1.2 整式的乘法 课件 2025-2026学年北师大版数学七年级下册

2 整式的乘法 第一章 整式的乘除 2 整式的乘法 第1课时 单项式乘单项式 第一章 整式的乘除 目录页 讲授新课 当堂练习 课堂小结 新课导入 3 新课导入 教学目标 教学重点 4 1.掌握单项式乘单项式的运算法则.（重点） 2.能够灵活地进行单项式乘单项式的运算. （难点） 学习目标 1.前面学习了哪些幂的运算?运算法则分别是什么？ 2.计算下列各题： （1）(－a5)5; （2）(－a2b)3 ; =a25 (3) (－2a)2(－3a2)3 ; =－4a2(－27a6)=108a8 (4) (－y n)2 y n-1. am÷an=am-n (am)n= amn (ab)n= anbn 巩固复习 =－a6b3 =y2n+n－1=y3n－1 情境导入 新课导入 光的速度约是3×105km/s，太阳光照射到地球上需要的时间约是5×102s,你知道地 球与太阳的距离约是多少吗？ 地球与太阳的距离约是(3×105)×(5×102)km. 如果将上式中的数字改为字母，比如ac5 • bc2, 怎样计算这个式子？ 讲授新课 典例精讲 归纳总结 8 单项式与单项式相乘 合作探究 讲授新课 一个长方形操场被划分成四个不同的小长方形活动区域，各边的长度如图所示.如何计算整个操场的面积？你是怎样想的？与同伴进行交流. 小明认为可以先分别计算四个小活动区域的面积，再求整个操场的面积.你能求出 四个区域的面积吗？请解释你的运算过程. 区域面积： 区域面积： 区域面积： 区域面积： 操场的面积= = = 1. 2x²y·3xy² 和 4a2x5 ·(-3a3bx)又等于什 么？你是怎样计算的？ 2.如何进行单项式乘单项式的运算？ 3.在你探索单项式乘法运算法则的过程中，运用了哪些运算律和运算法则？ 交流讨论 (1)2x2y·3xy2 =(2×3)(x2·x)(y·y2)= 6x3y3； (利用乘法交换律、结合律将系数与系数，相同字母分别结合，有理数的乘法、同底数幂的乘法) (2)4a2x5 ·(-3a3bx) =[4×(－3)](a2· a3)· b·(x5· x)= －12a5bx6． (字母b只在一个单项式中出现，这个字母及其指数不变) 单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 要点归纳 单项式与单项式的乘法法则 （1）系数相乘； （2）相同字母的幂相乘； （3）其余字母连同它的指数不变，作为积的因式. 注意 典例精析 例1 计算： (1)2xy2• xy; (2) －2a2b3•(－3a)； (3)7xy2z•(2xyz)2. 解:(1)原式=(2× )•(x•x)•(y2•y)= (2)原式=[(－2)×(－3)]•(a2a)•b3 =6a3b3; (3)原式=7xy2z•4x2y2z2 =(7×4)•(xx2)•(y2y2)•(zz2) =28x3y4z3. 单项式与单项式相乘 有理数的乘法与同底数幂的乘法 乘法交换律和结合律 转化 方法总结 练一练 计算： (1) 5x3·2x2y ； (2) －3ab·(－4b2) ； (3) 3ab·2a； (4) yz·2y2z2； (1)5x3·2x2y＝(5×2)·(x3·x2)·y＝10x5y. (2)－3ab·(－4b2)＝[(－3)×(－4)]·a·(b·b2)＝12ab3. (3)3ab·2a＝(3×2)·(a·a)·b＝6a2b. (4)yz·2y2z2＝2·(y·y2)·(z·z2)＝2y3z3. 解： (5) (2x2y)3·(－4xy2)；(6) a3b·6a5b2c·(－ac2)2 . (5)(2x2y)3·(－4xy2)＝8x6y3·(－4xy2)＝－32x7y5. (6) a3b·6a5b2c·(－ac2)2＝ a3b·6a5b2c·a2c4 ＝ ·(a3·a5·a2)·(b·b2)·(c·c4) ＝2a10b3c5. 解： 有乘方运算，先算乘方，再算单项式相乘. 注意 例2 有一块长为xm，宽为ym的长方形空地，现在 要在这块地中规划一块长 xm，宽 ym的长方形 空地用于绿化，求绿化的面积和剩下的面积． 解：长方形的面积是xym2，绿化的面积是 x× y＝ xy(m2)，则剩下的面积 是xy－ xy＝ xy(m2)． 方法总结：掌握长方形的面积公式和单项式乘单项式法则是解题的关键． 例3 已知－2x3m＋1y2n与7x5m－3y5n－4的积与x4y是 同类项，求m2＋n的值． 解：因为－2x3m＋1y2n与7x5m－3y5n－4的积与x4y是 同类项， 所以2n＋5n－4＝1，3m＋1＋5m－3＝4， 所以m2＋n＝ . 解得 ， 当堂练习 当堂反馈 即学即用 20 1.计算3a·(2b)的结果是( ) A.3ab B.6a C.6ab D.5ab 2.计算(－2a2)·3a的结果是( ) A.－6a2 B.－6a3 C.12a3 D.6a3 C B 【解析】3a·(2b)=(3×2)·(a·b)=6ab. 【解析】(－2a2)·3a=(－2×3)·(a2·a)=－6a3. 当堂练习 3.下列计算正确的有(　　) ①3x3·(－2x2)＝－6x5；②3a2·4a2＝12a2； ③3b3·8b3＝24b9；④－3x·2xy＝6x2y. A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 B 4.下面计算结果对不对？如果不对，应当怎样改正？ (1)3a3·2a2=6a6 ( ) 改正： . (2)2x2·3x2=6x4 ( ) 改正： . (3)3x2·4x2=12x2 ( ) 改正： . (4)5y3·3y5=15y15 ( ) 改正： . 3a3 ·2a2=6a5 3x2 ·4x2=12x4 5y3·3y5=15y8 × × × 5.若长方形的宽是a2，长是宽的2倍，则长方形的面积 为 _____. 【解析】长方形的长是2a2，所以长方形的面积 为a2·2a2=2a4. 2a4 6.一个三角形的一边长为a，这条边上的高的长度是 它的 那么这个三角形的面积是_____. 【解析】因为三角形的高为 ，所以这个三角形的 面积是 7.计算： (1)(－3ab)·(－2a)·(－a2b3)； (2)(－3x2y)2·(－2xy)； (3)(－2a2b)2·(－2a2b2)3； (4) (1)原式＝－6a4b4. (2)原式＝9x4y2·(－2xy)＝－18x5y3. (3)原式＝4a4b2·(－8a6b6)＝－32a10b8.　 (4)原式＝2a2b4－ a2b4＝ a2b4. 解： 拓展探究： 若（am+1bn+2）·(a2n－1b)=a5b3,求m+n的值. 解：am+1+2n－1bn+2+1=a5b3; 解得：m=5,n=0. 所以m＋n＝5. 课堂小结 归纳总结 构建脉络 27 单项式与单项式相乘 单项式乘单项式 实质上是转化为同底数幂的运算 注意 （1）不要出现漏乘现象 （2）有乘方运算，先算乘方，再算单项式相乘. 课堂小结 单项式乘以单项式中的“一、二、三”: 一个不变：单项式与单项式相乘时，对于只在一个 单项式里含有的字母，连同它的指数不变，作为积 的因式. 二个相乘：把各个单项式中的系数、相同字母的幂 分别相乘. 三个检验：单项式乘以单项式的结果是否正确，可 从以下三个方面来检验：①结果仍是单项式；②结 果中含有单项式中的所有字母；③结果中每一个字 母的指数都等于前面单项式中同一字母的指数和. 2 整式的乘法 第2课时 多项式的乘法 第一章 整式的乘除 目录页 讲授新课 当堂练习 课堂小结 新课导入 31 新课导入 教学目标 教学重点 32 学习目标 1.理解并掌握多项式的乘法运算法则.（重点） 2.能够用多项式的乘法运算法则进行计算.（难点） 如图，试求出三块草坪的的总面积是多少？ 如果把它看成三个小长方形，那么它们的面积可分 别表示为_____、_____、_____，总面积为________. p p a b p c pa pc pb pa+pb+pc 新课导入 p p a b p c 如果把三个小长方形拼成一个大长方形，那么它们总面积可以表示为___________. p（a+b+c） pa+pb+pc p(a+b+c) p (a + b+ c) pb + pc pa + 根据乘法的分配律 讲授新课 典例精讲 归纳总结 37 单项式与多项式相乘 讲授新课 问题 （1）如图，在计算操场面积的问题中，如何计算 组成的长方形区域的面积？你是怎么计算的？ 区域面积： 区域面积： 长方形区域的面积= = （2）小明认为，这个长方形的面积既可以表示为 ，也可以表示为 ，于是 . 你能用运算律解释吗？ 根据乘法的分配律 所以 想一想 如何进行单项式与多项式相乘的运算？ 单项式乘多项式的法则： 单项式与多项式相乘，就是根据乘法分配律： 用单项式去乘多项式的每一项，并把所得的积相加。 m（a+b+c） =ma+mb+mc 单项式× 多项式 单项式 × 单项式 转化 乘法分配律 要点归纳 单项式乘多项式的法则 单项式与多项式相乘，就是根据乘法分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加. 1 2 a(m+n) = am 1 2 +an 典例精析 例1 计算： （1）2ab(5ab2+3a2b)； （2）( －2ab)· （3）5m2n(2n+3m－n2)； （4）2(x+y2z+xy2z3)·xyz； 解：(1)原式=2ab·5ab2+2ab·3a2b =10a2b3+6a3b2； (2)原式= (3)原式=5m2n·2n+5m2n·3m+5m2n·(－n2) =10m2n2+15m3n－5m2n3; (4)原式=(2x+2y2z+2xy2z3)·xyz =2x2yz+2xy3z2+2x2y3z4. 多项式乘多项式 问题 （1）如何计算 你是怎么做的？ （2）一般地，如何进行多项式乘多项式的计算？与同伴进行交流. 议一议 如何进行多项式与多项式的运算？ 多项式乘多项式的法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的结果相加. 单项式× 多项式 单项式× 单项式 多项式× 多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加. 要点归纳 多项式乘多项式 1 2 3 4 (a+b)(m+n) = am 1 2 3 4 +an +bm +bn 多乘多顺口溜： 多乘多，来计算，多项式各项都见面， 乘后结果要相加，化简、排列才算完. 典例精析 例2 计算:（1）(1－x)(0.6－x)； (2)(2x+y)(x－y)； 解： (1) 原式=1×0.6－1×x－x·0.6+x·x =0.6－x－0.6x+x2 =0.6－1.6x+x2； (2) 原式=2x·x－2x·y+y·x－y·y =2x2－2xy+xy－y2 =2x2－xy－y2； 解：原式=x·x2－x·xy+xy2+x2y－xy2+y·y2 =x3－x2y+xy2+x2y－xy2+y3 = x3+y3. 注意:(1)漏乘;(2)符号问题;(3)最后结果应化成 最简形式（是同类项的要合并）. (3) (x+y)(x2－xy+y2). 例3 先化简，再求值：(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b)，其中a＝－1，b＝1. 解：原式＝a3－8b3－(a2－5ab)(a＋3b) ＝a3－8b3－a3－3a2b＋5a2b＋15ab2 ＝－8b3＋2a2b＋15ab2. 当a＝－1，b＝1时，原式＝－8＋2－15＝－21. 方法总结：化简求值的题型，一定要注意先化简， 再求值，不能先代值，再计算． 例4 （1）如图，一幅边长为am的正方形风景画，左右各留有宽为 的长方形空白区域作装饰，中间画面的面积是多少平方米？ 解：(1)a2-2·a· x2 ＝a2- ax2(平方米)． 故中间画面的面积为(a2- ax2)平方米. （2）如图，一幅边长为am、宽为bm的长方形风景画，画面的周围留有空白区域作装饰，其中四角均是边长为 的正方形，正中间画面的面积是多少平方米？ 解：(1)(a-2x)(b-2x) ＝ab-2ax-2bx+4x2(平方米)． 故正中间画面的面积为(ab-2ax-2bx+4x2)平方米. 当堂练习 当堂反馈 即学即用 51 1. 下列计算正确的是(　　) A．－3x(2－x)＝－6x2＋3x B．(2m2n－3mn2)(m－n)＝－2m3n2＋3m2n3 C．xy(x2y－xy2－1)＝x3y2－x2y3－xy D. (-2a+2)（-a-2b+c)=-4a5-8a4b+4a4c C 当堂练习 2. 已知M，N分别是2次多项式和3次多项式，则M×N=(　　) A．一定是5次多项式 B．一定是6次多项式 C．一定是不高于5次的多项式 D．无法确定积的次数 A 3. 若(ax－b)(3x＋4)＝bx2＋cx＋72，则a＋b＋c的值为____． 6 4. 计算： (1) 3x(2x-y2); 解：原式=3x·2x+3x·(-y2) =6x2-3xy2; 解：原式=-3x·(2x)+(-3x)·(-5y)+(-3x)·6z =-6x2+15xy-18xz; (2) -3x(2x-5y+6z); = −x2 +4xy−21y2； 解:原式=x2+7xy−3yx−21y2 解：原式=2x•3x −2x• 2y+5 y• 3x−5y•2y =6x2−4xy+15xy−10y2 =6x2+11xy−10y2. (3)(x−3y)(x+7y)； (4)(2x + 5y)(3x−2y). 5.先化简，再求值：2a(3a+b)-(3a+2)(2a-4b)，其中 a=-1，b=1. 解：原式=6a2+2ab-(6a2-12ab+4a-8b) =6a2+2ab-6a2+12ab-4a+8b =14ab-4a+8b. 当a=-1，b=1时， 原式=14×(-1)×1-4×(-1)+8×1=-2. 6.如图，在一块长为4a-1，宽为3b+2的长方形铁片上，挖去长为3a-2，宽为2b的小长方形铁片. （1）计算剩余部分（阴影部分）的面积； （2）求出当a=4，b=3时的阴影面积. 解：(1)阴影面积＝(4a-1)(3b+2)-2b(3a-2) ＝12ab+8a-3b-2-6ab+4b ＝6ab+8a+b-2. (2)当a=4，b=3时， 原式=6×4×3+8×4+3-2=105. 课堂小结 归纳总结 构建脉络 58 整式的乘法 单项式乘多项式 课堂小结 多项式乘多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加 (a+b)(m+n)=am+an+bm+bn 实质上是转化为单项式×多项式的运算 单项式与多项式相乘，先用单项式分别乘多项式的每一项，再把所得的积相加 a(m+n)=am+an 实质上是转化为单项式×单项式的运算 注意事项 （1）计算时,要注意符号问题,多项式中每一项都 包括它前面的符号,单项式分别与多项式的每 一项相乘时，同号相乘得正，异号相乘得负 （2）不要出现漏乘现象 （3）运算要有顺序：先乘方，再乘除，最后加减 （4）对于混合运算，注意最后应合并同类项，结 果要最简 课堂小结 侵权必究 THANKS 61 $