系中,点A(-4,0),B(0,3),点M为x轴上一动点,点N为平面内一动点.若以A,B,M,N为顶点的四边形是菱形,请求出所有符合条件的点N的坐标. 解:如图所示, ∵A(-4,0),B(0,3), ∴AB=5. 以A,B,M,N为顶点的四边形是菱形,分三种情况: (1)当AB与AM为两邻边时,BN∥AM,BN=AM=AB=5,∴N(-5,3)或(5,3). (2)当AB与BM为两邻边时,AM和BN为对角线,∵B(0,3),∴N(0,-3). 矩形存在性问题找点方法 求作矩形的方法:当已知线段为边时,可沿与已知线段的垂直方向平移线段确定点的位置;当已知线段为对角线时,以已知线段为直径作圆,在圆上取与已知线段不重合的任意一点,连接此点与圆心并延长,与圆的另一个交点即为所求. 6.如图所示,已知平面直角坐标系中有线段AB,点C为x轴上一点,点D为平面内任意一点,确定点C,D,使得以A,B,C,D为顶点的四边形是矩形,请作出符合要求的矩形. 解:如图所示,分两种情况: ①以AB为矩形的边时,过点A作射线AC⊥AB,交x轴于点C,过点B作BC1⊥ AB,交x轴于点C1,过点C作CD⊥AC交BC1于点D,过点C1作C1D1⊥BC1交射线AC于点D1,则四边形ABDC、四边形ABC1D1为符合要求的矩形; ②以AB为矩形的对角线时,以AB为直径作圆,交x轴于C2、C3两点,分别连接AC2、AC3、BC2、BC3,过点A作AD2∥BC2交以AB为直径的圆于点D2,作AD3∥BC3交以AB为直径的圆于点D3,连接BD2,BD3,则四边形AC2BD2、四边形AC3BD3为符合要求的矩形. 相似三角形存在性问题找点方法 探究相似三角形存在性问题的具体步骤如下. (1)找等角:其中直角三角形找对应的直角,一般三角形中会存在隐含的等角; (2)表示边长:直接或间接设出所求点的坐标,然后表示出线段长; (3)建立关系式并计算:对于对应关系不确定的三角形相似,需按照等角的两边分别对应成比例列比例式,分情况讨论,然后进行计算求解. 7.在6×6的正方形网格中,每个小正方形边长都为1个单位长度,我们把每个小正方形的顶点称为格点,图中点A,B,C均在格点上,请利用格点画出△A2B2C2和△A3B3C3,使其顶点都在格点上,且均与△ABC相似(相似比不相等). 解:如图所示,△A2B2C2和△A3B3C3即为所求(答案不唯一). 谢谢观赏！ 20 (-4,0),(0,-2),(0,8),(-1,0),(0,-3),(9,0), (,0),(0,-) ②∠BAP=90°,∵A(3,0),B(0,4), 根据勾股定理,得AB=5,AP=, ∵BP=4-p,∴25+9+p2=(4-p)2, 解得p=-.∴点P的坐标为(0,-). ③∠ABP=90°,不存在满足条件的点P, 综上所述,点P的坐标为(0,0)或(0,-). (3)当AM和AN为两邻边时,BN∥AM, 设N(n,3),∴BM=AM=BN=-n.∴OM=4+n. 根据勾股定理,得n2-(4+n)2=9, ∴n=-.∴N(-,3). 即N(5,3)或(-5,3)或(0,-3)或(-,3). $专题聚焦四　全等、相似三角形的 一线三等角模型 1.一线三等角 如图所示,已知A,P,B三点共线,且∠1=∠2=∠3. 结论:△ACP∽△BPD; 当AC=BP或AP=BD或CP=PD时,△ACP≌△BPD.　 2.一线三垂直(是“一线三等角”模型的特殊形式)　 如图所示,已知A,B,C三点共线,且∠1=∠2=∠3=90°. 结论:△ABD∽△CEB; 当AB=CE或AD=CB或BD=EB时,△ABD≌△CEB.　 例1　如图所示,在△ABC中,AB=AC,点D,E分别在边BC,AC上,BD=CE,且∠ADE=∠B.求证:∠CAD=∠ADC. 证明:∵AB=AC, ∴∠B=∠C. ∵∠ADE=∠B,∠ADC=∠B+∠BAD= ∠ADE+∠CDE, ∴∠CDE=∠BAD. 在△ABD和△DCE中, ∵∠BAD=∠CDE,∠B=∠C,BD=CE, ∴△ABD≌△DCE(AAS). ∴CD=AB.∴CD=CA.∴∠CAD=∠ADC. 例2　如图所示,在矩形ABCD的CD边上取一点E,将△BCE沿BE翻折,使点C恰好落在AD边上的点F处.当AB=5,且AF·FD=10时,求EF的长. 针对训练 1.如图所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE于点D,BE⊥CE于点E.若AD=12,DE=7,则AC的长为　 　.  13 2.如图所示,在四边形ABCD中,AB=11,AP=2,P是AB上一点,若∠DPC=∠A= ∠B=90°,则AD·BC=　 　.  18 3.(1)如图(1)所示,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CB=CA,直线ED经过点C,过A作AD⊥ED于点D,过B作BE⊥ED于点E.求证:△BEC≌△CDA. 图(1) (1)证明:∵∠ACB=90°, ∠BCE+∠ACB+∠ACD=180°, ∴∠BCE+∠ACD=90°. ∵AD⊥ED,BE⊥ED, ∴∠BEC=∠CDA=90°,∠EBC+∠BCE=90°. ∴∠ACD=∠EBC. 在△BEC和△CDA中, ∵∠BEC=∠CDA=90°,∠EBC=∠ACD,CB=CA, ∴△BEC≌△CDA. 图(2) 图① 图② 谢谢观赏！ 16 解:∵将△BCE沿BE翻折,使点C恰好落在AD边上点F处, ∴∠BFE=∠C=90°,CE=EF. 又∵在矩形ABCD中,∠A=∠D=90°, ∴∠AFB+∠DFE=90°,∠DEF+∠DFE=90°.∴∠AFB=∠DEF. ∴△FAB∽△EDF,∴=. ∴AF·DF=AB·DE. ∵AF·DF=10,AB=5,∴DE=2. ∴CE=DC-DE=5-2=3.∴EF=3. (2)如图(2)所示,在△ABC中,D是BC上一点,∠CAD=90°,AC=AD,∠DBA=∠DAB,AB=2,求点C到AB边的距离. (2)解:如图①所示,过点D作DF⊥AB于点F,过点C作CE⊥AB于点E,交BA的延长线于点E. ∵∠DBA=∠DAB,∴AD=BD.∴AF=BF=AB=. ∵∠CAD=90°,∴∠DAF+∠CAE=90°. ∵∠DAF+∠ADF=90°,∴∠CAE=∠ADF. 在△CAE和△ADF中, ∵∠CEA=∠AFD=90°,∠CAE=∠ADF,AC=AD, ∴△CAE≌△ADF.∴CE=AF=.即点C到AB的距离为. (3)如图(3)所示,在▱ABCD中,E为边BC上的一点,F为边AB上的一点.若∠DEF=∠B,AB=10,BE=6,求的值. 图(3) (3)解:如图②所示,过点D作DM=DC交BC的延长线于点M, ∴∠DCM=∠M. ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴DM=CD=AB=10,AB∥CD.∴∠B=∠DCM=∠M. ∵∠FEC=∠DEF+∠DEC=∠B+∠BFE,∠B=∠DEF, ∴∠DEC=∠BFE. ∴△BFE∽△MED. ∴===. $专题聚焦二　中点常用性质及辅助线作法 类型一　构造中位线 情形1:如图(1)所示,D,E分别为AB,AC边的中点,连接DE. 图(1) 图(2) C 2.如图所示,在△ABC中,D为AC的中点,过点D作DE⊥AC交AB于点F,交CB的延长线于点E,若点F恰好为DE的中点,BF=2,则AF的长为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 3.如图所示,△ABC的中线BE,CF相交于点G,若EG=2,则BG=　 　.  C 4 类型二　构造中线 情形1:如图所示,在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点,连接AD. 结论:AD⊥BC;AD平分∠BAC. 4.如图所示,在△ABC中,D是BC上一点,AB=AD,E,F分别是AC,BD的中点,若EF=6,则AC的长是　 　.  5.如图所示,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,点M为BC的中点,MN⊥AC于点N,则 MN的长是　 　.  12 6.如图所示,在正方形ABCD和正方形CEFG中,点D在CG上,BC=1,CE=3,H是AF的中点,那么CH的长是　 　.  类型三　倍长中线 情形1:倍长中线 如图所示,在△ABC中,AD是BC边的中线. 辅助线作法1:延长AD至点E,使DE=AD, 连接BE. 辅助线作法2:过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E. 结论:△ACD≌△EBD. 情形2:倍长类中线 如图所示,在△ABC中,D是边BC的中点, E是边AB上一点,连接DE. 辅助线作法1:延长ED至点F,使DF=ED,连接CF. 辅助线作法2:过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F. 结论:△BDE≌△CDF. 8.如图所示,AD是△ABC的中线,在AD上取一点F,连接BF并延长交AC于点E,AE=EF,求证:BF=AC. 证明:如图所示,延长AD至点H,使AD=DH,连接BH. ∵AD是△ABC的中线,∴BD=CD. 又∵∠ADC=∠BDH,AD=DH, ∴△ADC≌△HDB(SAS). ∴AC=BH,∠CAD=∠H. ∵AE=EF,∴∠EAF=∠AFE. ∵∠BFH=∠AFE,∴∠H=∠BFH. ∴BF=BH.∴AC=BF. 谢谢观赏！ 15 结论:DE∥BC;DE=BC;△ADE∽△ABC. 情形2:如图(2)所示,已知CD是△ABC的中线,延长BC至E,使得CE=BC,连接AE. 结论:△BCD∽△BEA,CD=AE. 1.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=1,D是斜边AB的中点,E是边BC上一点,且DE平分△ABC的周长,则DE的长为( ) A. B.1 C. D. 情形2:如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,D为AB的中点,连接CD. 结论:CD=AB. 7.如图所示,在Rt△ABC中,∠A=90°,点D是BC的中点,点E是AB上一点,连接ED,过点D作DF⊥DE交AC于点F,连接EF.若BE=3,CF=2,则EF=　 　.  $专题聚焦七　四边形常见模型(三) —— 十字模型 类型 正方形“十字”模型 矩形“十字”模型 模型特点及结论 AE⊥BF 结论:△ABF≌△DAE BD⊥CE 结论:△ABD∽△DEC 变式图形及作法 分别过点E,G作AB,AD的垂线,得△NGF≌△MEA 分别过点G,F作CD,AD的垂线,得△GMH∽△FNE 例1　如图所示,在正方形ABCD中,点E,F分别在边CD,AD上,BE与CF交于点 G,若BC=4,DE=AF=1,则CG的长为　 　.　  例2　如图所示,在矩形ABCD中,CE⊥BD,垂足为点E.若AB=5,CE=3,则 △BCE的面积为　 　.  针对训练 A B 3.(2025绵阳模拟)如图所示,在正方形ABCD中,点E为对角线BD上一点,连接CE,过点E作EF⊥CE,交AD于点F. (1)求证:EF=EC; (1)证明:如图所示,过点E分别作AD,CD的垂线,垂足分别为点M,N.∵四边形ABCD是正方形,∴∠ADC=90°,∠ADB=∠CDB=45°. ∴四边形MEND是矩形,ND=EN.∴四边形MEND是正方形. ∴∠MEN=∠EMF=∠ENC=90°. ∵EF⊥CE,∴∠MEN=∠FEC=90°. ∴∠MEF=∠NEC=90°-∠FEN. 在△EMF和△ENC中, ∵∠EMF=∠ENC,EM=EN,∠MEF=∠NEC, ∴△EMF≌△ENC(ASA).∴EF=EC. 谢谢观赏！ 10 1.(2025泸州模拟)如图所示,正方形ABCD的边长为a,点E是边AB上一点,且BE=AB,连接DE,过点C作CN⊥DE于点N,则CN的长为( ) A.a B.a C.a D.a 2.(2025合肥模拟)如图所示,在矩形ABCD中,AB=,BC=1,动点E,F分别从点A,C同时出发,以每秒1个单位长度的速度沿AB,CD向终点B,D运动,过点E,F作直线l,过点A作直线l的垂线,垂足为点G,当AG取最大值时,DF等于( ) A. B. C. D. (2)若BE=,求AF的长. (2)解:如图所示,延长ME交BC于点H, 则四边形AMHB,ENCH是矩形,∴AM=BH,EH=CN. ∵△EMF≌△ENC,∴MF=CN. ∵∠DBC=45°,∠BHE=90°, ∴BH=EH,BE=BH=. ∴EH=BH=.∴AM=BH=EH=CN=MF=.∴AF=AM+MF=. $专题聚焦八　折叠问题 抓重合,找对应,得全等.具体如下: (1)折叠前后的两部分是全等图形,从而可以得到对应线段相等、对应角相等; (2)折痕所在直线是对应点连线的垂直平分线. 折叠中常见模型: 模型分类 模型1 模型2 模型3 模型4 基本图形 利用勾 股定理 AE2+EP2=AP2 PE2+CE2=CP2 AE2+AP2=EP2 A′E2+A′B′2=B′E2 利用全 等、相似 △AEP≌ △CDP △CEP∽ △ADC △PAE∽ △EDC △ABE≌ △A′B′E 其他 △APC是等腰三角形 四边形EBFB′是菱形 类型一　利用勾股定理求解 例1　如图所示,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=5,点D为AB边上一点,且AD=2,点E在BC边上(点E不与点B,C重合),将△DBE沿DE折叠,使得点B的对应点B′落在BC边上,则线段AB′的长为( ) D 例2　(2024雅安)如图所示,把矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠,使点C落在 点E处,BE与AD交于点F,若AB=6,BC=8,则cos∠ABF的值是　 　.  针对训练 1.(2025河南)如图所示,在菱形ABCD中,∠B=45°,AB=6,点E在边BC上,连接AE,将△ABE沿AE折叠,若点B落在BC延长线上的点F处,则CF的长为( ) D A 类型二　利用折叠出现的特殊模型——相似三角形求解 例3　(2025南充模拟节选)如图所示,将矩形ABCD折叠,折痕CE经过点C,点B的对应点F在边AD上.AB∶AD=4∶5,则AE与BE之比为　 　.  3∶5 针对训练 3.(2025安徽模拟)将一张矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠. (1)如图(1)所示,点D落在点D′处,若∠ACD=α,则∠BAD′的度数为 　 　(用含α的式子表示);  (2)如图(2)所示,沿AC剪下△ACD得到纸片△ABC,折叠△ABC,使得点A落在CB延长线上的点A′处,得到折痕EF,再沿A′F折叠△A′FE,使得点E落在CB边上的点E′处,若AB=4,BC=3,则CF的长为　 .  90°-2α 图(1) 图(2) 类型三　利用折叠出现的特殊模型——全等三角形求解 例4　(2025内江模拟)如图所示,在矩形纸片ABCD中,点E是BC边的中点,沿直线AE折叠,点B落在矩形内部的点B′处,连接AB′并延长交CD于点F.已知CF=4,DF=5,则AD的长为　 　.  12 针对训练 4.(2025南充节选)在矩形ABCD中,AB=10,AD=17,点E是线段BC上异于点B的一个动点,连接AE,把△ABE沿直线AE折叠,使点B落在点P处. 【初步感知】(1)如图(1)所示,当E为BC的中点时,延长AP交CD于点F,求证:FP=FC.　 图(1) (1)证明:连接EF,如图①所示. 由折叠可得∠APE=∠B=90°,PE=BE. ∵四边形ABCD为矩形,∴∠C=90°. ∵E为BC的中点, ∴BE=EC.∴PE=EC. 在Rt△EPF与Rt△ECF中, ∵EP=EC,EF=EF, ∴Rt△EPF≌Rt△ECF(HL). ∴FP=FC. 图① 【深入探究】(2)如图(2)所示,点M在线段CD上,CM=4.求点E在移动过程中PM的最小值. 图(2) 图② 谢谢观赏！ 15 A.1 B. C. D. A.2 B.6-3 C.2 D.6-6 2.(2025广州模拟)如图所示,在矩形ABCD中,BC=2AB,点M,N分别在边BC,AD上.连接MN,将四边形CMND沿MN翻折,点C,D分别落在点A,E处,则tan∠AMN的值是( ) A.2 B. C. D. (2)解:由题意,得AP=AB=10, ∴点P在以A为圆心,10为半径的☉A的弧上. 连接AM,如图②所示. 当点P在线段AM上时,PM有最小值. ∵AB=CD=10,CM=4,∴DM=6. 又∵AD=17, ∴AM====5. ∴PM的最小值为AM-AP=5-10. $专题聚焦五　四边形常见模型(一) —— 半角模型 模型特点 一个大角包含一个小角,小角是大角的一半,二者共顶点且大角两边相等 图示及证明 ①先确定两角顶点;②绕公共顶点将大角和小角的一组邻边旋转一个大角,得到一对等角,一对等边和公共边,得两个三角形全等 结论 △DEF≌△DMF;DC=DG;EF=MF=CM+CF=AE+CF 例题　旋转是几何图形中最基本的图形变换之一,利用旋转可将分散的条件相对集中以达到解决问题的目的. (1)如图(1)所示,四边形ABCD是正方形,点E,F分别在边BC和CD上,且∠EAF=45°,如图(2)所示,将△ADF绕点A顺时针旋转90°,探究图中线段 EF,BE,DF之间的数量关系为　 　.  图(1) 图(2) EF=BE+DF (2)如图(3)所示,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B=∠D=90°,∠BAD=120°,以A为顶点的∠EAF=60°,AE,AF与BC,CD边分别交于E,F两点.(1)中结论是否依然成立?若成立,请写出证明过程;若不成立,请说明理由. 图(3) 解:(2)成立. 证明如下:如图所示,将△ADF绕点A顺时针旋转120°得到△ABM, ∴△ABM≌△ADF.∴∠ABM=∠D=90°,∠MAB=∠FAD,AM=AF,MB=DF. ∵∠ABE=90°,∴∠MBE=∠ABM+∠ABE=180°. ∴M,B,E三点共线. ∴∠MAE=∠MAB+∠BAE=∠FAD+∠BAE=∠BAD-∠EAF=60°. ∴∠MAE=∠FAE. 又∵AE=AE,AM=AF,∴△MAE≌△FAE(SAS). ∴ME=EF.∴EF=ME=MB+BE=DF+BE. 针对训练 1.若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形,点E为CD中点且AE平分∠DAM,如图所示,则AM,AD和MC之间的数量关系为　 　.  AM=AD+MC 2.如图所示,正方形ABCD的边长为4,点M在CB的延长线上,BM=1,作∠MAN= 45°交DC延长线于点N,则MN的长为　 　.  谢谢观赏！ 8 $专题聚焦十一　应用隐圆解决问题的方法 类型一　定点定长作圆 (1)如图(1)所示,在☉O中,点A,B,C,D在圆上,则OA=OB=OC=OD; (2)如图(2)所示,若AB=AC=AD,则点B,C,D在以点A为圆心,AB的长为半径的圆上. 图(1) 图(2) 例1　如图所示,在四边形ABCD中,AB=AC=AD,连接BD,若∠CAD=84°,则∠CBD的度数为　 　.  42° 针对训练 1.如图所示,AB为一个长2 m的梯子(∠ACB=90°),P为AB的中点,若梯子AB竖直放在墙角AC处,沿墙下滑至水平放置,则在下滑的过程中,点P移 动的路径长为　 　 m.  2.如图所示,在矩形ABCD中,E是边AB的中点,F是边AD上一动点,将△AEF沿EF所在直线折叠得到△A′EF,请你在图中画出点A′的运动轨迹. 类型二　以直角所对的边为直径作圆 (1)如图(1)所示,在☉O中,若AB是直径,点C在圆上,则∠ACB=90°; (2)如图(2)所示,在△ABC中,若∠ACB=90°,则点C在以AB为直径的☉O上. 图(1) 图(2) 例2　如图所示,在正方形ABCD中,E是正方形内部一点,且∠AEB=90°,请画出点E的运动轨迹. 针对训练 3.如图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=30°,AB=2,点P从点C出发,沿CB运动到点B停止,过点B作射线AP的垂线,垂足为点Q,则点Q运动的路 径长为　　 .  4.如图所示,在Rt△ABC中,AB⊥BC,AB=6,BC=4,点P是△ABC内部的一个动点,且满足∠PAB=∠PBC,则线段CP长的最小值是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 B 类型三　定弦(非直径的弦)定角作圆 (1)如图(1)所示,在☉O中,若弦AB固定,则弦AB同侧所对的圆周角相等; (2)如图(2)所示,若线段AB的长为定值,且线段AB所对的∠C的度数为定值(0°<∠C<180°),则点C落在经过A,B,C三点的圆上. 图(1) 图(2) 例3　如图所示,在等边三角形ABC中,点D是△ABC内一点,连接AD,BD, ∠ADB=120°,请画出点D的运动轨迹. 针对训练 5.如图所示,△ABC为等边三角形,AB=2.若点P为△ABC内一动点,且满足 ∠PAB=∠ACP,则线段PB长度的最小值为　 　.  6.如图所示,在△ABC中,BC=2,点A为动点,在点A运动的过程中始终有∠BAC=45°,则△ABC面积的最大值为　 　.  类型四　四点共圆作圆 (1)如图(1)所示,若∠BAD+∠BCD=180°,则A,B,C,D四点共圆; (2)如图(2)所示,固定线段AB所对的同侧动角∠P=∠C,则A,B,C,P四点 共圆. 图(1) 图(2) 例4　如图所示,在平面内有△ABC,D为平面内一动点,且AD平分∠CAB,连接BD,CD.若∠ABD+∠ACD=180°,BD=3,则CD的长为　 　.　  3 针对训练 7.如图所示,在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,点D是直角边AC上一动点,连接BD,以BD为斜边在BD上方作等腰直角三角形BDE,连接EA,则∠EAB的度数为　 　.　  45° 8.如图所示,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=4,点D为AB边的中点,连接CD,过点B作BE⊥CD交CD的延长线于点E.若∠ACD=30°,则△BCE的面积为 　　.  谢谢观赏！ 18 解:点A′的运动轨迹如图所示. 解:点E的运动轨迹(不包含A,B两点)如图所示. 解:点D的运动轨迹为劣弧(不包含A,B两点),如图所示. +1 $