2026届宁夏回族自治区银川一中高三考前一个月综合模拟自测训练模拟卷（三）数学

2026届高三年级考前一个月综合模拟自测训练模拟卷（三） 数 学 一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的. 1．若集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．“”是“直线与直线平行”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知复数，，若，则（    ） A．1 B．3 C．4 D．5 4．如图，已知，，，，则下列等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 5．已知的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 6．从标有0，1，2，3，4的五张卡片中随机选取4张放入如图所示的空格处组成一个四位数的偶数，则这个数大于的个数为（    ） A．41 B．42 C．43 D．44 7．已知函数，，若在上不单调，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知直四棱柱的棱长均为.以为球心，为半径的球面与侧面的交线长为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题:共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．已知函数关于下列说法正确的是（   ） A．函数的最小正周期为 B．直线是函数的一条对称轴 C．将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度得到函数的图象 D．的导函数的值域为 10．设为双曲线上一点，分别为双曲线的左、右焦点，，若的外接圆半径是其内切圆半径的倍，则双曲线的离心率可能为（   ） A．3 B．4 C． D．5 11．如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，若平面，则（    ） A．点的轨迹经过线段的中点 B．点的轨迹长度为2 C．三棱锥的体积为定值 D．球面经过四点的球的半径的最小值为 三、填空题:共3个小题，每小题5分，共15分. 12．在展开式中，二项式系数的最大值为，含项的系数为，则______. 13．在中，，是的中点，若，则________． 14．如图甲是第七届国际数学家大会（简称ICME-7）的会徽图案，其主体图案是由图乙的一连串直角三角形演化而成的.已知为直角顶点，设这些直角三角形的周长从小到大组成的数列为，令，为数列的前项和，则______． 四、解答题:共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题13分） 已知数列满足，． (1)令，求数列的通项公式； (2)设的前n项和为，若，求n的最大值． 16．（本小题15分） 学校举行了一次有关语文、数学、英语的三大学科知识竞赛，海量题库中语文、数学、英语三类相关知识题量占比分别为、、.甲同学回答语文、数学、英语这三类问题中每个题的正确率分别为、、. (1)若甲同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； (2)若甲同学从这三类题中各任选一题作答，每一题回答正确得分，回答错误得分.设该同学回答三题后的总得分为分，求的分布列及数学期望. 17．（本小题15分） 如图，在四棱锥中，，，，，. (1)证明：平面. (2)已知，平面平面.求平面与平面夹角的余弦值. 18．（本小题17分） 已知抛物线：（）的焦点为，直线与抛物线交于，两点，当直线的倾斜角为120°且，，三点共线时，. (1)求抛物线的方程； (2)若直线过点，点在抛物线上，且，关于直线对称，求； (3)已知直线与抛物线的准线交于点，且直线不过点，探究：是否为的外角平分线，并说明理由. 19．（本小题17分） 设函数，. (1)当时，求在点的切线方程； (2)若，恒成立，求的取值范围. 试卷第2页，共4页 高三自测模拟卷（三）数学 第2页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 2026届高三年级考前一个月综合模拟自测训练模拟卷（三）数学参考答案 选择题部分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C D B A C A C B BCD BC ABD 非选择题部分 12．/ 13． 14．18 15．（本小题13分） 解：（1）由，可得，即， 2分 当时，有， 3分 累加，得 5分 ， 6分 又，所以， 7分 验证可知也符合上式，所以． 8分 （2）因为，且，所以， 9分 所以， 11分 则， 12分 令，得，解得，所以n的最大值为7． 13分 16．（本小题15分） 解：（1）设事件为“选到的题目是语文题”，事件为“选到的题目是数学题”，事件为“选到的题目是英语题”，事件为“甲同学回答正确”， 1分 则由题意得，，，，，， 3分 根据全概率公式有 . 5分 （2）设事件为“甲同学答对语文题”，事件为“甲同学答对数学题”，事件为“甲同学答对英语题”， 6分 则由题意得，则答错语文题的概率是，，则答错数学题的概率是，，则答错英语题的概率是， 8分 由于答对的题数可能是，因此的可能取值为， 9分 当时，即语文题、数学题、英语题全答错，则； 10分 当时，即语文题、数学题、英语题只答对一个，则 ； 11分 当时，即语文题、数学题、英语题答对两个，则 ； 12分 当时，即语文题、数学题、英语题全答对，则； 13分 因此，的分布列为 14分 数学期望. 15分 17．（本小题15分） 解：（1）证明：过点作，交于点，连接. 1分 因为，所以. 2分 又，所以，则四边形为平行四边形，所以. 3分 因为平面，平面，所以平面. 4分 （2）因为平面平面，平面平面， 且平面，，所以平面， 5分 取的中点，的中点，连接，. 6分 则，，所以平面，又平面，所以. 7分 （方法一）由，，两两垂直，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 8分 则，，，， 9分 所以，. 10分 设平面的法向量为， 则，即，令，则. 12分 又，，，所以平面， 13分 则平面的一个法向量为， 14分 设平面与平面夹角为， 则则平面与平面夹角的余弦值为. 15分 （方法二）因为，，所以. 5分 又平面平面，平面平面，所以平面， 6分 则，故即平面与平面的夹角. 7分 由，，可得，，， 10分 在中，， 14分 即平面与平面的余弦值为. 15分 18．（本小题17分） 解：（1）当直线的倾斜角为且，，三点共线时，直线：， 1分 联立则. 2分 设，，故， 3分 则，故抛物线的方程为. 4分 （2）设直线，联立，得， 5分 则，，. 6分 设，则解得，， 7分 则，解得， 8分 则， 9分 则. 10分 （3）直线的斜率为， 直线的方程为，代入并整理得， 11分 令得，，则. 12分 焦点的坐标为，直线的方程为，整理得， 13分 则点到直线的距离 ， 15分 同理，点到直线的距离， 16分 由及直线与抛物线的位置关系，可得直线是的外角平分线. 17分 19．（本小题17分） 解：（1）当时，， 1分 ， 3分 则， 4分 ， 5分 所以切线方程为， 6分 即 . 7分 （2） ， 9分 要求，即求，即， 10分 又，故只需在上恒成立即可， 11分 即在上恒成立，也即. 13分 令， ， 15分 所以在上单调递减，所以 ， 16分 所以.故的取值范围为. 17分 试题解析部分 1．C 解：因为函数是增函数，所以集合，，所以 2．D 解：当时，直线的方程为，直线的方程为，即，此时直线与直线重合，而不是平行，因此“”是“直线与直线平行”的不充分条件；当直线与直线平行时，有，解得或，经检验，时两直线重合，不满足平行条件；时两直线平行，所以“直线平行”的必要条件是，该条件无法推出，故“”是不必要条件；综上所述，“”是“直线与直线平行”的既不充分也不必要条件，故D正确. 3．B 解：因为，，，所以，所以，，则. 4．A 解：因为，所以，即，所以. 5．C 解：设，则.当时，则，可得，所以在上单调递减.因为，且，所以，即． 6．A 解：当千位数是时，比大的偶数，先填个位数，再从余下的3个数中选2个作全排列，有种；当千位数是时，比大的偶数，先填个位数，再从余下的3个数中选2个作全排列，有种；当千位数是时，分成两类情况：①个位是且比大，在余下的3个数中任选2个作全排列，有种，②个位是且比大的偶数有，共5种，综上，比大的偶数共有种， 7．C 解：由函数，可得，要使得函数在上不单调，即在上有变号零点，设，可得，所以在上单调递增，即在上单调递增，则，解得，所以实数的取值范围为. 8．B 解：如图，取的中点为因为，直四棱柱的棱长均为2， 所以为等边三角形，所以，又四棱柱为直四棱柱，所以平面，又在平面内，故，因为侧面，所以侧面，设为侧面与球面的交线上的点，则，因为球的半径为，所以，所以侧面与球面的交线上的点到的距离为，取的中点为的中点为，连接、，则，所以侧面与球面的交线是扇形的弧，则，所以，根据弧长公式可得. 9．BCD 解：对A，由题知，所以的最小正周期，错误；对B，因为，所以直线是函数的一条对称轴，正确；对C，将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度得，正确；对D，令，，则，即，由余弦函数性质可知，的值域为，正确. 10．BC 解：设双曲线的半焦距为，∵分别为双曲线的左、右焦点，∴，，∵， ∴点在双曲线的右支，设的内切圆半径为，则，设，则，∵，即，∴，设外接圆的半径为R，由正弦定理有：，即，即的外接圆半径为，∵的外接圆半径是其内切圆半径的倍，∴，即，∴，∴或. 11．ABD 解：如图，取的中点，连接，，易知，又平面，平面，所以平面.又是中点，所以，又平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.又平面，则平面，又点在正方形内部（不含边界）运动，且平面平面，所以点的轨迹为线段（不含端点）.对于A，连接，由正方体的性质易知与相交，且交点为的中点，所以A正确；对于B，因为，所以点的轨迹长度为，故B正确；对于C，因为平面，点是棱的中点，则，所以C错误；对于D，建立如图所示的空间直角坐标系，因为正方体的棱长为2，则，设，球心，半径为，由，得到，解得，，所以，又，且，所以当时，取到最小值为，故D正确. 12.解：因为展开式的通项公式为，所以二项式系数的最大值为，含项的系数，故. 13.解：中，，由，设，则，是的中点，所以，在中，由余弦定理得． 14.解：根据题意：， 得，，，… 故， ， ， . 答案第12页，共13页 高三自测模拟卷（三）数学答案 第4页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $