河北承德市兴隆县第一中学2026届高三下学期5月模拟调研卷 数学(一)

**基本信息** 2026年高考数学模拟卷聚焦逻辑推理与数学建模，通过立体几何外接球、概率分布列、抛物线定点等问题，考查数学眼光观察、数学思维分析及数学语言表达能力，适配高考命题趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|集合、复数、立体几何（面面垂直）、概率（条件概率）|多选题结合点球比赛情境，考查数学抽象| |填空题|3题15分|正态分布、圆锥体积（内接正方体）、三角函数最值|第13题融合空间几何与方程思想，体现空间观念| |解答题|5题77分|概率分布列、立体几何线面角、数列证明、抛物线定点、函数导数|第18题抛物线定点问题，综合向量与方程，考查数学建模；第19题导数证明，层次递进，培养理性精神|

2026 年普通高等学校招生全国统一考试模拟调研卷 数学 (一) 本试卷总分 150 分, 考试时间 120 分钟. 注意事项: 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号.回答非选择题时, 将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合 ，若 ，则 的取值集合为( ) A. B. C. D. 2. 若复数 的共轭复数 ，则 ( ) A. B. C. D. 3. 已知 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，若 ，则 “ ” 是 “ ”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知向量 ，若向量 在 上的投影向量相等，则 ( ) A. 2 B. 1 C. D. -1 5. 若 ，则 ( ) A. B. C. D. 6. 已知函数 ,若函数 与 的图象关于直线 对称,且 ,则 ( ) A. B. C. D. 7. 已知直线 与圆 相交于 两点， 为坐标原点，若 ，则 ( ) A. B. 4 C. D. 8. 在四面体 中,平面 平面 ,若点 均在球 的球面上,且 ,则球 的表面积为( ) A. B. C. D. 二、选择题: 本题共 3 小题, 每小题 6 分, 共 18 分.在每小题给出的选项中, 有 多项符合题目要求.全部选对的得 6 分, 部分选对的得部分分, 有选错的得 0 分. 9. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ,上顶点为 ,过点 作垂直于 的直线交 于 两点,则() A. 的离心率为 B. 的短轴长为 C. 为等边三角形 D. 为等边三角形 10. 甲、乙两人进行足球点球比赛，用抽签的方式决定谁先进行，甲、乙抽中的机会均等. 每次点球若射中，则继续；若未射中，则换对方点球. 已知甲、乙每次点球射中的概率分别为 ，且每次点球是否射中相互独立，则( ) A. 第 2 个球是甲射门的概率为 B. 在第 1 个球和第 2 个球均是甲射门的条件下,第 3 个球是乙射门的概率为 C. 前 4 个球中甲、乙各射 2 个的概率为 D. 在第 3 个球是甲射门的条件下,第 1 个球是乙射门的概率为 11. 已知正方体 的棱长为 2,动点 在该正方体内部及其表面上运动, 为 的中点,则下列说法正确的是 ( ) A. 若 ，则三棱锥 的体积为定值 B. 若 ，则动点 轨迹的长度为 2 C. 若点 到平面 与 的距离相等，则 的最小值为 3 D. 若点 到平面 与 的距离相等，则直线 与 一定不垂直 三、填空题:本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 已知随机变量 服从正态分布 ,若 ,则 的值为_____. 13. 若圆锥的底面半径与其内接正方体(四个顶点在圆锥的底面上，另四个顶点在圆锥的侧面上)的棱长均为 1，则该圆锥的体积为_____. 14. 已知函数 ，则 的最小值为_____. 四、解答题:本题共 5 小题, 共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤. 15. 将 3 个标号不同的红球和 2 个标号不同的白球排成一排. (1)求 2 个白球均不排在两端的所有排法种数； (2)记 为 2 个白球之间红球的个数，求 的分布列. 16. 如图,在四棱锥 中,底面 是边长为 2 的正方形, 分别为 的中点,平面 底面 . (1)证明: ； (2)若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值. 17. 已知数列 前 项的积为 . (1)判断 是否成等差数列，并给出证明; (2) 令 ，求数列 的前 项和 ， 18. 已知点 在抛物线 上,直线 . (1)求抛物线 的方程； (2)点 在 上，且以 为直径的圆过坐标原点 ，若直线 交 于另一点 ，直线 交 于另一点 . (i) 证明: 直线 过定点,并求出该定点坐标; (ii) 是否存在 ,使得 的面积为 面积的 2 倍？若存在，求出 的值；若不存在, 说明理由. 19. 已知函数 . (1)求 的单调区间； (2) 记 ,若 ,证明: (3)记 的导函数为 ，证明:当 时， . 1. C 若 ,则 ,此时 ,不符合题意; 若 ,解得 ,则 ,此时 ,符合题意. 综上, 的取值集合为 . 2. B 由题意知 ,所以 . 3. C 若 ,则 ,又 ,所以 ; 反之,若 ,则 ,又 ,所以 , 则“ ” 是 “ ” 的充要条件. 4. A 根据向量投影相等的条件,推导出 ,再利用向量垂直的数量积为 0 列方程求解 . 由题意得 ,即 , 整理得 ,所以 ,解得 . 5. A 应用诱导公式及二倍角公式化简,再应用正弦值域得出 ,最后结合同角三角函数关系计算求值. 由题意得 ,所以 . 因为 ,所以 ,所以 ,且 , 所以 ,可得 . 6. B 根据两函数图象关于直线 对称及 得到 ,结合 的范围代入求解即可. 由题意知 ,所以 ,所以 因为 ,所以 ,所以 ,解得 . 7. C 先根据 得出圆心与线段 中点的连线与直线 垂直,进而求出圆心到直线的距离, 再结合圆的半径, 即可得弦长. 由 ,则 在 的垂直平分线上, 又圆的弦 的垂直平分线过圆心 , 故 为 的垂直平分线,即 , 所以 ,解得 , 所以直线 的方程为 , 则圆心 到直线 的距离 , 又圆的半径 ,所以 . 8. D 取 的中点 ,由条件可得点 为 的外心,由平面 平面 ,可得四面体 的外接球球心 为 的外心,利用正弦定理即可求得其半径,进而求出答案. 如图,取 的中点 ,因 ,则点 为 的外心, 又因平面 平面 ,平面 平面 , 故四面体 的外接球球心 必在平面 内,且是 的外心, 易得 平面 ,故有 , 在 中, ,由正弦定理, ,则 , 故四面体 的外接球 的表面积为 . 9. AC 先根据椭圆方程应用焦点坐标列式得出 ,进而求出离心率及短轴长,判断 , B, C, 最后结合椭圆定义求出边长判断 D. 由 的左、右焦点分别为 ,得 ,解得 , 则 ,所以 的离心率 ,短轴长为 , 又因为 ,所以 为等边三角形,故选项 正确,选项 错误, 选项 C 正确; 由题意设 ,则 ,解得 , 所以 ,又 , 所以 ,即 不是等边三角形,故选项 错误. 10. AC 对于 : 可得第 2 个球是甲射门的可能情况为: 甲甲,乙甲,进而求概率; 对于 B:分析可知第 2 球甲未射中，即可得概率；对于 C:可能情况有:甲甲乙乙，甲乙甲乙， 甲乙乙甲, 乙甲甲乙, 乙甲乙甲, 乙乙甲甲, 进而求概率; 对于 D: 分析可能情况的组成, 结合条件概率公式运算求解. 记 “抽签抽到甲”, “甲点球射中”, “抽签抽到乙”, “乙点球射中”, 则 ,可得 , 对于选项 A:第 2 个球是甲射门的可能情况为:甲甲，乙甲， 所以所求事件的概率为 ,故 A 正确; 对于选项 B:在第 1 个球和第 2 个球均是甲射门的条件下，第 3 个球是乙射门，可知第 2 球甲未射中, 所以所求事件的概率为 ,故 错误; 对于选项 C:若前 4 个球中甲、乙各射 2 个，则可能情况有: 甲甲乙乙，甲乙甲乙，甲乙乙甲，乙甲甲乙，乙甲乙甲，乙乙甲甲， 所求的概率为 ,故 C 正确; 对于选项 D: 第 3 个球是甲射门的可能情况为: 甲甲甲, 乙甲甲, 甲乙甲, 乙乙甲, 对应的概率为 , 第 1 个球是乙射门且 3 个球是甲射门的可能情况为: 乙甲甲, 乙乙甲, 对应的概率为 , 所以所求事件的概率 ,故 错误. 11. ACD 对 ,由 得 在中截面内,利用等体积法计算体积; 对 ,由 得 在两平面交线,计算轨迹线段长度; 对 ,由点 到两平面距离相等得其在对角面内, 用对称点转化为两点间距离求 最小值; 对 ,由 得 在球面上,通过球心到平面距离与半径比较. 对于 A: 分别取棱 的中点 ,则 四点共面, 且四边形 为正方形,若 ,则点 在平面 内,且 到平面 的距离 为定值 1,所以 , 正确; 对于 B: 若 ，则点 既在正方形 内及其边界上，又在对角面 内, 所以点 的轨迹为线段 ,其长度为 , B 错误; 对于 : 若点 到平面 与 的距离相等,则点 在对角面 内,取 的中点 , 则点 关于平面 对称,所以 , 正确; 对于 : 若 ,则点 在以 为直径的球面上,球心为 中点,半径 , 而点 到平面 的距离为 ,所以平面 与以 为直径的球面无公共点, 正确. 12. 2 由 ,得 , 由正态分布的对称性,得 ,所以 的值为 2 . 13. 根据圆锥底面与内接正方体棱长的关系, 求出圆锥的高, 再利用圆锥体积公式即可求得. 设圆锥的高为 ,则由相似三角形对应边成比例可得: ,解得 , 所以该圆锥的体积 . 14. 对函数 进行求导,根据三角函数周期性并求出其单调性,得出函数极值,即可求得其最小值. 由 ,得 因为 ,所以当 时, ; 当 时, , 又 满足 ，所以 为 的一个周期， 所以当 时， 单调递增; 当 时, 单调递减; 当 时, 单调递增. 因为 ,所以当 时, 的最小值为 . 即当 时, 的最小值为 . 15. (1)36 (2) 0 1 2 3 2 5 1 5 (1)根据分步乘法计数原理,先选好白球位置,剩下的给红球;(2)先确定 所有可能取值, 再计算相应的概率. (1)先从中间的 3 个空位中选出 2 个空位排 2 个白球, 再把 3 个红球全排放入剩下 的 3 个空位,共 (种), 所以 2 个白球均不排在两端的所有排法种数为 36 . (2)由题意知 的所有可能取值为0,1,2,3, 则 所以 的分布列为 0 1 2 3 2 5 3 10 1 5 16.(1)因为底面 是边长为 2 的正方形， 分别为 的中点，所以 因为平面 底面 ,平面 底面 底面 , 所以 平面 , 因为 平面 , 所以 . (2)由(1)及底面 为正方形，可得 ， 又正方形的边长为 分别为 的中点 , 所以 , 在 中， ， 所以 ,所以 两两垂直. 以 为坐标原点,以 所在直线分别为 轴,建立如图所示的空间直角坐标系, 则 , 设平面 的法向量为 , 则 ,得 , 令 ,则 , 所以平面 的一个法向量 . 设直线 与平面 所成的角为 , 则 , 所以直线 与平面 所成角的正弦值为 . 17.(1) 成等差数列. 证明: 因为数列 前 项的积 ,所以当 时, , 当 时, ,符合上式, 所以 , 所以 , 因此 成等差数列. (2)由(1)可得 ， 所以 , 所以 . 所以数列 的前 项和 . 18.(1) 因为点 在抛物线 上, 所以 ,解得 ,所以 的方程为 . (2)(i)证明:由题意不妨设 ， ， 则 , 因为以 为直径的圆过坐标原点 ,所以 , 则 ,即 . 显然直线 的斜率不为 0,设直线 , 联立 ,消去 得 , 则 , 因为 三点共线,则 ,解得 , 又 三点共线,则 ,解得 , 所以 ,又 ,得 , 所以直线 ,即直线 过定点 . (ii) 由 (i) 知 ,直线 , 且 , 而点 到直线 的距离为 ,且 , 所以 , 而 , 若 ,则 , 整理得 ,即 ,方程有解,则 . 即存在 ,使得 的面积为 面积的 2 倍,此时 . 19. (1) 由题意得 的定义域为 ,且 , 令 ,则 恒成立,所以 在 上单调递增, 又 ,故当 时, 在 上单调递减; 当 时, 在 上单调递增, 所以 的单调递减区间为 ,单调递增区间为 . (2)由(1)知， ，即 ， 即 , 所以 即 . (3)因为 ，令 ，则 ， ，且 ， 又 ,则 令 ,则 ,故 在 上单调递增, 所以 ,即 ,所以当 时, , 又当 时, ,所以当 时, 即当 时 . 学科网（北京）股份有限公司 $