19.3.1.2 矩形的判定-课件--2025--2026学年沪科版数学八年级下册

沪科版数学8年级下册培优精做课件 授课教师： Home . 班 级： 8年级（*）班 . 时 间： . 2026年5月4日 19.3.1.2 矩形的判定 第19章 四边形 沪科版数学八下19.3.1.2 矩形的判定 本套内容围绕沪科版八年级下册19.3.1.2“矩形的判定”核心知识点设计，衔接上一课时矩形的性质（角、对角线）及平行四边形的四种判定方法，重点讲解矩形的三种核心判定方法、判定与性质的区别、推导过程，以及矩形判定在几何证明中的应用，兼顾知识点梳理、例题解析、分层练习题和易错辨析，帮助同学们熟练掌握矩形的判定条件，能灵活运用判定方法证明一个四边形是矩形，规范推理步骤，培养几何推理和综合应用能力，贴合课堂教学重点，适配课后巩固练习。 一、核心知识点梳理 （1）复习回顾（衔接前期知识） 前期我们学习了矩形的性质和平行四边形的判定，二者是互逆关系，为矩形判定的学习奠定基础： - 矩形的性质：① 共性（平行四边形性质）：对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分；② 特有性质：四个角都是直角、对角线相等； - 平行四边形的判定：两组对边分别平行、两组对边分别相等、一组对边平行且相等、对角线互相平分； - 关键衔接：矩形是特殊的平行四边形，因此矩形的判定可在平行四边形判定的基础上，增加“直角”或“对角线相等”的条件，也可直接通过“四个角是直角”判定。 （2）矩形的判定方法（重点，3种核心方法） 矩形的判定核心是“先判定为平行四边形，再补充特有条件”，或“直接判定为矩形”，三种方法需牢记条件、几何语言，灵活选择。 ① 判定方法1（定义判定法，最基础） 1. 判定内容：有一个角是直角的平行四边形是矩形（与矩形的定义互逆）； 2. 核心逻辑：先判定四边形是平行四边形，再证明有一个角是直角； 3. 几何语言表示（以四边形ABCD为例）： ∵ 四边形ABCD是平行四边形，且∠A=90°（或∠B、∠C、∠D中任意一个角为90°），∴ 四边形ABCD是矩形； 4. 关键说明：只要平行四边形中有一个角是直角，其余三个角必然都是直角，无需逐一证明。 ② 判定方法2（对角线判定法） 1. 判定内容：对角线相等的平行四边形是矩形； 2. 核心逻辑：先判定四边形是平行四边形，再证明对角线相等； 3. 几何语言表示（以四边形ABCD为例，对角线AC、BD交于点O）： ∵ 四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD，∴ 四边形ABCD是矩形； 4. 推导过程（结合矩形性质和平行四边形性质）： ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AO=OC=½AC，BO=OD=½BD（平行四边形对角线互相平分）； 又∵ AC=BD，∴ AO=BO=CO=DO； ∴ ∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90°（等腰三角形三线合一）； ∴ 平行四边形ABCD有一个角是直角，∴ 四边形ABCD是矩形（定义判定法）。 ③ 判定方法3（直接判定法） 1. 判定内容：有三个角是直角的四边形是矩形； 2. 核心逻辑：无需先判定平行四边形，直接通过角的条件判定矩形； 3. 几何语言表示（以四边形ABCD为例）： ∵ ∠A=∠B=∠C=90°，∴ 四边形ABCD是矩形； 4. 推导过程（结合平行四边形判定）： ∵ ∠A=∠B=90°，∴ ∠A+∠B=180°，∴ AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）； ∵ ∠B=∠C=90°，∴ ∠B+∠C=180°，∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）； ∴ 四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行）； 又∵ ∠A=90°，∴ 四边形ABCD是矩形（定义判定法）。 （3）三种判定方法对比（重点记忆） 判定方法 核心条件 几何语言表示（四边形ABCD） 适用场景 1. 定义判定 平行四边形 + 有一个角是直角 ∵ 四边形ABCD是平行四边形，∠A=90°，∴ 四边形ABCD是矩形 已知四边形是平行四边形，且有直角条件 2. 对角线判定 平行四边形 + 对角线相等 ∵ 四边形ABCD是平行四边形，AC=BD，∴ 四边形ABCD是矩形 已知四边形是平行四边形，且有对角线相等条件 3. 直接判定 四边形 + 有三个角是直角 ∵ ∠A=∠B=∠C=90°，∴ 四边形ABCD是矩形 已知四边形有多个直角条件，无需先证平行四边形 （4）矩形判定与性质的区别（关键区分） 类别 矩形的性质 矩形的判定 已知条件 已知四边形是矩形 已知四边形的角、对角线关系 推导结论 推出：对边平行且相等、四个角是直角、对角线相等且互相平分 推出：四边形是矩形 核心逻辑 由“矩形”推“性质” 由“条件”推“矩形” （5）易错辨析（重点区分） - 误区1：误用判定条件——“对角线相等的四边形是矩形”（错误），需补充“平行四边形”这一前提（如等腰梯形对角线相等，但不是矩形）； - 误区2：判定不严谨——用定义判定时，未先证明四边形是平行四边形，直接证明有一个角是直角，就判定为矩形； - 误区3：重复判定——用“三个角是直角”判定时，多余证明四边形是平行四边形（该方法可直接判定）； - 误区4：混淆性质与判定——将矩形的性质当作判定条件（如“四个角是直角的四边形是矩形”是判定，“矩形的四个角是直角”是性质）。 二、重点例题解析（分题型） 题型1：用定义判定矩形（平行四边形+一个直角） 例题1：如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且AE=AF，求证：四边形ABCD是矩形。 解析：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AB∥CD，AD∥BC； ∵ AE⊥BC，AF⊥CD，∴ ∠AEB=∠AFD=90°； ∵ AB∥CD，∴ ∠B+∠C=180°，又∵ ∠AEB=90°，∴ ∠BAE+∠B=90°； ∵ 平行四边形ABCD的面积=BC×AE=CD×AF，且AE=AF，∴ BC=CD； ∴ ▱ABCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形），又∵ AE⊥BC，∠AEB=90°； ∴ 菱形ABCD有一个角是直角，∴ 四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。 题型2：用对角线判定矩形（平行四边形+对角线相等） 例题2：如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且OA=OB，求证：四边形ABCD是矩形。 解析：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ 对角线互相平分，即AO=OC，BO=OD； 又∵ OA=OB，∴ AO=OB=OC=OD； ∴ AC=AO+OC=2OA，BD=BO+OD=2OB，∴ AC=BD； ∴ 平行四边形ABCD的对角线相等，∴ 四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。 题型3：用直接判定法判定矩形（三个角是直角） 例题3：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，求证：四边形ABCD是矩形，且AD∥BC，AB∥CD。 解析：∵ ∠A=∠B=90°，∴ ∠A+∠B=180°，∴ AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）； ∵ ∠B=∠C=90°，∴ ∠B+∠C=180°，∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）； ∴ 四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别平行）； 又∵ ∠A=90°，∴ 四边形ABCD是矩形（定义判定法）； 综上，四边形ABCD是矩形，且AD∥BC，AB∥CD。 题型4：矩形判定的综合应用 例题4：如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连接AD，E是AC的中点，连接DE，延长DE至点F，使EF=DE，连接AF、CF，求证：四边形ADCF是矩形。 解析：∵ E是AC的中点，∴ AE=CE； 又∵ EF=DE，∠AEF=∠CED（对顶角相等），∴ △AEF≌△CED（SAS）； ∴ AF=CD，∠EAF=∠ECD，∴ AF∥CD； ∴ 四边形ADCF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）； ∵ AB=AC，D是BC的中点，∴ AD⊥BC（等腰三角形三线合一），∴ ∠ADC=90°； ∴ 平行四边形ADCF有一个角是直角，∴ 四边形ADCF是矩形（定义判定法）。 三、分层练习题 （一）基础题（每题4分，共20分） 1. 下列说法正确的是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 有一个角是直角的四边形是矩形 C. 有三个角是直角的四边形是矩形 D. 平行四边形都是矩形 2. 用对角线判定矩形的条件是（ ） A. 四边形的对角线相等 B. 平行四边形的对角线相等 C. 四边形的对角线互相平分 D. 平行四边形的对角线互相垂直 3. 有一个角是直角的______是矩形；对角线相等的______是矩形。 4. 在▱ABCD中，若∠A=90°，则四边形ABCD是______，理由是______。 5. 在▱ABCD中，对角线AC=BD，则四边形ABCD是______，理由是______。 （二）提升题（每题6分，共30分） 1. 在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，且AO=BO，求证：四边形ABCD是矩形。 2. 求证：对角线相等的平行四边形是矩形（结合平行四边形性质推导）。 3. 在四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90°，求证：四边形ABCD是矩形，且对角线AC=BD。 4. 在▱ABCD中，AE⊥AB，AF⊥AD，且AE=AF，求证：四边形ABCD是矩形。 5. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE，延长DE至点F，使DF=BC，求证：四边形BCFD是矩形。 （三）拓展题（每题10分，共20分） 1. 如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD交于点O，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，连接CE，若∠DEC=90°，求证：四边形ABCD是矩形。 2. 已知四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且AO=BO=CO=DO，求证：四边形ABCD是矩形。 四、易错点提醒 1. 判定条件遗漏：用对角线判定矩形时，忘记补充“平行四边形”这一前提，误将“对角线相等的四边形”当作矩形。 2. 推理不严谨：用定义判定时，未先证明四边形是平行四边形，直接用“一个直角”判定为矩形；用直接判定法时，多余证明平行四边形。 3. 性质与判定混淆：将“矩形的对角线相等”（性质）当作“对角线相等的四边形是矩形”（错误判定）。 4. 综合应用薄弱：不会结合平行四边形、等腰三角形、三角形中位线等知识，构造矩形的判定条件。 5. 几何语言书写错误：书写判定的几何语言时，遗漏关键条件（如未说明“四边形是平行四边形”）。 五、参考答案与解析 （一）基础题：1.C 2.B 3.平行四边形，平行四边形 4.矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形 5.矩形，对角线相等的平行四边形是矩形 （二）提升题： 129. 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AO=OC，BO=OD，又∵ AO=BO，∴ AO=BO=OC=OD，∴ AC=BD，∴ 四边形ABCD是矩形； 130. 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AO=OC，BO=OD，又∵ AC=BD，∴ AO=BO=OC=OD，∴ ∠AOB=90°，∴ 平行四边形ABCD有一个角是直角，∴ 四边形ABCD是矩形； 131. 证明：∵ ∠A=∠B=∠C=90°，∴ 四边形ABCD是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形），∴ 矩形的对角线相等，即AC=BD； 132. 证明：∵ AE⊥AB，AF⊥AD，∴ ∠EAB=∠FAD=90°，∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ ∠DAB+∠ABC=180°，又∵ AE=AF，可证△ABE≌△ADF，∴ AB=AD，∴ ▱ABCD是菱形，又∵ ∠EAB=90°，∴ 菱形ABCD是矩形； 133. 证明：∵ D、E是AB、AC中点，∴ DE∥BC，DE=½BC，又∵ DF=BC，∴ DE=½DF，EF=DE，∴ 四边形BCFD是平行四边形，又∵ ∠ACB=90°，DE∥BC，∴ ∠DEC=90°，∴ 平行四边形BCFD是矩形。 （三）拓展题： 136. 证明：∵ OE⊥AC，AO=OC，∴ OE是AC的垂直平分线，∴ AE=CE，∴ ∠EAC=∠ECA，∵ ∠DEC=90°，E是AD中点，∴ CE=½AD，AE=½AD，∴ AD=2CE，又∵ 四边形ABCD是平行四边形，AD=BC，∴ BC=2CE，可证∠ACB=90°，∴ 平行四边形ABCD是矩形； 137. 证明：∵ AO=BO=CO=DO，∴ AC=AO+OC=2AO，BD=BO+OD=2BO，∴ AC=BD，又∵ AO=OC，BO=OD，∴ 四边形ABCD是平行四边形（对角线互相平分），∴ 平行四边形ABCD的对角线相等，∴ 四边形ABCD是矩形。 学习目标 1.理解并掌握矩形的概念． 2.探索并掌握矩形对边相等、对角相等的性质． 新课导入 1.矩形是轴对称图形，它有___条对称轴. 2.矩形与一般平行四边形的区别与联系. 平行四边形 矩形 边 角 对角线 2 对边平行且相等 对边平行且相等 对角相等 四个角都是直角 互相平分 相等且互相平分 工人师傅在做门窗或矩形零件时，要确保图形是矩形. 你有什么办法帮工人师傅测一测吗？ 推进新课 由矩形的定义可知，有一个角是直角的平行四边形是矩形. 除此之外，还有没有其他判定方法呢？ 若平行四边形的对角线相等,则该平行四边形是否为矩形? 思 考 已知：如图，在□ABCD 中，AC = BD. 求证：□ABCD 为矩形. D A B C 证明 ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AD = BC，AD∥ BC 又 ∵ DC = CD，AC = BD， ∴ △ADC ≌ △BCD. ∴ ∠ADC = ∠BCD. 又∵ ∠ADC + ∠BCD = 180°， ∴ ∠ADC = ∠BCD = 90°. ∴ □ABCD为矩形. D A B C 矩形的判定定理 1：对角线_____的平行四边形是矩形. 相等 已知：如图，在 △ABC 中，AB = AC，点 D 是 AC 的中点，直线 AE // BC，过点 D 作直线 EF // AB，分别交 AE，BC 于点 E，F. 求证：四边形 AECF 是矩形. A B C E D F 1 2 例 2 证明 ∵ AE // BC， ∴ ∠1 = ∠2. 在 △ADE 和 △CDF 中， ∵ ∠1 =∠2，∠ADE =∠CDF，AD = CD， ∴ △ADE ≌ △CDF. ∴四边形 AECF 是平行四边形. 由AE // BC， EF// AB,得四边形 ABFE 是平行四边形， ∴ EF = AB. ∵ AC = AB，∴ EF = AC. ∴四边形 AECF 是矩形. A B C E D F 1 2 至少有几个角是直角的四边形是矩形？ 思 考 已知：如图，在四边形 ABCD 中，∠A =∠B = ∠C = 90°. 求证：四边形 ABCD 是矩形. D A B C 证明 ∵ ∠A =∠B = ∠C = 90°， ∴ ∠B + ∠C = 180°，∠A +∠B = 180°. ∴ AB // CD，AD // BC. ∴ 四边形 ABCD 是平行四边形. 又∵ ∠A=90° ∴ 四边形 ABCD 是矩形. 例 3 矩形的判定定理 2：三个角是直角的_______是矩形. 四边形 随堂练习 1. 下列判定矩形的说法是否正确？为什么？ （1）有一个角是直角的四边形是矩形. ( ) （2）四个角都相等的四边形是矩形. ( ) （3）对角线相等的四边形是矩形. ( ) （4）对角线互相平分，且有一个角是直角的四边形是矩形. ( ) × × √ √ 2.已知:在□ABCD中，点M是BC的中点，∠MAD=∠MDA. 求证: □ABCD是矩形. 证明：∵∠MAD=∠MDA ∴MD=MA 又∵MB=MC，AB=DC ∴△ABM≌△DCM ∴∠MAB=∠MDC ∴∠ADC=∠MDA+∠MDC ∠DAB=∠MAD+∠MAB 即∠ADC=∠DAB D A B C M 2.已知:在□ABCD中，点M是BC的中点，∠MAD=∠MDA. 求证: □ABCD是矩形. ∵∠ADC+∠DAB=180° ∴∠ADC=∠DAB=90° ∵四边形ABCD是平行四边形 且∠ADC=90° ∴□ABCD是矩形 D A B C M 1．[知识初练]木艺活动课上有一块平行四边形木板ABCD，若点点测得∠A＝________°，则能说明这块木板的形状为矩形. 90 中考考法 17 2．如图，在平行四边形ABCD中，P是边AB上的一点(不与点A，B重合)，过点P作PQ⊥CP，交边AD于点Q，且∠QPA＝∠PCB.求证：四边形ABCD是矩形．(8分) 证明：∵PQ⊥CP，∴∠QPC＝90°， ∴∠QPA＋∠BPC＝180°－90°＝90°. ∵∠QPA＝∠PCB，∴∠BPC＋∠PCB＝90°， ∴∠B＝180°－(∠BPC＋∠PCB)＝90°. ∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形． 中考考法 18 3.［知识初练］如图，已知平行四边形，当___ 时，它就成为矩形. 中考考法 19 4.工人师傅砌门时，要想检验门框 是否符合设计要求 (即门框是不是矩形)，在确保两组对边分别相等的前提下， 只要测量出对角线、 的长度，然后看它们是否相等就 可以判断了，这种做法的根据是________________________ _______. 对角线相等的平行四边形为矩形 中考考法 20 5．[天津期中]如图，点C是BE的中点，四边形ABCD是平行四边形，AB＝AE.求证：四边形ACED是矩形．(8分) 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD， AD∥BC，AD＝BC. ∵C是BE的中点，∴BC＝EC， ∴AD＝CE，∴四边形ACED是平行四边形． ∵AB＝AE，∴AE＝CD，∴四边形ACED是矩形． 中考考法 21 6. 如图，小强用薄橡胶皮和布料自制了一块四边形 鼠标垫，为了检验这块鼠标垫是不是标准的矩形，他想出了 以下几种方案，其中合理的是( ) A A.测量其中的三个角是否都为直角 B.测量两组对角是否相等 C.测量两组对边是否相等 D.测量对角线是否相等 中考考法 22 7．[合肥期末]如图，在▱ABCD中，AE⊥CD于点E，CF⊥AB于点F，求证：四边形AECF是矩形．(8分) 证明：∵AE⊥CD，CF⊥AB，∴∠AEC＝∠AFC＝90°，在▱ABCD中，AB∥CD，∴∠EAF＝180°－∠AEC＝90°，∴∠EAF＝∠AEC＝∠AFC＝90°，∴四边形AECF为矩形． 中考考法 23 对角线相等的平行四边形是矩形. 有一个角是直角的平行四边形是矩形. 有三个角是直角的四边形是矩形. 矩形的判定方法： 课堂小结 $