2026年湖南省长沙市九年级中考数学模拟练习试题

2026年湖南省长沙市九年级中考数学模拟练习试题 （考试时间：120分钟，分值：120分） 第Ⅰ卷 1、 选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．的绝对值是（    ） A． B． C． D． 2. 下列著名曲线中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 3．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 5. 如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，， 点坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 6. 最近中国“宇树科技”的“机器狗技术”发展迅速．在正常状态下，机器狗的小腿和大腿有一定夹角 （如图1）．图2是机器狗正常状态下的腿部简化图，其中，． 机器狗正常状态下的高度可以看成，两点间的距离，则机器狗正常状态下的高度为（    ） A．40cm B． C． D． 7. 盒中有四张卡片，分别印有孤岛槐林、黄河入海口、红色刘集、孙子文化园图案， 它们的形状和大小完全相同．两名同学先后从中随机抽取一张卡片（抽完后放回）， 则他们抽到的卡片图案相同的概率为（    ） A． B． C． D． 8. 某商家设计了一个水箱水位自动报警仪，其电路图如图1所示，其中定值电阻， 是一个压敏电阻，用绝缘薄膜包好后放在一个硬质凹形绝缘盒中，放入水箱底部，受力面水平， 承受水压的面积S为0.01，压敏电阻的阻值随所受液体压力F的变化关系如图2所示 （水深h越深，压力F越大），电源电压保持6V不变，当电路中的电流为0.3A时， 报警器（电阻不计）开始报警，水的压强随深度变化的关系图象如图3所示 （参考公式：，，）．则下列说法中不正确的是（    ） A．当水箱未装水（）时，压强p为0kPa B．当报警器刚好开始报警时，水箱受到的压力F为40N C．当报警器刚好开始报警时，水箱中水的深度h是0.8m D．若想使水深1m时报警，应使定值电阻的阻值为 9. 如图，是的直径，是的弦，，垂足为，连接并延长， 与过点的切线相交于点，连接．若的半径为，，则的长是（    ） A． B． C． D． 10. 如图1，是等边三角形，在边上，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发， 沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为，为． 当动点沿匀速运动到点时，与的函数图象如图2所示．有以下四个结论： ①； ②当时，； ③当时，； ④动点沿匀速运动时，两个时刻，分别对应和，若，则． 其中正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①② C．③④ D．①②④ 第Ⅱ卷 二、填空题(本大题包括8个小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个正确选项) 11．如图，菊花1角硬币为外圆内正九边形的边缘异形币，则该正九边形的一个内角大小为 ． 12. 围棋起源于中国，棋子分黑白两色一个不透明的盒子中装有个黑色棋子和若干个白色棋子， 每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是， 则盒中棋子的总个数是 个 13．如图，两条直线，分别经过正六边形的顶点B，C，且．当时， ． 14．代数式与代数式的值相等，则 ． 15. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点， 则代数式的值为 ． 16．如图，将的一部分沿着弦翻折，劣弧恰好经过圆心，，则的半径为 17. 某科技公司为测试甲、乙两款机器人的性能，在的直线跑道上进行过障碍测试． 甲、乙两款机器人同时从起点匀速出发，它们与起点的距离，（）与甲、乙出发时间（）的函数图象如图所示．出发秒后，乙出现失误摔倒，在经过秒的快速调整后， 重新以之前的速度继续匀速前行直到终点．则甲乙第二次相遇时的时间是______秒． 18. 如图，正方形纸片的边长为4，点是边的中点，连接，先将纸片沿直线折叠， 使点落在四边形内的点处，延长交于点，再将纸片沿过点的直线折叠， 使点落在上的点处，折痕交于点，则______． 三、解答题(本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第 23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 19．计算： 20. 解不等式组：，并写出它的所有整数解． 21. 某校为了解七、八年级学生对“航空航天”知识的掌握情况， 在两个年级中随机抽取了部分学生进行测 试．现将测试成绩（单位：分） 按级（测试成绩）、级（测试成绩）、级（测试成绩） 三个等级进行整理与分析． 七年级学生测试成绩：68，68，72，73，74，82，82，85，85，85，92，92； 八年级学生测试成绩：60，69，69，77，79，82，84，84，84，88，90，90，93，93，94． 根据以上信息，解答下列问题： (1) 补全七年级学生测试成绩条形统计图． (2) 求八年级学生测试成绩扇形统计图中级所对应的圆心角的度数． (3) 已知该校七年级有名学生，八年级有名学生， 估计全校七年级和八年级总共有多少名学生测试成绩能够达到A级． 22. 如图，在中，，点是边上一点，以点为圆心， 为半径的半圆交边于点，与相切于点，连接，． (1) 求证：平分； (2) 若，求该圆的直径． 23. 综合与实践 背景 2025年2月7日亚洲冬季奥运会在哈尔滨举行，冬运会的口号是“冰雪同梦， 亚洲同心”吉祥物“滨滨”和“妮妮”正式亮相 图片 素材一 育苗中学准备举行“第9届冬运会”知识竞赛活动， 拟购买30套吉祥物“滨滨”和“妮妮”作为竞赛奖品， 某商店有甲、乙两种规格，其中乙规格比甲规格每套贵20元． 素材二 用700元购买甲规格与用900元购买乙规格的数量相同 素材三 购买甲规格数量不超过乙规格数量的2倍 问题一 甲、乙两种规格每套吉祥物的价格分别是多少？ 问题二 如何购买才能使总费用最少？ 24. 图1是我国古代提水的器具桔槔（）；创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿； 大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物；前端连接小竹竿 （小竹竿始终与地面垂直）；小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力；从而提水出井．当放松大竹竿时；小竹竿下降；水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图； 大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，． (1) 如图2，求支点O到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）； (2) 如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置；此时； 求点A上升的高度（结果精确到0.1米）． （参考数据：） 25. 如图，在矩形中，，，点E是线段上一点， 连接，过点E作，交于点F． 【一般化感知】 （1）如图，求证：； 【特殊化探究】 （2）如图，连接交于点G．若，求的长； 【拓展性延伸】 （3）如图，连接，过点C作，交的延长线于点H．若点E是的中点，求的长． 26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴交于、两点，交轴于，顶点为．点在此抛物线上，其横坐标分别为，，连接，． (1) 求抛物线的解析式； (2) 当点都在第一象限时，，求的值； (3) 设此抛物线点与点之间的部分（包括点）的最高点与最低点的纵坐标的差为， ① 求关于的函数解析式； ② 当随增大而增大时，直接写出的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年湖南省长沙市九年级中考数学模拟练习试题（解析版） （考试时间：120分钟，分值：120分） 第Ⅰ卷 1、 选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中， 只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．的绝对值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查绝对值的定义，熟练掌握绝对值的定义是解题的关键，根据绝对值的定义即可得到答案． 【详解】解：由题可得：， 故选：A． 2. 下列著名曲线中，既是轴对称图形也是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查轴对称图形以及中心对称图形，熟练掌握轴对称图形以及中心对称图形是解题的关键．根据轴对称图形以及中心对称图形的定义即可得到答案． 【详解】 解：是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项A不符合题意； 不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项B不符合题意； 既是轴对称图形也是中心对称图形，故选项C符合题意； 是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项D不符合题意； 故选：C． 3．下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了去括号，合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，掌握去括号，合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法的运算法则是解题的关键．根据相关运算法则运算判断，即可解题． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，不符合题意； B、，选项运算错误，不符合题意； C、，选项运算错误，不符合题意； D、，选项运算正确，符合题意； 故选：D． 4．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用平方差公式通分，再约分化简即可． 【详解】解：， 故选A． 5. 如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形，， 点坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由可知与的位似比为，且图形位于原点两侧，故对应点坐标互为相反数且倍数关系为． 【详解】解：∵与是以原点为位似中心的位似图形，， ∴与的相似比为，由图可知，与关于原点对称 ∴点与点是对应点，且点的横、纵坐标分别是点横、纵坐标的倍， 设点的坐标为，则点的坐标为， ∵点的坐标为， ∴， 解得， ∴点的坐标为． 根据与以原点为位似中心，相似比是2，再根据上一点的坐标是，则在中，它的对应点的坐标是或，再根据图形即可求出点E的坐标． 【详解】解：∵与是以原点O为位似中心的位似图形，， ∴，相似比为2， ∵点B坐标为， ∴点E的坐标是． 故选D． 6. 最近中国“宇树科技”的“机器狗技术”发展迅速．在正常状态下，机器狗的小腿和大腿有一定夹角 （如图1）．图2是机器狗正常状态下的腿部简化图，其中，． 机器狗正常状态下的高度可以看成，两点间的距离，则机器狗正常状态下的高度为（    ） A．40cm B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质等知识，连接，过B作于D，根据等边对等角和三角形的内角和定理求出，，根据含角的直角三角形的性质求出，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：连接，过B作于D， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即机器狗正常状态下的高度为， 故选：D． 7. 盒中有四张卡片，分别印有孤岛槐林、黄河入海口、红色刘集、孙子文化园图案， 它们的形状和大小完全相同．两名同学先后从中随机抽取一张卡片（抽完后放回）， 则他们抽到的卡片图案相同的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了列表法求概率，通过列举所有可能的抽取结果，再找出两人抽到卡片图案相同的结果，最后根据概率公式计算出相应概率． 【详解】解：记印有孤岛槐林、黄河入海口、红色刘集、孙子文化园图案的卡片分别为a，b，c，d，列表如下： a b c d a b c d 由表格可知，共有16种等可能的结果，其中他们抽到的卡片图案相同的结果有4种， ∴所求概率为， 故选：D． 8. 某商家设计了一个水箱水位自动报警仪，其电路图如图1所示，其中定值电阻， 是一个压敏电阻，用绝缘薄膜包好后放在一个硬质凹形绝缘盒中，放入水箱底部，受力面水平， 承受水压的面积S为0.01，压敏电阻的阻值随所受液体压力F的变化关系如图2所示 （水深h越深，压力F越大），电源电压保持6V不变，当电路中的电流为0.3A时， 报警器（电阻不计）开始报警，水的压强随深度变化的关系图象如图3所示 （参考公式：，，）．则下列说法中不正确的是（    ） A．当水箱未装水（）时，压强p为0kPa B．当报警器刚好开始报警时，水箱受到的压力F为40N C．当报警器刚好开始报警时，水箱中水的深度h是0.8m D．若想使水深1m时报警，应使定值电阻的阻值为 【答案】B 【分析】根据题意结合图、图、图可得，，对各个选项进行逐个计算即可． 【详解】A. 由图得：当时，，故此项说法正确； B. 当报警器刚好开始报警时，，解得，由图可求得：，解得，故此项说法错误； C. 当报警器刚好开始报警时，由上得，则有，，由图求得，，解得：，故此项说法正确； D. 当报警器刚好开始报警时：，，当时，，，，，故此项说法正确． 故选：B． 9. 如图，是的直径，是的弦，，垂足为，连接并延长， 与过点的切线相交于点，连接．若的半径为，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查垂径定理、圆的切线的性质、相似三角形的性质及判定圆周角定理的推论等，根据垂径定理容易求，然后证明，可求得． 【详解】如图所示，连接． 因为是的直径，， 所以垂直平分线段，． 所以，． 所以． 因为是的切线， 所以． 所以． 又因为． 所以． 所以． 所以． 故选：C 10. 如图1，是等边三角形，在边上，，动点以每秒1个单位长度的速度从点出发， 沿折线匀速运动，到达点后停止，连接．设点的运动时间为，为． 当动点沿匀速运动到点时，与的函数图象如图2所示．有以下四个结论： ①； ②当时，； ③当时，； ④动点沿匀速运动时，两个时刻，分别对应和，若，则． 其中正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．①② C．③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】由图知当动点沿匀速运动到点时，，作于点，利用解直角三角形和勾股定理，即可得到，即可判断①，当时，证明是等边三角形，即可判断②，当时，且时，最小，求出最小值即可判断③，利用勾股定理分别表示出和进行比较，即可判断④． 【详解】解：由图知当动点沿匀速运动到点时，， 作于点， 是等边三角形，点在边上，， ，， ，， ， ， 故①正确； 当时，，， ， 是等边三角形， ， ， 故②正确； 当时，且时，最小， ，， ， 最小为，即能取到， 故③错误； 动点沿匀速运动时， ，， ，，， ； 当时，，， ； ， ； 故④正确； 综上所述，正确的有①②④， 故选：D． 第Ⅱ卷 二、填空题(本大题包括8个小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个正确选项) 11．如图，菊花1角硬币为外圆内正九边形的边缘异形币，则该正九边形的一个内角大小为 ． 【答案】140°/140度 【分析】根据正多边形的内角公式：一个内角的度数，代入即可得出答案． 【详解】解：代入正多边形的内角公式得： 正九边形的一个内角度数 故答案为：140°． 12. 围棋起源于中国，棋子分黑白两色一个不透明的盒子中装有个黑色棋子和若干个白色棋子， 每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是， 则盒中棋子的总个数是 个 【答案】 【分析】根据黑色棋子除以相应概率可以算出棋子的总数． 【详解】解：由题意：设棋子的总数为个 解得 故答案为：20． 13．如图，两条直线，分别经过正六边形的顶点B，C，且．当时， ． 【答案】97 【分析】本题考查正多边形内角和问题，平行线的性质，先根据正六边形内角和公式求出单个内角的度数，再根据平行线的性质求解． 【详解】解：如图， 正六边形内角和为：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：97． 14．代数式与代数式的值相等，则 ． 【答案】 【分析】根据题意列出方程，求出方程的解即可得到的值． 【详解】根据题意得：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 经检验是分式方程的解． 故答案为：． 15. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象交于点， 则代数式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的意义，分式的化简求值，熟练掌握相关知识是解题的关键；将分别代入反比例函数和一次函数解析式，得，，再代入变形后的式子求解即可． 【详解】解：∵点经过， ∴， ∵经过， ∴， ∵， 故答案为． 16．如图，将的一部分沿着弦翻折，劣弧恰好经过圆心，，则的半径为 【答案】 【分析】本题考查的是翻转变换的性质、垂径定理，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键． 过O作垂直于的半径，设交点为D，连接,根据折叠的性质可求出的长；根据勾股定理可，由垂径定理知，进而列方程求解即可． 【详解】解：过O作于D，交于C，连接，设， 由折叠可知：， 中，，， 根据勾股定理，得：， ∴， 解得：（负值已经舍去） 故答案 ：． 17. 某科技公司为测试甲、乙两款机器人的性能，在的直线跑道上进行过障碍测试． 甲、乙两款机器人同时从起点匀速出发，它们与起点的距离，（）与甲、乙出发时间（）的函数图象如图所示．出发秒后，乙出现失误摔倒，在经过秒的快速调整后， 重新以之前的速度继续匀速前行直到终点．则甲乙第二次相遇时的时间是______秒． 【答案】 【分析】先根据图像求出甲全程匀速的速度，得到甲的距离函数；再分三段分析乙的运动，求出乙在、、时三个时间段的分段距离函数；最后在的阶段令列方程求解，得到甲乙第二次相遇的时间． 【详解】解：甲的函数关系： 由图可知：甲匀速走用时， ∴甲的速度， ∴甲距离起点的距离为： 乙的分段函数关系： 由图可得： 乙前秒走， ∴乙原来的速度； 当时，乙距离起点的距离为：； 当时（摔倒调整秒，到秒），乙静止，乙距离起点的距离为：； 当时，乙恢复原速继续走，因此乙距离起点的距离为：； 第二次相遇：时，令， 即：， 解得，符合范围， 因此甲乙第二次相遇的时间是秒． 18. 如图，正方形纸片的边长为4，点是边的中点，连接，先将纸片沿直线折叠， 使点落在四边形内的点处，延长交于点，再将纸片沿过点的直线折叠， 使点落在上的点处，折痕交于点，则______． 【答案】 【分析】首先求出，推出，设，则，，表示出，如图，连接，证明出，得到，表示出，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：∵正方形纸片的边长为4， ∴， ∵点是边的中点 ∴ ∴ ∵ ∴ 由折叠得，， ∴ ∴ ∴设，则，， 由折叠得，，，， ∴ 如图，连接 由折叠得， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 由折叠得， ∴在中， ∴ 解得或 当时，，不符合题意，舍去； ∴ ∴． 三、解答题(本大题共8个小题，第19、20题每小题6分，第21、22题每小题8分，第 23、24题每小题9分，第25、26题每小题10分，共66分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 19．计算： 【答案】 【分析】先利用零次幂、算术平方根、负整数次幂、特殊角的三角函数值化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 20. 解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】；，， 【分析】先求出每个不等式的解集，再求不等式组的解集，最后写出所有整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①， ， 解不等式②， ， 不等式组的解集为． 所有整数解为，，． 21. 某校为了解七、八年级学生对“航空航天”知识的掌握情况， 在两个年级中随机抽取了部分学生进行测 试．现将测试成绩（单位：分） 按级（测试成绩）、级（测试成绩）、级（测试成绩） 三个等级进行整理与分析． 七年级学生测试成绩：68，68，72，73，74，82，82，85，85，85，92，92； 八年级学生测试成绩：60，69，69，77，79，82，84，84，84，88，90，90，93，93，94． 根据以上信息，解答下列问题： (1) 补全七年级学生测试成绩条形统计图． (2) 求八年级学生测试成绩扇形统计图中级所对应的圆心角的度数． (3) 已知该校七年级有名学生，八年级有名学生， 估计全校七年级和八年级总共有多少名学生测试成绩能够达到A级． 【答案】(1)条形统计图见解析； (2)； (3)名． 【分析】（）先求出七年级级人数为人，然后补全统计图即可； （）根据八年级等级的人数和调查的总人数，可以计算出扇形统计图中“”对应扇形的圆心角的度数； （）利用样本估计总体即可． 【详解】（1）解：七年级级人数为：（人）， 补全七年级学生测试成绩条形统计图如图， （2）解：， 答：八年级学生测试成绩扇形统计图中级所对应的圆心角的度数为； （3）解：由样本估计总体得，（人）， 答：估计全校七年级和八年级总共有名学生测试成绩能够达到级． 22. 如图，在中，，点是边上一点，以点为圆心， 为半径的半圆交边于点，与相切于点，连接，． (1) 求证：平分； (2) 若，求该圆的直径． 【答案】(1)见详解； (2) 【分析】（1）根据相切的性质，平行线的性质，圆心角等于圆周角的一半即可求证； （2）设半径，证，根据相似比求解即可． 【详解】（1）证明：∵与半圆相切于点， ∴， ∵， ∴， ∵是所对的圆心角，是所对的圆周角， ∴， ∴， ∴平分． （2）解：设半径， ∵以点为圆心，为半径的半圆交边于点， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， 即直径． 23. 综合与实践 背景 2025年2月7日亚洲冬季奥运会在哈尔滨举行，冬运会的口号是“冰雪同梦， 亚洲同心”吉祥物“滨滨”和“妮妮”正式亮相 图片 素材一 育苗中学准备举行“第9届冬运会”知识竞赛活动， 拟购买30套吉祥物“滨滨”和“妮妮”作为竞赛奖品， 某商店有甲、乙两种规格，其中乙规格比甲规格每套贵20元． 素材二 用700元购买甲规格与用900元购买乙规格的数量相同 素材三 购买甲规格数量不超过乙规格数量的2倍 问题一 甲、乙两种规格每套吉祥物的价格分别是多少？ 问题二 如何购买才能使总费用最少？ 【答案】问题一、甲规格每套元，则乙规格每套元； 问题二、购买甲规格的套，乙规格的套时，使总费用最少． 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一次函数的应用、一元一次不等式的应用． 问题一、设甲规格每套元，则乙规格每套元，根据用700元购买甲规格与用900元购买乙规格的数量相同，可列方程：，解方程求出两种规格的单价； 问题二、设甲规格购买了套，则乙规格购买了套，列不等式求出，购买费用为，所以随着的增大而减小，购买甲规格的套，乙规格的套时，使总费用最少． 【详解】问题一、解：设甲规格每套元，则乙规格每套元， 根据题意可得：， 去分母得：， 整理得：， 解得：， 经检验是分式方程的解， ， 答：甲规格每套元，则乙规格每套元； 问题二、解：设甲规格购买了套，则乙规格购买了套， 根据题意可得：， 解不等式得：， 则购买的总费用是， ， 随着的增大而减小， 当时，才能使购买总费用最少， 最少费用是(元)， 此时(套)， 答：购买甲规格的套，乙规格的套时，使总费用最少． 23. 图1是我国古代提水的器具桔槔（）；创造于春秋时期．它选择大小两根竹竿； 大竹竿中点架在作为杠杆的竹梯上．大竹竿末端悬挂一个重物；前端连接小竹竿 （小竹竿始终与地面垂直）；小竹竿上悬挂水桶．其原理是通过对架在竹梯上的大竹竿末端下压用力；从而提水出井．当放松大竹竿时；小竹竿下降；水桶就会回到井里．如图2是桔槔的示意图； 大竹竿米，O为的中点，支架垂直地面，此时水桶在井里时，． (1) 如图2，求支点O到小竹竿的距离（结果精确到0.1米）； (2) 如图3，当水桶提到井口时，大竹竿旋转至的位置，小竹竿至的位置；此时； 求点A上升的高度（结果精确到0.1米）． （参考数据：） 【答案】(1)1.7米 (2)0.6米 【分析】（1）作于点，则，由题意得：，，求得，米，根据，即可求解； （2）由（1）知，，，可求得米，作于点，则，同理可得，，，根据，可求得，即可求解． 【详解】（1）解：如图，作于点，则， 由题意得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵O为的中点，米， ∴米， 在中，， ，， ∴支点到小竹竿的距离（米）； （2）解：由（1）知，，， ∴米， 如图，作于点，则， 同理可得，， ∴， 在中，， ， ∴， ∴米， ∴水桶在竖直方向上升的距离约为0.6米． 25. 如图，在矩形中，，，点E是线段上一点， 连接，过点E作，交于点F． 【一般化感知】 （1）如图，求证：； 【特殊化探究】 （2）如图，连接交于点G．若，求的长； 【拓展性延伸】 （3）如图，连接，过点C作，交的延长线于点H．若点E是的中点，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意得到，再根据矩形的性质，即可得到结论； （2）由（1）可得，求出，得到，过点作，得到，求出，由得到； （3）过点作，交的延长线于点，由得到，设，则，，可证明，得到，求出． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：由（1）可得， ， ∴， ∴， ， 如图，过点作， ∵四边形是矩形， ∴， ， ∴， ， ， ， ．即， ； （3）解：如图，过点作，交的延长线于点． ， ， ∵， ， ， ∵， ， ，即， ， 设，则， ∴由勾股定理可得：， 点是的中点， ， 同理可证， ，即， 解得， ． 26. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴交于、两点，交轴于，顶点为．点在此抛物线上，其横坐标分别为，，连接，． (1) 求抛物线的解析式； (2) 当点都在第一象限时，，求的值； (3) 设此抛物线点与点之间的部分（包括点）的最高点与最低点的纵坐标的差为， ① 求关于的函数解析式； ② 当随增大而增大时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)①；②或 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）过作于，过作于，可得，，，，，由得，再根据列出方程即可求解； （）由二次函数解析式可得顶点，，，分四种情况结合图形解答即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线交轴交于、两点，交轴于， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：过作于，过作于，则， ∵点都在第一象限，在此抛物线上，其横坐标分别为， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的值为； （3）解：①∵， ∴顶点为， ∵点在此抛物线上，其横坐标分别为， ∴，， 如图，当点都在顶点左侧时，，为最低点，为最高点， 则； 如图，当点在点左侧，在顶点右侧时，，为最低点，为最高点， 则； 如图，当点在点左侧，在顶点右侧时，，为最低点，为最高点， 则； 如图，当点都在顶点右侧时，，为最低点，为最高点， 则； ∴； ②当时，抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴当时，随增大而增大， 又∵， ∴； 当时，抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴当时，随增大而增大， ∵， ∴此种情况不存在； 当时，抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴当时，随增大而增大， ∵， ∴； 当时，抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴当，随增大而增大， ∵， ∴； 综上，当随增大而增大时，的取值范围为或． 学科网（北京）股份有限公司 $