19.3.2.2 菱形的判定-课件2025-2026学年沪科版数学八年级下册

沪科版数学8年级下册培优精做课件 授课教师： Home . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年5月4日 19.3.2.2 菱形的判定 第19章 四边形 沪科版数学八下19.3.2.2 菱形的判定 本套内容围绕沪科版八年级下册19.3.2.2“菱形的判定”核心知识点设计，衔接上一课时菱形的性质（边、对角线）及平行四边形、矩形的判定方法，重点讲解菱形的三种核心判定方法、判定与性质的区别、推导过程，以及菱形判定在几何证明中的应用，兼顾知识点梳理、例题解析、分层练习题和易错辨析，帮助同学们熟练掌握菱形的判定条件，能灵活运用判定方法证明一个四边形是菱形，规范推理步骤，培养几何推理和综合应用能力，贴合课堂教学重点，适配课后巩固练习。 一、核心知识点梳理 （1）复习回顾（衔接前期知识） 前期我们学习了菱形的性质、平行四边形的判定及矩形的判定，二者是互逆关系，为菱形判定的学习奠定基础，重点关注菱形与平行四边形的关联： - 菱形的性质：① 共性（平行四边形性质）：对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分；② 特有性质：四条边都相等、对角线互相垂直且每条对角线平分一组对角； - 平行四边形的判定：两组对边分别平行、两组对边分别相等、一组对边平行且相等、对角线互相平分； - 矩形的判定：有一个角是直角的平行四边形是矩形、对角线相等的平行四边形是矩形、有三个角是直角的四边形是矩形； - 关键衔接：菱形是特殊的平行四边形，因此菱形的判定可在平行四边形判定的基础上，增加“一组邻边相等”或“对角线互相垂直”的条件，也可直接通过“四条边都相等”判定。 （2）菱形的判定方法（重点，3种核心方法） 菱形的判定核心是“先判定为平行四边形，再补充特有条件”，或“直接判定为菱形”，三种方法需牢记条件、几何语言，灵活选择，区分于矩形的判定。 ① 判定方法1（定义判定法，最基础） 1. 判定内容：有一组邻边相等的平行四边形是菱形（与菱形的定义互逆）； 2. 核心逻辑：先判定四边形是平行四边形，再证明有一组邻边相等； 3. 几何语言表示（以四边形ABCD为例）： ∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AB=AD（或AB=BC、BC=CD、CD=DA中任意一组邻边相等），∴ 四边形ABCD是菱形； 4. 关键说明：只要平行四边形中有一组邻边相等，结合平行四边形对边相等的性质，其余三组邻边必然都相等，无需逐一证明。 ② 判定方法2（对角线判定法） 1. 判定内容：对角线互相垂直的平行四边形是菱形； 2. 核心逻辑：先判定四边形是平行四边形，再证明对角线互相垂直； 3. 几何语言表示（以四边形ABCD为例，对角线AC、BD交于点O）： ∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AC⊥BD，∴ 四边形ABCD是菱形； 4. 推导过程（结合菱形性质和平行四边形性质）： ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AO=OC（平行四边形对角线互相平分）； 又∵ AC⊥BD，∴ ∠AOB=∠COB=90°； 在△AOB和△COB中，AO=OC，∠AOB=∠COB，BO=BO（公共边）； ∴ △AOB≌△COB（SAS）； ∴ AB=BC（全等三角形对应边相等）； ∴ 平行四边形ABCD有一组邻边相等，∴ 四边形ABCD是菱形（定义判定法）。 ③ 判定方法3（直接判定法） 1. 判定内容：四条边都相等的四边形是菱形； 2. 核心逻辑：无需先判定平行四边形，直接通过边的条件判定菱形； 3. 几何语言表示（以四边形ABCD为例）： ∵ AB=BC=CD=DA，∴ 四边形ABCD是菱形； 4. 推导过程（结合平行四边形判定）： ∵ AB=CD，BC=DA（已知四条边都相等）； ∴ 四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）； 又∵ AB=BC（四条边都相等，任意一组邻边相等）； ∴ 平行四边形ABCD是菱形（定义判定法）。 （3）三种判定方法对比（重点记忆） 判定方法 核心条件 几何语言表示（四边形ABCD） 适用场景 1. 定义判定 平行四边形 + 有一组邻边相等 ∵ 四边形ABCD是平行四边形，AB=AD，∴ 四边形ABCD是菱形 已知四边形是平行四边形，且有邻边相等条件 2. 对角线判定 平行四边形 + 对角线互相垂直 ∵ 四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，∴ 四边形ABCD是菱形 已知四边形是平行四边形，且有对角线垂直条件 3. 直接判定 四边形 + 四条边都相等 ∵ AB=BC=CD=DA，∴ 四边形ABCD是菱形 已知四边形四条边相等，无需先证平行四边形 （4）菱形判定与性质的区别（关键区分） 类别 菱形的性质 菱形的判定 已知条件 已知四边形是菱形 已知四边形的边、对角线关系 推导结论 推出：对边平行且相等、四条边相等、对角线互相垂直平分且平分一组对角 推出：四边形是菱形 核心逻辑 由“菱形”推“性质” 由“条件”推“菱形” （5）易错辨析（重点区分，规避误区） - 误区1：误用判定条件——“对角线互相垂直的四边形是菱形”（错误），需补充“平行四边形”这一前提（如等腰梯形的对角线可能垂直，但不是菱形）； - 误区2：判定不严谨——用定义判定时，未先证明四边形是平行四边形，直接证明有一组邻边相等，就判定为菱形； - 误区3：重复判定——用“四条边都相等”判定时，多余证明四边形是平行四边形（该方法可直接判定）； - 误区4：混淆菱形与矩形的判定——菱形侧重“边相等”“对角线垂直”，矩形侧重“角是直角”“对角线相等”，避免混用判定条件； - 误区5：忽略“一组邻边相等”的前提——平行四边形中，必须有“一组邻边相等”才能判定为菱形，仅对边相等不能判定。 二、重点例题解析（分题型） 题型1：用定义判定菱形（平行四边形+一组邻边相等） 例题1：如图，在▱ABCD中，AB=BC，求证：四边形ABCD是菱形。 解析：∵ 四边形ABCD是平行四边形（已知）； ∴ 平行四边形的对边相等，即AB=CD，AD=BC； 又∵ AB=BC（已知）； ∴ AB=BC=CD=DA（等量代换）； ∴ 四边形ABCD是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）。 题型2：用对角线判定菱形（平行四边形+对角线垂直） 例题2：如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AC⊥BD，求证：四边形ABCD是菱形。 解析：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AO=OC（平行四边形对角线互相平分）； 又∵ AC⊥BD，∴ ∠AOB=∠COB=90°； 在△AOB和△COB中，AO=OC，∠AOB=∠COB，BO=BO（公共边）； ∴ △AOB≌△COB（SAS）； ∴ AB=BC（全等三角形对应边相等）； ∴ 平行四边形ABCD有一组邻边相等，∴ 四边形ABCD是菱形（定义判定法）。 题型3：用直接判定法判定菱形（四条边都相等） 例题3：如图，在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，求证：四边形ABCD是菱形，且AB∥CD，AD∥BC。 解析：∵ AB=CD，BC=DA（已知四条边都相等）； ∴ 四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形）； 又∵ AB=BC（四条边都相等，任意一组邻边相等）； ∴ 平行四边形ABCD是菱形（定义判定法）； ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AD∥BC（平行四边形对边平行）。 题型4：菱形判定的综合应用 例题4：如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE，延长DE至点F，使EF=DE，连接AF、CF，且AD=AF，求证：四边形ADCF是菱形。 解析：∵ E是AC的中点，∴ AE=CE； 又∵ EF=DE，∠AEF=∠CED（对顶角相等），∴ △AEF≌△CED（SAS）； ∴ AF=CD，∠EAF=∠ECD，∴ AF∥CD； ∴ 四边形ADCF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）； ∵ D是AB的中点，∴ AD=½AB，又∵ AB=AC，E是AC中点，∴ AE=½AC=AD； 又∵ AD=AF，∴ AD=AF=CD=CF； ∴ 平行四边形ADCF有一组邻边相等（AD=AF），∴ 四边形ADCF是菱形（定义判定法）。 三、分层练习题 （一）基础题（每题4分，共20分） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 有一组邻边相等的四边形是菱形 C. 四条边都相等的四边形是菱形 D. 平行四边形都是菱形 2. 用对角线判定菱形的条件是（ ） A. 四边形的对角线互相垂直 B. 平行四边形的对角线互相垂直 C. 四边形的对角线互相平分 D. 平行四边形的对角线相等 3. 有一组邻边相等的______是菱形；对角线互相垂直的______是菱形。 4. 在▱ABCD中，若AB=BC，则四边形ABCD是______，理由是______。 5. 在▱ABCD中，对角线AC⊥BD，则四边形ABCD是______，理由是______。 （二）提升题（每题6分，共30分） 1. 在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AB=AD，求证：四边形ABCD是菱形。 2. 求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形（结合平行四边形性质推导）。 3. 在四边形ABCD中，AB=BC=CD=DA，求证：四边形ABCD是菱形，且对角线互相垂直。 4. 在▱ABCD中，对角线AC平分∠BAD，求证：四边形ABCD是菱形。 5. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E、F分别是AB、AC的中点，连接DE、DF，且DE=DF，求证：四边形AEDF是菱形。 （三）拓展题（每题10分，共20分） 1. 如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点O作OE⊥AB于点E，OF⊥AD于点F，且OE=OF，求证：四边形ABCD是菱形。 2. 已知四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AO=CO，BO=DO，AC⊥BD，求证：四边形ABCD是菱形。 四、易错点提醒 1. 判定条件遗漏：用对角线判定菱形时，忘记补充“平行四边形”这一前提，误将“对角线互相垂直的四边形”当作菱形。 2. 推理不严谨：用定义判定时，未先证明四边形是平行四边形，直接用“一组邻边相等”判定为菱形；用直接判定法时，多余证明平行四边形。 3. 性质与判定混淆：将“菱形的对角线互相垂直”（性质）当作“对角线互相垂直的四边形是菱形”（错误判定）。 4. 菱形与矩形判定混淆：误用矩形的判定条件（如对角线相等）判定菱形，或误用菱形的判定条件（如邻边相等）判定矩形。 5. 综合应用薄弱：不会结合平行四边形、等腰三角形、三角形中位线等知识，构造菱形的判定条件，不会利用全等三角形证明邻边相等或对角线垂直。 6. 几何语言书写错误：书写判定的几何语言时，遗漏关键条件（如未说明“四边形是平行四边形”）。 五、参考答案与解析 （一）基础题：1.C 2.B 3.平行四边形，平行四边形 4.菱形，有一组邻边相等的平行四边形是菱形 5.菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形 （二）提升题： 135. 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB=CD，AD=BC，又∵ AB=AD，∴ AB=BC=CD=DA，∴ 四边形ABCD是菱形； 136. 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AO=OC，又∵ AC⊥BD，∴ △AOB≌△COB（SAS），∴ AB=BC，∴ 平行四边形ABCD是菱形； 137. 证明：∵ AB=BC=CD=DA，∴ 四边形ABCD是菱形（四条边都相等的四边形是菱形），∴ 菱形的对角线互相垂直，即AC⊥BD； 138. 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD∥BC，∴ ∠DAC=∠BCA，又∵ AC平分∠BAD，∴ ∠BAC=∠DAC，∴ ∠BAC=∠BCA，∴ AB=BC，∴ 平行四边形ABCD是菱形； 139. 证明：∵ E、F是AB、AC中点，AD是BC中线，∴ DE∥AC，DF∥AB，四边形AEDF是平行四边形，又∵ DE=DF，∴ 平行四边形AEDF是菱形。 （三）拓展题： 142. 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AO=OC，AD∥BC，∴ ∠OAF=∠OCE，又∵ OE=OF，∠AFO=∠CEO=90°，∴ △AOF≌△COE（AAS），∴ AF=CE，又∵ AD=BC，∴ AD-AF=BC-CE，即DF=BE，可证AB=AD，∴ 平行四边形ABCD是菱形； 143. 证明：∵ AO=CO，BO=DO，∴ 四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），又∵ AC⊥BD，∴ 平行四边形ABCD是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。 学习目标 1.理解并掌握正方形的定义、性质和判定定理，并能运用它们进行计算和证明； 2.体会正方形与平行四边形、矩形、菱形的联系与区别，理解一般与特殊的关系； 新课导入 根据菱形的定义判定菱形 定义：_____________的平行四边形是菱形. 一组邻边相等 除此之外还有没有其他判定方法？ 推进新课 A B D C 1.以点 A 为端点任意画两条相等的线段 AB 和 AD，再分别以点 B，D 为圆心、AB 长为半径画弧，两弧相交于点 C，连接 BC，DC，四边形ABCD是菱形吗？为什么？ 已知：四边形 ABCD 中，AB = BC = CD = AD. 求证：四边形 ABCD 是菱形. 证明：∵ AB = BC = CD = AD， ∴四边形 ABCD 是平行四边形. 又 AB = BC， ∴ ABCD 是菱形. A B C D 菱形的判定定理 1： 四边都_____的四边形是菱形. 相等 O l1 l2 A C B D 2.如图，画两条互相垂直的直线 l1 和 l2，两直线相交于点 O，在 l1 上取两点 A，C，使 OA = OC，在 l2 上取两点 B，D，使 OB = OD，顺次连接 A，B，C，D，四边形 ABCD 是菱形吗？为什么？ 已知：四边形 ABCD 是平行四边形，且AC⊥BD，求证：平行四边形 ABCD 是菱形. 证明：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ AO = CO，又∵DO⊥AC, ∴ DA =DC（线段垂直平分线上 的点到两个端点的距离相等） ∴□ABCD 是菱形.（菱形的定义） 菱形的判定定理 2： 对角线_________的平行四边形是菱形. 互相垂直 如图，在□ABCD 中，对角线AC，BD相交于点O. AC =8，BD=6，AB=5，求 AD 的长. 又 ∵ AB = 5，满足 AB2 = OA2 + OB2， ∴ △AOB为直角三角形，即OA⊥OB. ∴ □ABCD是菱形，AD = AB = 5. 解 ∵ 四边形ABCD 是平行四边形， ∴ OA = AC = 4，OB = BD = 3. A B C D O 例 5 随堂练习 1. ABCD 的对角线 AC 平分∠BAD，则 ABCD_____(填“是”或“不是”)菱形. 是 2. 四边形 ABCD 是平行四边形，请补充一个条件：_________，使它是菱形. AB = BC 3. 如图在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，AC = 4，BC = 3，D 为斜边 AB 上一点，以 CD、CB 为边作平行四边形 CDEB，当 AD =_____，平行四边形 CDEB 为菱形. 1.4 4.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，对角线BD的垂直平分线与边AD，BC分别交于点M，N. 求证: 四边形BNDM是菱形. 证明：∵ AD∥ BC， ∴ ∠NBO=∠MDO 又∵ OB=OD ∠BON=∠DOM ∴ △BON≌△DOM ∴ ON=OM，BN=DM 4.如图，在梯形ABCD中，AD//BC，对角线BD的垂直平分线与边AD，BC分别交于点M，N. 求证: 四边形BNDM是菱形. ∵ OB=OD，OM=ON ∴ 四边形BNDM是平行四边形 又∵ MN⊥BD ∴ 四边形BNDM是菱形 5.一个平行四边形的一条边长是 9，两条对角线的长分别是 12 和 6 ，这是一个特殊的平行四边形吗？为什么？求出它的面积. 解：这是一个菱形. AO = CO = AC = 6， BO = DO = BD = 3 . 在 △ABO 中，∵BO2 + AO2 = (3 )2 + 62 = 81， AB2 = 92 = 81，∴△ABO 是直角三角形， ∴AC⊥BD，∴ ABCD 是菱形. S菱形ABCD = AC · BD = 36 1星题 基础练 1．[知识初练]如图，四边形ABCD为平行四边形，若AB＝2，则当BC＝________时，▱ABCD是菱形. 2 中考考法 17 2.如图，矩形的对角线， 相 交于点，, .求证：四边 形 是菱形. 证明：， ， 四边形 是平行四边形. 四边形为矩形， ， 平行四边形 是菱形. 中考考法 18 四边都相等的四边形是菱形 3.［知识初练］如图，将一矩 形纸片对折，再对折，然后沿 着虚线剪下，打开. 你发现这 菱形 四边都相等的四边形是菱形 个四边形一定是______ (填形状)，判定的依据是__________ ________________. 中考考法 19 4.如图，，分别以， 为圆心，以长 度5为半径作弧.两条弧分别相交于点和 . 依次连接，，，.连接交于点 . 中考考法 20 (1)判断四边形 的形状，并说明理由； 解：四边形 为菱形.理由如下： 由题意可知， ， 四边形 为菱形. (2) 的长为___. 6 中考考法 21 5.［知识初练］如图，的对角线 和相交于点，当 _____时， 是菱形. 中考考法 22 6．[绍兴期末]如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，AB∥CD，要使四边形ABCD为菱形，应添加的条件是______________________．(只需写出一个条件即可) AB＝CD(答案不唯一) 中考考法 23 7.[2023·淮南月考] 如图，在中，，分别是， 上的点，且，.求证：四边形 是菱形. 中考考法 24 证明： 四边形 是平行四边形， ， . , . 又, 四边形 是平行四 边形. 又, 四边形 是菱形. 中考考法 25 菱形的判定 课堂小结 1.有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形. 2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 3.四条边都相等的四边形是菱形. $