1.3 乘法公式 课件 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

3 乘法公式 第一章 整式的乘除 3 乘法公式 第一章 整式的乘除 第1课时 平方差公式的认识 目录页 讲授新课 当堂练习 课堂小结 新课导入 3 新课导入 教学目标 教学重点 4 1.理解并掌握平方差公式的推导和应用.（重点） 2.理解平方差公式的结构特征，并能运用公式进行简 单的运算.（难点） 学习目标 多项式与多项式是如何相乘的？ （x ＋ 3)( x＋5） =x2＋5x＋3x＋15 =x2＋8x＋15. (a+b)(m+n) =am +an +bm +bn 复习巩固 从前，有－个狡猾的地主，把－块边长为20米的正方形土地租给张老汉种植．第二年，他对张老汉说：“我把这块地的－边减少5米，相邻的另－边增加5米，继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何?”张老汉－听，觉得好像没有吃亏，就答应道：“好吧．”回到家中，他把这事和邻居们－讲，大家都说：“张老汉，你吃亏了!”他非常吃惊． 你知道张老汉是否吃亏了吗? 情境导入 新课导入 讲授新课 典例精讲 归纳总结 8 ①（x ＋ 1)( x－1）； ②（m ＋ 2)( m－2）； ③（2m＋ 1)(2m－1）； ④（5y ＋ z)(5y－z）. 算一算：看谁算得又快又准. 平方差公式 合作探究 讲授新课 ②（m＋ 2)( m－2）=m2 －4 ③（2m＋1)( 2m－1)=4m2－1 ④（5y＋z)(5y－z)= 25y2 －z2 ①（x ＋1)( x－ 1）=x2－1 想一想：这些计算结果有什么特点？你发现了什么 规律？ =x2 － 12 =m2－22 =(2m)2－12 =(5y)2－z2 两数和与这两数差的积,等于这两数的平方的差. (a+b)(a−b)=a2−b2 两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差. 公式变形: (a–b) (a+b) =a2−b2 (b+a)(−b+a )=a2−b2 要点归纳 平方差公式： 平方差公式 注意：这里的两数可以是两个单项式，也可以是两个 多项式等． (a+b)(a-b) = a2-b2 相同为a 相反为b 适当交换 合理加括号 练一练：口答下列各题： (l)(－a+b)(a+b)=_________. (2)(a－b)(b+a)= __________. (3)(－a－b)(－a+b)= ________. (4)(a－b)(－a－b)= _________. a2－b2 a2－b2 b2－a2 b2－a2 (1+x)(1-x) (-3+a)(-3-a) (0.3x-1)(1+0.3x) (1+a)(-1+a) 填一填： a b a2－b2 1 x －3 a 12－x2 (－3)2－a2 a 1 a2－12 0.3x 1 ( 0.3x)2－12 (a-b)(a+b) 典例精析 例1 利用平方差公式计算： (1) (5＋6x )( 5－6x ) ； (2)(x－2y)(x+2y)； (3) (－m+n)(－m－n) 解：（1）原式=52－(6x)2=25－36x2； （2）原式＝x2－(2y)2＝x2 － 4y2； （3）原式＝(－m)2－n2=m2－n2. 注意：1.先把要计算的式子与公式对照; 2.哪个是a ?哪个是b? 例2 利用平方差公式计算： (1) (2) (ab+8)(ab－8). 解：(1)原式= (2)原式=(ab)2－82 =a2b2－64. (1)(－7m＋8n)(－8n－7m)； (2)(x－2)(x＋2)(x2＋4)． 解：(1)原式=(－7m)2－(8n)2 ＝49m2－64n2； (2)原式=(x2－4)(x2＋4) ＝x4－16. 练一练 利用平方差公式计算： 例3 先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋ x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2. 解：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x) ＝4x2－y2－ (4y2－x2) ＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2. 当x＝1，y＝2时，原式＝5×12－5×22＝－15. 方法总结：利用平方差公式先化简再求值， 切忌代入数值直接计算． 当堂练习 当堂反馈 即学即用 19 1.下列式子可用平方差公式计算吗? 为什么? 如 果能够，怎样计算? (1) (a+b)(a−b) ； (2) (a−b)(b−a) ; (3) (a+2b)(2b+a); (4) (a−b)(a+b) ; (5) (2x+y)(y−2x). (不能) (不能) (不能) ( 能 ) (不能) −(a2 −b2)= −a2 + b2 ; 当堂练习 2.下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？ （1）（x+2)(x－2)=x2－2; （2）（－3a－2)(3a－2)=9a2－4. 不对 改正：x2－4 不对 改正方法1： 原式=－[(3a+2)(3a－2)] =－(9a2－4) =－9a2+4; 改正方法2： 原式=(－2－3a)(－2+3a) =(－2)2－(3a)2 =4－9a2. 3．下列各式中，不能应用平方差公式进行计算的是(　　) A．(－2m＋n)(－2m－n) B． C．(x＋2y－1)(x＋2y＋1) D．(a－b)(－a＋b) D C 4．用简便方法计算，将98×102变形正确的是(　　) A．98×102＝1002＋22 B．98×102＝(100－2)2 C．98×102＝1002－22 D．98×102＝(100＋2)2 5.已知m＋n＝12，m－n＝2，则m2－n2＝________. 24 （1）(a+3b)(a- 3b)； 解：原式=(2a+3)(2a－3) =(2a)2－32 =4a2－9； =a2－9b2 ； 解：原式=a2－(3b)2 （2）(3+2a)(－3+2a)； 6.利用平方差公式计算： （3）(－2x2－y)(－2x2+y)； 解：原式=(-2x2 )2－y2 =4x4－y2. （4）(－5+6x)(－6x－5). 解：原式=(－5+6x)(－5－6x) =(－5)2－(6x)2 =25－36x2. 课堂小结 归纳总结 构建脉络 26 平方差公式 内容 注意 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差 1.符号表示：(a+b)(a－b)=a2－b2 2.紧紧抓住 “一同一反”这一特征，在应用时，只有两个二项式的积才有可能应用平方差公式；不能直接应用公式的，要经过变形才可以应用 课堂小结 3 乘法公式 第2课时 平方差公式的运用 第一章 整式的乘除 目录页 讲授新课 当堂练习 课堂小结 新课导入 29 新课导入 教学目标 教学重点 30 1.掌握平方差公式的结构特征，能运用公式进行简 便运算； 2.会用几何图形说明公式的意义，体会数形结合的 思想方法. 学习目标 复习导入 1.问：平方差公式是怎样的？ (a+b)(a−b)=a2−b2 2.利用平方差公式计算： （1）(2x+7b)(2x–7b)； （2）(－m+3n)(m+3n). 3.你能快速的计算201×199吗？ 4x2－49b2 9n2－m2 新课导入 讲授新课 典例精讲 归纳总结 33 一 平方差公式的几何验证 讲授新课 （3）比较（1）、（2）的结果，你发现了什么？ 边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形 （1）请用代数式表示图1阴影部分的面积 （2）小颖将阴影部分沿着虚线剪下拼成了一个长方形（图2），这个长方形的长和宽分别是多少？你能表示它的面积吗？ a2-b2 (a+b)(a-b) (a+b)(a-b) =a2-b2 a b a-b a-b a+b a-b 想一想 数据的特点可运用平方差公式简化计算 (1)计算下列各组算式，并观察它们的共同特点: (2)从以上的过程中，你发现了什么规律？ (3)请用字母表示这一规律，你能说明它的正确性吗? 7×9= 8×8= 11×13= 12×12= 79×81= 80×80= 63 64 143 144 6399 6400 (a+b)(a−b)=a2−b2 典例精析 例1 计算: (1) 103×97; (2) 118×122. 解: 103×97 =(100+3)(100－3) = 1002－32 =10000 – 9 =9991； 解: 118×122 =(120－2)(120＋2) = 1202－22 =14400－4 =14396. 注意：不能直接应用公式的，要经过变形才可以应用 例2 计算： (1)a2(a+b)(a－b)+a2b2; (2)(2x－5)(2x+5) –2x(2x－3) . 解：(1)原式=a2(a2－b2)+a2b2 =a4－a2b2+a2b2 =a4; (2)原式=(2x)2－25－(4x2－6x) =4x2－25－4x2+6x =6x－25. 例3 王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续原价租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？ 解：李大妈吃亏了．理由如下：原正方形的面积为a2，改变边长后面积为(a＋4)(a－4)＝a2－16.∵a2＞a2－16，∴李大妈吃亏了． 当堂练习 当堂反馈 即学即用 39 1.已知a=7202,b=721×719；则（ ） A.a=b B.a>b C.a<b D.a≤b 2.97×103=( )×( )=( ). 3.(x+6)(x－6)－x(x－9)=0的解是______. 100－3 100+3 1002－32 x=4 B 当堂练习 4. 利用平方差公式计算： (1)(y+2) (y－2) – (y－1) (y+5) ; (2)(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2). 解：(1)原式=y2－22－(y2+4y－5) = y2－4－y2－4y+5 = －4y + 1. (2)原式=(9x2－16)－(6x2+5x-6) =3x2－5x－10. 5.计算: (1) 20242 －2025×2023; 解:20162－2017×2015 =20242－(2024＋1)(2024－1) =20242－(20242－1) =20242－20242＋1 =1； (2) (y+2) (y－2) – (y－1) (y+5) . 解：(y+2)(y－2)－ (y－1)(y+5) = y2－22－(y2+4y－5) = y2－4－y2－4y+5 = －4y + 1. 6.学校有一个边长为 米的正方形花坛，现在要进行改建，将它的一边增加3米，而另一边缩短3米.问改建后的花坛的面积是多少？ 解：根据题意，得改建后的花园长为（m＋3）米，宽为（m－3）米，则花坛的面积为 （m＋3）（m－3）＝m2－9（米2） 2.若A=(2+1)(22+1)(24+1)，则A的值是______． 解析：A=(2+1)(22+1)(24+1) =[(2－1)(2+1)(22+1)(24+1)]÷(2－1) =[(22－1)(22+1)(24+1)]÷(2－1) =[(24－1)(24+1)]÷(2－1) =(28－1)÷(2－1) =28－1． 28－1 能力拓展： 1.(x－y)(x+y)(x2+y2)； 解：原式=(x2－y2)(x2+y2)=x4－y4； 课堂小结 归纳总结 构建脉络 46 平方差公式 验证 应用 利用几何图形的面积相等是验证平方差公式成立的核心思想 运用平方差公式简便计算问题的关键是确定a和b： a=两数和的平均数 b=两数差的绝对值的平均数 课堂小结 3 乘法公式 第3课时 完全平方公式的认识 第一章 整式的乘除 目录页 讲授新课 当堂练习 课堂小结 新课导入 49 新课导入 教学目标 教学重点 50 1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点; （重点） 2.会运用公式进行简单的运算；(难点) 学习目标 平方差公式： (a+b)(a－b)=a2－b2 2.公式的结构特点： 左边是两个二项式的乘积，即两数和与这两数差的积；右边是两数的平方差. 1. 由下面的两个图形你能得到哪个公式？ 复习巩固 新课导入 3.多项式乘多项式的法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的结果相加 . 单项式× 多项式 单项式× 单项式 多项式× 多项式 情境引入 一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加b米.形成四块实验田，以种植不同的新品种 (如图).用不同的形式表示实验田的总面积, 并进行 比较.你发现了什么？ a a b b 直接求：总面积=(a+b)(a+b) 间接求：总面积=a2+ab+ab+b2 (a+b)2=a2+2ab+b2 讲授新课 典例精讲 归纳总结 55 完全平方公式 讲授新课 观察下面算式及其运算结果，你有什么发现呢？ (m+3)2=(m+3)(m+3) =m2+3m+3m+9 =m2+2×3m+9 =m2+6m+9 (2+3x)2=(2+3x)(2+3x) =22+2×3x+2·3x+9x2 =4+2×2×3x+9x2 =4+12x+9x2 根据上面的规律，你能直接下面式子的写出答案吗？ a2+2ab+b2 (a＋b)2= . 你能用右图解释这一公式吗？ 总面积= (a+b)2 ； 总面积= a2+ ab+ ab+ b2. =a2+2ab+b2 (a+b) 2=a2+2ab+b2 议一议 (a-b)2=?你是怎么做的呢？ 方法一：(a-b)2 =(a-b)(a-b) =a2-2ab+b2 方法二：(a-b)2 =[a+(-b)][a+(-b)] =a2+2a(-b)+(-b)2 =a2-2ab+b2 (a-b)2= . a2-2ab+b2 要点归纳 完全平方公式 （a+b)2= . a2+2ab+b2 （a-b)2= . a2-2ab+b2 两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.这两个公式叫作完全平方公式. 简记为： “首平方，尾平方， 积的 2倍放中间” 公式特征： 1.积为二次三项式； 2.积中的两项为两数的平方； 3.另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同. 4.公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式. 你能根据图中的面积解释(a － b)2= a2 － 2ab+b2吗? b a b a 图 1 思考: a2 −ab−b(a−b) =a2−2ab+b2 . = (a−b)2 典例精析 例1 运用完全平方公式计算： 解: (2x－3)2= =4x2 (1)(2x－3)2； ( a－ b )2 =a2 － 2ab + b2 (2x)2 －2•(2x) •3 +32 －12x +9； (a + b)2= a2 + 2 ab + b2 y2 (2) ( y+ )2. =y2 + y + + ( )2 + 2•y• 解：( y + )2 = 思考 (a+b)2与(-a-b)2相等吗? (a-b)2与(b-a)2相等吗? (a-b)2与a2-b2相等吗? 为什么? (-a-b)2=(-a)2-2·(-a) ·b+b2=a2+2ab+b2=(a+b)2 (b-a)2=b2-2ba+a2=a2-2ab+b2=(a-b)2 (a-b)2与a2-b2不一定相等. 只有当b=0或a=b时，(a-b)2=a2-b2. 例2 运用乘法公式计算: (1) (x+2y－3)(x－2y+3) ; 解: 原式=[x+(2y－3)][x－(2y－3)] = x2－(2y－3)2 = x2－(4y2－12y+9) = x2－4y2+12y－9. 方法总结：需要分组.分组方法是“符号相同的为一组，符号相反的为另一组”. (2) (a+b－5)2. 解：原式= [(a+b)－5]2 = (a+b)2－10(a+b)+52 = a2+2ab+b2－10a－10b+25 方法总结：把其中两项看成一个整体，再运用 完全平方公式计算. 例3 如果36x2＋(m＋1)xy＋25y2是一个完全平 方式，求m的值． 解：因为36x2＋(m＋1)xy＋25y2 ＝(±6x)2＋(m＋1)xy＋(±5y)2， 所以(m＋1)xy＝±2·6x·5y， 所以m＋1＝±60， 所以m＝59或－61. 方法总结：两数的平方和加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解． 例4 如图的三角形可解释(a＋b)n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”. 其中(a＋b)0＝1， (a＋b)1＝a＋b， (a＋b)2＝a2＋2ab＋b2， (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3， 根据“杨辉三角”计算(a＋b)4. 解：原式＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4 当堂练习 当堂反馈 即学即用 69 1．在等号右边的括号内填上适当的项： （1）a+b－c=a+（ ） （2）a－b+c=a－（ ） （3）a－b－c=a－（ ） （4）a+b+c=a－（ ） b-c b-c b+c -b-c 能否用去括号法则检查添括号是否正确? 当堂练习 2.下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当 怎样改正？ （1）(x+y)2=x2 +y2 (2)(x －y)2 =x2 －y2 (3) (－x +y)2 =x2+2xy +y2 (4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2 × × × × x2+2xy +y2 x2－2xy +y2 x2 －2xy +y2 4x2+4xy +y2 3.如图，将完全相同的四张长方形纸片和一张正方形纸片拼成一个较大的正方形，则可得出一个等式为(　　) A．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2 C．a2－b2＝(a＋b)(a－b) D．(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab D 4.若代数式x2＋kx＋25是一个完全平方式，则k=_______． 10或－10 5.若(x-y)2=(x+y)2+a,则a为　　 . -4xy (1) (6a+5b)2； (2) (4x－3y)2 ； =16x2－24xy+9y2； (3) (2m－1)2 ； =4m2－4m+1； (4)(－2m－1)2 . =4m2+4m+1. 6.运用完全平方公式计算: =36a2+60ab+25b2； 课堂小结 归纳总结 构建脉络 75 完全平方公式 法则 注意 (a±b)2= a2 ±2ab+b2 1.项数、符号、字母及其指数 2.不能直接应用公式进行计算 的式子，需要先添括号变形 3.弄清完全平方公式和平方差 公式的不同点（从公式结构 特点及结果两方面） 课堂小结 3 乘法公式 第4课时 完全平方公式的运用 第一章 整式的乘除 目录页 讲授新课 当堂练习 课堂小结 新课导入 78 新课导入 教学目标 教学重点 79 1.进一步掌握完全平方公式； 2.灵活运用完全平方公式进行计算．(重点，难点) 学习目标 2.想一想： （1）两个公式中的字母都能表示什么? （2）完全平方公式在计算化简中有些什么作用? （3）根据两数和或差的完全平方公式，能够计算 多个数的和或差的平方吗? (a+b) 2=a2+2ab+b2 (a－b) 2=a2－2ab+b2 1.完全平方公式： 复习导入 新课导入 讲授新课 典例精讲 归纳总结 82 完全平方公式的运用 讲授新课 思考：怎样计算1022,1972更简便呢？ 分析：1022和1972是改写成(a+b)2还是(a-b)2呢？ a和b怎么确定呢？ (1) 1022； 解：原式= (100+2)2 =10000+400+4 =10404. (2) 1972. 解：原式= (200 –3)2 =40000 -1200+9 =38809. =1002+2×2×100+22 =2002-2×3×200+32 典例精析 例1 计算： (1)(x+3)2－x2 ； (2)(a+b+3)(a+b－3)； (3) (x+5)2－(x－2) (x－3) . 解：(1) (x+3)2－x2= x2+6x+9－x2=6x+9 (2)(a+b+3)(a+b－3)= [(a+b) +3] [(a+b－3] = (a+b)2－32 =a2+2ab+b2－9； (3)(x+5)2－(x－2) (x－3)= x2+10x+25－(x2－5x+6) = x2+10x+25－x2+5x－6= 15x+19 . 例2 运用乘法公式计算: (1) (x+2y-3)(x-2y+3) ; 原式=[x+(2y–3)][x-(2y-3)] = x2-(2y-3)2 = x2-(4y2-12y+9) = x2-4y2+12y-9. 解: (1) 方法总结：用平方差公式进行计算，需要分组.分组方法是“符号相同的为一组，符号相反的为另一组”. (2) (a+b+c)2. 解：原式= [(a+b)+c]2 = (a+b)2+2(a+b)c+c2 = a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2 = a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac. 方法总结：要把其中两项看成一个整体，再按照完全平方公式进行计算. 例3 化简：(x－2y)(x2－4y2)(x＋2y). 解：原式=(x－2y)(x＋2y)(x2－4y2) =(x2－4y2)2 =x4－8x2y2＋16y4. 方法总结：先运用平方差公式，再运用完全平方公式. 例4 已知a＋b＝7，ab＝10，求a2＋b2，(a－b)2 的值． 解：因为a＋b＝7， 所以(a+b)2＝49. 所以a2＋b2＝(a+b)2-2ab=49-2×10＝29. (a－b)2＝a2＋b2-2ab＝29-2×10＝9. 解题时常用结论： a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab; 4ab=(a+b)2-(a-b)2. 当堂练习 当堂反馈 即学即用 89 1.运用完全平方公式计算： (1) 962 ； (2) 2032 . 解：原式=（100－4）2 =1002+42－2×100×4 =10000+16－800 =9216； 解：原式=（200+3）2 =2002+32++2×200×3 =40000+9+1200 =41209. 当堂练习 2.若a+b=5,ab=－6, 求a2+b2,a2－ab+b2. 3.已知x2+y2=8,x+y=4,求x－y. 解：a2+b2=（a+b)2－2ab=52-2×(－6)=37； a2－ab+b2=a2+b2－ab=37－(－6)=43. 解：因为x+y=4, 所以(x+y)2=16,即x2+y2+2xy=16①; 因为x2+y2=8②; 由①－②得2xy=8， ②－得x2+y2－2xy=0.即(x－y)2=0，故x－y=0 4.有这样一道题，计算：2（x+y）(x－y)+[(x+y)2－ xy]+ [(x－y)2 +xy]的值，其中x=2006，y=2007； 某同学把“y=2007”错抄成“y=2070”但他的计 算结果是正确的，请回答这是怎么回事？试说 明理由. 解：原式=2x2－2y2+[x2+y2 +2xy－xy]+[x2+y2 －2xy+xy]=2x2－2y2+x2+y2 +xy+x2+y2 －xy =2x2－2y2+2x2+2y2=4x2. 答案与y无关. 能力拓展： 课堂小结 归纳总结 构建脉络 94 完全平方公式 法则 注意 (a±b)2= a2 ±2ab+b2 1.项数、符号、字母及其指数 2.不能直接应用公式进行计算 的式子，可能需要先添括号 变形成符合公式的要求才行 常用 结论 3.弄清完全平方公式和平方差 公式不同（从公式结构特点 及结果两方面） a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab; 4ab=(a+b)2-(a-b)2. 课堂小结 侵权必究 THANKS 96 $