第四章 因式分解【期末复习讲义】（培优版）-2025-2026学年北师大版数学八年级下册

2025-2026学年北师大版新教材数学八年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第四章 因式分解【期末复习讲义】-培优版 『导图+知识梳理+14个题型讲练+真题实战练 共52题』（解析版） 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 判断是否是因式分解 题型二 已知因式分解的结果求参数 题型三 公因式 题型四 提公因式法分解因式 题型五 判断能否用公式法分解因式 题型六 平方差公式分解因式 题型七 完全平方公式分解因式 题型八 综合运用公式法分解因式 题型九 综合提公因式和公式法分解因式 题型十 实数范围内分解因式 题型十一 因式分解在有理数简算中的应用 题型十二 十字相乘法 题型十三 分组分解法 题型十四 因式分解的应用 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点一 因式分解 把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算. 知识点二 提公因式法 把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律. 知识点三 公式法 1.平方差公式 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： 2.完全平方公式 两个数的平方和加上这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即，. 形如，的式子叫做完全平方式. 【易错点剖析】 （1）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积. （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. （3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 知识点四 十字相乘法和分组分解法 十字相乘法：利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式，若存在 ，则 分组分解法：对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解—分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 知识点五 因式分解的一般步骤 因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 因式分解步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法； （3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解． （4）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 判断是否是因式分解 【例1】（25-26八年级下·辽宁沈阳·月考）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据因式分解的概念，把一个多项式化成几个整式的积的形式，依据此对各个选项进行分析即可求出答案． 【规范解答】解：A．，等式右边不是整式积的形式，故此项不合题意． B．，是整式的乘法，不是因式分解，故此项不合题意． C．，符合因式分解的定义，故此项符合题意． D．，是整式的乘法，不是因式分解，故此项不合题意． 【变式1】（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）下列等式从左边至右边的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】因式分解是将多项式变形为几个多项式乘积的形式，需满足左边是多项式，右边是多项式的乘积． 本题主要考查了因式分解的定义，掌握基本概念是解题关键． 【规范解答】∵ 因式分解的定义是多项式变为多项式乘积； 选项A：右边含分式 ，不是整式，∴ 不符合； 选项B：右边为和的形式，非乘积，∴ 不符合； 选项C：左边是单项式，非多项式，∴ 不符合； 选项D：左边是多项式，右边是多项式的平方，∴ 符合 故选：D． 【变式2】（25-26八年级下·重庆·月考）已知整式，其中，，，，为正整数，为整数，且，下列说法： ①满足条件的所有整式中，没有单项式； ②当时，满足条件的所有整式中，能进行因式分解的有个； ③所有满足条件的整式共有个． 其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】由题意可得的值可能是，，，再逐项判断即可求解 【规范解答】解：∵，，，，为正整数，为整数，且， ∴ ∴的值可能是，，， ∵，，为正整数， ∴若整式为单项式，只能是，其中， 此时，解得，不为整数，与条件矛盾，所以不存在满足条件的单项式，故①正确； 当时，整式为，由可得： 当时，，，此时整式有个； 当时，，，此时整式有个； 当时，，，此时整式有个； 当时，，，此时整式有个； 当时，，，此时整式有个； ∴当时，满足条件的整式共有个； 当时，整式为，由可得： 当时，， 若，则，，此时整式有个； 若，则，，此时整式有个； 若，则，，此时整式有个； 若，则，，此时整式有个； ∴当时，满足条件的整式共有个； 当时，， 若，则，，此时整式有个； 若，则，，此时整式有个； ∴当时，满足条件的整式共有个； 当时，， 若，则，，此时整式有个， ∴当时，满足条件的整式共有个； ∴当时，满足条件的整式共有个，其中能进行因式分解的有，，，，，共个，故②错误； 当时，整式为，由可得： 当时，， 若，则， 若，则，，此时整式有个； 若，则，，此时整式有个； ∴当时，满足条件的整式共有个； 若，则，此时无解， ∴当时，满足条件的整式共有个； ∴当时，满足条件的整式共有个； ∴当时，满足条件的整式共有个， 综上，所有满足条件的整式共有个，故③错误， ∴正确的个数有个． 题型讲练二 已知因式分解的结果求参数 【例2】（23-24八年级下·广东茂名·月考）仔细阅读下面例题，并解答问题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得，则，解得：．另一个因式为． (1)若二次三项式可分解为，则 ； (2)若二次三项式可分解为，求b，k的值； (3)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 【答案】(1)4 (2)， (3)另一个因式是，的值为 【思路引导】本题主要考查了多项式乘多项式、因式分解，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题关键． （1）根据多项式乘多项式法则计算，由此可得一个关于的一元一次方程，解方程即可得； （2）根据多项式乘多项式法则计算，再与进行比较即可得； （3）设另一个因式为，根据多项式乘多项式法则计算，由此即可得． 【规范解答】（1）解：由题意得：， 所以， 所以， 解得， 故答案为：4． （2）解：由题意得：， 所以， 所以， 所以，； （3）解：设另一个因式为， 则， 所以， 所以，， 解得，， 所以另一个因式是，的值为． 【变式1】（23-24八年级下·全国·暑假作业）仔细阅读下面例题，并解答问题． 例题：已知二次三项式有一个因式是3，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，则，解得另一个因式为的值为． (1)若二次三项式可分解为，则______； (2)若二次三项式可分解为，则______； (3)依照以上方法解答下面问题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 【答案】(1) (2)9 (3)； 【思路引导】本题考查的是多项式的乘法与因式分解，待定系数法的运用，理解题意是解本题的关键． （1）将展开，根据所给出的二次三项式即可求出a的值； （2）展开，可得出一次项的系数，继而即可求出b的值； （3）设另一个因式为，得，可知，，继而求出n和k的值及另一个因式． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， 解得：； （2）∵， ∴； （3）设另一个因式为，得， 则，， 解得：，， 故另一个因式为，k的值为12． 【变式2】方法探究： 已知二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式（x＋3）．设另一个因式为（x＋k），多项式可以表示成，则有，因为对应项的系数是对应相等的，即，解得，因此多项式分解因式得：．我们把以上分解因式的方法叫“试根法”． 问题解决： (1)对于二次多项式，我们把x＝ 代入该式，会发现成立； (2)对于三次多项式，我们把x＝1代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式（），设另一个因式为（），多项式可以表示成，试求出题目中a，b的值； (3)对于多项式，用“试根法”分解因式． 【答案】(1)±2 (2)a=0，b=-3； (3) 【思路引导】（1）将x=±2代入即可； （2）由题意得x3-x2-3x+3=x3-（1-a）x2-（a-b）x-b，再由系数关系求a、b即可； （3）多项式有因式（x-2），设另一个因式为（x2+ax+b），则x3+4x2-3x-18=x3+（a-2）x2-（2a-b）x-2b，再由系数关系求a、b即可． 【规范解答】（1）解：当x=±2时，x2-4=0， 故答案为：±2； （2）解：由题意可知x3-x2-3x+3=（x-1）（x2+ax+b）， ∴x3-x2-3x+3=x3-（1-a）x2-（a-b）x-b， ∴1-a=1，b=-3， ∴a=0，b=-3； （3）解：当x=2时，x3+4x2-3x-18=8+16-6-18=0， ∴多项式有因式（x-2）， 设另一个因式为（x2+ax+b）， ∴x3+4x2-3x-18=（x-2）（x2+ax+b）， ∴x3+4x2-3x-18=x3+（a-2）x2-（2a-b）x-2b， ∴a-2=4，2b=18， ∴a=6，b=9， ∴x3+4x2-3x-18=（x-2）（x2+6x+9）=（x-2）（x+3）2． 【考点剖析】本题考查因式分解的意义，理解“试根法”的本质，多项式乘多项式的正确展开是解题的关键． 题型讲练三 公因式 【例3】（23-24八年级上·山东威海·期中）多项式的公因式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．按照公因式的确定方法，公因式的系数应取，字母x取x，字母y取y, 字z取z． 【规范解答】∵多项式中， 各项系数绝对值的最大公约数是4， 各项相同字母x的最低次幂是x， 各项相同字母y的最低次幂是y， 各项相同字母z的最低次幂是z， ∴多项式的公因式是． 故选：C． 【变式1】（23-24八年级上·全国·课堂例题）（1）多项式的公因式是_____； （2）多项式的公因式是_____； （3）多项式的公因式是_____； （4）多项式的公因式是_____． 【答案】 ； ； ； ． 【思路引导】本题主要考查了公因式，根据当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公因数；字母取各项的相同的字母，各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的，进而得出答案，掌握公因式的定义是解题的关键． 【规范解答】（）根据公因式的概念可得：公因式是； （）根据公因式的概念可得：公因式是； （）根据公因式的概念可得：公因式是； （）根据公因式的概念可得：公因式是； 故答案为：（）；（）；（）；（）． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）将因式分解，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查提公因式法因式分解，熟练掌握公因式的定义是解题的关键． 确定公因式需考虑系数、字母及多项式部分，注意与的关系，通过转换统一形式后提取最大公约数和最低次幂. 【规范解答】解：∵ ， ∴ 原式化为 . 系数和的最大公约数为，字母和的最低次幂为，多项式的最低次幂为， ∴ 公因式为 ， 故选：A. 题型讲练四 提公因式法分解因式 【例4】（25-26八年级上·甘肃天水·期末）如图，边长为，的长方形的周长为，面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了利用完全平方公式变形求代数式的值、整体代入法求代数式的值．根据长方形的周长和面积可得：，，利用完全平方公式可得，再利用整体代入法求代数式的值． 【规范解答】解：边长为，的长方形的周长为，面积为， ，， ， ， ． 故选：A． 【变式1】（25-26八年级上·北京海淀·月考）已知实数a，b，c满足，有下列结论： ①若，则； ②若，则； ③若a，b，c中只有两个数相等，则． 其中正确的是____．(把所有正确结论的序号都选上) 【答案】①③ 【思路引导】本题主要考查了分式的求值，因式分解的应用，根据题意可得，则，据此可判断①；当时，可解方程求出b、c的值，则可判断②；分三种情况：和，根据所给等式推出对应情形下a、b、c，则可判断③． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴，故①正确； 当时，， ∴， ∴， ∴，故②错误； 当时，， ∴， ∴， ∴， 根据乘法计算法则可得或， ∴或， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴，不符合题意； 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴，不符合题意； 综上所述，a，b，c中只有两个数相等，则，故③正确； 故答案为：①③． 【变式2】下列四种说法中正确的有（　　） ①关于x、y的方程存在整数解． ②若两个不等实数a、b满足，则a、b互为相反数． ③若，则． ④若，则． A．①④ B．②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】B 【思路引导】将提公因式2得，由x、y为整数，则为偶数，因为199为奇数，即原等式不成立，即可判断①；将，整理得，即得出，由于实数a、b不相等，即得出a、b互为相反数，故可判断②；整理得，即得，即，故可判断③；由，得出，即可变形为，可以得出或，故可判断④． 【规范解答】∵， ∴如果x、y为整数，那么为偶数， ∵199为奇数， ∴不存在整数解，故①错误； ∴， ∵实数a、b不相等， ∴a、b互为相反数，故②正确； ∴，即，故③正确； ∵ ∴， ∴，即， ∴， ∴或，故④不一定正确． 综上可知正确的有②③． 故选B． 【考点剖析】本题考查因式分解，整式的混合运算．熟练掌握完全平方公式是解题关键． 题型讲练五 判断能否用公式法分解因式 【例5】下列多项式：①；②；③；④；⑤，其中能用公式法分解因式的是（   ） A．①③④⑤ B．②④⑤ C．②③④ D．②③④⑤ 【答案】B 【思路引导】本题考查了公式法分解因式，熟练掌握公式法分解因式是解题的关键．根据公式法的特点，对题目中的每个多项式逐一分析即可． 【规范解答】解：①不能用公式法分解； ②，可以用公式法分解； ③不能用公式法分解； ④，可以用公式法分解； ⑤，可以用公式法分解； 综上所述，能用公式法分解因式的是②④⑤． 故选：B． 【变式1】已知下列多项式：①；②；③；④其中，能用完全平方公式进行因式分解的有（   ） A．②③④ B．①③④ C．②④ D．①②③ 【答案】C 【思路引导】根据完全平方公式的特点逐一判断即得答案． 【规范解答】解：与不是完全平方式，故①③不能用完全平方公式进行因式分解； ，故②能用完全平方公式进行因式分解； ，故④能用完全平方公式进行因式分解； 故选：C． 【考点剖析】本题考查了多项式的因式分解，属于基本题型，熟练掌握完全平方公式的特点是解题的关键． 【变式2】（25-26八年级上·山西吕梁·期末）下列不能用公式法因式分解的多项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查公式法因式分解，关键是熟练应用知识点解题；需判断各选项是否符合平方差公式或完全平方公式的形式． 【规范解答】解：∵公式法因式分解常用平方差公式和完全平方公式， ∴对各选项分析如下： A选项：，可用平方差公式因式分解， B选项：，可用完全平方公式因式分解， C选项：不符合平方差公式或完全平方公式的形式，不能用公式法因式分解， D选项：，可用完全平方公式因式分解， 故答案为：C． 题型讲练六 平方差公式分解因式 【例6】（25-26八年级上·江西赣州·期末）【课本再现】人教版数学教材八年级上册第136页有这样一道习题： 阅读下面的分解因式的过程： …… 【归纳反思】上述分解因式的过程表明：对一些项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将其合理分组，使组内可用提公因式法或公式法进行分解，再对整体进行因式分解． 【类比应用】利用上述分解因式的方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)证明：如果是的三条边的长，那么． 【答案】(1) (2)见解析 【思路引导】本题考查了因式分解的分组分解法及三角形三边关系的应用，解题的关键是合理分组，将多项式转化为可利用公式或提公因式的形式，再结合三角形三边关系判断符号． （1）对多项式 分组，前两项用平方差公式，后两项提公因式，再整体提公因式； （2）对多项式 分组，将 组成完全平方，再用平方差公式，最后根据三角形三边关系判断每个因式的符号，从而证明不等式． 【规范解答】（1）解： （2）证明： ∵ a，b，c 是 的三条边的长， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 即 ． 【变式1】（25-26八年级上·河南南阳·期末）阅读与思考 配方法 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式（两数和的平方公式或两数差的平方公式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在分解因式、最值问题中都有着广泛的应用． 例如： ①用配方法分解因式： 原式； ②求的最小值． 解： 先求出的最小值， ； 由于是非负数，所以，可得到，即的最小值为2． 进而的最小值为4． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：________； (2)用配方法分解因式：； (3)若，（为任意实数）试比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)4 (2) (3)，理由见解析 【思路引导】本题考查了配方法的应用，解题的关键是通过凑项构造完全平方式，利用平方数的非负性进行因式分解、求最值及大小比较． （1） 根据完全平方公式 ，对于 ，，得 ，故常数项为 ． （2） 将 凑成 ，再用平方差公式分解． （3）计算 ，配方后利用平方数的非负性判断符号． 【规范解答】（1）解：根据完全平方公式，需要添加的常数项为一次项系数一半的平方，即， 即， 故答案为：． （2）解： ； （3） ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 【变式2】（25-26八年级上·广西贵港·期中）综合与应用 【阅读材料】小东和小明在学习了三角形之后，两人对“已知三边长的三角形的面积问题”进行了探究．他们首先各自查找了相关问题的资料． 小东找到的资料如下： 《数书九章》是我国南宋著名数学家秦九韶的著作，书中记载了：如果一个三角形的三边长分别为，，，则这个三角形的面积计算公式（秦九韶公式）为： ． 小明找到的资料如下： 古希腊几何学家海伦（Heron），在数学史上以解决几何测量问题而闻名，在他的著作《度量》著作中记载了：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，则三角形的面积计算公式（海伦公式）为：． 根据以上信息，回答以下问题： 【学以致用】（1）已知一个三角形的三边长分别为5，6，7． 若利用小明提供的资料求这个三角形的面积，请直接写出和的值； ②请利用小东提供的资料求这个三角形的面积． 【拓展应用】（2）请你试用秦九韶给出的三角形面积公式推导出海伦公式． 【答案】（1）①和的值分别为9和；②；（2）推导见解析 【思路引导】本题考查代数式代入求值，二次根式的运算，因式分解，掌握相关知识是解决问题即可． （1）①运用海伦公式代入数据计算即可；②运用秦九韶公式代入数据计算即可； （2）对秦九韶公式利用完全平方公式，平方差公式进行因式分解，然后将代入变形即可． 【规范解答】解（1）①， ； ② ； （2） ． 题型讲练七 完全平方公式分解因式 【例7】（25-26八年级上·湖北孝感·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，且，是轴上位于点上方的一动点，连接，过点作，垂足为，的延长线交轴于点． (1)求点，的坐标； (2)当点的坐标为时，求点的坐标； (3)如图2，连接，当点在轴上运动时，试探究的度数是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由． 【答案】(1)， (2)点的坐标为 (3)的度数是定值，定值为 【思路引导】本题考查非负数的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的判定、坐标与图形等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，添加辅助线是解答的关键． （1）利用完全平方公式和非负数的性质求得a、b值即可解答； （2）证明得到，进而可求解； （3）过点分别作，，垂足分别为，，利用全等三角形的性质和三角形的等面积法求得， 利用角平分线的判定定理得到平分，进而可得而，为定值． 【规范解答】（1）解：， ， ，解得， ，； （2）解：，， ，， ， ， 由（1）可知， 在和中， ， ， ， 点的坐标为， ， 点的坐标为； （3）解：过点分别作，，垂足分别为，， 由（2）可知：， ，， 即：， ， 平分，而， ， 的度数是定值，为． 【变式1】（25-26八年级上·河南洛阳·期末）【基础巩固】从课本中我们学习了因式分解的常见方法：提取公因式法和公式法． （1）填空：因式分解_____； 【思考探究】在学习过程中，我们还发现存在某些多项式既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过适当的调整结合能构成可分解的一组，然后再对整体进行因式分解，这种方法叫分组分解法．例如：分解因式：，具体过程为． （2）请在上述方法的启发下，分解因式：； 【迁移应用】 （3）已知等腰的两边长分别为，（，为整数），且满足，求的周长． 【答案】（1）；（2）；（3）11或13或7 【思路引导】本题主要考查了提取公因式法、公式法、分组分解法进行因式分解，以及等腰三角形的性质和三角形三边关系，熟练掌握因式分解的方法和等腰三角形的相关性质是解题的关键． （1）先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解． （2）先将前三项组合成完全平方形式，再利用平方差公式进行因式分解． （3）先对等式进行因式分解，得到两个整数的乘积为，求出、的值，再根据等腰三角形的性质和三角形三边关系判断边长组合，计算周长． 【规范解答】（1）解： ， 故答案为：； （2）解：原式 ； （3）解：， ， 即， ，为整数， 或， 解得或， 若，则等腰三角形的边长分别为3，3，5或3，5，5，周长为11或13， 若，则等腰三角形的边长可能为1，1，3或1，3，3．当三边长为1，1，3时，不满足，不能构成三角形；当三边长为1，3，3时，满足，能构成三角形，此时周长为． 综上，的周长为11或13或7． 【变式2】（25-26八年级下·重庆·期中）利用三角形一边及该边上的高可通过公式求三角形面积，由三角形全等的判定方法“边边边”可知一个三角形三边确定，三角形形状和大小确定，面积也就确定，那么，如何通过三角形的三边直接求面积呢？古希腊几何学家海伦在他的著作《度量论》中，给出了利用三角形的三边求面积公式： ①（称为海伦公式），其中．我国南宋时期数学家秦九韶在他的著作《数学九章》中，提出利用三角形的三边求面积的公式②（称为秦九韶公式）． (1)若一个三角形的三边分别为，，，请任选以上一个公式求三角形的面积； (2)如图，在三角形中，，，，作，的角平分线交于点O，过点O作，求的长； (3)海伦公式与秦九韶公式本质上是同一公式，请你通过将公式②变形，推导出公式①． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【思路引导】（1）根据三边数字特点选择简便的公式计算； （2）将三边的值代入公式计算求出面积，根据角平分线的性质及三角形面积公式解答即可． （3）利用完全平方公式及平方差公式变形计算即可证明． 【规范解答】（1）解：三边都是根号形式， 故用秦九韶公式能计算更简便； 设 ∴ ∴ = （2）在三角形中，，，， 半周长， 根据海伦公式：的面积， ∵O是，的角平分线交点，且， ∴点O到的距离相等， 设，则O到的距离都是h， ∵， ∴ 即， 解得， 答：的长为； （3）证明： ∵， ∴，，，， 代入上式得： ． 题型讲练八 综合运用公式法分解因式 【例8】（25-26八年级上·山东德州·月考）在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解如下： 甲： （分成两组） （直接提公因式） 乙： （分成两组） （直接运用公式） 请在他们的解法启发下解答下面各题： (1)因式分解： (2)若，求式子的值． 【答案】(1) (2) 【思路引导】此题考查了因式分解-分组分解法，此方法因式分解方法灵活，注意认真观察各项之间的联系． （1）原式前两项与第四项结合，利用完全平方公式变形，再利用平方差公式分解即可； （2）原式两项两项结合后，提取公因式即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解：原式 ； ， ， ， ∴原式． 【变式1】（25-26八年级上·江西宜春·月考）阅读与思考： “配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形成为完全平方式或几个完全平方式的和的形式．巧妙地运用‘配方法’能对一些多项式进行因式分解． 例如： ． (1)运用配方法将多项式进行因式分解：； (2)试说明多项式的值总是一个正数； 【答案】(1) (2) 见解析 【思路引导】本题考查了因式分解、乘法公式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）结合乘法公式解题即可； （2）对式子配方即可证明． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ， ∴多项式的值总是一个正数． 【变式2】（25-26八年级上·江苏苏州·月考）利用完全平方公式和的特点可以解决很多数学问题．下面给出两个例子： 例1．分解因式： ． 例2：若，求M的最小值． ∵，， ∴当时，M的最小值是1． 仔细阅读上面例题，模仿解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当x、y为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值； (3)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求周长的最大值． 【答案】(1) (2)当，时，多项式有最小值，最小值为3 (3)周长的最大值为13 【思路引导】本题考查因式分解，偶次方的非负性，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）把原式变换成完全平方式与一个常数的差的形式，再利用平方差公式分解因式即可； （2）把原式变换成两个完全平方式与一个常数的和形式，根据完全平方式为非负数即可解答； （3）把等式变形为三个完全平方式的和等于0的形式，根据几个非负数的和为零时，几个非负数都等于0，由此求出a、b，再根据三角形三边的关系求出的最大值，由此可求出答案． 【规范解答】（1）解： ； （2） ， 当，时，多项式的最小值为3； （3）∵， ∴， ∴， ∴，． ∴， ∵c是正整数， ∴当时，周长取最大值， ∴周长的最大值． 题型讲练九 综合提公因式和公式法分解因式 【例9】（25-26八年级上·河南新乡·期末）（1）计算：； （2）因式分解：； （3）已知：的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分，求：的平方根． 【答案】（1）；（2）；（3） 【规范解答】解：（1） ； （2） ； （3）由的立方根是，得，解得； 由的算术平方根是，得，代入得； 由，得的整数部分； 代入得，的平方根为，即的平方根为． 【变式1】（25-26八年级上·河南南阳·期末）在日常生活中，如手机支付、银行取款、手机安全设置等都需要密码．有一种利用因式分解产生的密码，方便记忆，方法如下：对于多项式： ，分解因式的结果是．当，时， ，将 162， 18， 0这三个数值按从大到小的顺序排列，于是就可以把“162180”作为一个六位数的密码． (1)对于多项式 ，当，时，求生成的六位数密码； (2)若将多项式 分解因式，则当，时，求生成的五位数密码． 【答案】(1)生成的六位数密码是130162 (2)生成的五位数密码是26188 【思路引导】本题主要考查了分解因式及其应用，解题关键是熟练掌握提公因式法和公式法分解因式． （1）先求出当时，的值，再按从大到小的顺序排列，就能求出密码； （2）先分解因式得，再求出当，时，各个式子的值，从而求出密码即可． 【规范解答】（1）解：∵当时，， ， ∴生成的六位数密码是：130162； （2）解： ， 当时，， 将18，26，8这三个数值按从大到小的顺序排列为26，18，8， ∴生成的五位数密码是26188． 【变式2】（25-26八年级上·全国·周测）分解因式： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）先提取公因式，再看剩余部分是否符合完全平方公式的形式，进行因式分解； （2）先将式子变形，提取公因式，再对剩余部分进行整理化简； （3）先提取公因式，再对剩余部分利用平方差公式进行因式分解． 【规范解答】（1）解：原式， ． （2）解：原式， ， ， ． （3）解：原式， ， ． 【考点剖析】本题考查了因式分解，掌握先提取公因式，再根据完全平方公式、平方差公式进行因式分解是解题的关键． 题型讲练十 实数范围内分解因式 【例10】（25-26八年级上·上海·月考）在实数范围内因式分解：，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查一元二次方程的求根公式；通过求根公式求出二次方程的根，然后写出因式分解形式. 【规范解答】解：∵对于，判别式， ∴根为， ∴因式分解为， 故选：B. 【变式1】（25-26八年级上·上海·月考）在实数范围内因式分解：______． 【答案】 【思路引导】本题考查了在实数范围内对二次三项式进行因式分解，解题的关键是利用求根公式求出二次三项式对应的方程的根，再根据因式分解的方法进行分解． 先将二次三项式视为关于的一元二次方程，求出其根，再根据“若的根为，则”进行因式分解． 【规范解答】解：对于，将其看作关于的方程， 由求根公式得： ． 则 ． 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·上海普陀·期末）在实数范围内因式分解：______． 【答案】 【思路引导】本题考查了实数范围内分解因式，先配方，再根据平方差公式分解因式即可． 【规范解答】解： ， 故答案为：． 题型讲练十一 因式分解在有理数简算中的应用 【例11】（2024·广东·模拟预测）一个正整数p能写成（m、n均为正整数，且），则称p为“平方差数”，m、n为p的一个平方差变形，在p的所有平方差变形中，若最大，则称m、n为p的最佳平方差变形，此时．例如：，因为，所以7和5是24的最佳平方差变形，所以． (1)= ； (2)若一个两位数q的十位数字和个位数字分别为x，y，q为“平方差数”且能被7整除，求的最小值． 【答案】(1)130 (2)34 【思路引导】本题考查因式分解在新定义题型中的应用，能根据新定义将一个正整数进行分解是解决问题的前提． （1），根据的定义即可得到答案； （2）根据题意对x、y的取值进行分类讨论，再根据的定义即可得到答案． 【规范解答】（1）． ∵， ∴， 故答案为：． （2）∵能被7整除，， ∴或， ∴或或或， 当，时，，； 当，时，，； 当，时，，此时q不是平方差数，不符合题意； 当，时，， ∵， ∴． ∵， ∴的最小值为34． 【变式1】（23-24八年级上·山东烟台·期中）分解因式（其中（2）利用因式分解计算）： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)40000 (3) (4) 【思路引导】本题主要考查了因式分解、因式分解的应用等知识点，熟练运用提取公因式法和公式法进行因式分解是解题的关键． （1）先提取公因式2，再运用平方差公式因式分解即可； （2）先将原式变形成完全平方公式的形式，然后再运用完全平方公式进行简便运算即可； （3）直接运用十字相乘法进行因式分解即可； （4）先凑出公因式，再提取公因式，然后运用平方差公式因式分解即可解答． 【规范解答】（1）解：， ． （2）解： ． （3）解：． （4）解： ． 【变式2】（25-26七年级上·上海·期中）简便计算： 【答案】 【思路引导】本题考查了完全平方公式与平方差公式因式分解的应用，根据完全平方公式与平方差公式因式分解即可求解． 【规范解答】解： 题型讲练十二 十字相乘法 【例12】（2026八年级上·江苏无锡·专题练习）对于多项式，如果我们把代入此多项式，发现的值为0，这时可以确定多项式中有因式；同理，可以确定多项式中的另一个因式为，于是我们可以得到．这种因式分解的方法叫试根法，常用来分解一些比较复杂的多项式， (1)请你用试根法分解以下多项式： ①        ② (2)已知多项式是多项式的一个因式，求a，b的值，并将该多项式因式分解． 【答案】(1)①；② (2)，； 【思路引导】此题考查了因式分解，多项式乘以多项式，解题的关键是掌握以上知识点． （1）①利用试根法求解即可； ②利用试根法求解即可； （2）设另一个因式为，然后计算为，然后比较系数求解即可． 【规范解答】（1）解：①当时，，当时， ∴； ②当时，， 当时，， 当时，， ∴； （2）解：∵多项式是多项式的一个因式 ∴设另一个因式为 ∴ ∴ ∴ 解得． ． 【变式1】（25-26八年级上·贵州遵义·月考）阅读下列材料，回答问题：形如型的二次三项式，有以下特点：①二次项系数是1；②常数项是两个数之积；③一次项系数是常数项的两个因数之和．把这个二次三项式进行因式分解，可以这样来解： 因此，可以得出． 利用上面的结论，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查了十字相乘法，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． （1）先写成，再用题中的结论分解因式； （2）先写成，再用题中的结论分解因式； （3）先写成，再用题中的结论分解因式． 【规范解答】（1）解： ； （2） ； （3） ． 【变式2】（24-25八年级上·山东临沂·期末）材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．例如，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法”． 这样，我们可以得到：． 材料：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法． 【迁移运用】 (1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： ； (2)结合材料和材料，对下面小题进行因式分解： ； ． 【答案】(1) ； ； (2) ； ． 【思路引导】本题主要考查了用十字相乘法分解因式、换元法分解因式．解决本题的关键是阅读材料中提供的解题思路，仿照材料中提供的思路分解因式． 仿照材料的供的思路把分解成，把分解成，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，可得，所以分解因式可得； 仿照材料的供的思路把分解成，把分解成，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，可得，所以分解因式可得； 设，则原式化为，仿照中的方法用十字相乘法分解因式，再把还原即可； 设，则原式化为，仿照中的方法用十字相乘法分解因式，再把还原即可． 【规范解答】（1）解：， ； 解：， ； （2）解：， 设， 则原式化为， ， 把还原可得：； ：解， 设， 则原式化为， ， 把还原可得：． 题型讲练十三 分组分解法 【例13】（25-26八年级上·河南信阳·月考）阅读材料：要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组从而得：．这种分解因式的方法称为分组分解法．根据以上方法解答下列问题： (1)解决问题：因式分解： (2)拓展应用：已知三角形的三边长分别为，，，且满足 试判断这个三角形的形状，说明理由． 【答案】(1) (2)三角形为等边三角形，理由见解析 【思路引导】本题考查分组分解法，因式分解的应用，熟练掌握分组分解法是解题的关键： （1）利用分组分解法进行因式分解即可； （2）将等式左边进行因式分解，利用非负性得到之间的关系，即可得出结果． 【规范解答】（1）解： ； （2）解：三角形为等边三角形，理由如下： 原式展开得 ，整理得 ， ， ， ∴， ∴， ∴这个三角形为等边三角形． 【变式1】（25-26八年级上·四川眉山·期中）我们常用的多项式分解因式方法有：提公因式法，公式法，十字相乘法等方法．当不能直接运用以上方法时，我们可以将某些项通过适当地结合（或把某项适当地拆分）成为一组，利用分组来分解多项式的因式，从而达到因式分解的目的，例如： ， ． 根据上面的方法因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查分组分解法，掌握分组分解法的原则是使因式分解先在组内，再在组间进行是正确解答的关键． （1）将前两项为一组，后两项为一组，先在组内提公因式，再在组间提公因式即可； （2）通过添加项与，再进行分组进行因式分解即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2】阅读下列文字与例题，并解答： 将一个多项式分组进行因式分解后，可用提公因式法或公式法继续分解的方法称作分组分解法．例如：以下式子的分解因式的方法就称为分组分解法． 原式 ． (1)试用“分组分解法”因式分解：． (2)已知四个实数，满足，，并且，，，，同时成立． ①当时，求的值； ②当时，用含的代数式分别表示． 【答案】(1)； (2)①；②，． 【思路引导】（）根据因式分解分组分解法分解即可； （）根据因式分解分组分解法和提公因式法分解即可； 此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 【规范解答】（1）解： ； （2）解：①当时，得，， ∵ ， ， ∴， ∴； ②∵当时, ∵，， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵，， ∴， 即， ∴， 即， ∴或， ∴或， ∵， ∴不合，舍去， ∴， ∴． 题型讲练十四 因式分解的应用 【例14】（25-26八年级上·河南新乡·期末）综合与实践 请仔细阅读并完成相应任务． 阅读材料1：初中数学中，在图形与几何领域有推理或证明的内容， 在数与代数领域也有推理或证明的内容．有很多小学数学学习过的结论，初中阶段可以论证结论的正确性，让学生在逻辑论证的过程中，逐渐形成推理能力，培养科学精神．（阅读材料来源于2022年版义务教育《数学课程标准》144页） 阅读材料2：华东版教材50页有一道练习题：两个连续整数的平方差必是奇数，请说明理由．师生一起研讨，理由如下： 设这两个连续整数为n、，其中n为整数． ∴______． ∴它必是奇数． (1)任务一：填空：上面横线上所缺内容是______； (2)任务二：证明：两个连续偶数的平方差必是4的倍数． (3)任务三：设是一个四位数，若可以被3整除，则这个数可以被3整除，请说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【思路引导】本题考查了平方差公式的应用，因式分解的应用，熟练掌握平方差公式是解题的关键； （1）用平方差公式展开，即可求解； （2）设两个连续偶数为 和 （ 为整数），根据平方差公式展开即可求解． （3）四位数 可表示为：，若 能被 3 整除，即可得出结论． 【规范解答】（1）解：设这两个连续整数为，其中为整数． ∴． 它必是奇数 故答案为：． （2）证明：设两个连续偶数为 和 （ 为整数）， ∴ 是 4 的倍数； （3）解：四位数 可表示为： 其中 是 3 的倍数； 若 能被 3 整除，则整个数可表示为两个 3 的倍数之和， 因此 能被 3 整除． 【变式1】（25-26八年级上·河南南阳·期末）在计算多项式乘法时，，发现中间多项都可以消掉，进而得到，大家给这个式子起名叫作“立方和公式”，那么就可以利用“立方和公式”进行分解因式，．如果将转化为，就会得到，整理得，那么这个式子就应该叫作“立方差公式”了． (1)请你利用“立方和公式”和“立方差公式”完成下列等式： ①分解因式：_____；②填空：（_____）； (2)计算：_____； (3)若，，求的值． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【思路引导】本题考查因式分解，熟练掌握立方和与立方差公式是解题的关键． （1）根据立方和公式和立方差公式逐一进行作答即可； （2）根据立方和公式和立方差公式逐一进行作答即可； （3）利用立方和公式进行因式分解后，整体代入法求值即可． 【规范解答】（1）解：①； 故答案为： ②； 故答案为：； （2）解： ； 故答案为：； （3）解：由条件可知， ∴， ∵， ∴当时，； 当时，； 故的值为． 【变式2】（25-26八年级上·广东广州·期末）密码学中常用因式分解生成简易密码，先将多项式分解因式，再对因式赋值生成因式码，将因式码按从大到小的顺序排列就可以形成密码．例如多项式．将其分解因式为，若取，，则有，，，其中26，19，25分别为因式码，将这三个因式码从大到小的顺序排列就形成密码262519．已知多项式，当a，b分别取正整数时，用上述方法生成密码，若密码的后两个因式码为8，4，则该多项式生成的密码为（）． A．4184 B．4084 C．4284 D．4384 【答案】B 【思路引导】本题主要考查了因式分解的应用，多项式分解因式为，因式码为这三个因式的值.给定密码后两个因式码为8和4，即排序后中间的值和最小的值分别为8和4.通过分析因式关系，确定和，解得，计算，排序因式码为40、8、4，形成密码4084. 【规范解答】解：∵， 设因式码为，，，且（确保因式码为正）， 给定密码后两个因式码为8和4，即排序后中值为8、最小值为4， ∵，为正整数且， ∴ 又， ∵， ∴，， ∴ 故三个因式码从小到大依次为，， ∵， ∴可能情况为，， 则 解得： 此时， 因式码排序为40、8、4，密码为4084， 其他情况（如或）均无正整数解， ∴密码为4084， 故选：B． 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．（25-26八年级上·河南三门峡·期末）小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，分别对应下列五个字：美、爱、灵、宝、我，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．灵宝美 B．我爱灵宝 C．我美 D．爱灵宝 【答案】D 【思路引导】本题考查因式分解的应用，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题需先将原式因式分解到最简形式，再结合给定的字与式子的对应关系匹配密码信息； 【规范解答】解：∵， ∴提取公因式得：原式， 又∵（平方差公式）， ∴原式， 由题意知：对应“爱”， 对应“宝”，对应“灵”， ∴分解结果的因式对应“爱、宝、灵”，组合可得密码信息“爱灵宝”； 故选：D； 2．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）定义：任意两个数a，b，按规则扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“鸿蒙数”．若，则b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】先求出，利用作差法比较大小即可． 【规范解答】解：∵， ∴， ∴ ； ∴． 3．（25-26八年级上·天津宁河·月考）下列因式分解中正确分解的个数是（   ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】本题考查因式分解，根据提取公因式法计算即可判断①，根据平方差公式计算即可判断②，根据十字相乘法因式分解判断③，④不能完全平方公式，据此判断，即可求解． 【规范解答】解：∵①，提取公因式正确； ②，平方差公式正确； ③，因式分解正确； ④，∵； ∴正确的有3个． 故选：C． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）甲、乙两人在分解因式时，甲看错了的值，分解的结果是；乙看错了的值，分解的结果是，则__________． 【答案】1 【思路引导】先根据多项式乘多项式法则计算甲和乙的分解结果，从而得到、的值，再代入计算即可． 【规范解答】解：， ， ， ， ． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，则的值为_______． 【答案】2 【思路引导】将转化为，求出，，然后代入求解． 【规范解答】解：， ， ， 且， ，， ． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知因式分解为，其中，，均为整数，则的值为______． 【答案】11 【思路引导】先通过变形将式子转化为含有相同公因式的形式，提取公因式后整理化简，再与给定的因式分解形式对比确定a、b、c的取值，最后代入代数式计算的值． 【规范解答】解： ， 对比，可得，，， 则 ． 7．（25-26八年级上·山东德州·期末）如果，其中m，k都是正整数，则称m为“矩数”，k为m的最佳拆分点．例如：，6为“矩数”，2为6的最佳拆分点．若“矩数”p的最佳拆分点为t，“矩数”q的最佳拆分点为s．若，则的值为______． 【答案】 【思路引导】本题考查了新定义运算，根据“矩数”定义，设，，由得方程，整理为．因t和s为正整数，枚举因子对求解，得，． 【规范解答】解：由题意，“矩数”p的最佳拆分点为t，故 ；“矩数”q的最佳拆分点为s，故． ∵，代入得：， 即， 因式分解得：， 由于t和s均为正整数，故和均为整数，且， ∴可能因子对为或， ①当，时，联立方程解得，； ②当，时，联立方程解得，，不满足正整数条件，舍去， 故，， ∴． 故答案为：． 8．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）已知：，． (1)当时，的值为______； (2)判断P与Q的大小关系，并说明理由； 【答案】(1)0 (2)当或时，；当时，；当或时，；理由见解析 【思路引导】（1）先根据整式加减的运算法则计算，然后代入数值计算即可； （2）利用作差法计算得到，然后分类讨论的大小，即可解答． 【规范解答】（1）解： ， ∴当时，； （2）解：当或时，；当时，；当或时，；理由如下： ∵ ， ∴当时，，则，此时； 当时，则，此时； 当时，，则，此时； 当时，，则，此时； 当时，，则，此时． 综上，当或时，；当时，；当或时，． 9．（25-26八年级下·陕西西安·期中）阅读材料，要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，提出公因式，再把它的后两项分成一组，提出公因式，从而得到： ，这时中又有公因式，于是可以提出，从而得到，因此有，这种方法称为分组分解法．请回答下列问题： (1)尝试填空：_________； (2)解决问题：因式分解； (3)拓展应用：已知三角形的三边长分别是，且满足试判断这个三角形的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)等边三角形，证明见解析 【规范解答】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：， ， ， ，， ，， ， 这个三角形是等边三角形． 10．（25-26八年级下·重庆·期中）【知识回顾】一般地，两数和的完全平方公式为：，如果我们将写成，就可以由两数和的完全平方公式推导出两数差的完全平方公式．过程如下：． (1)【类比推理】已知两数的立方和公式为，请类比两数差的完全平方公式的推理过程，推导两数的立方差公式：___． (2)【应用公式】因式分解：． (3)【拓展提升】如图，将八个完全相同的直角三角形拼成一个大正方形，设，，．若，则： ①________． ②若该直角三角形的两条边长分别为和，且，请先将代数式进行因式分解，然后求出代数式的值． 【答案】(1) (2) (3)①20；②，24 【思路引导】（1）依照例题将变成，再利用公式求解即可； （2）先分组，再利用提取公因式结合公式求解即可； （3）①由图形结合题意分别表示出与以及与的关系式，再根据 ，即可得出结果；②先将代数式因式分解为，由 ，， ，得到，求出 ，据此即可得到答案． 【规范解答】（1）解：∵， ∴ ； （2）解： ； （3）解：①图2是由图1这样八个形状、大小完全相同的直角三角形拼接而成， 由图形2可知，，， ∵， ， ； ② ， ∵， ，， ∴，， ∴， ∴原式． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年北师大版新教材数学八年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第四章 因式分解【期末复习讲义】-培优版 『导图+知识梳理+14个题型讲练+真题实战练 共52题』（原卷版） 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 判断是否是因式分解 题型二 已知因式分解的结果求参数 题型三 公因式 题型四 提公因式法分解因式 题型五 判断能否用公式法分解因式 题型六 平方差公式分解因式 题型七 完全平方公式分解因式 题型八 综合运用公式法分解因式 题型九 综合提公因式和公式法分解因式 题型十 实数范围内分解因式 题型十一 因式分解在有理数简算中的应用 题型十二 十字相乘法 题型十三 分组分解法 题型十四 因式分解的应用 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点一 因式分解 把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算. 知识点二 提公因式法 把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律. 知识点三 公式法 1.平方差公式 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： 2.完全平方公式 两个数的平方和加上这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即，. 形如，的式子叫做完全平方式. 【易错点剖析】 （1）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积. （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. （3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 知识点四 十字相乘法和分组分解法 十字相乘法：利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式，若存在 ，则 分组分解法：对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解—分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 知识点五 因式分解的一般步骤 因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 因式分解步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法； （3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解． （4）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 判断是否是因式分解 【例1】（25-26八年级下·辽宁沈阳·月考）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·湖南邵阳·期末）下列等式从左边至右边的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·重庆·月考）已知整式，其中，，，，为正整数，为整数，且，下列说法： ①满足条件的所有整式中，没有单项式； ②当时，满足条件的所有整式中，能进行因式分解的有个； ③所有满足条件的整式共有个． 其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 题型讲练二 已知因式分解的结果求参数 【例2】（23-24八年级下·广东茂名·月考）仔细阅读下面例题，并解答问题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得，则，解得：．另一个因式为． (1)若二次三项式可分解为，则 ； (2)若二次三项式可分解为，求b，k的值； (3)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 【变式1】（23-24八年级下·全国·暑假作业）仔细阅读下面例题，并解答问题． 例题：已知二次三项式有一个因式是3，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，则，解得另一个因式为的值为． (1)若二次三项式可分解为，则______； (2)若二次三项式可分解为，则______； (3)依照以上方法解答下面问题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 【变式2】方法探究： 已知二次多项式，我们把代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式（x＋3）．设另一个因式为（x＋k），多项式可以表示成，则有，因为对应项的系数是对应相等的，即，解得，因此多项式分解因式得：．我们把以上分解因式的方法叫“试根法”． 问题解决： (1)对于二次多项式，我们把x＝ 代入该式，会发现成立； (2)对于三次多项式，我们把x＝1代入多项式，发现，由此可以推断多项式中有因式（），设另一个因式为（），多项式可以表示成，试求出题目中a，b的值； (3)对于多项式，用“试根法”分解因式． 题型讲练三 公因式 【例3】（23-24八年级上·山东威海·期中）多项式的公因式是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（23-24八年级上·全国·课堂例题）（1）多项式的公因式是_____； （2）多项式的公因式是_____； （3）多项式的公因式是_____； （4）多项式的公因式是_____． 【变式2】（25-26八年级下·全国·课后作业）将因式分解，应提取的公因式是（   ） A． B． C． D． 题型讲练四 提公因式法分解因式 【例4】（25-26八年级上·甘肃天水·期末）如图，边长为，的长方形的周长为，面积为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·北京海淀·月考）已知实数a，b，c满足，有下列结论： ①若，则； ②若，则； ③若a，b，c中只有两个数相等，则． 其中正确的是____．(把所有正确结论的序号都选上) 【变式2】下列四种说法中正确的有（　　） ①关于x、y的方程存在整数解． ②若两个不等实数a、b满足，则a、b互为相反数． ③若，则． ④若，则． A．①④ B．②③ C．①②④ D．②③④ 题型讲练五 判断能否用公式法分解因式 【例5】下列多项式：①；②；③；④；⑤，其中能用公式法分解因式的是（   ） A．①③④⑤ B．②④⑤ C．②③④ D．②③④⑤ 【变式1】已知下列多项式：①；②；③；④其中，能用完全平方公式进行因式分解的有（   ） A．②③④ B．①③④ C．②④ D．①②③ 【变式2】（25-26八年级上·山西吕梁·期末）下列不能用公式法因式分解的多项式是（    ） A． B． C． D． 题型讲练六 平方差公式分解因式 【例6】（25-26八年级上·江西赣州·期末）【课本再现】人教版数学教材八年级上册第136页有这样一道习题： 阅读下面的分解因式的过程： …… 【归纳反思】上述分解因式的过程表明：对一些项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将其合理分组，使组内可用提公因式法或公式法进行分解，再对整体进行因式分解． 【类比应用】利用上述分解因式的方法解决下列问题： (1)分解因式：； (2)证明：如果是的三条边的长，那么． 【变式1】（25-26八年级上·河南南阳·期末）阅读与思考 配方法 把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式（两数和的平方公式或两数差的平方公式），再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在分解因式、最值问题中都有着广泛的应用． 例如： ①用配方法分解因式： 原式； ②求的最小值． 解： 先求出的最小值， ； 由于是非负数，所以，可得到，即的最小值为2． 进而的最小值为4． 请根据上述材料解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：________； (2)用配方法分解因式：； (3)若，（为任意实数）试比较与的大小，并说明理由． 【变式2】（25-26八年级上·广西贵港·期中）综合与应用 【阅读材料】小东和小明在学习了三角形之后，两人对“已知三边长的三角形的面积问题”进行了探究．他们首先各自查找了相关问题的资料． 小东找到的资料如下： 《数书九章》是我国南宋著名数学家秦九韶的著作，书中记载了：如果一个三角形的三边长分别为，，，则这个三角形的面积计算公式（秦九韶公式）为： ． 小明找到的资料如下： 古希腊几何学家海伦（Heron），在数学史上以解决几何测量问题而闻名，在他的著作《度量》著作中记载了：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，则三角形的面积计算公式（海伦公式）为：． 根据以上信息，回答以下问题： 【学以致用】（1）已知一个三角形的三边长分别为5，6，7． 若利用小明提供的资料求这个三角形的面积，请直接写出和的值； ②请利用小东提供的资料求这个三角形的面积． 【拓展应用】（2）请你试用秦九韶给出的三角形面积公式推导出海伦公式． 题型讲练七 完全平方公式分解因式 【例7】（25-26八年级上·湖北孝感·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，且，是轴上位于点上方的一动点，连接，过点作，垂足为，的延长线交轴于点． (1)求点，的坐标； (2)当点的坐标为时，求点的坐标； (3)如图2，连接，当点在轴上运动时，试探究的度数是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由． 【变式1】（25-26八年级上·河南洛阳·期末）【基础巩固】从课本中我们学习了因式分解的常见方法：提取公因式法和公式法． （1）填空：因式分解_____； 【思考探究】在学习过程中，我们还发现存在某些多项式既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过适当的调整结合能构成可分解的一组，然后再对整体进行因式分解，这种方法叫分组分解法．例如：分解因式：，具体过程为． （2）请在上述方法的启发下，分解因式：； 【迁移应用】 （3）已知等腰的两边长分别为，（，为整数），且满足，求的周长． 【变式2】（25-26八年级下·重庆·期中）利用三角形一边及该边上的高可通过公式求三角形面积，由三角形全等的判定方法“边边边”可知一个三角形三边确定，三角形形状和大小确定，面积也就确定，那么，如何通过三角形的三边直接求面积呢？古希腊几何学家海伦在他的著作《度量论》中，给出了利用三角形的三边求面积公式： ①（称为海伦公式），其中．我国南宋时期数学家秦九韶在他的著作《数学九章》中，提出利用三角形的三边求面积的公式②（称为秦九韶公式）． (1)若一个三角形的三边分别为，，，请任选以上一个公式求三角形的面积； (2)如图，在三角形中，，，，作，的角平分线交于点O，过点O作，求的长； (3)海伦公式与秦九韶公式本质上是同一公式，请你通过将公式②变形，推导出公式①． 题型讲练八 综合运用公式法分解因式 【例8】（25-26八年级上·山东德州·月考）在“探究性学习”小组的甲、乙两名同学所进行的因式分解如下： 甲： （分成两组） （直接提公因式） 乙： （分成两组） （直接运用公式） 请在他们的解法启发下解答下面各题： (1)因式分解： (2)若，求式子的值． 【变式1】（25-26八年级上·江西宜春·月考）阅读与思考： “配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形成为完全平方式或几个完全平方式的和的形式．巧妙地运用‘配方法’能对一些多项式进行因式分解． 例如： ． (1)运用配方法将多项式进行因式分解：； (2)试说明多项式的值总是一个正数； 【变式2】（25-26八年级上·江苏苏州·月考）利用完全平方公式和的特点可以解决很多数学问题．下面给出两个例子： 例1．分解因式： ． 例2：若，求M的最小值． ∵，， ∴当时，M的最小值是1． 仔细阅读上面例题，模仿解决下列问题： (1)分解因式：； (2)当x、y为何值时，多项式有最小值？并求出这个最小值； (3)已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足，求周长的最大值． 题型讲练九 综合提公因式和公式法分解因式 【例9】（25-26八年级上·河南新乡·期末）（1）计算：； （2）因式分解：； （3）已知：的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分，求：的平方根． 【变式1】（25-26八年级上·河南南阳·期末）在日常生活中，如手机支付、银行取款、手机安全设置等都需要密码．有一种利用因式分解产生的密码，方便记忆，方法如下：对于多项式： ，分解因式的结果是．当，时， ，将 162， 18， 0这三个数值按从大到小的顺序排列，于是就可以把“162180”作为一个六位数的密码． (1)对于多项式 ，当，时，求生成的六位数密码； (2)若将多项式 分解因式，则当，时，求生成的五位数密码． 【变式2】（25-26八年级上·全国·周测）分解因式： (1) ． (2)． (3)． 题型讲练十 实数范围内分解因式 【例10】（25-26八年级上·上海·月考）在实数范围内因式分解：，下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26八年级上·上海·月考）在实数范围内因式分解：______． 【变式2】（25-26八年级上·上海普陀·期末）在实数范围内因式分解：______． 题型讲练十一 因式分解在有理数简算中的应用 【例11】（2024·广东·模拟预测）一个正整数p能写成（m、n均为正整数，且），则称p为“平方差数”，m、n为p的一个平方差变形，在p的所有平方差变形中，若最大，则称m、n为p的最佳平方差变形，此时．例如：，因为，所以7和5是24的最佳平方差变形，所以． (1)= ； (2)若一个两位数q的十位数字和个位数字分别为x，y，q为“平方差数”且能被7整除，求的最小值． 【变式1】（23-24八年级上·山东烟台·期中）分解因式（其中（2）利用因式分解计算）： (1) (2) (2) (4) 【变式2】（25-26七年级上·上海·期中）简便计算： 题型讲练十二 十字相乘法 【例12】（2026八年级上·江苏无锡·专题练习）对于多项式，如果我们把代入此多项式，发现的值为0，这时可以确定多项式中有因式；同理，可以确定多项式中的另一个因式为，于是我们可以得到．这种因式分解的方法叫试根法，常用来分解一些比较复杂的多项式， (1)请你用试根法分解以下多项式： ①        ② (2)已知多项式是多项式的一个因式，求a，b的值，并将该多项式因式分解． 【变式1】（25-26八年级上·贵州遵义·月考）阅读下列材料，回答问题：形如型的二次三项式，有以下特点：①二次项系数是1；②常数项是两个数之积；③一次项系数是常数项的两个因数之和．把这个二次三项式进行因式分解，可以这样来解： 因此，可以得出． 利用上面的结论，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式： (1)； (2)； (3)． 【变式2】（24-25八年级上·山东临沂·期末）材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．例如，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法”． 这样，我们可以得到：． 材料：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法． 【迁移运用】 (1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： ； (2)结合材料和材料，对下面小题进行因式分解： ； ． 题型讲练十三 分组分解法 【例13】（25-26八年级上·河南信阳·月考）阅读材料：要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，再把它的后两项分成一组从而得：．这种分解因式的方法称为分组分解法．根据以上方法解答下列问题： (1)解决问题：因式分解： (2)拓展应用：已知三角形的三边长分别为，，，且满足 试判断这个三角形的形状，说明理由． 【变式1】（25-26八年级上·四川眉山·期中）我们常用的多项式分解因式方法有：提公因式法，公式法，十字相乘法等方法．当不能直接运用以上方法时，我们可以将某些项通过适当地结合（或把某项适当地拆分）成为一组，利用分组来分解多项式的因式，从而达到因式分解的目的，例如： ， ． 根据上面的方法因式分解： (1)； (2)． 【变式2】阅读下列文字与例题，并解答： 将一个多项式分组进行因式分解后，可用提公因式法或公式法继续分解的方法称作分组分解法．例如：以下式子的分解因式的方法就称为分组分解法． 原式 ． (1)试用“分组分解法”因式分解：． (2)已知四个实数，满足，，并且，，，，同时成立． ①当时，求的值； ②当时，用含的代数式分别表示． 题型讲练十四 因式分解的应用 【例14】（25-26八年级上·河南新乡·期末）综合与实践 请仔细阅读并完成相应任务． 阅读材料1：初中数学中，在图形与几何领域有推理或证明的内容， 在数与代数领域也有推理或证明的内容．有很多小学数学学习过的结论，初中阶段可以论证结论的正确性，让学生在逻辑论证的过程中，逐渐形成推理能力，培养科学精神．（阅读材料来源于2022年版义务教育《数学课程标准》144页） 阅读材料2：华东版教材50页有一道练习题：两个连续整数的平方差必是奇数，请说明理由．师生一起研讨，理由如下： 设这两个连续整数为n、，其中n为整数． ∴______． ∴它必是奇数． (1)任务一：填空：上面横线上所缺内容是______； (2)任务二：证明：两个连续偶数的平方差必是4的倍数． (3)任务三：设是一个四位数，若可以被3整除，则这个数可以被3整除，请说明理由． 【变式1】（25-26八年级上·河南南阳·期末）在计算多项式乘法时，，发现中间多项都可以消掉，进而得到，大家给这个式子起名叫作“立方和公式”，那么就可以利用“立方和公式”进行分解因式，．如果将转化为，就会得到，整理得，那么这个式子就应该叫作“立方差公式”了． (1)请你利用“立方和公式”和“立方差公式”完成下列等式： ①分解因式：_____；②填空：（_____）； (2)计算：_____； (3)若，，求的值． 【变式2】（25-26八年级上·广东广州·期末）密码学中常用因式分解生成简易密码，先将多项式分解因式，再对因式赋值生成因式码，将因式码按从大到小的顺序排列就可以形成密码．例如多项式．将其分解因式为，若取，，则有，，，其中26，19，25分别为因式码，将这三个因式码从大到小的顺序排列就形成密码262519．已知多项式，当a，b分别取正整数时，用上述方法生成密码，若密码的后两个因式码为8，4，则该多项式生成的密码为（）． A．4184 B．4084 C．4284 D．4384 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．（25-26八年级上·河南三门峡·期末）小明是一位密码编译爱好者，在他的密码手册中，有这样一条信息：，，，，分别对应下列五个字：美、爱、灵、宝、我，现将因式分解，结果呈现的密码信息可能是（    ） A．灵宝美 B．我爱灵宝 C．我美 D．爱灵宝 2．（25-26八年级上·湖北武汉·月考）定义：任意两个数a，b，按规则扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“鸿蒙数”．若，则b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·天津宁河·月考）下列因式分解中正确分解的个数是（   ） ①；②；③；④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）甲、乙两人在分解因式时，甲看错了的值，分解的结果是；乙看错了的值，分解的结果是，则__________． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，则的值为_______． 6．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知因式分解为，其中，，均为整数，则的值为______． 7．（25-26八年级上·山东德州·期末）如果，其中m，k都是正整数，则称m为“矩数”，k为m的最佳拆分点．例如：，6为“矩数”，2为6的最佳拆分点．若“矩数”p的最佳拆分点为t，“矩数”q的最佳拆分点为s．若，则的值为______． 8．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）已知：，． (1)当时，的值为______； (2)判断P与Q的大小关系，并说明理由； 9．（25-26八年级下·陕西西安·期中）阅读材料，要将多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，提出公因式，再把它的后两项分成一组，提出公因式，从而得到： ，这时中又有公因式，于是可以提出，从而得到，因此有，这种方法称为分组分解法．请回答下列问题： (1)尝试填空：_________； (2)解决问题：因式分解； (3)拓展应用：已知三角形的三边长分别是，且满足试判断这个三角形的形状，并说明理由． 10．（25-26八年级下·重庆·期中）【知识回顾】一般地，两数和的完全平方公式为：，如果我们将写成，就可以由两数和的完全平方公式推导出两数差的完全平方公式．过程如下：． (1)【类比推理】已知两数的立方和公式为，请类比两数差的完全平方公式的推理过程，推导两数的立方差公式：___． (2)【应用公式】因式分解：． (3)【拓展提升】如图，将八个完全相同的直角三角形拼成一个大正方形，设，，．若，则： ①________． ②若该直角三角形的两条边长分别为和，且，请先将代数式进行因式分解，然后求出代数式的值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $