2026届高考数学模拟卷（新Ⅰ卷）（四）

**基本信息** 2026高考数学模拟卷（新Ⅰ卷）通过立体几何翻折、概率模型等题考查空间观念与数学建模，适配新高考模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|数列、向量、椭圆、三角函数|第8题比较大小考查函数单调性，体现数学思维| |填空题|3题15分|圆的切线、二项式定理、正态分布|第14题结合正态分布考查数据意识| |解答题|5题77分|导数、立体几何翻折、双曲线、概率模型|第19题概率模型设计考查数学建模，符合新高考趋势|

《高中二年级第二学期“边学边复习”数学题（六）》参考答案 题号 2 9 5 6 7 8 9 10 11 答案 A B D 9 0 ACD ABD BD 1.C 【样】因为，所以：京= 2.A 【详解】由a/1B,ac,得a/1B;反之，由a11B,aca,得a/1β或a,B相交， 所以“//B”是“a//B”的充分不必要条件 3.B a+2d+a,+8d=20 【详解】设{an}的公差为d,由a3+a,=20,S,=28,得 4+1-28 解方程组，得 d=3，所以41=-5+(11-1)x3=25. 41=-5 4.D 【详解】由2a+b=(3,-1),a-b=(3,4),得ā=(2,1)，b=(-1,-3), ab2 设a与b的夹角为o,则cosa= T=-2，又0≤a≤元，所以a=3 5.A 【详解】因为⊙M:(x-2)2+y2=1,圆心M(2,0),半径为1，则MA=-MB, PA.PB=(PM+MA)(PM+MB=(PM-MB)(PM+MB)=PM-MB=PM-1, 由椭圆方程可知：a=4,b=2√3，c=√a2-b2=2，即M恰为椭圆C的右焦点， 则2=a-c≤PM≤a+c=6,所以PA.PB∈[3,35] 6.D 【详解】函数f(x)=sin(2x+p)(0<p<)图象上的所有点向左平移兀个单位得： 6 y=如若p=如2号ej0<p<动，虎发照象关于〔任 亚，0中心对称， 所以2x买++0=mk∈Z,即0=-5弧+kmk∈Z,因为0<9<π，所以k=1,p= 43 6 6 7.C 【详解】由题意sina>0,cosa>0,sinB>0,cosB>0, 由a+B-子可s得na+=sm子即sin+n- 2 所以√2(sina cos B+cosa sin B)=l, 2 1 则 sina cos B cosa sinβ 2 1 x2(sina cos B+cosa sin B) (sina cosβcosa sin B =√2 2 cosa sinβ，sina cos B +3 ≥2 2 cosa sin阝 sina cosβ +3 sina cos B'cosa sinβ sina cosβ cosa sin B =4+32, 2 cosa sin B_sina cos阝 2tan B tano 当且仅当 时，即 sina cosβ cosa sinβ tana tan B 即tana=√2tanB时，等号成立. 8.D 【详解】0<4.105=1<1 有分即0<40<分 cos cosl<cos cos 24 3 4 2 25 4=1024>625=51,则4>5，可得1og,4>1og,5=4 1.4 1 081>,所以4.105<cosl<10g14,即a<cL 9.ACD 【详解】由an+an+1=4n可得an+1+an+2=4(n+1)，两式相减得a+2-an=4,故A正确； 因为a1-2×1+1=a1-1可能为0，故{an-2n+1}不一定为等比数列，故B不正确； 因为S2n=(a1+a2)+(a3+a4)+..+(a2m-1+a2n）=4×1+4×3+..+4×2n-1 =4x+2n-)-4n2,故C正确： 当n为奇数时，不妨设n=2k-l,k∈N,则Sn=S2t-1=a1+a2+a3+a4+a5+…+a2k-2+a2-1 =2+(a2+a3)+(a4+a5)+…+(a2k-2+a2k-)=2+4×2+4×4+…+4×(2k-2) =2+4×长-川2+2k-2到-2+4k-1<2026,则有话-)<506： 2 因为23×22=506，故22×21<506，即k≤22，n≤43时，Sn<2026,故D正确. 10.ABD 【详解】A选项，因为BB,=DD,BB,//DD,,所以四边形BB,D,D为平行四边形， 所以BD∥BD, 又BDC平面C,BD,B,D丈平面C,BD,所以BD1/平面C,BD, 同理可知AB,//DC,,AB,/1平面C,BD, 又B,D∩AB=B,B,D,AB,C平面ABD,所以平面C,BD/平面AB,D,A正确： B选项，连接AC,因为底面ABCD是边长为1的菱形，所以AC⊥BD, 因为CA⊥平面CBD,BDC平面C,BD,所以CA,⊥BD, 因为CA,∩AC=C,CA,ACc平面ACC,A,所以BD⊥平面ACC,A, 因为CC,C平面ACC,A,所以BD⊥CC,B正确： C选项，因为CA⊥平面C,BD,C,Dc平面CBD,所以CA⊥C,D, CA=CA+CC=CD+CB+CC,GD=CD-CC , CACD=(CD+CB+CCCD-CC)=0.. CD-CD.CC.+CB.CD-CB.CC+CC.CD-CC=0. CD+C丽.CD-C8.cC-CC-0 度为m, 做1P+11 +22m-m=0,解得m=1,负值舍去， AC=AC+CC=-CD-CB+CC. 故4G=(-c6-CB+0G=c可°+c+cG+2cD.CB-20D.cC-2C8.cC =+1户++2×2×写-2x写2，所以4G-网，C错误 D选项a.G-而+网G-而G+G片1， 同-历+可-品+2而-西+元-+2x+1=5, a网a网-- B 过点G作C5EL4c于点E,则CE-C.Csin(Ca,cC)=6 3 B 因为BD⊥平面ACC,A,C,EC平面ACC,A,,所以BD⊥C,E, 因为AC,BDC平面ABCD,AC,BD为相交直线， 所以CE⊥平面ABCD,故CE为平行六面体ABCD-A,B,C,D,的高， 菱形ABCD的面积为CD.CBsin∠BCD= 2 则平行六面体ABCD-A8,CD,的体积为V5C >C3=V3√6=√2，D正确. 一X 232 11.BD f(x=9inr.4cosx+3cosx+2,再通过4cosx+3c0sr+2>0恒成立，可判断D 3 【好】对于fx+到=sinr+in2-有n3,x+=f因到不恒宽立，A错碳： 对于B:川2-到=--sinsin2x-写in3x=-,所以f()的图象关于点（，五0）中心对称， B正确； 对于C:因为 -sin ssinπ1 +1sin3π-2 sinπ+。sin 422 4 22 231 而45+3、42 ，所以f(x)在区间 π3π 上单调递增不成立，C错误， 6 63 4’4 对于D:利用三角恒等变换化简f(x):sin2x=2 sinxcosx, sin3x sin(x+2x)=sin x cos 2x+cos xsin 2x=3sinx-4sin'x, =smr+号in+写snr-4simi-smr4osrt3ox+2 3 对二次式4c0s2x+3c0Sx+2,判别式△=9-32=-23<0，且开口向上， 因此该式恒大于0，故f(x)=0当且仅当sinx=0,即x=kπ，k∈Z, 所以∫(x)的零点构成的集合是{xxkπ，k∈Z,D正确 12.「V2,2 【详解】由题意知，x2+y2-2x-2y+1=0→(x-1)2+(y-1)2=1,则圆心C(1,1),半径 r=1, 如图，过点P作圆C的两条切线PA,PB,切点分别为A,B, 连接AB,CA,CB,CP,则AC⊥AP,CB⊥BP,易知△CPA兰△CPB, 所以4B1CP,有al=2AD,Sr=4CHan=rVcP-F, S.re=D-CPl, rr-acn,8.于-y n-. CP-r2 当CP最小时，AD取得最大值，即点C到直线x+y-4=0的距离为 m,e0-n-白1-5-号 所以AB=√2： 又A,B,C三点不共线，AB为圆C的一条弦，所以AB<2r=2, 所以V2≤AB<2,即线段AB的长度的取值范围为[V2,2) 13.60 【详解】 x+2） 的展开式中第3项与第5项的二项式系数相等， .C2=C4,n=6, 则 的展开式中的通项为： T1=2C6·x6-r·x=2'C6x6-2r,令6-2r=2,解得r=2, 故该展开式中x2的系数为22C%=60 14.60 【详解】已知数学成绩X~(120,σ2)，则分布关于x=120对称，.P(X≤120)=0.5， 已知P(105<X≤120=0.45，则 P(X≤105=PX≤120)-P(105<X≤120)=0.5-0.45=0.05， .120-105=135-120,根据正态分布的对称性可知：PX>135)=P(X<105, 正态分布是连续分布， .P(X>135)=P(X<105),故P(X>135)=P(X<105)=0.05, 已知总人数为1200， ..数学成绩为135分以上的人数为：1200×0.05=60. A A (Aπ tan- -1tan2+1 2 15.【详解】(1)tan Aπ =-6, 24 +tan 24 =-6,2 A 1+tanA 1-tan A 2 2 tmn-11-ian tan+11+tan4 2 2 2 4 tan- =-6,所以2，=2tanA=-6 A 1+tan 1-tan24 2 1-tan) sin A =-3 解得tanA=-3,又因为 cos A ,又因为A为三角形内角，故sinA>0 sin2 4+cos2 4=1 则sinA= 3V10 10 2》设8=c,高为c,侧面积S=子c由面积公式5=besin4, 3 3c2c,得b=0 0c.由sinA=30,anA=-3,符cosA=-0 210 2 10 10 代入余弦定理：a2=b2+c2-2 becosA= V10 2-cxex 10 92 2 32 得，a= 2 代入cosC=a2+b2-c2 ,得cosC 6c225 2ab 3V5c2 5 16.【详解】(1)函数f(x=e2-2ax的导数为f'(x=2e2x-2a=2e2x-a, 当a≤0时，e2x-a>0恒成立，故∫'(x)>0,所以f(x)在R上单调递增； 当a>0时，令f'(x)=0,得x=lna. 当x<na时，f'(x)<0,f()单调递减： 当x>2血a时，f"()>0,f)单调递增， 察L所述：当a≤0时，f)在R上单调递增；当a>0时，f)在0，n0 单调递减， 在 单调递增 (2)由(1)知，当a>0时，f(x)在x=二lna处取得最小值， f(与lna)=ea-alna=a-alna因此，对任意xeR,有f()≥a-alna. 只需证明a-alna≥na-￠+}，即 3、 22 +a-(a+1)ma-220 令ga)=g+a-(a+1)na-3,a>0. 3 2 2 求导得g'(a=a+1-1na-a+1=a-na-1, a a ga=l-L+-4-a+1>0,故ga)在0,0)上单调递指 a a2 a2 由g')=1-ln1-1=0知，当0<a<1时，g'(a)<0,当a>1时，g'(a)>0, 所以g(a)在(0,1)单调递减，在(1，+oo)单调递增 所以g(@)在a=1处取得最小值g0=+1-0-3=0. 1 因此g(a)20,即f2na二g+多成 2+2成立，等号当a=1且x=二lnl=0时取得. 2 17.【详解】(1)证明：连接AE,由BE=AB=1,∠ABE=90°，得AE=√2， 由LDPE=90,PD=PE=1,得ED=√2， 所以AE2+ED2=AD2, 所以∠DEA=90°，即AE⊥ED, 由平面PED⊥平面ABED,AEC平面ABED,平面PED∩平面ABED=ED,AE⊥ED, 得AE⊥平面PED,又PDC平面PED,所以AE⊥PD, 又PD⊥PE,PE∩AE=E,PE,AEc平面PEA, 所以PD⊥平面PEA,且EQc平面PEA,所以PD⊥EQ. (2)以E为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则E(0,0,0),D(1,-1,0),A1,1,0,B(0,1,0),P 1V2 22’2 0 31V2 444 设平面DEQ的-个法向为m=,动，D=L-1.0小，E0-香 31V2 ED·m=x-y1=0, 则 3x1.2。。令=1，则m=(11,-22), 0m=4x+4y+ 4-0, 平面ABED的一个法向量为i=（0,0,1), 由题可知AF‖m, 设直线AF与平面ABED所成角为O, 则sina=lcos(m,= m.2√225 √10 51 故直线4F与平面ABED所成角的正弦值为2N5 18.【分析】(1)根据双曲线的性质和经过的点可得双曲线方程； (2)(i)先设各点的坐标，再结合向量的关系可求得直线经过的定点；（ⅱ)法一：通过设 相关点P(xo,yo),再结合向量关系可得m+n= 4x-2 mn=5-40,进而可证明定值；法 3 12 二：通过设相关点P(,。),再结合向量关系及点差法可得m+=4红，-2 ,mn= 5-4x0, 12 进而可证明定值：法三：先设直线PM的方程为x=y+2m,k=。-2m 再利用根与系数 Yo 关系可得及向量关系可得4m1+n)-4x,+1-n=0,从而证明定值；法四：直接设直线 AB:x=y-2,再根据系数关系及向量关系可得t= 1-2。,进而可证明定值、 2y0 【i详】因为效面线C:号-茶=a,6>过点L0,片以点10是双角经的右顶点 得a=1, 又阳双自以c号-若=a6>0过2同，片越4之=1，特8= 所以双曲线C的方程为x2-y2=1. (2)(i)设点P(xo,yo),A(x,y),B(x2,y2),M(2m,0),N(2n,0),如图： 因为PM=(2m-xo,-yo),MA=(x-2m,), YA 由PM=nMA得 2m-t=m西-2m,即=2m+2mn- -yo ny ny=-Yo 又因为PN=(2n-xo,-y),NB=(x2-2n,y2), ∫2n-x=mx-2m,即{ mx,=2n+2mn-xo 由PN=mNB得 -yo=my2 y2=-yo 设直线B过x销上的定点Q匹0，则<5=y一， x,=少-业=匹·my,-m,y y2-y n.my2-m.ny (2m+2mn-x)小(-w)-(2m+2mn--】_2m-2n=-2 n(-yo)-m(-Yo) n-m 所以直线AB过x轴上的定点(-2，O (ⅱ)解法一：（设点法一相关点） 设点P(xo,yo),Ax,y),B(x2,2),由PM=nMA得 (x=2m+2mn-00 ny=-Yo 因为点A在C上，所以x-2=1,即n2x2-n2y=n2②，如图： 由①②得(2m+2mn-xo）2-=n2 又点P在C上，所以x-y=1,即4m2(1+n)2-4m(1+n)x。+1=n2 由题意知n≠-1，所以4m2(1+n)-4x。+1-n=0③ 同理得4n2(1+m)-4x+1-m=0④ 由③-④得4m2-n2）+4mn(m-n)-4x(m-n+m-n=0, 因为m≠n,即4mn+4m+n=4x。-1⑤ 由③×n-④×m得4nm2(1+n)+n-n2-4mn2(1+m)-m+m2=0,即4nm+n+m=1⑥ m+n= x-2 3 联立⑤⑥解得 5-4x mn= 12 所以kk=一山。= xo-2mx-2nx6-2x(m+n）+4mnx6-2x· 4x-2 +4× 5-4xo 3 12 33x6-1_3 -5x6+55x6-15 解法二：（设点法一定比点差）》 设点P(x,yo),Ax,》),B(x2,y2 由PM=nMA得 +-2a由两-n西分me ny+yo=0 my2 +yo=0 一方面，由 mg-m时m得到+川-m小-+，，-=a+网n-m③ n2xi-n2yi=n2 将①②代入③得8mn+5(m+n=4x,④ 另一方面，由 i-=得x+川群-x-m+机-=a+a-同 x6-=1 将①代入⑤得x,-x, n-1@ 2m 联立①⑦得x。=m+mn- -l⑧，同理得x,=n+mn一 m-1⑨ 4m 4n 4x-2 m+n= 联立⑧⑨得4nm+n+m=1⑩ 由④⑩得 3 5-4x0 mn= 12 所以kk2=、·少。= 好 好 xo-2m xo-2n xo-2xo(m+n)+4mn 4x-2 x-2x3 +4× 5-4x0 12 38=3.x-1_3 -5x6+55x6-15 解法三：（设线法一设线解点） 设点P(x),A(,,B(x,),一方面，由PM=nMA得片=-① 另一方面，联立 2-少得g2-1p2+4my+4m2-1=0(其中k=2m) x=ky+2m yo 4m2-1 4m2-1 (4m2-1（4m2-1 所以%=-1 、2 Xo-2m -1(x-2m)°-y4m2-4m,+1 所以少= (4m2-1%② 4m2-4mx0+1 由①②得（4m2-1n+4m2-4mx+1=0,即4m2(1+n)-4mx。+1-n=0③ 同理得4n2(1+m)-4x。+1-m=0④ 由③×n-③×m得4nm+n+m=1⑤ 由③-④得4mn+4m+n=4x-1⑥ m+n= 4x-2 联立⑤⑥得 3 5-4x0 1mn= 12 所以k=.出 .4x-2 x-2mx0-2nx号-2x(m+m川+4mn-2x。· +4× 5-4x0 3 12 33.x6-1_3 -5x6+55x6-15 解法四：（设线法一韦达定理） 由(i)可设直线AB:x=y-2 4t 联立 x2-y1得(-y2-4+3=0由韦达定理得 x=y-2 y+y-2-18 3 h=2-1 由@②得t=古-五=m-n:ms_ 2m2(1+n)-mx。-2n2(1+m)+xg y1-y2m·y-n:my2 -myo nyo =。-2(m+n)-2mn +2+ 2 （y2y2= 。_x5+24+)-26④ yo YoyiY2 yo 将8代入0得13，+8/-26--点+-名 3yo 为+33(-)⑤ 又因为点P(x,)在C上，所以x6-y=1⑥ 联立⑤⑥得3x+5yt-2y2+2y=0,2t2-5yt-(2x-1(x+2)=0, 21-1-2x川1-(k+2圳=0，解得1-1,2⑦或1=+2 (舍) 所以6=为五=乡 yo 6-2m2n6+20+25= yoyiV2 oyi2+2xoyo(+y2)+4yo y2 3y t2-1 3 3+2x%2-1 t2-1 4y 3x+8xy+46(2-1 3 3y3x-1_3 3x6+4x(1-2x）+(1-2x)}2-4-5x+55x6-15 所以kk= 3 19.【详解】(1)记在模型一下，第二次取到红球的概率为P,则分为取到黑红和红红两 种情况， 则P 412.47 一X一十一X 636818 记在模型二下，取到红球的概率为P,,同样分为取到“黑红和红红两种情况， 41.215 则D=4x+2x 636618 (2)①设第kk<n)次是第一次取到红球，第n次是第二次取到红球的概率为P, 则第n次恰好抽到第二个红球的概率P为P中k从1到-1取值累加求和，即 -(8哈*+ 36 利用等比数列求和公式即可得 p8++++ 11 36 食g 26 1-6 ②由题可知，X的取值依次为2,3.…，9,10， 当X=10时，P(X=10)=1-P(X=2)+P(X=3)+…+P(X=9), 由数学期望的定义和①中的概率公式可知， E(X)=2×P(X=2)+3×P(X=3)++9×P(X=9)+10×1-[P(X=2)+P(X=3)++P(X=9]} =10-「8×P(X=2)+7×P(X=3)+…+1×P(X=9)] o++*+ ,n=1,2,…,8, 由错位相减法可得a+a2+…+a=5+10× 84+6++6=4+2x3 5wn5-g町og 2026高考数学模拟卷（新Ⅰ卷）（四） 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上， 2.选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 1．已知，则（   ） A． B．1 C． D． 2．已知平面，直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 4．已知向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 5．已知点为椭圆上任意一点，直线过：的圆心且与交于两点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．将函数图象上的所有点向左平移个单位后，得到的函数图象关于点中心对称，则（   ） A． B． C． D． 7．已知锐角满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 8．设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分.每小题给出的四个选项中，至少有两个或两个以上选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 9．已知数列满足，是的前n项和，则下列说法正确的是（   ） A． B．是等比数列 C． D．若，当n为奇数时，满足的n最大值为43 10．如图，平行六面体的底面ABCD是边长为1的菱形，且，平面，则（    ） A．平面平面 B． C． D．平行六面体的体积为 11．已知函数，则（     ） A．的最小正周期为 B．的图象关于点中心对称 C．在区间上单调递增 D．的零点构成的集合是 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12．过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则线段的长度的范围是______． 13．已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第5项的二项式系数相等，则的系数为___________． 14．某中学高二年级学生有人，在某次数学考试中，数学成绩近似服从正态分布．已知，则本次考试数学成绩大于分的人数约为______． 四、解答题：本大题共5小题，共计77分.请在答题卷上写出必要的解题步骤 15．（13分）已知在中，. (1)求的值； (2)若边上的高等于，求. 16．（15分）设函数． (1)讨论的单调性； (2)证明：当时，． 17．（15分）如图，矩形中，，为边的中点，现将沿翻折至，得四棱锥，且平面平面，点为线段上一动点，且． (1)求证：； (2)当时，若点关于平面的对称点为，求直线与平面所成角的正弦值． 18．（17分）已知双曲线过点和． (1)求双曲线的方程； (2)是双曲线上一点，设，，直线交于另一点，直线交于另一点，且，（各点均不重合）． （ⅰ）证明：直线过轴上的定点； （ⅱ）记直线，的斜率分别为，，证明：为定值． 19．（17分）某学校数学小组建立了如下的数学模型：将一个小盒里放入6个小球，其中4个黑球，2个红球.模型一为：若取出黑球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出红球，则放回小盒并再往小盒里加入2个红球；模型二为：若取出黑球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出红球，则用黑球替换该红球重新放回小盒中. (1)分别计算在两种模型下，抽两次球，第二次取到的球是红球的概率； (2)在模型二的前提下： ①求在第次抽球时，抽到的球恰好是第二个红球的概率（结果用表示）. ②现规定当两个红球都被抽出来时停止抽球，且最多抽球10次，第10次抽球结束后无论盒中是否还有红球均停止抽球，记抽球的次数为，求的数学期望. 学科网（北京）股份有限公司 $