2026年内蒙古中考数学模拟试卷（五）能力提升卷

2026 年 内 蒙 古 自 治 区 初 中 学 业 水 平 考 试 数 学 模 拟 试 卷 （五） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。本套试卷满分100分，测试时间90分钟； 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.某地提倡“节约用水，保护环境”，如果节约的水记为，那么浪费的水记为(    ) A. B. C. D. 2.下列二次根式中，是最简二次根式的是(    ) A. B. C. D. 3.如图，平面直角坐标系中，，，将沿折叠，点的对应点为点，将沿轴正方向平移得到，当经过点时，点的坐标为(    ) A. B. C. D. 4.如图，是数轴的原点，是数轴上的点，垂直于数轴，垂足为，且，，连接，以点为圆心，为半径作圆与数轴交于，两点，则点所表示的数是(    ) A. B. C. D. 5.明代数学家吴敬的九章算法比类大全中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有个头只手的哪吒若干，有个头只手的夜叉若干，两方交战，共有个头，只手问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有个，夜叉有个，则根据条件所列方程组为(    ) A. B. C. D. 6. 如图，在平行四边形中，，，按以下步骤作图：以为圆心，以适当长为半径作弧，交，于点，；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，交边于点，则的长度为(    ) A. B. C. D. 7.已知关于的方程有实数根，则实数的取值范围是(    ) A. ，且 B. ，且 C. D. 8.已知二次函数其中是自变量且，当时，随的增大而减小，且时，的最大值为，则的值为(    ) A. 或 B. C. 或 D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.如图，≌，，，，，则的长为        ． 10.验光师通过检测发现近视眼镜的度数度与镜片焦距米成反比例，关于的函数图象如图所示经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到米，则近视眼镜的度数减少了        度 11.黄鹤楼是武汉市著名的旅游景点，享有“天下江山第一楼”的美誉在一次综合实践活动中，某数学小组用无人机测量黄鹤楼的高度具体过程如下：如图，将无人机垂直上升至距水平地面的处，测得黄鹤楼顶端的俯角为，底端的俯角为，则测得黄鹤楼的高度是       参考数据： 12.如图，在正方形中，边长，延长至，使得，连接，取中点，连接，则点到直线的距离为        ． 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分按要求完成下列各题： 计算：； 先化简，再求值：，从、、、四个数中选取你喜欢的一个的值代入求值． 14.本小题分 中华文化源远流长，文学方面，西游记、三国演义、水浒传、红楼梦是我国古代长篇小说中的典型代表，被称为“四大古典名著”某中学为了了解学生对四大古典名著的阅读情况，就“四大古典名著你读完了几部”的问题在全校学生中进行了抽样调查，根据调查结果绘制成如图尚不完整的统计图． 请根据以上信息，解决下列问题： 本次调查所得数据的总人数是______人，中位数是______部； 扇形统计图中“部”所在扇形的圆心角为______度；并补全条形图； 从没有读过四大古典名著的两名学生准备从中各自随机选择一部来阅读，请用列表或画树状图的方法求他们恰好选中同一名著的概率并针对此次调查结果给学校提一条合理化建议． 15.本小题分 某企业为开启网络直播带货的新篇章，计划购买，两种型号直播设备已知型设备价格是型设备价格的倍，用元购买型设备的数量比用元购买型设备的数量多台． 求，型设备单价分别是多少元； 该企业计划购买两种设备共台，要求型设备数量不少于型设备数量的一半，设购买型设备台，购买总费用为元，求与的函数关系式，并求出最少购买费用． 16.本小题分 如图，是的外接圆，为的直径，，连接，，的延长线交于点，交于点，若． 求证：是的切线； 若，． 求的半径； 求的长． 17.本小题分 如图是古代的一种远程投石机，其投出去的石块运动轨迹是抛物线的一部分．据范蠡兵法记载：“飞石重二十斤，为机发，行三百步”，其原理蕴含了物理中的“杠杆原理”． 在如图所示的平面直角坐标系中，将投石机置于斜坡的底部原点处，石块从投石机竖直方向上的点处被投出，在斜坡上的点处建有垂直于水平面的城墙已知，石块运动轨迹所在抛物线的顶点坐标是，，，，． 求抛物线的表达式； 通过计算说明石块能否飞越城墙； 分别求出和时，石块与斜坡在竖直方向上的最大距离． 18.本小题分 综合与探究 问题情境：在中，，点是边上一点不与端点重合，连接将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． 猜想求解：如图，若，，求的度数； 拓展延伸： 如图，，，过点作，交的延长线于，连接，求证：； 如图，点是的中点，点是的中点，连接，用等式表示线段与的数量关系并证明． 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：由题意可得：浪费的水记为， 故选：． 正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案． 本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键． 2.【答案】  【解析】解：、，选项式子不是最简二次根式，不符合题意； B、，选项式子不是最简二次根式，不符合题意； C、，选项式子不是最简二次根式，不符合题意； D、是最简二次根式，符合题意． 故选：． 根据最简二次根式的定义逐项判断即可． 本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是关键． 3.【答案】  【解析】【分析】 过点作轴于点证明，设，则，求出，再利用相似三角形的判定和性质，列出比例式求出，，进而可得出答案． 本题考查翻折变换，坐标与图形变化对称，平移变换等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 【解答】 解：过点作轴于点． 由翻折变换的性质可知， 由平移变换的性质可知，， ， ， ， 设， 在中，易得， ， ，， ， ∽， ， ， ，， ， ， 故选：． 4.【答案】  【解析】解：由数轴可知：， 以点为圆心，为半径作圆与数轴交于，两点， ， 点所表示的数为：， 故选：． 根据数轴可知：，以点为圆心，为半径作圆与数轴交于，两点，可知，因此点所表示的数为：． 本题考查的是实数与数轴，熟练掌握数轴上各点的分布特点是解题的关键． 5.【答案】  【解析】解：根据题意得：， 故选：． 根据有个头只手的哪吒若干，有个头只手的夜叉若干，两方交战，共有个头，只手，列出二元一次方程组即可． 本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 6.【答案】  【解析】解：过点作交延长线于点， 由作图可知，为的角平分线， ， 四边形是平行四边形， ，，， ，， ， ， 在中，，， ， ， 在中，，， ， ， ∽， ，即， ， ， 解得， 故选：． 如图，过点作交延长线于点，由作图可知，为的角平分线，则，由平行四边形的性质、平行线的性质可得，，然后利用等腰三角形的性质及勾股定理可得，，，，最后根据相似三角形的判定与性质得比例式，计算可得答案． 本题考查作图，掌握角平分线的性质、平行四边形的性质、平行线的性质是解题的关键． 7.【答案】  【解析】解：当时，原方程为， 解得：，满足题意； 当时， 由题意得，， 解得：． 综上可知，． 故选：． 分类讨论：当时，方程的解为，满足题意；当时，根据一元二次方程根的情况确定其判别式，从而即可求解． 本题主要考查根据方程根的情况求参数．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根是解题关键． 8.【答案】  【解析】解：， 抛物线对称轴为直线， 当时，随的增大而减小， 抛物线开口向上，， ， 时，， 解得舍或， 故选：． 由二次函数解析式可得抛物线的对称轴，由时，随的增大而减小，可得抛物线开口方向，进而求解． 本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系． 9.【答案】  【解析】解：≌， ，， 在中，， ． 故答案为：． 根据全等三角形对应边相等，可得，利用勾股定理求出，根据线段之间的关系即可求出的长． 本题主要考查了全等三角形的性质、勾股定理，掌握其相关知识点是解题的关键． 10.【答案】  【解析】解：设关于的函数解析式为， 由图示知，该函数图象经过点． 把代入， ， 函数解析式为， 当时，， 当时，， 度数减少了度， 故答案为：． 用待定系数法求出反比例函数解析式，再把代入解析式求出的值，进而计算即可． 本题考查了反比例函数的实际应用，读懂题意，掌握课本知识是解决问题的关键． 11.【答案】  【解析】如图，过点作交的延长线于点， 由题意得， ， 四边形是矩形， ． 在中，，， ． 在中，， ，， ． 答：黄鹤楼的高度约为． 12.【答案】  【解析】解：过作于， 四边形是正方形， ，， ， ，， ， 点是中点， ， ， ， ， ， 过作于， ， ， ， ∽， ， ， ， 即点到直线的距离为． 故答案为：． 过作于，根据正方形的性质得到，，得到，根据勾股定理得到，过作于，根据相似三角形的性质即可得到结论． 本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 13.【答案】 ；  【解析】解：原式 ； 原式 ， ，，， ，， 当时． 先计算二次根式，化简绝对值，零指数幂，然后计算加减法． 先化简括号内，得，根据分式除法法则进行计算化简，得，考虑分式有意义，即可作答． 本题考查的是分式的化简求值，实数的运算，零指数幂，熟知以上运算法则是解题的关键． 14.【答案】  ； ，建议学校多通过活动鼓励学生阅读名著  【解析】解：本次调查所得数据的总人数是人，读完部的人数是人， ，， 中位数是部． 故答案为：； “部”所在扇形的圆心角为， 补全条形图为 故答案为：； 将西游记、三国演义、水浒传、红楼梦分别记作，，，， 画树状图可得： 由图可知，共有种等可能的结果，其中符合条件的有种结果， 所以他们恰好选中同一名著的概率为． 根据调查可发现超过一半的学生阅读名著不超过部，学校应通过活动鼓励学生阅读名著． 将读完部的人数除以其百分比，即可求出总人数．求出读完部的人数，根据中位数的定义求解即可； 将乘以读完部的人数比例，即可求得对应扇形的圆心角度数，根据读完部的人数即可补全条形图； 运用列表法或画树状图的方法得到所有等可能结果，和其中选中同一名著的结果，根据概率公式计算即可；根据调查结果提出建议即可． 本题主要考查了扇形统计图以及条形统计图的运用，解答本题的关键要明确：将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 15.【答案】型设备的单价为元，型设备的单价为元  ，最小购买费用为元  【解析】解：设型设备的单价为元，型设备的单价为元； 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：型设备的单价为元，型设备的单价为元； 该企业计划购买两种设备共台，要求型设备数量不少于型设备数量的一半，设购买型设备台，购买总费用为元， ， ， 由题意得，， ， 随增大而增大， 当时，有最小值，最小值为， ，最小购买费用为元． 设型设备的单价为元，型设备的单价为元，根据用元购买型设备的数量比用元购买型设备的数量多台列出方程求解即可； 根据型设备数量不少于型设备数量的一半列出不等式求出的取值范围，再列出关于的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 本题主要考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确进行计算是解题关键． 16.【答案】是的外接圆，为的直径，， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线  的半径为；  【解析】证明：是的外接圆，为的直径，， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； 解：为的直径， ， ， ， ，即， ， ， ， 的半径为； ， ， ，， ， 设，， ， 解得， ，， ， ，即， ，即， ． 证明，得到，即可证明是的切线； 根据正切函数的定义求得，得到，再利用勾股定理即可求解； 设，，由勾股定理求得，再利用平行线分线段成比例即可求解． 本题考查切线的性质，正确进行计算是解题关键． 17.【答案】解：设石块的运动轨迹所在抛物线的解析式为， 把代入，得， 解得． ； 石块不能飞越城墙，理由如下： 把代入； 得， ， 石块不能飞越防御墙； 设直线的解析式为， 把代入得，， 直线的解析式为， 过抛物线上的点作轴交于， 设，则， ，对称轴为， ，在对称轴的左侧随的增大而增大， 时，时，最大为， 时，时，最大为． 答：时，石块与斜坡在竖直方向上的最大距离为； 时，石块与斜坡在竖直方向上的最大距离为．  【解析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 设石块运行的函数关系式为，用待定系数法求得的值即可求得答案； 把代入，求得的值，与作比较即可； 用待定系数法求得的解析式为，设出点和的坐标，再用含的代数式表示出，最后根据二次函数的性质求解即可． 18.【答案】；     如图，连接，      ，，   ，   由旋转知，，   ，   即，   ，   ≌，   ，，   ，   ，      ，   ，   ，   ≌，   ，；    ，理由如下：   连接，      点是的中点，，   ，   ，   ，   ，即   点是的中点，，   ，   ，   是等腰直角三角形，   ，   即，     【解析】解：，，  是等边三角形，  ，  由旋转得，  ，  ；  证明：如图，连接，    ，，  ，  由旋转知，，  ，  即，  ，  ≌，  ，，  ，  ，    ，  ，  ，  ≌，  ，；  解：，理由如下：  连接，    点是的中点，，  ，  ，  ，  ，即  点是的中点，，  ，  ，  是等腰直角三角形，  ，  即，  ． 先说明是等边三角形，可得，再根据旋转的性质求出，然后根据得出答案；  连接，由题意得，，再说明，根据“边角边”说明≌，可得，进而得出，然后证明，接下来根据“边角边”证明≌，即可得出答案；  连接，根据直角三角形的性质得，再说明，然后根据直角三角形的性质得，即可得出是等腰直角三角形，最后根据勾股定理得出答案． 本题主要考查了，掌握其相关知识点是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $