精品解析：四川绵阳中学英才学校2025-2026学年高一下学期第一次月考数学试题

绵阳中学英才学校2026年第一学月高一数学试题 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷为选择题，共58分；第Ⅱ卷为非选择题，共92分，满分150分，考试时间为120分钟． 2．请按照题目要求将选择题选出的答案标号（A、B、C、D）涂在答题卡上，其他题目将答案用黑色签字笔（0.5mm）写在答题卡上． 第Ⅰ卷 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 化简：等于（   ） A. B. C. D. 2. 已知，，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 3. 已知向量，若，则实数（ ） A. 2 B. C. -1 D. -2 4. 已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，角所对的边分别是，已知，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 6. 在矩形ABCD中，E为线段AB的中点，则（ ） A. B. C. D. 7. 海上有，两个小岛相距10海里，从岛望岛和岛成的视角，从岛望岛和岛成的视角，则，间的距离是（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 8. 在中，已知，，为的中点，则线段长度的最大值为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的） 9. 已知向量，，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 可以作为平面基底 10. 如图，已知点O为正六边形ABCDEF的中心，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知向量，则（    ） A. 向量的夹角为 B. 若，则 C. 若，则 D. 向量在向量上的投影向量为 第Ⅱ卷 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．（注意：在试题卷上作答无效） 12. 已知，与的夹角为，则______  . 13. 已知向量,．若向量与向量的夹角为锐角，则实数的取值范围为_______________ ． 14. 如图所示，若，，点与分别在直线两侧，且，则的最大值为__________ ． 四、解答题：本大题共5小题，共77分． 15. 已知向量. （1）若，求的值； （2）若，求的值. 16. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，已知，，B＝30°. （1）求角A的大小； （2）求△ABC的边的长． 17. 已知中，角的对边分别为，且. （1）求； （2）若的面积为，求. 18. 如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点． （1）求中线AM的长； （2）求的余弦值； （3）求面积． 19. 如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标． 设， （1）求的模长； （2）设，若，求实数的值； （3）若，，有同学认为“”的充要条件是“”，你认为是否正确？若正确，请给出证明，若不正确，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绵阳中学英才学校2026年第一学月高一数学试题 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷为选择题，共58分；第Ⅱ卷为非选择题，共92分，满分150分，考试时间为120分钟． 2．请按照题目要求将选择题选出的答案标号（A、B、C、D）涂在答题卡上，其他题目将答案用黑色签字笔（0.5mm）写在答题卡上． 第Ⅰ卷 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 化简：等于（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】. 2. 已知，，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【详解】根据向量坐标减法法则，， 则. 3. 已知向量，若，则实数（ ） A. 2 B. C. -1 D. -2 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量垂直的条件直接求得. 【详解】因为向量，且， 所以，解得：. 故选：B 4. 已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据投影向量的定义计算可得. 【详解】因为，且，由投影向量的定义，向量在上的投影向量为：. 故选：A. 5. 在中，角所对的边分别是，已知，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】由余弦定理代入整理得，进而得答案. 【详解】解:由余弦定理, 故代入边角互化得: ,整理得: 所以,故三角形为等腰三角形. 故选：A 【点睛】本题考查利用边角互化判断三角形形状，考查化归转化思想，是基础题.解题的关键在于边角互化. 6. 在矩形ABCD中，E为线段AB的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】应用向量线性运算的数乘和减法、加法法则即可得解. 【详解】. 故选：D. 7. 海上有，两个小岛相距10海里，从岛望岛和岛成的视角，从岛望岛和岛成的视角，则，间的距离是（ ） A. 海里 B. 海里 C. 海里 D. 海里 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意利用正弦定理求解即可. 【详解】如题图，，， 由正弦定理，得，解得， 故选：D． 8. 在中，已知，，为的中点，则线段长度的最大值为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由余弦定理得到，再利用基本不等式得到，然后由求解. 【详解】由余弦定理得，即，即，又， ，即，当且仅当时等号成立. ， . . 故选：B 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的） 9. 已知向量，，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. D. 可以作为平面基底 【答案】AD 【解析】 【详解】由向量可得，即A正确； 易知，所以，故B错误； 又，所以不垂直，即C错误； 假设存在实数满足，即可得，显然该方程组无解， 即不共线，因此可以作为平面基底，即D正确. 10. 如图，已知点O为正六边形ABCDEF的中心，下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据正六边形的性质，结合向量加法，模长，数量积定义可解. 【详解】对于A，根据正六边形性质知道方向相反，故A错误. 对于B, ,故B正确. 对于C，,故C正确. 对于D，,, 根据正六边形性质知道，且. 故.故D错误. 故选：BC． 11. 已知向量，则（    ） A. 向量的夹角为 B. 若，则 C. 若，则 D. 向量在向量上的投影向量为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，由向量夹角的余弦公式计算即可求解判断；对于B，由垂直关系的向量表示计算求解即可判断；对于C，由平行关系的向量表示计算求解即可判断；对于D，由投影向量定义计算求解即可判断. 【详解】对于A，向量的夹角的余弦值为， 因为，所以向量的夹角为，故A正确； 对于B，因， 所以，故B正确； 对于C，， 故若，则，解得，故C错误； 对于D，向量在向量上的投影向量为，故D正确. 故选：ABD 第Ⅱ卷 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．（注意：在试题卷上作答无效） 12. 已知，与的夹角为，则______  . 【答案】 【解析】 【详解】因为，与的夹角为，所以， 所以 13. 已知向量,．若向量与向量的夹角为锐角，则实数的取值范围为_______________ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据夹角为锐角可知数量积大于0且两向量不同向，解不等式可得结果. 【详解】因向量与的夹角为锐角， 则可得， 由①解得，由②解得； 故实数的取值范围为. 14. 如图所示，若，，点与分别在直线两侧，且，则的最大值为__________ ． 【答案】 【解析】 【分析】设，，先利用余弦定理求出，进而同法求出表达式，通过三角恒等变换将其化成正弦型函数，利用正弦函数的性质即可求出的最大值. 【详解】设，，因为，则，， 由余弦定理，可得， 因为，则. 在中，，则. 在中，由余弦定理，， 代入得， ， ， 由，则， 所以当，即时，取最大值， 此时取最大值为. 四、解答题：本大题共5小题，共77分． 15. 已知向量. （1）若，求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量共线的坐标表示即可求解； （2）根据向量减法的坐标表示和向量垂直的坐标表示即可求解. 【小问1详解】 ∵向量，， ∴，解得. 【小问2详解】 ∵向量，∴. ∵， ∴，解得. 16. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为，已知，，B＝30°. （1）求角A的大小； （2）求△ABC的边的长． 【答案】（1） 或 . （2）当 时，；当 时，. 【解析】 【分析】（1）已知两边中的一边及其对角，先由正弦定理求出，再判断角的可能取值. （2）根据角的可能取值，利用正弦定理求解. 【小问1详解】 因为，，B＝30°， 由正弦定理，得，所以， 又因为，所以，从而， 因此或，所以角的大小为或. 【小问2详解】 分两种情况讨论求解： 当时，， 由正弦定理，得， 又因为，所以， 当时，， 同理由正弦定理，得， 又因为，所以， 综上，边的长为或. 17. 已知中，角的对边分别为，且. （1）求； （2）若的面积为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理即可得解； （2）利用三角形面积公式与题干条件得到关于的方程组，解之即可得解. 【小问1详解】 因为，即， 所以， 又，所以. 【小问2详解】 因为的面积为，， 所以，所以， 又，，所以，即， 化简得，解得， 又，所以. 18. 如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点． （1）求中线AM的长； （2）求的余弦值； （3）求面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）运用中线长的向量表达式，结合数量积定义可解； （2）转化为向量夹角余弦值可解； （3）运用重心的性质，结合面积公式可解. 【小问1详解】 因为为BC的中点，， ， . 【小问2详解】 因为 , ， . 【小问3详解】 为中线的交点，为重心， ， ，， . 19. 如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标． 设， （1）求的模长； （2）设，若，求实数的值； （3）若，，有同学认为“”的充要条件是“”，你认为是否正确？若正确，请给出证明，若不正确，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）充要条件为 【解析】 【分析】（1）利用向量的线性运算两边平方可求； （2）设，可得，可求实数的值； （3）由，可得，运算可知不正确. 【小问1详解】 因为， 所以两边平方得， 故； 【小问2详解】 因，由共线定理，存在唯一的实数，有 则，故， 所以； 【小问3详解】 不正确 证明：因为，所以，即， 则有， 所以“”的充要条件是“”, 所以“”的充要条件是“”是不正确的. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $