精品解析：内蒙古自治区呼和浩特市土默特左旗民族中学2025-2026学年高三下学期三月冲刺考试数学试题

内蒙古自治区呼和浩特市土默特左旗民族中学2025-2026学年高三下学期三月冲刺考试数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单选题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，若，则实数的值为（ ） A. B. 3 C. D. 3. 已知集合，则与集合M相等的集合为（ ） A. B. C. D. 4. 已知随机变量服从正态分布，若，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.7 D. 0.8 5. 点到平面的距离是（　　） A. B. C. D. 6. 已知，部分图象如图，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数与具有相同的对称中心，则（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 8. 动点在正方体从点开始沿表面运动，且与平面的距离保持不变，则动直线与平面所成角正弦值的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二．多选题:本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，，、分别为棱、上的动点，设，，则（ ） A. 当时，存在，使得平面 B. 当时，存在，使得 C. 当，且与相交时， D. 三棱锥的外接球在底面上的截痕长为 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数是偶函数，且在上不单调 B. 函数是奇函数，且在上不单调递增 C. 函数在上单调递增 D. 对任意，都有，且 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交的右支于点，，若，则（ ） A. B. 双曲线的渐近线方程为 C. D. ，面积记为，，则 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 某超市有两个人工收银区和一个自助收银区，通过统计，顾客在区进行付款的概率分别为，在区付款时购买该超市提供的环保购物袋的概率分别为，若顾客从该超市购物且购买了环保购物袋的概率为，则实数__________. 13. 已知数列的前项和（其中为常数，），写出使为等差数列的一个通项公式___________. 14. 在中，内角的对边分别是，，，点在边上，且，则线段长度的最小值为 ____________________ ． 四．解答题：共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下的效果：若以表示事件“试验反应为阳性”，以表示事件“被诊断者患有癌症”，则有，.现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005，即，试求. 16. 在平面直角坐标系中，，椭圆的长轴长等于，离心率为. （1）求的方程； （2）设直线为椭圆短轴上的动点（不落在短轴的两端点），过作轴的垂线交于两点.直线与的另一个交点为，且与交于点；直线与的另一个交点为，且与交于点. （i）试探究直线是否经过一个定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由； （ii）当位于轴上方时，求的取值范围. 17. 如图，正方形ABCD中，边长为a，E为中点，F是边上的动点，将，分别沿着折起，使A，B两点重合于点S. （1）求证：； （2）当F是边BC的中点时，将，，分别沿着折起，使A，B，C三点重合于点S，求三棱锥的外接球的表面积； （3），若，设直线与平面所成角为，求的最大值. 18. 已知函数，，（）． （1）求函数在处的切线方程； （2）若恒成立，求实数k的取值范围； （3）设，证明：当时，函数f（x）存在唯一的极大值点，且． 19. 设p，q是两个正整数，若p，q的最大公约数是1，则称p，q互质.若n为正整数且，集合，规定函数的值等于集合中与n互质的正整数的个数. （1）试求，，的值. （2）设p，q是两个不同的质数，写出与和的关系. （3）RSA算法是一种非对称加密算法，它使用了两个不同的密钥:公钥和私钥.具体而言: ①准备两个不同的、足够大的质数p，q；②计算，其中；③选取一个大整数e，满足与互质，求正整数，使得除以的余数是1；④其中称为公钥，称为私钥. 已知某RSA加密算法中的公钥是.若满足私钥条件的正整数k按从小到大排列得到的一列数记为数列，数列满足，为数列的前n项和，记，证明:. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内蒙古自治区呼和浩特市土默特左旗民族中学2025-2026学年高三下学期三月冲刺考试数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 一、单选题:本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 已知（为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数乘法法则计算出，根据复数相等得到答案. 【详解】， 故. 故选：C 2. 已知，若，则实数的值为（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量垂直的坐标运算求解参数. 【详解】因为， 又因为，所以 则实数. 故选：B. 3. 已知集合，则与集合M相等的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据集合类型判断AB；分奇偶讨论可判断C；根据范围和元素特征可判断D. 【详解】选项A，B是点集，不符合题意； 对于C：当为奇数时，当为偶数时，所以C等价于，不符合题意； 对于D：因为，由知可取，所以D等价于，符合题意. 故选：D. 4. 已知随机变量服从正态分布，若，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.7 D. 0.8 【答案】C 【解析】 【分析】利用正态分布的性质即可得出结果. 【详解】因为随机变量服从正态分布，， 所以，则. 故选：C. 5. 点到平面的距离是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间中点到平面的距离公式求解即可. 【详解】 若点坐标为，平面方程为，则点到平面的距离. 点，即；平面，即， 代入得距离. 6. 已知，部分图象如图，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的图象，求出函数的周期，然后求出，根据求出的值，图象经过确定的值，求出函数的解析式，然后求出即可． 【详解】由图可知，所以，所以， 因为函数过所以，因，故， 又图象经过，所以，所以，所以， 则. 故选：D. 7. 已知函数与具有相同的对称中心，则（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】易知的图象关于点对称，由可知的图象关于点对称，进而求解. 【详解】易知的图象关于点对称， 因为， 所以的图象关于点对称， 由题意可得，即. 经检验符合题意． 故选：C． 8. 动点在正方体从点开始沿表面运动，且与平面的距离保持不变，则动直线与平面所成角正弦值的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据线面位置关系和余弦定理以及同角三角函数基本关系式即可求解. 【详解】 连接， 容知，, 所以平面平面, M与平面的距离保持不变， 点M的移动轨迹为三角形的三条边， 当M为中点时，直线与平面所成角正弦值最大， 取的中点， 设正方体的棱长为2， 所以， ， ， 所以, 所以为直角三角形， 所以直线与平面所成角正弦值为, 当M为C点时，直线与平面所成角的正弦值最小， 此时，，， 所以， . 直线与平面所成角正弦值的取值范围是， 故选：A. 二．多选题:本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，平面，，，、分别为棱、上的动点，设，，则（ ） A. 当时，存在，使得平面 B. 当时，存在，使得 C. 当，且与相交时， D. 三棱锥的外接球在底面上的截痕长为 【答案】AC 【解析】 【分析】以为原点，为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 对于A，求出平面的一个法向量，利用求解即可； 对于B，利用求解即可； 对于C，若与相交，则存在唯一使得即可求解； 对于D，根据三棱锥的外接球在底面上的截痕为底面的外接圆即可求解. 【详解】以为原点，为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则：， 对于A，当时，，在上，则， 则，， 设平面的一个法向量，则 取，则，即， ，若平面，则， 即，故存在，故A正确； 对于B，当时，，，， 若，则， 即， 不满足，故B 错误； 对于C，当时，，， 若与相交，则存在唯一使得， 即：， 解得，故 C 正确； 对于D， 因为底面是直角三角形，外接圆半径​​， 因为平面，设外接球半径为，则： ， 三棱锥的外接球在底面上的截痕为底面的外接圆，截痕长为​，故D错误， 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 函数是偶函数，且在上不单调 B. 函数是奇函数，且在上不单调递增 C. 函数在上单调递增 D. 对任意，都有，且 【答案】AD 【解析】 【分析】根据奇偶性的定义判断A，求出函数的导函数，根据奇函数的定义判断的奇偶性，令，利用导数说明函数的单调性，即可判断B，结合导函数判断C，结合函数的奇偶性与单调性判断D. 【详解】对于A：函数的定义域为R，且， 即函数为偶函数，在上显然不单调，故A正确； 对于B：因为，所以， 所以函数是奇函数，令， 所以恒成立， 所以即在上单调递增，故B错误； 对于C：当时，，所以在上恒成立， 所以在上单调递减，故C错误； 对于D：因为函数为偶函数， 所以对任意，都有， 当时，， 所以函数在上单调递增， 则函数在上单调递减， 所以， 所以，故D正确． 故选：AD． 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线交的右支于点，，若，则（ ） A. B. 双曲线的渐近线方程为 C. D. ，面积记为，，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据可得，即可判断A；，利用余弦定理求出，根据双曲线的定义结合的值可求出可确定C；从而在直角三角形中可得的齐次式，可求渐近线方程确定B，根据直角三角形的面积公式可确定D. 【详解】对于选项A：因为， 可得，故A正确； 对于选项C：因为，可得， 不妨设， 在中，由余弦定理得， 可得，则，可知， 所以，故C正确； 对于选项B：在直角三角形中，因为，可得， 在三角形中，因为，可得， 因为，可得， 即， 在直角三角形中，，即， 可得，则，即， 所以渐近线方程为，故B错误； 对于选项D：因为，，则， 即，所以，故D正确； 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：焦点三角形的作用：在焦点三角形中，可以将圆锥曲线的定义，三角形中边角关系，如正余弦定理、勾股定理结合起来． 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 某超市有两个人工收银区和一个自助收银区，通过统计，顾客在区进行付款的概率分别为，在区付款时购买该超市提供的环保购物袋的概率分别为，若顾客从该超市购物且购买了环保购物袋的概率为，则实数__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据全概率公式计算即可求解. 【详解】由题意可知顾客在区进行付款的概率分别为， 设顾客从该超市购买了环保购物袋为事件， 由题意可知 ， 则 ，解得. 13. 已知数列的前项和（其中为常数，），写出使为等差数列的一个通项公式___________. 【答案】2n 【解析】 【分析】利用可得答案. 【详解】时，， 时，， 所以是首项为，公差为2的等差数列， 若为等差数列，则即， 此时. 故答案为：. 14. 在中，内角的对边分别是，，，点在边上，且，则线段长度的最小值为 ____________________ ． 【答案】## 【解析】 【分析】利用题设条件与正弦定理求出角A，将用，表示，利用向量数量积的运算律求，再利用基本不等式求其最小值. 【详解】由和正弦定理，可得 ， 整理得，由余弦定理，​， 因为，故. 由得，即 ，  两边取平方得 （*）， 因，，， 代入（*），整理得， 已知，则， 则， 因​，可得，当且仅当即时取等. 因此​，故. 四．解答题：共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 根据以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下的效果：若以表示事件“试验反应为阳性”，以表示事件“被诊断者患有癌症”，则有，.现在对自然人群进行普查，设被试验的人患有癌症的概率为0.005，即，试求. 【答案】 【解析】 【分析】 根据条件概率和全概率公式可求得结果. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以由全概率公式可得， 因为 所以. 【点睛】关键点点睛：掌握条件概率和全概率公式是解题关键. 16. 在平面直角坐标系中，，椭圆的长轴长等于，离心率为. （1）求的方程； （2）设直线为椭圆短轴上的动点（不落在短轴的两端点），过作轴的垂线交于两点.直线与的另一个交点为，且与交于点；直线与的另一个交点为，且与交于点. （i）试探究直线是否经过一个定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由； （ii）当位于轴上方时，求的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）是，（ii） 【解析】 【分析】（1）结合题意建立方程求解椭圆中的基本量，进而得到椭圆方程即可. （2）（i）先利用特殊情况猜测直线必过的定点，再作出符合题意的图形，联立方程组结合韦达定理得到，再利用平面向量共线的坐标运算求出三点共线，最后证明直线必过定点即可.（ii）联立方程组求出和，结合弦长公式求解出，结合已知得到，进而求出，最后用一元函数表示出，利用基本不等式求解取值范围即可. 【小问1详解】 因为，所以， 而椭圆的的长轴长等于，得到，解得， 由题意得离心率为，则，解得， 而，解得（负根舍去），故的方程为. 【小问2详解】 （i）如图，设，则， 而在椭圆上，得到，且设直线的方程为， 直线的方程为， 联立方程组，得到， 由韦达定理得，故， 则 ， 同理可得， 则 ， 则， 可得的斜率为 ， 则的方程为， 得到 则， 而直线过定点，且由椭圆性质可得，又位于轴上方， 且不在短轴的两个端点，可得，且， 则令， 同乘可得， 故， 可得，即， 令，解得，此时变为， 令，，解得， 此时直线经过一个定点， 故猜测在普遍情况下直线经过一个定点， 而在椭圆上，得到，且设直线的方程为， 联立方程组，得到， 由韦达定理得，故. 同理可得， 则， 故 ， 得到，又因为直线有公共点， 所以三点共线，即直线过定点. （ii）联立方程组，解得， 同理可得， 因此由弦长公式得. 由椭圆性质可得，又位于轴上方， 且不在短轴的两个端点，可得， 由已知得，解得，则， 得到，则 ， 由基本不等式可得， 当且仅当，即时等号成立， 故的取值范围为. 17. 如图，正方形ABCD中，边长为a，E为中点，F是边上的动点，将，分别沿着折起，使A，B两点重合于点S. （1）求证：； （2）当F是边BC的中点时，将，，分别沿着折起，使A，B，C三点重合于点S，求三棱锥的外接球的表面积； （3），若，设直线与平面所成角为，求的最大值. 【答案】（1）证明见详解 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题可知，根据线面垂直的判定即可证明平面，继而得到； （2）根据题意可得两两垂直，三棱锥可放入以为边的长方体中，长方体体对角线就是其外接球直径，求出体对角线长即可得到外接圆面积； （3）利用等体积法可得点到平面的距离为，根据线面角的定义可得，再利用函数的单调性求最值即可. 【小问1详解】 在正方形ABCD中,, 所以翻折后，又平面， 所以平面，又平面，所以. 【小问2详解】 在正方形ABCD中，，翻折后， 又，所以两两垂直， 三棱锥可放入以为边的长方体中， 所以长方体体对角线就是其外接球直径，长度为 ， 即外接球半径，表面积 三棱锥SDEF的外接球的表面积. 【小问3详解】 设，设点到平面的距离为， 则， ，， 则， ， 又由（1）知平面，所以， ，解得， 又直线与平面所成角为， 所以， 又因为，当，即时取等， 所以在单调递减，即， 则， 所以的最大值为. 18. 已知函数，，（）． （1）求函数在处的切线方程； （2）若恒成立，求实数k的取值范围； （3）设，证明：当时，函数f（x）存在唯一的极大值点，且． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义即可求解； （2），考虑和两种情况，得到函数的单调区间，只需，设，求导得到单调区间，计算最值即可； （3）求导得到单调区间，确定，结合（2）中的结论得到，设，求导得到函数单调递增，计算最值得到证明． 【小问1详解】 ，， 又， 则所求切线方程为； 【小问2详解】 ， 当时，，为上的增函数， 所以存在，，不符合题意； 当时，由，得， 时，是减函数， 时，是增函数， 所以，所以只需， 设，则， 当时，，为增函数；当时，，为减函数， 则，所以当且仅当时不等式成立， 综上所述：； 【小问3详解】 ， 因为是上的减函数，由正切函数的性质及可知， 在内，存在唯一实数，使得， 当时，，为增函数， 当时，，为减函数， 所以是的极大值点， 易知，当时，，由（2）可知， 所以， 下面证明， 令，即证，即， 设，则，所以是上的增函数， 所以时，，成立，命题得证． 【点睛】方法点睛：本题考查了导数的综合运用，求某点处的切线方程较为简单，利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键. 19. 设p，q是两个正整数，若p，q的最大公约数是1，则称p，q互质.若n为正整数且，集合，规定函数的值等于集合中与n互质的正整数的个数. （1）试求，，的值. （2）设p，q是两个不同的质数，写出与和的关系. （3）RSA算法是一种非对称加密算法，它使用了两个不同的密钥:公钥和私钥.具体而言: ①准备两个不同的、足够大的质数p，q；②计算，其中；③选取一个大整数e，满足与互质，求正整数，使得除以的余数是1；④其中称为公钥，称为私钥. 已知某RSA加密算法中的公钥是.若满足私钥条件的正整数k按从小到大排列得到的一列数记为数列，数列满足，为数列的前n项和，记，证明:. 【答案】（1），， （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题干，由和的定义易得结果； （2）根据和的定义，分别计算得到、和，从而得到结论； （3）由题意可得和的值，结合（2）可得，从而得到正整数k满足，，取，可得，进而得到和，利用等差数列的前项和公式可得，由裂项相消法求得，结合为正整数分析的单调性可证结果. 【小问1详解】 由题中的定义知，不超过5且与5互质的正整数有1，2，3，4，则. 不超过7且与7互质的正整数有1，2，3，4，5，6，则. 不超过35且与35互质的正整数有1，2，3，4，6，8，9，11，12，13，16，17，18，19，22，23，24，26，27，29，31，32，33，34，则. 【小问2详解】 ，证明如下: p，q是两个不同的质数，得，， 在不超过的正整数中，p的倍数有个，q的倍数有个， 于是， 所以. 【小问3详解】 某RSA加密算法中的公钥是，则，， 由（2）得，， 即正整数k满足的条件为，， 则. 取，得，于是， 因此， 得，， 所以， . ，，，， ，原式得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $