2026年北京市中考九年级数学模拟练习卷

2026年北京市中考九年级数学模拟练习卷 时间：120 分钟 满分：100 分 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（本题共8题，每小题2分，合计16分） 1．窗棂（即窗格）作为中国传统建筑的重要构件，承载着丰富的文化象征．窗棂上雕刻有线槽和各种花纹，构成了种类繁多的优美图案，下列窗棂样式结构图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，过点P作，，则与重合，其理由是（   ） A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 3．如图，面积为5的正方形的顶点在数轴上，且点表示的数为，以点为圆心，长为半径画弧，与正半轴的交点为，则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 4．已知关于x的方程有两个相等的实数根，则k的值为（    ） A．3 B．0 C． D． 5．从本语文教材、本数学教材、本英语教材中随机取出一本书，若选取每本教材的可能性相等，选取的书不是数学教材的概率是（   ） A． B． C． D． 6．某景点五一小长假期间有22.8万游客，已知此景点门票价格是100元/人，则五一小长假期间的总收入用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 7．如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，能得出的依据是（　　） A． B． C． D． 8．如图，正方形，分别取和边的中点、，连接、连接相交于点，连接，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本题共8题，每小题2分，合计16分） 9．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ______ ． 10．分解因式：______． 11．方程的解为______． 12．若反比例函数的图像经过点和点，则___________ 13．每年的6月6日是全国爱眼日．某校为了解八年级学生的视力健康状况，从该年级学生今年的体检结果中随机抽取了40名学生的视力数据，将所得视力数据进行整理后分为5组，得到如下的频数分布表： 分组 A B C D E 人数（频数） 2 8 14 12 4 该校八年级共有600名学生．根据上表数据，请估计这600名八年级学生的视力在范围内的人数为_____； 14．如图，点A，B，C都在上，若，则的度数为________． 15．如图，在中，，斜边上的高，则______． 16．某校科学实验小组需完成编号为A，B，C，D，E，F，G，H的八项工作，要求如下： ①A，B，C完成后才能开始G； ②C，D，E完成后才能开始H； ③一项工作只能由一名学生完成，此工作完成后该生才能进行其他工作． 各项工作所需时间（单位：分钟）如表所示： 工作编号 A B C D E F G H 时间 7 15 9 10 5 1 7 2 （1）若这些工作由多名学生合作完成，则至少需要______分钟； （2）若这些工作由甲、乙两名学生合作完成，且甲同学先从A工作开始，为使完成全部工作所用的时间最短，则甲同学还需完成的工作的编号为______． 三、解答题（本题共12题，17–19 题：每题 5 分，20、22、24、26 题：每题 6 分，21、23、25 题：每题 5 分，27–28 题：每题 7 分，合计68分） 17．计算：． 18．解方程（组）或不等式组： (1) (2)解方程组 (3)解不等式组，并求出所有整数解． 19．已知． (1)化简：； (2)已知与是同类项，求的值． 20．如图，在中，交于点O，E是的中点，过点O，E分别作直线的垂线，垂足分别为G，F． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，，求的长． 21．高速公路某收费站出城方向有编号为的五个小客车收费出口，假定各收费出口每20分钟通过小客车的数量是不变的．同时开放其中的某两个收费出口，这两个出口20分钟一共通过的小客车数量记录如下： 收费出口编号 通过小客车数量（辆） 260 330 300 360 240 (1)在五个收费出口中，判断每20分钟通过小客车数量最多的一个收费出口． (2)节假日期间，高速公路收费站出城方向的车流量整体增加．假设各收费出口每20分钟通过的小客车数量同比增长相同的百分比．此时同时开放出口和分钟内通过的车辆数为300辆．求增长率的值（精确到）． 22．在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值既不小于函数的值，也不小于函数的值，直接写出的取值范围． 23．某企业对员工进行综合素质测试，该测试包括理论知识和实践操作两部分．理论知识测试满分分，实践操作测试由10位评委打分，每位评委最高打10分，实践操作测试成绩为各位评委打分之和．按理论知识测试成绩占，实践操作测试成绩占计算综合成绩．甲、乙、丙三名员工理论知识测试的成绩分别为83分，85分，86分．对评委给三名员工的打分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．评委给甲、乙的打分的折线图： b．评委给丙的打分：5，6，8，8，8，8，9，10，10，10； c．评委给三名员工的打分的中位数、众数、方差及实践操作测试成绩： 中位数 众数 方差 实践操作测试成绩 甲 10 1.84 84 乙 8.5 87 (1)表中的值为______，的值为______； (2)表中______1.84（填“>”“=”或“<”）； (3)企业按如下方式评估员工的综合素质：首先比较综合成绩，综合成绩更大者综合素质更高；若综合成绩相等，则比较评委给员工打分的平均数，平均数较大者综合素质更高．评估结果：这三名员工按综合素质由高到低依次为______． 24．如图，是的直径，点C，D在上，，连接，过点B作的切线交的延长线于点E． (1)求证：； (2)延长交于点F，若，，求的长． 25．小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究并解决了相关问题，请补全下面的过程． (1)下表是与的几组对应值： … 0 1 2 3 … … … 写出表中的值：__________． (2)如图，在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； (3)小明结合该函数图象，解决了以下问题： ①当__________时，函数有最大值是__________； ②对于图象上两点，若，则__________（填“”，“”或“”）； ③对于函数，当时，的取值范围是__________． 26．对于实数x，表示不超过的最大整数，如 ．细心观察图形，解答下面问题： （是的面积）； （是的面积）； （是的面积）； ．．．依此类推，是的面积． (1)___________； ___________． (2)若 ，则的最大值为___________． 27．如图，点在正方形的边上，以为圆心，长为半径画弧交于，过点作交于点，交于点，连接． (1)①根据题意补全图形． ②用等式表示与的数量关系并证明． (2)求证：． (3)若在线段上存在一点，使得，连接，用等式表示和的数量关系并证明． 28．在平面直角坐标系中，的半径为1．对于外一点和给出如下定义：过点作的两条切线，切点为，若上或其内部存在一点，使四边形是菱形，则称点是的“切菱点”．特别地，当四边形是矩形时，称点是的“切矩点”． (1)如图，在点，，中，的“切菱点”是___________，的“切矩点”是___________； (2)已知点是直线上一点，且点是的“切菱点”，则点的纵坐标的最小值为___________； (3)已知直线上存在两个不同点，使为含有内角的直角三角形，且的斜边上（含端点）存在的“切菱点”，但不存在的“切矩点”，直接写出的取值范围． 试卷第2页，共8页 试卷第1页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年北京市中考九年级数学模拟练习卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A C D C B D D 1．D 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别．解题的关键是掌握两种图形的定义：轴对称图形是沿某条直线折叠后直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形是绕某点旋转后能与自身重合的图形.根据定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故A不符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故B不符合题意； C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故C不符合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故D符合题意． 2．A 【分析】此题主要考查了垂线的定义与性质，根据垂线的定义结合图形得出是解题关键．利用同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直进而得出答案即可． 【详解】解：，，则与重合， 其理由是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 故选：A． 3．C 【分析】根据算术平方根的定义求出正方形的边长，再根据作图求解即可． 【详解】解：正方形的面积为5， ， 点表示的数为，以点为圆心，长为半径画弧，与正半轴的交点为， 点表示的数为． 4．D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 当一元二次方程有两个相等实数根时，其判别式，据此建立关于k的方程，求解即可得到k的值． 【详解】解：∵关于x的方程是一元二次方程，且有两个相等的实数根， ∴， 即， 展开得， 合并同类项得， 解得． 故选：D． 5．C 【分析】先求出所有教材的总数量，再求出不是数学教材的数量，根据概率公式计算结果即可． 【详解】解：总教材数量为本，其中不是数学教材的数量为本， 选取的书不是数学教材的概率为． 6．B 【详解】解：22.8万， . 7．D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、作图—基本作图，连接，，由作图得出，，，利用证明，即可得出，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接，， 由作图可得：，，， ， ， 能得出的依据是， 故选：D． 8．D 【分析】过点C作于点H，证明，则，得到，设，则，由勾股定理得，，由等积法得到，由勾股定理得，证明，则，得到，则为的垂直平分线，由等腰三角形的性质得到，则，即可得到． 【详解】解：过点C作于点H，如图， ∵四边形为正方形， ∴， ∵和边的中点、， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得，， 由三角形面积公式得，， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为的垂直平分线， ∴， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∴． 9． 【分析】根据二次根式在实数范围内有意义的条件，可得被开方数为非负数，列出不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得：． 10． 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 11． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母，得， 解得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 12． 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定满足此函数的解析式是解答此题的关键． 【详解】解：把点代入得：， ∴， 把点代入得：， 故答案为：． 13．240 【分析】先计算样本中视力在范围内的频数，再计算该范围频数占样本容量的比例，最后用八年级总人数乘以该比例，即可得到估计的人数． 【详解】解：由题意可得，样本中视力在范围内的频数为， 估计名八年级学生中视力在该范围的人数为：（人）． 14．/30度 【分析】本题考查了圆周角定理．根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 15． 【分析】先利用等角的余角相等证明，然后在中利用的余弦求的长． 【详解】解：∵为高， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵，即 ∴． 故答案为：. 【点睛】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．解决本题的关键是证明． 16． 22 C，E，G 【分析】本题考查统筹优化问题，解题思路是根据题目给出的前置限制，分别对多人合作和两人合作的情况安排工作顺序，计算最短总时间，确定甲需要完成的工作。 【详解】（1）多名学生合作时，满足前置工作要求，前置工作可并行完成，因此： 当做的前置工作，三个都要完成，最长的时间为B：分钟，G还要7分钟，则G这路需要（分钟）， 当做的前置工作，三个都要完成，最长的时间为D：分钟，H还要2分钟，则H这路需要（分钟）， 且工作的时间为1分钟，可以任意安排， 则至少需要分钟； （2）所有工作总时间为（分钟），甲乙两名学生，最短总时间不低于（分钟），可尝试分配得到刚好总时间为的方案： 甲先做（分钟），接着做（分钟），再做（分钟），最后做（分钟），总时长分钟，满足要求， 乙做（分钟），接着做（分钟），再做（分钟），最后做（分钟），总时长，满足所有前置限制， 因此甲除以外，还需完成C，E，G． 17． 【分析】先计算绝对值，立方根，再计算加减即可求解． 【详解】解：原式． 18．(1)， (2) (3)不等式组的解集为，所有整数解为 【分析】（1）将方程去分母、系数化为1后利用平方根求解即可． （2）直接利用加减消元法解方程即可； （3）根据不等式的性质分别求出各不等式的解集，再找到公共解集，最后在公共解集中取所有的整数解即可． 【详解】（1）解：， ， ，． （2）解：， 由得：， 由得：，解得， 将代入①得：， ∴， ∴原方程组的解为． （3）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， 其中所有整数解为． 19．(1) (2) 【分析】（1）根据整式加减运算法则进行计算即可； （2）根据同类项定义得出，，然后代入求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵与是同类项， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了整式加减运算，去括号，合并同类项，同类项定义，解题的关键是熟练掌握加减运算法则，准确计算． 20．(1)见详解 (2) 【分析】（1）首先证明为的中位线，易得，再证明，可知四边形为平行四边形，然后根据“有一个角为直角的平行四边形为矩形”，即可获得答案； （2）首先根据平行四边形的性质以及勾股定理解得，再证明为等腰直角三角形，易得，进而确定的长度，进一步由三角形中位线的性质确定，由矩形的性质可得，然后由求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形，交于点O， ∴，即为中点， ∵E是的中点， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形， 又∵，即， ∴四边形是矩形； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的中位线， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴． 21．(1)B出口 (2) 【分析】本题主要考查统计表和不等式的基本性质，一元一次方程的实际应用，正确的理解题意是解题的关键． （1）根据表中数据两两相比较即可得到结论； （2）由原来的通过客车数量乘以即为现在通过的车辆数，可建立方程求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， 由和得 由和得 ∴每分钟通过小客车数量最多的一个收费出□的编号是， （2）解：由题意得，， 解得：， 答：增长率为． 22．(1) (2) 【分析】（）用待定系数法，将已知两点代入一次函数，列方程组求解和，得到函数解析式； （）先作差比较时两个一次函数的大小，确定更大；再将“不小于两个函数”转化为时恒成立，整理得，分析在的取值范围，得出． 【详解】（1）解：∵一次函数过点和， ∴， 解得； （2）解：由（）得： ， ， 当时，作差比较两个函数的大小：， ∴时， ， ∵不小于两个函数， ∴只要满足时，恒成立即可， 整理得：， ∵， ∴， ∴对所有恒成立， ∴． 23．(1) ， (2) (3) 乙、甲、丙 【分析】（1）根据折线图读出甲、乙的得分数据，将甲的得分从小到大排列，找出中间两个数的平均数即为中位数；找出乙的得分中出现次数最多的数即为众数． （2）计算乙的平均数，利用方差公式计算乙的方差，或者通过观察数据的波动程度判断方差大小，再与甲的方差进行比较． （3）根据加权平均数公式分别计算甲、乙、丙的综合成绩，若综合成绩相同，则比较实践操作测试成绩的平均数，从而确定排名顺序． 【详解】（1）解：由折线图可知，甲的次得分为：， 将甲的得分从小到大排列为：， 处于中间位置的两个数分别是和则甲的中位数， 由折线图可知，乙的次得分为：， 其中出现了次，出现次数最多则乙的众数， 故答案为：，． （2）解：乙的平均数为， 乙的方差 ， 因为， 所以， 故答案为：． （3）解：丙的实践操作测试成绩为， 甲的综合成绩为， 乙的综合成绩为， 丙的综合成绩为， 因为， 所以乙的综合成绩最高甲和丙的综合成绩相等， 比较实践操作测试成绩的平均数甲的实践操作测试成绩平均数为， 丙的实践操作测试成绩平均数为， 因为， 所以甲的综合素质高于丙， 综上所述，这三名员工按综合素质由高到低依次为乙、甲、丙， 故答案为：乙、甲、丙． 24．(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据切线的性质，圆周角定理，以及同角的余角相等，即可得出结论； （2）连接，根据圆周角定理，得到，解直角三角形，求出的长，进而求出的长，解直角三角形求出的长，求出的长，解直角三角形，求出的长，线段的和差关系求出的长即可． 【详解】（1）证明：∵是的直径，是的切线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：连接，则， ∴， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 25．(1)0 (2)见解析 (3)0，0；； 【分析】（1）把代入即可求得； （2）先描点，再连线即可； （3）观察图象即可解决问题． 【详解】（1）解：当时，， ∴． （2）解：函数图象如图所示． （3）解：观察该函数图象： 当时，函数有最大值是0． 对于图象上两点，若，则． 对于函数，当时，的取值范围是． 26．(1)；3 (2)98 【分析】（1）根据题意可求出，则，再估算出，可得 ； （2）根据题意可得当时，，当时，，当时，，当时，，当时，，则可求出，据此可得到答案． 【详解】（1）解：（是的面积）； （是的面积）； （是的面积）； ……， 以此类推可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ； （2）解：∵，， ∴，，，，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， ∴， ∵ ，且， ∴，且n为正整数 ∴的最大值为98． 27．(1)①补全图形见解析；②；证明见解析 (2)证明见解析 (3)；证明见解析 【分析】（）①依题意，补全图形即可；②先利用同圆半径相等得等腰，由三角形内角和推出；再结合得，通过等量代换证明； （）通过延长与的延长线交于点，利用等腰三角形性质、垂直关系推导角相等，证明，再用证明，从而得到； （）设参数表示线段长度，结合上一问结论求出，再用勾股定理算出 与 的表达式，通过等量代换证明． 【详解】（1）①解：依题意，补全图形如图所示： ②结论：， 证明如下： 由题意，（同圆半径相等）， ∴中，， ∵三角形内角和为， ， ∴， 整理得， 又， ， ∴； （2）证明：延长，交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∴； （3）结论：， 证明如下：设，则正方形边长， 由（）得，故， 在正方形中，， 由勾股定理：， ， ∴． 28．(1)； (2) (3)或或 【分析】本题考查菱形的性质，正方形的性质，切线的性质，点与圆的位置关系； （1）根据定义进行判断即可； （2）点的纵坐标取最小值时，点在第四象限，点在上，据此可求出轴，即可求出此时点的纵坐标； （3）分类讨论：当中，，或，即斜边为时，或；当中，，，即斜边为时，；当中，，，即斜边为时，． 【详解】（1）解：如图所示，为的切线，四边形、、为菱形，且四边形为矩形， ∵点在外，点、在内， ∴点不是的“切菱点”，点，是的“切菱点”， ∵四边形为矩形， ∴点是的“切矩点”． （2）解：如图所示，为的切线，四边形为菱形， ∵点是直线上一点， 要使点是的“切菱点”，且点的纵坐标取得最小值， ∴点在第四象限，点在上， 连接，与交于点，连接， ∵为的切线， ∴，即， ∵四边形为菱形， ∴与互相垂直平分，， ∴， 又∵点在上， ∴经过圆心，即为的直径， ∴，即， 在与中， ， ∴， ∴， 在中，令，得；令，得， ∴点坐标为，即，点坐标为，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴，即轴， ∵， ∴点的纵坐标的最小值为． （3）解：当中，，或，即斜边为时， ①当时，线段全部在的内部及圆上，如图所示： ∴当时，线段上不存在的“切菱点”，不符合题意， ②当S是的“切矩点”时，所成的四边形是矩形， 又∵， ∴所成的四边形是正方形，即四边形是正方形，如图所示： ∴， 当时，线段在以为圆心，以为半径的圆的内部， ∴当时，线段上存在的“切菱点”，但不存在的“切矩点”，符合题意， ③当线段与以为圆心，以为半径的圆相切时，如图所示， ∴，， ∴， ∴当时，线段与以为圆心，以为半径的圆总有交点，即时，线段上总存在的“切矩点”，不符合题意， ④当线段上的点为的“切菱点”，且点在上时，如图所示： 由（2）得此时，点到线段的最短距离即为时，即时， ∴此时， ∴当时，线段上存在的“切菱点”，但不存在的“切矩点”，符合题意， ⑤当时，线段上不存在的“切菱点”，不符合题意， 综上：当中，，或，即斜边为时，或时，线段上存在的“切菱点”，但不存在的“切矩点”； 当中，，，即斜边为时， ①当时，线段全部在的内部及圆上，如图所示，即当时，线段上不存在的“切菱点”，不符合题意， ②当时，线段上存在的“切菱点”，但不存在的“切矩点”，如图所示，符合题意， ③当时，线段与以为圆心，以为半径的圆总有交点，即当时，线段上总存在的“切矩点”，如图所示，不符合题意， 综上：当中，，，即斜边为时，时，线段上存在的“切菱点”，但不存在的“切矩点”； 当中，，，即斜边为时， ①当点在上时，即，如图所示： ∴， ∴当时，线段在的内部或圆上，不存在的“切菱点”，不符合题意， ②当点在以为圆心，以为半径的圆上时，即，如图所示： ∴， ∴当时，线段上存在的“切菱点”，但不存在的“切矩点”，符合题意， ③当时，线段与以为圆心，以为半径的圆总有交点，如图所示，即当时，线段上总存在的“切矩点”，不符合题意， 综上：当中，，，即斜边为时，时，线段上存在的“切菱点”，但不存在的“切矩点”． 综上所述：或或． 答案第14页，共24页 答案第13页，共24页 学科网（北京）股份有限公司 $