第四章 因式分解【期末复习讲义】（基础版）-2025-2026学年北师大版数学八年级下册

2025-2026学年北师大版新教材数学八年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第四章 因式分解【期末复习讲义】-基础版 『导图+知识梳理+14个题型讲练+真题实战练 共52题』（原卷版） 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 判断是否是因式分解 题型二 已知因式分解的结果求参数 题型三 公因式 题型四 提公因式法分解因式 题型五 判断能否用公式法分解因式 题型六 平方差公式分解因式 题型七 完全平方公式分解因式 题型八 综合运用公式法分解因式 题型九 综合提公因式和公式法分解因式 题型十 实数范围内分解因式 题型十一 因式分解在有理数简算中的应用 题型十二 十字相乘法 题型十三 分组分解法 题型十四 因式分解的应用 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点一 因式分解 把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算. 知识点二 提公因式法 把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律. 知识点三 公式法 1.平方差公式 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： 2.完全平方公式 两个数的平方和加上这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即，. 形如，的式子叫做完全平方式. 【易错点剖析】 （1）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积. （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. （3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 知识点四 十字相乘法和分组分解法 十字相乘法：利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式，若存在 ，则 分组分解法：对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解—分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 知识点五 因式分解的一般步骤 因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 因式分解步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法； （3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解． （4）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 判断是否是因式分解 【例1】（24-25八年级下·广东佛山·月考）下面是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24八年级上·天津西青·期末）下列等式从左到右的变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 题型讲练二 已知因式分解的结果求参数 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知可以因式分解为，求的值． 【变式1】（24-25七年级上·上海嘉定·期中）阅读下列材料，然后解答问题： 问题：因式分解： 解答；对于任意一元整式，其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，若，则，若，则，在中，因为，，所以把代入整式，得其值为0，由此确定整式中有因式．于是可设，分别求出，值，再代入，就可以把整式因式分解，这种因式分解的方法叫做“试根法”． (1)上述式子中 ， ； (2)对于一元整式，必定有（ ）； (3)请你用“试根法”分解因式：． 【变式2】（23-24八年级下·山东济南·期末）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，则， 即，∴，解得． 故另一个因式为，m的值为-21． 仿照上面的方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，则______； (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 题型讲练三 公因式 【例3】（23-24八年级上·山东威海·期中）多项式的公因式是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（23-24八年级下·陕西西安·期中）与的公因式是_____． 【变式2】（23-24八年级上·全国·课堂例题）（1）多项式的公因式是_____； （2）多项式的公因式是_____； （3）多项式的公因式是_____； （4）多项式的公因式是_____． 题型讲练四 提公因式法分解因式 【例4】（25-26八年级上·山西吕梁·期末）阅读下列材料、并完成相应任务． 代数式大小比较 比较任意两个代数式，大小，可采用“作差法”．若时，则；若时、则；若时，则． 例如：当时，比较与的大小． 解： ， …… 解决问题： 数学课上，李老师出示了图1和图2（内外均为长方形，数据如图所示），并问：哪个图形阴影部分的面积更大？嘉嘉同学认为图1中“回”字形阴影部分的面积更大；琪琪同学认为图2中“门”字形阴影部分的面积更大． 任务： (1)请直接写出：图1中“回”字形阴影部分的面积为________；图2中“门”字形阴影部分的面积为________； (2)若，请根据作差法判断哪位同学的想法正确． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）先因式分解，再计算求值： (1) ，其中，． (2) ，其中，，． 【变式2】（24-25七年级上·广东广州·期中）（1）已知，，求 ①； ②． （2）若，求． 题型讲练五 判断能否用公式法分解因式 【例5】（25-26八年级上·湖北孝感·期末）下列四个多项式中，不能因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（23-24七年级下·广西贵港·期中）探究：如何把多项式因式分解？ (1)观察：上式能否可直接利用完全平方公式进行因式分解？答：______．（填“能”或“不能”）； 【阅读与理解】由多项式乘法，我们知道，将该式从右到左地使用，即可对形如的多项式进行因式分解，即： ； 此类多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和． (2)猜想并填空：＋（___＋_____）＋___×_____＝（＋_____）（＋_____）； (3)请运用上述方法将下列多项式进行因式分解： ①    ② 【变式2】下列变形中正确的是（    ） A． B． C． D． 题型讲练六 平方差公式分解因式 【例6】25-26八年级下·重庆·月考）把下列各式因式分解： (1) ； (2)； (2) ； (4)． 【变式1】（25-26八年级上·河北邢台·期末）利用完全平方公式可将二次三项式分解因式，而对于，则不能直接利用公式分解因式，但可先用“配方法”将其一部分配成完全平方式，再继续完成分解因式．即…… (1)题干中，因式分解的最后结果是：______； (2)运用配方法解决：若，，求的值； (3)对于，请你在下面已有步骤的提示下，结合“配方法”彻底完成因式分解． ＝…… 【变式2】（25-26八年级上·山西临汾·期末）计算： (1) (2) (2) 因式分解： (3) 先化简，再求值：，其中 题型讲练七 完全平方公式分解因式 【例7】（25-26八年级上·广东·月考）因式分解： (1) (2) 【变式1】（25-26八年级上·山东青岛·期末）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·山西临汾·期末）在因式分解中，把多项式中的某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替，这样可以简化要分解的多项式结构，便于观察如何进行因式分解．下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设． 原式……（第一步） ……（第二步） ……（第三步） ……（第四步） (1)第二步到第三步运用了因式分解的__________；（A．提公因式法B．公式法） (2)该同学因式分解彻底吗？若不彻底，请写出该因式分解的最后结果__________； (3)请模仿以上方法，对多项式进行因式分解． 题型讲练八 综合运用公式法分解因式 【例8】（25-26八年级上·云南昭通·期末）我们把形如的式子称为完全平方式．若一个多项式不是完全平方式，可通过“先添加适当项构造完全平方式，再减去该项保持式子的值不变”的方法变形，这就是配方法．配方法可用于因式分解、求代数式最值或解决一些与非负数相关的问题等．例如： 例1．因式分解：． 解：原式． 例2．求式子的最小值． 解：原式， ，， 当时，有最小值． 请根据阅读材料解决下列问题： (1)因式分解：______；（直接写出结果） 当______时，多项式有最小值，这个最小值是______； (2)已知，，为某三角形的三边长，且满足，求该三角形的周长． 【变式1】（25-26八年级上·河北邢台·期末）【材料阅读】我们把多项式及叫作完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常对这个多项式做如下变形：先添加一个适当的项，使这个多项式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法．配方法是一种重要的解题方法，不仅可以将一个看似不能因式分解的多项式分解，还能求代数式的最值． 【实例分析】 例1：分解因式： 解：原式 例2：求代数式的最小值． 解：原式 当时，有最小值，最小值是． 即代数式的最小值是． 【拓展应用】 (1)分解因式：； (2)当为何值时，代数式有最大值，并求出这个最大值； (3)，求的值． 【变式2】（25-26八年级上·陕西商洛·期末）【阅读理解】 对于不能直接用公式分解的多项式，可通过以下方式分解因式： 例如：分解因式． 解：原式 ． 像这样分解因式的方法叫做拆项法．请用以上方法分解因式：． 题型讲练九 综合提公因式和公式法分解因式 【例9】把下列多项式分解因式 (1) ； (2)． 【变式1】（25-26八年级下·江苏无锡·月考）把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)． 【变式2】（24-25八年级下·甘肃兰州·期中）因式分解： (1)； (2)． 题型讲练十 实数范围内分解因式 【例10】（25-26八年级上·上海浦东新·月考）在实数范围内分解因式：______． 【变式1】（25-26八年级上·上海·期中）在实数范围内因式分解：________ 【变式2】（25-26八年级上·黑龙江绥化·期中）在实数范围内分解因式： _________． 题型讲练十一 因式分解在有理数简算中的应用 【例11】计算及运用因式分解计算： (1)； (2)运用因式分解计算：． 【变式1】（25-26八年级上·海南海口·期中）因式分解下列各式或计算 (1) (2) (3) (4) 【变式2】（25-26八年级上·山东东营·月考）把下列各式因式分解∶ (1) ； (2)； (2) ； (4)； (4) ； (6)简便计算∶ 题型讲练十二 十字相乘法 【例12】（25-26八年级下·江苏连云港·期中）材料阅读：已知多项式分解因式得，则对于方程可以变形为，解得或．反过来，若要把一个多项式分解因式，可以通过求其对应方程的解来确定其中的因式．例如：对于多项式，观察可知：当时，，则，其中为整式，是多项式的一个因式．若要确定整式，则可用竖式除法： ． 根据以上材料解决问题： (1)观察可知，当 时，，可得 是多项式的一个因式．分解因式： ； (2)已知，其中为整式，请分解因式：． 【变式1】把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【变式2】（25-26八年级上·山东临沂·月考）材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．例如，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法”． 这样，我们可以得到：． 材料：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法． 迁移运用】 (1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： ； (2)结合材料和材料，对下面小题进行因式分解：． 题型讲练十三 分组分解法 【例13】（25-26八年级上·河南周口·期末）【问题提出】如何分解因式：？ 【问题解决】某数学“探究学习”小组对以上问题进行了探究： 甲同学： 乙同学： 【方法总结】将一个多项式适当分组后，利用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组分解法． 【学以致用】尝试运用分组分解法解答下列问题： (1)分解因式：； (2)已知的三边长满足，判断的形状并说明理由． 【变式1】（25-26八年级上·河北邯郸·期末）阅读与理解： (1)先阅读下面的解题过程： 分解因式： 解：方法（1）原式 方法（2）原式 再请你参考上面一种解法，对多项式进行因式分解； (2)阅读下面的解题过程： 已知，试求与的值． 解：由已知得： 因此得到： 所以只有当并且上式才能成立． 因而得： 并且 请你参考上面的解题方法解答下面的问题： 已知：，试求的值． 【变式2】（25-26八年级上·贵州黔西南·期末）阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解． 例1：“两两分组”： 解：原式 例2：“三一分组”： 解：原式 归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题： (1)分解因式： ①； ②． (2)已知的三边a，b，c满足，试判断的形状． 题型讲练十四 因式分解的应用 【例14】（25-26八年级上·四川泸州·期末）阅读下面的因式分解的过程： ， 利用上述分解因式的方法，解决以下问题： (1)分解因式：； (2)已知，求的值； (3)已知的三边长分别为a，b，c，且满足，证明是等腰三角形． 【变式1】（24-25九年级下·湖北武汉·月考）阅读下列材料：，．这说明能被整除，同时也说明多项式有一个因式，而且当时，多项式．回答下列问题： (1)一般地，如果一个关于字母的多项式，当时，的值为，那么与代数式是何种关系？ (2)利用上面的结果求解：已知能整除，求． 【变式2】（25-26八年级上·江西赣州·期末）【课本再现】教科书136页提供了一种因式分解的方法． 【问题解决】 (1)（___________）___________； (2)如果，，是三条边的长，求证：． 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．（25-26八年级下·四川成都·期中）下列由左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）下列式子从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 3．下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（  ）． A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）根据如图所示的拼图过程，分解因式：__________． 5．（25-26八年级下·广东深圳·期中）若， 则 的值为_______． 6．（25-26八年级下·四川成都·期中）已知，，则代数式________． 7．（25-26八年级下·陕西西安·期中）分解因式： (1)； (2)． 8．（25-26八年级下·福建三明·期中）因式分解： (1)． (2)． (3) 已知，利用因式分解求的值． 9．（25-26八年级下·四川成都·期中）按要求解答下列问题： (1)若关于，的二元一次方程组的解满足，求的取值范围； (2)已知a，b，c是的三条边，且满足，请判断的形状并说明理由． 10．（25-26八年级下·陕西西安·月考）阅读与思考：配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．巧妙的运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解．例如：． (1)解决问题，运用配方法将下列的形式进行因式分解：； (2)深入研究，已知a、b、c分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年北师大版新教材数学八年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第四章 因式分解【期末复习讲义】-基础版 『导图+知识梳理+14个题型讲练+真题实战练 共52题』（解析版） 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 判断是否是因式分解 题型二 已知因式分解的结果求参数 题型三 公因式 题型四 提公因式法分解因式 题型五 判断能否用公式法分解因式 题型六 平方差公式分解因式 题型七 完全平方公式分解因式 题型八 综合运用公式法分解因式 题型九 综合提公因式和公式法分解因式 题型十 实数范围内分解因式 题型十一 因式分解在有理数简算中的应用 题型十二 十字相乘法 题型十三 分组分解法 题型十四 因式分解的应用 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点一 因式分解 把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算. 知识点二 提公因式法 把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式，另一个因式是，即，而正好是除以所得的商，提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律. 知识点三 公式法 1.平方差公式 两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即： 2.完全平方公式 两个数的平方和加上这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方． 即，. 形如，的式子叫做完全平方式. 【易错点剖析】 （1）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积. （2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方. （3）套用公式时要注意字母和的广泛意义，、可以是字母，也可以是单项式或多项式. 知识点四 十字相乘法和分组分解法 十字相乘法：利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法. 对于二次三项式，若存在 ，则 分组分解法：对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解—分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式. 知识点五 因式分解的一般步骤 因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 因式分解步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式； （2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法； （3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解． （4）结果要彻底，即分解到不能再分解为止． 第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 判断是否是因式分解 【例1】（24-25八年级下·广东佛山·月考）下面是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查因式分解的意义，熟练掌握其定义是解题的关键． 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此逐项判断即可． 【规范解答】解：A、符合因式分解的定义，故此选项符合题意， B、是整式乘法运算，不是因式分解，故此选项不符合题意， C、，分解错误，故此选项不符合题意， D、，分解错误，故此选项不符合题意， 故选：A． 【变式1】下列因式分解正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了因式分解，利用因式分解的方法逐一排除即可，熟练掌握其定义是解题的关键． 【规范解答】解：、，原选项因式分解不完全，不符合题意； 、，原选项因式分解正确，符合题意； 、左边不可以因式分解，原选项不符合题意； 、的右边不是整式的乘积形式，不符合因式分解的定义，原选项不符合题意； 故选：． 【变式2】（23-24八年级上·天津西青·期末）下列等式从左到右的变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义即可判断，掌握因式分解的定义是解题的关键． 【规范解答】解：A、，不是因式分解，故选项不符合题意； B、，不是因式分解，因式分解的左边是多项式，故选项不符合题意； C、，不是因式分解，故选项不符合题意； D、，是因式分解，故选项符合题意； 故选：D． 题型讲练二 已知因式分解的结果求参数 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知可以因式分解为，求的值． 【答案】 【思路引导】本题考查了多项式乘多项式，代数式求值． 根据多项式乘多项式计算法则将化成，再进行比较得到m、n的值，再代入计算即可. 【规范解答】解：因为可以因式分解为， 所以， 所以， 所以， 所以． 【变式1】（24-25七年级上·上海嘉定·期中）阅读下列材料，然后解答问题： 问题：因式分解： 解答；对于任意一元整式，其奇次项系数之和为，偶次项系数之和为，若，则，若，则，在中，因为，，所以把代入整式，得其值为0，由此确定整式中有因式．于是可设，分别求出，值，再代入，就可以把整式因式分解，这种因式分解的方法叫做“试根法”． (1)上述式子中 ， ； (2)对于一元整式，必定有（ ）； (3)请你用“试根法”分解因式：． 【答案】(1)， (2) (3) 【思路引导】本题主要考查了因式分解与多项式乘法之间的关系： （1）利用多项式乘多项式的法则，展开后，利用恒等得到对应项的系数相同，进行求解即可； （2）求出其奇次项系数之和，偶次项系数之和，进行判断即可； （3）根据（2）所求得到是多项式的一个因式，再仿照题意利用试根法，进行因式分解． 【规范解答】（1）解： ， ， ， 故答案为：，； （2）解：多项式中，奇次项系数之和为，偶次项系数之和为． ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：由（2）可得是多项式的一个因式， ∴可设， ∴ ， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（23-24八年级下·山东济南·期末）仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，则， 即，∴，解得． 故另一个因式为，m的值为-21． 仿照上面的方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，则______； (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 【答案】(1)40 (2)另一个因式为，k的值为20 【思路引导】本题考查了因式分解的方法．解题关键是对题中所给解题思路的理解． （1）设另一个因式为，可得，再进一步解题即可； （2）设另一个因式为，可得，再进一步解答即可； 【规范解答】（1）解：设另一个因式为， 由题意得：， 即， 则有， 解得， ∴另一个因式为：，的值为40． （2）解：二次三项式有一个因式是，设另一个因式为， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴另一个因式为，k的值为． 题型讲练三 公因式 【例3】（23-24八年级上·山东威海·期中）多项式的公因式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”：①定系数，即确定各项系数的最大公约数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂．按照公因式的确定方法，公因式的系数应取，字母x取x，字母y取y, 字z取z． 【规范解答】∵多项式中， 各项系数绝对值的最大公约数是4， 各项相同字母x的最低次幂是x， 各项相同字母y的最低次幂是y， 各项相同字母z的最低次幂是z， ∴多项式的公因式是． 故选：C． 【变式1】（23-24八年级下·陕西西安·期中）与的公因式是_____． 【答案】 【思路引导】此题考查了公因式的确定能力，运用公因式的定义和提公因式法因式分解进行求解，关键是能准确理解并运用该知识进行求解． 【规范解答】解：∵，， ∴与的公因式是， 故答案为：． 【变式2】（23-24八年级上·全国·课堂例题）（1）多项式的公因式是_____； （2）多项式的公因式是_____； （3）多项式的公因式是_____； （4）多项式的公因式是_____． 【答案】 ； ； ； ． 【思路引导】本题主要考查了公因式，根据当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公因数；字母取各项的相同的字母，各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的，进而得出答案，掌握公因式的定义是解题的关键． 【规范解答】（）根据公因式的概念可得：公因式是； （）根据公因式的概念可得：公因式是； （）根据公因式的概念可得：公因式是； （）根据公因式的概念可得：公因式是； 故答案为：（）；（）；（）；（）． 题型讲练四 提公因式法分解因式 【例4】（25-26八年级上·山西吕梁·期末）阅读下列材料、并完成相应任务． 代数式大小比较 比较任意两个代数式，大小，可采用“作差法”．若时，则；若时、则；若时，则． 例如：当时，比较与的大小． 解： ， …… 解决问题： 数学课上，李老师出示了图1和图2（内外均为长方形，数据如图所示），并问：哪个图形阴影部分的面积更大？嘉嘉同学认为图1中“回”字形阴影部分的面积更大；琪琪同学认为图2中“门”字形阴影部分的面积更大． 任务： (1)请直接写出：图1中“回”字形阴影部分的面积为________；图2中“门”字形阴影部分的面积为________； (2)若，请根据作差法判断哪位同学的想法正确． 【答案】(1)； (2)嘉嘉同学的想法正确，理由见解析 【思路引导】本题考查多项式乘多项式与几何图形的面积，整式的加减运算，因式分解的应用，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； （1）利用分割法以及多项式乘多项式的法则进行计算即可； （2）利用作差法进行判断即可． 【规范解答】（1）解：由图1可知， ， ， ， ∴“回”字形阴影部分的面积为； 由图2可知， ， ， ， ∴“门”字形阴影部分的面积为； 故答案为：；； （2）解： ， ， ， ，， ， ， 嘉嘉同学的想法正确． 【变式1】（25-26八年级下·全国·课后作业）先因式分解，再计算求值： (1)，其中，． (2)，其中，，． 【答案】(1)； (2)； 【思路引导】本题考查了提公因式法因式分解，代数式求值，掌握先提取公因式化简代数式，再代入数值计算，简化运算过程是解题的关键． （1）观察两项的公因式，提取公因式后化简代数式，再代入数值计算 （2）先将变形为，使两项出现公因式，提取公因式后化简，再代入数值计算． 【规范解答】（1）解：原式 ． 当，时， 原式． （2）解：原式 ． 当，，时， 原式 ． 【变式2】（24-25七年级上·广东广州·期中）（1）已知，，求 ①； ②． （2）若，求． 【答案】（1）①②（2）29 【思路引导】本题考查了完全平方公式，因式分解，根据题目的条件灵活运用完全平方公式求值，运用整体思想是解题的关键； （1）①对两边同时平方求解即可；②对两边同时平方，可得 ，再对其两边同时平方求解即可； （2）由立方差公式可得，由完全平方公式可得，进而可得，则，对两边同时平方可得，再由求解即可． 【规范解答】解：（1）解：①，， ， ； ②，， ， ， ； （2）解：， ，， ，， ， ， ， ， ， ． 题型讲练五 判断能否用公式法分解因式 【例5】（25-26八年级上·湖北孝感·期末）下列四个多项式中，不能因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查因式分解的判断，利用提公因式法、公式法（完全平方公式、平方差公式）分析每个多项式是否能因式分解． 【规范解答】解：∵A选项，符合完全平方公式，可因式分解； ∵B选项，符合平方差公式，可因式分解； ∵C选项没有公因式，也不符合常见公式的形式，无法因式分解； ∵D选项，提公因式x即可因式分解； 故选：C． 【变式1】（23-24七年级下·广西贵港·期中）探究：如何把多项式因式分解？ (1)观察：上式能否可直接利用完全平方公式进行因式分解？答：______．（填“能”或“不能”）； 【阅读与理解】由多项式乘法，我们知道，将该式从右到左地使用，即可对形如的多项式进行因式分解，即： ； 此类多项式的特征是二次项系数为1，常数项为两数之积，一次项系数为这两数之和． (2)猜想并填空：＋（___＋_____）＋___×_____＝（＋_____）（＋_____）； (3)请运用上述方法将下列多项式进行因式分解： ①    ② 【答案】(1)不能 (2)3，5，3，5，3，5 (3)①；② 【思路引导】本题考查因式分解，掌握十字相乘法，是解题的关键． （1）根据完全平方式的特点判断即可； （2）将15拆解乘，又，即可得出结果； （3）利用十字相乘法进行因式分解即可． 【规范解答】（1）解：∵不是完全平方式， ∴不能利用完全平方公式进行因式分解； 故答案为：不能； （2）∵， ∴； （3）①； ②． 【变式2】下列变形中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据乘法公式：分别进行判断即可． 【规范解答】解：A、，故该选项不合题意； B、不能进行因式分解，故该选项不合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不合题意； 故选：C． 【考点剖析】本题考查用乘法公式进行化简和因式分解，解题关键是熟练掌握乘法公式． 题型讲练六 平方差公式分解因式 【例6】25-26八年级下·重庆·月考）把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】（1）将看作整体，利用完全平方公式进行初步分解，再利用平方差公式进行分解； （2）先提取公因式，再利用平方差公式进行分解； （3）先分组分解，再提取公因式； （4）设，提取公因式后，用十字相乘进行分解，再将还原成即可． 【规范解答】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：， 设， 原式， ∵， ∴原式． 【变式1】（25-26八年级上·河北邢台·期末）利用完全平方公式可将二次三项式分解因式，而对于，则不能直接利用公式分解因式，但可先用“配方法”将其一部分配成完全平方式，再继续完成分解因式．即…… (1)题干中，因式分解的最后结果是：______； (2)运用配方法解决：若，，求的值； (3)对于，请你在下面已有步骤的提示下，结合“配方法”彻底完成因式分解． ＝…… 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查因式分解，重点考查配方法在因式分解中的应用． （1）先通过配方法将二次三项式转化为完全平方式，再利用平方差公式完成因式分解． （2）首先通过配方法和平方差公式分解因式，再整体代入求值． （3）在已有步骤的提示下，首先对分组后的两部分分别进行因式分解，再提取公因式，接着使用配方法，利用平方差公式分解因式即可． 【规范解答】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ∵，， ∴，即； （3）解：， ， ， ， ， ， ， ， ． 【变式2】（25-26八年级上·山西临汾·期末）计算： (1) (2) (3)因式分解： (4)先化简，再求值：，其中 【答案】(1) (2) (3) (4)， 【思路引导】本题考查了整式的混合运算，因式分解． （1）先计算乘方，再根据单项式的乘除法求解即可； （2）先计算多项式除单项式，多项式乘单项式，再合并同类项即可； （3）先利用平方差公式分解，再利用完全平方公式继续分解即可； （4）先利用多项式的混合运算法则化简，再利用非负数的性质求得x、y的值，将x、y的值代入计算即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ， ∵， ∴， ∴，， 当，时，原式 题型讲练七 完全平方公式分解因式 【例7】（25-26八年级上·广东·月考）因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）先提取公因式3，再运用平方差公式分解因式即可； （2）是完全平方式，运用完全平方公式分解因式即可． 【规范解答】（1）解：原式． （2）解：原式． 【变式1】（25-26八年级上·山东青岛·期末）下列各式从左到右的变形，因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查因式分解的定义及提公因式法、公式法的应用，因式分解是把一个多项式化为几个整式积的形式，根据因式分解的定义，结合完全平方公式、平方差公式等逐项判断． 【规范解答】解：A选项：∵ ，与左边相等，且是整式积的形式， ∴该变形是正确的因式分解； B选项：∵ ，与左边不相等，正确结果应为， ∴该变形错误； C选项：∵ ，与左边不相等， ∴该变形错误； D选项：∵ ，与左边不相等，正确结果应为， ∴该变形错误； 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·山西临汾·期末）在因式分解中，把多项式中的某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替，这样可以简化要分解的多项式结构，便于观察如何进行因式分解．下面是某同学对多项式进行因式分解的过程． 解：设． 原式……（第一步） ……（第二步） ……（第三步） ……（第四步） (1)第二步到第三步运用了因式分解的__________；（A．提公因式法B．公式法） (2)该同学因式分解彻底吗？若不彻底，请写出该因式分解的最后结果__________； (3)请模仿以上方法，对多项式进行因式分解． 【答案】(1)B (2)不彻底； (3) 【思路引导】本题考查因式分解的运算，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）根据题意，可判断出该步骤的因式分解方法为公式法； （2）观察其结果，还可以进行公式法因式分解，故分解不彻底； （3）设，利用公式法进行因式分解即可． 【规范解答】（1）解：根据题意，从变为， 采用了完全平方公式的逆运用， 故选B． （2）解：不彻底， ， 故答案为：不彻底；． （3）解：设 原式 ． 题型讲练八 综合运用公式法分解因式 【例8】（25-26八年级上·云南昭通·期末）我们把形如的式子称为完全平方式．若一个多项式不是完全平方式，可通过“先添加适当项构造完全平方式，再减去该项保持式子的值不变”的方法变形，这就是配方法．配方法可用于因式分解、求代数式最值或解决一些与非负数相关的问题等．例如： 例1．因式分解：． 解：原式． 例2．求式子的最小值． 解：原式， ，， 当时，有最小值． 请根据阅读材料解决下列问题： (1)因式分解：______；（直接写出结果） 当______时，多项式有最小值，这个最小值是______； (2)已知，，为某三角形的三边长，且满足，求该三角形的周长． 【答案】(1)，， (2)12 【思路引导】本题考查了完全平方公式的应用，因式分解，非负数的性质，解题的关键是对式子正确配方． （1）将多项式配方，根据题例题的方法解答即可； （2）将等式左边配方后，利用非负数的性质求出m，n，p的值，进而求解即可． 【规范解答】（1）解： ； ∵ ∴ ∴当时，多项式的最小值是； （2）解： ， ， ， ∴，，， ∴，，， 该三角形的周长为：． 【变式1】（25-26八年级上·河北邢台·期末）【材料阅读】我们把多项式及叫作完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常对这个多项式做如下变形：先添加一个适当的项，使这个多项式中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫作配方法．配方法是一种重要的解题方法，不仅可以将一个看似不能因式分解的多项式分解，还能求代数式的最值． 【实例分析】 例1：分解因式： 解：原式 例2：求代数式的最小值． 解：原式 当时，有最小值，最小值是． 即代数式的最小值是． 【拓展应用】 (1)分解因式：； (2)当为何值时，代数式有最大值，并求出这个最大值； (3)，求的值． 【答案】(1) (2)当时，代数式有最大值，最大值是18 (3) 【思路引导】本题考查了因式分解，完全平方公式变形求值． （1）仿照例1因式分解即可； （2）仿照例2，将原式化为，根据作答即可； （3）将原式化为，根据平方的非负性求出x、y的值，进而代入计算即可． 【规范解答】（1）解：原式； （2）解：原式， ， ， ∴， 当时，有最大值，最大值是18， 即当时，代数式有最大值，最大值是18； （3）解：由题意，得， ， ， ， ∵， ， ，， 解得，， ∴， ∴． 【变式2】（25-26八年级上·陕西商洛·期末）【阅读理解】 对于不能直接用公式分解的多项式，可通过以下方式分解因式： 例如：分解因式． 解：原式 ． 像这样分解因式的方法叫做拆项法．请用以上方法分解因式：． 【答案】 【思路引导】本题考查了拆项法分解因式． 通过拆项法将原式中的项拆分成两部分，使一部分形成完全平方式，另一部分构成平方差公式中的平方项，从而应用平方差公式进行因式分解即可． 【规范解答】解：原式 ． 题型讲练九 综合提公因式和公式法分解因式 【例9】把下列多项式分解因式 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）先提取公因式a，再利用平方差公式分解因式即可； （2）先提取公因数3，再利用完全平方公式分解因式即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】（25-26八年级下·江苏无锡·月考）把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【规范解答】（1）解：原式； （2）解：原式． （3）原式 ． 【变式2】（24-25八年级下·甘肃兰州·期中）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（）利用提公因式法分解因式即可； （2）先变形，再提公因式，然后利用完全平方公式分解因式即可； 本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键． 【规范解答】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 题型讲练十 实数范围内分解因式 【例10】（25-26八年级上·上海浦东新·月考）在实数范围内分解因式：______． 【答案】 【思路引导】本题考查在实数范围内分解因式，通过令二次表达式等于零，解关于x的二次方程，利用求根公式得到根，然后写出因式分解形式． 【规范解答】解：令， ∴， 则， 当时，， 当时，， 所以根为，， 因此，． 故答案为：． 【变式1】（25-26八年级上·上海·期中）在实数范围内因式分解：________ 【答案】 【思路引导】本题考查配方法将代数式变形为完全平方式及平方差公式进行因式分解，熟记公式结构是本题的解题关键． 先提取公因数，再配方，最后利用平方差公式求解即可． 【规范解答】解： ， 故答案为：． 【变式2】（25-26八年级上·黑龙江绥化·期中）在实数范围内分解因式： _________． 【答案】 【思路引导】本题考查了在实数范围内分解因式．根据因式分解的意义，在实数范围内进行因式分解，其结果必须是几个整式的积．在实数范围内不能再分解． 用完全平方公式分解后，继续在实数范围内分解． 【规范解答】解： ． 故答案为：． 题型讲练十一 因式分解在有理数简算中的应用 【例11】计算及运用因式分解计算： (1)； (2)运用因式分解计算：． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）先分别化简绝对值、负整数指数幂、零指数幂，再进行加减运算即可得到结果； （2）先提取公因式，再利用平方差公式因式分解，最后完成计算即可． 【规范解答】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 【变式1】（25-26八年级上·海南海口·期中）因式分解下列各式或计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【思路引导】本题考查了因式分解及其应用．解题关键是掌握因式分解方法． （1）利用十字相乘法分解因式即可，由 和 乘积为 ，和为即可分解； （2）将多项式分为两组，先利用完全平方公式，再利用平方差分解即可； （3）先提公因式，再用平方差公式分解即可； （4）利用完全平方公式分解因式即可简便计算． 【规范解答】（1）解： （2） （3） （4） 【变式2】（25-26八年级上·山东东营·月考）把下列各式因式分解∶ (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)简便计算∶ 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6)16 【思路引导】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键： （1）先提公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可； （2）先提公因式，再利用平方差公式法进行因式分解即可； （3）先利用平方差公式，再利用完全平方公式进行因式分解即可； （4）利用完全平方公式法进行因式分解即可； （5）先利用完全平方公式进行因式分解，再利用平方差公式法进行因式分解即可； （6）利用完全平方公式进行因式分解，进行简算即可． 【规范解答】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式； （4）解：原式； （5）解：原式； （6）解：原式． 题型讲练十二 十字相乘法 【例12】（25-26八年级下·江苏连云港·期中）材料阅读：已知多项式分解因式得，则对于方程可以变形为，解得或．反过来，若要把一个多项式分解因式，可以通过求其对应方程的解来确定其中的因式．例如：对于多项式，观察可知：当时，，则，其中为整式，是多项式的一个因式．若要确定整式，则可用竖式除法： ． 根据以上材料解决问题： (1)观察可知，当 时，，可得 是多项式的一个因式．分解因式： ； (2)已知，其中为整式，请分解因式：． 【答案】(1)1，， (2) 【思路引导】（1）通过观察是方程的一个解，从而得到的一个因式是，再用竖式除法得到另一个因式即可； （2）因为为整式，所以用竖式除法得到的余数等于0，从而求出的值，然后将的值代入，进而再将其因式分解即可． 【规范解答】（1）解：∵当时，， ∴多项式的一个因式是． 多项式的另一个因式可用下面的竖式除法求得： ． （2）解：，其中为整式， ∴要确定整式，则可用竖式除法： 为整式， ， 解得． ， ． 【变式1】把下列各式分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）先将原式的提取公因式，则原式可得，然后再将运用十字相乘法分解即可； （2）原式提取公因式后，利用平方差公式分解即可． 【规范解答】（1）原式． （2） ． 【变式2】（25-26八年级上·山东临沂·月考）材料：将一个形如的二次三项式因式分解时，如果能满足且，则可以把因式分解成．例如，具体做法是先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角，再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数，这种方法称为“十字相乘法”． 这样，我们可以得到：． 材料：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“”还原，得：原式 上述解题用到“整体思想”和“换元思想”，整体思想和换元思想是数学解题中常见的两种思想方法． 迁移运用】 (1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： ； (2)结合材料和材料，对下面小题进行因式分解：． 【答案】(1) ； (2) 【思路引导】本题考查了因式分解-十字相乘法． （1）利用十字相乘法分解因式即可； （2）材料的方法分解因式即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解：将“”看成一个整体，令，则原式， 再将“”还原，得：原式 题型讲练十三 分组分解法 【例13】（25-26八年级上·河南周口·期末）【问题提出】如何分解因式：？ 【问题解决】某数学“探究学习”小组对以上问题进行了探究： 甲同学： 乙同学： 【方法总结】将一个多项式适当分组后，利用提公因式法或运用公式法继续分解的方法叫做分组分解法． 【学以致用】尝试运用分组分解法解答下列问题： (1)分解因式：； (2)已知的三边长满足，判断的形状并说明理由． 【答案】(1) (2)为等腰三角形，理由见解析 【思路引导】（1）将原式分为与，然后根据平方差公式和提公因式法分解因式； （2）先将原式因式分解为，然后根据a，b，c为三角形的三条边，均为正数，判断出，根据等腰三角形的定义判定出三角形的形状． 【规范解答】（1）解： ． （2）解：， ， ∵a，b，c均为正数， ∴，， ∴， ∴为等腰三角形． 【变式1】（25-26八年级上·河北邯郸·期末）阅读与理解： (1)先阅读下面的解题过程： 分解因式： 解：方法（1）原式 方法（2）原式 再请你参考上面一种解法，对多项式进行因式分解； (2)阅读下面的解题过程： 已知，试求与的值． 解：由已知得： 因此得到： 所以只有当并且上式才能成立． 因而得： 并且 请你参考上面的解题方法解答下面的问题： 已知：，试求的值． 【答案】(1) (2)1 【思路引导】本题考查了因式分解，正确理解题干所给的方法是解答本题的关键． （1）参考题干提供的解题方法进行因式分解即可； （2）参考题干提供的解题方法将原式左边化为平方和，右边为零的形式，从而求出，，然后代入计算即可． 【规范解答】（1）解：方法（1） 方法（2） （2）解：∵ ∴ ∴ ∴， 即， ∴ 【变式2】（25-26八年级上·贵州黔西南·期末）阅读与思考：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：四项的多项式一般按照“两两”分组或“三一”分组，进行分组分解． 例1：“两两分组”： 解：原式 例2：“三一分组”： 解：原式 归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题： (1)分解因式： ①； ②． (2)已知的三边a，b，c满足，试判断的形状． 【答案】(1)①；② (2)等边三角形 【思路引导】本题考查了因式分解，等边三角形的判定，熟练掌握因式分解的方法是解题关键． （1）①先分组，然后用提公因式法进行因式分解即可得到答案；②先分组，然后利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解即可得到答案； （2）先利用因式分解，得到，再根据平方的非负关系，得到，即可判断的形状． 【规范解答】（1）解：① ； ② ； （2）解：等边三角形，理由如下： ， ∴ ， ∴， ，， ，，， ∴， 的形状是等边三角形． 题型讲练十四 因式分解的应用 【例14】（25-26八年级上·四川泸州·期末）阅读下面的因式分解的过程： ， 利用上述分解因式的方法，解决以下问题： (1)分解因式：； (2)已知，求的值； (3)已知的三边长分别为a，b，c，且满足，证明是等腰三角形． 【答案】(1) (2)0 (3)是等腰三角形． 【思路引导】（1）分组分解，前两项提取公因式，后两项提取，得到，再提取公因式，最后用平方差公式分解即可； （2）分组分解，前两项用平方差公式，后两项提取3，得到，提取公因式，代入计算即可； （3）移项整理等式，分组分解后提取公因式，得到，根据三角形边长性质，推出即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵， ∴， 即， ， ， ， ∵的三边长分别为a，b，c， ∴， 即， ∴， 即， ∴是等腰三角形． 【变式1】（24-25九年级下·湖北武汉·月考）阅读下列材料：，．这说明能被整除，同时也说明多项式有一个因式，而且当时，多项式．回答下列问题： (1)一般地，如果一个关于字母的多项式，当时，的值为，那么与代数式是何种关系？ (2)利用上面的结果求解：已知能整除，求． 【答案】(1)是的一个因式 (2) 【思路引导】本题考查了整式的除法． (1)根据当时，的值为，可得是M的一个因式； (2)根据能整除，可知是的一个因式，所以当时，可得：，解方程求出的值． 【规范解答】（1）解：当时，的值为， 多项式中含有因式， 是M的一个因式； （2）解：能整除， 是的一个因式， 时， 可得：， ． 【变式2】（25-26八年级上·江西赣州·期末）【课本再现】教科书136页提供了一种因式分解的方法． 【问题解决】 (1)（___________）___________； (2)如果，，是三条边的长，求证：． 【答案】(1)； (2)见解析 【思路引导】本题考查了因式分解的应用，三角形三边关系，解决本题的关键是熟练运用完全平方公式、平方差公式计算． （1）将式子分成两组，然后提取公因式进行因式分解即可； （2）先将不等式左边进行因式分解，然后根据三角形的三边关系判断结果小于0． 【规范解答】（1）解： ； 故答案为：；； （2）解： 由三角形三边关系得，， ，， ，， ， ． 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．（25-26八年级下·四川成都·期中）下列由左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】因式分解是将一个多项式化为几个整式乘积的变形，据此逐项判断即可． 【规范解答】解：A.等式左边是单项式，且等式左右两边不相等，不符合因式分解定义，故此选项错误； B.等式右侧出现分式，不是整式乘积的形式，不符合要求，故此选项错误； C.等式左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，故此选项正确； D.等式左边是整式乘积，右边是多项式，属于整式乘法，不是因式分解，故此选项错误． 2．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）下列式子从左到右的变形是因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式，据此判断各选项即可． 【规范解答】解：A、是整式的乘法运算，故选项不符合题意； B、右边不是整式积的形式，故选项不符合题意； C、，分解错误，故选项不符合题意； D、，符合因式分解的定义，故选项符合题意． 3．下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（  ）． A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式，据此对各选项逐一判断即可． 【规范解答】解：对于A：，右边是多项式，不是整式的乘积，属于整式乘法，不是因式分解； 对于B：，左边是单项式，不是多项式，不是因式分解； 对于C：，右边不是几个整式的乘积形式，不是因式分解； 对于D：，左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，是因式分解． 4．（25-26八年级下·江苏徐州·期中）根据如图所示的拼图过程，分解因式：__________． 【答案】()() 【思路引导】利用拼图前后面积相等，将多项式因式分解为长方形的长乘宽． 【规范解答】解：据图可知，左边图形的面积为， 右边图形的面积为， 故． 5．（25-26八年级下·广东深圳·期中）若， 则 的值为_______． 【答案】150 【思路引导】先将进行因式分解为，再代入求解即可． 【规范解答】解： ． 6．（25-26八年级下·四川成都·期中）已知，，则代数式________． 【答案】 【思路引导】先对所求代数式进行因式分解，再将已知，代入计算即可． 【规范解答】解： 将，代入得，原式 ． 7．（25-26八年级下·陕西西安·期中）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【规范解答】（1）解： （2） 8．（25-26八年级下·福建三明·期中）因式分解： (1)． (2)． (3)已知，利用因式分解求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【规范解答】（1）解： ． （2）解： ； （3）解： ， 原式． 9．（25-26八年级下·四川成都·期中）按要求解答下列问题： (1)若关于，的二元一次方程组的解满足，求的取值范围； (2)已知a，b，c是的三条边，且满足，请判断的形状并说明理由． 【答案】(1) (2)是等腰三角形，理由见解析 【思路引导】（1）先解关于，的二元一次方程组，得出，，再代入，得出，最后解不等式即可； （2）先对进行因式分解，再利用三角形边长性质即可判断三角形的形状． 【规范解答】（1）解： ， 将两个方程相加消去，可得， 解得，， 把代入方程， 解得，． ， ， 解得，． （2）解：是等腰三角形，理由如下： ， ， ． a，b，c是的三条边， ． 且， ，即， 是等腰三角形． 10．（25-26八年级下·陕西西安·月考）阅读与思考：配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．巧妙的运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解．例如：． (1)解决问题，运用配方法将下列的形式进行因式分解：； (2)深入研究，已知a、b、c分别是的三边，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)是等边三角形 【思路引导】（1）仿照例子运用配方法进行因式分解即可； （2）将已知等式变形，利用配方法构造出完全平方式的和，再根据非负数的性质确定三边关系． 【规范解答】（1）解： （2）解：∵ ∴ ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $