2026年内蒙古中考数学模拟试卷（四）基础巩固卷

**基本信息** 试卷以真实情境为载体，融合文化传承与科技应用，通过梯度化问题设计全面考查数学抽象、运算推理及模型应用等核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|实数、代数式运算、概率|第5题以“哪吒夜叉”问题考查方程组，渗透文化传承| |填空题|4/12|反比例函数、根与系数关系、解直角三角形|第12题正三角形中点动线段和最小值，考查几何直观| |解答题|6/64|统计分析、函数建模、圆的切线证明、动态几何|第17题蔬菜大棚抛物线建模求脚手架最大长度，体现模型意识；第18题矩形动态问题分层设计，培养推理能力|

2026 年 内 蒙 古 自 治 区 初 中 学 业 水 平 考 试 数 学 模 拟 试 卷 （四） 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。本套试卷满分100分，测试时间90分钟； 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.某地提倡“节约用水，保护环境”，如果节约的水记为，那么浪费的水记为(    ) A. B. C. D. 2.下列运算正确的是(    ) A. B. C. D. 3.实数，在数轴上的位置如图所示，则下列式子正确的是(    ) A. B. C. D. 4.为了让人工智能更好地理解情感，工程师设计了一套包含愤怒、高兴、悲伤、平静种情绪的语音数据集训练阶段，人工智能随机播放一条语音，播放出表达高兴或悲伤情绪语音的概率为(    ) A. B. C. D. 5.明代数学家吴敬的九章算法比类大全中有一个“哪吒夜叉”问题，大意是：有个头只手的哪吒若干，有个头只手的夜叉若干，两方交战，共有个头，只手问哪吒、夜叉各有多少？设哪吒有个，夜叉有个，则根据条件所列方程组为(    ) A. B. C. D. 6.声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度与温度部分对应数值如表： 温度 声音传播的速度 研究发现，满足公式为常数，且，当温度为时，声音传播的速度为(    ) A. B. C. D. 7.如图，在平行四边形中，，，按以下步骤作图：以为圆心，以适当长为半径作弧，交，于点，；分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点，作射线交于点，交边于点，则的长度为(    ) A. B. C. D. 8.如图，在中，，，以为圆心为半径画圆，交于点，则阴影部分面积是(    ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，共12分。 9.验光师通过检测发现近视眼镜的度数度与镜片焦距米成反比例，关于的函数图象如图所示经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由米调整到米，则近视眼镜的度数减少了      度 10.若，是关于的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为        ． 11.如图是某种云梯车，如图是其示意图，当云梯升起时，与底盘的夹角为，液压杆与底盘的夹角为已知液压杆，某一工作时刻，，此时的长为       精确到小数点后一位，参考数据：，，，，， 12.如图，在边长为的正三角形中，已知、、分别为、、的中点，点为线段上的一个动点，连接，，则的周长的最小值是       ． 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分计算和化简： ； 先化简，再求值：，其中． 14.本小题分某区域快递分拣站随机抽取、两种型号的智能机器人各台，统计它们每天可分拣的快递数量． 【数据收集与整理】 型号的智能机器人每天可分拣的快递数量单位：万件条形统计图如图所示：型号的智能机器人每天可分拣的快递数量单位：万件如表所示： 分拣快递数量万件 机器人台数台 【数据分析与运用】 两组样本数据的众数、中位数、平均数、方差整理如表： 众数万件 中位数万件 平均数万件 方差 型号 和 型号 请你根据以上数据，解答下列问题： 填空：表中______，______； 若某快递公司只能购买一种型号的智能机器人，请你结合“数据分析与运用”，为该公司提出一条合理化建议． 若某快递公司新购进型号智能机器人台，型号智能机器人台，随机抽取两台分拣快递，请用画树状图或列表的方法，求抽取的智能机器人恰是同一型号智能机器人的概率． 15.本小题分某公司需向甲地紧急运送的货物，决定使用，两种型号的无人机运送已知每台型无人机的单次最高载货量比每台型无人机的单次最高载货量多；在满载情况下，用相同数量的无人机一次性运送货物，型无人机共载货，型无人机共载货． 每台型无人机和型无人机的单次最高载货量分别是多少？ 该公司决定使用台型无人机和台型无人机载货，在每台无人机都满载的情况下，刚好一次性完成的货物运送，共有几种运送方案？并写出具体运送方案． 16.本小题分如图，是的外接圆，为的直径，，连接，，的延长线交于点，交于点，若． 求证：是的切线； 若，． 求的半径； 求的长． 17.本小题分问题背景 某校劳动基地蔬菜大棚由抛物线和“矩形”构成，抛物线最高点到地面的距离为米，其横截面如图所示，并建立平面直角坐标系已知米，米  建立建模 求抛物线的解析式；  问题解决  冬季到来，为防止大雪对大棚造成损坏，如图，准备在大棚抛物线上安装矩形“脚手架”即三根支架，其中，垂直地面，平行地面，求“脚手架”的最大长度；  如图，在蔬菜大棚上安装照明灯，要求照明灯到地面的垂直距离为米，每两个相邻照明灯之间的水平距离相等且不超过米，左右外侧的两个照明灯安装在抛物线上，如图所示，直接写出至少需要安装照明灯的个数  18.3分 在矩形中，是射线上一点，连接，过点作，垂足为，射线交射线于点，且． 【观察猜想】 如图，当，且点在延长线上时： 与的数量关系为______； 若是中点，求的度数． 【类比探究】 如图，当，且点在延长线上时，请根据题意补全图形无需尺规作图；并通过计算判断中的两个结论是否仍然成立． 6. 2026 年 内 蒙 古 自 治 区 初 中 学 业 水 平 考 试 数学模拟试卷（四）答案和解析 1.【答案】  【解析】解：由题意可得：浪费的水记为， 故选：． 正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案． 本题考查正数和负数，理解具有相反意义的量是解题的关键． 2.【答案】  【解析】解：、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，符合题意； D、与不是同类项，不能合并，不符合题意． 故选：． 根据单项式乘单项式的乘法法则，幂的乘方与积的乘方计算法则，平方差公式以及同类项的定义进行分析判断． 本题主要考查了单项式乘单项式，幂的乘方与积的乘方，平方差公式以及同类项的定义等知识点，属于基础题． 3.【答案】  【解析】【分析】 根据，两数的正负以及绝对值大小即可进行判断． 本题主要考查数轴上点的特征以及有理数的大小比较及运算法则，解题的关键在于正确判断，的正负，以及绝对值的大小． 【解答】 解：由数轴可知，故符合题意； B.，，，故不符合题意； C.，，，故不符合题意； D.，，，，故不符合题意． 故选：． 4.【答案】  【解析】解：工程师设计了一套包含愤怒、高兴、悲伤、平静种情绪的语音数据集，高兴或悲伤情绪共种， 人工智能随机播放一条语音，播放出表达高兴或悲伤情绪语音的概率为， 故选：． 根据愤怒、高兴、悲伤、平静种情绪的语音数据集，以及播放出表达高兴或悲伤情绪语音的结果有种，代入概率公式进行计算，即可作答． 本题考查了概率公式，熟记概率公式是解题的关键． 5.【答案】  【解析】解：根据题意得：， 故选：． 根据有个头只手的哪吒若干，有个头只手的夜叉若干，两方交战，共有个头，只手，列出二元一次方程组即可． 本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 6.【答案】  【解析】解：将，和，分别代入， 得， 解得， 与之间的函数关系式为， 当时，， 当温度为时，声音传播的速度为． 故选：． 利用待定系数法求出与之间的函数关系式，当时，求出对应的值即可． 本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键． 7.【答案】  【解析】解：过点作交延长线于点， 由作图可知，为的角平分线， ， 四边形是平行四边形， ，，， ，， ， ， 在中，，， ， ， 在中，，， ， ， ∽， ，即， ， ， 解得， 故选：． 如图，过点作交延长线于点，由作图可知，为的角平分线，则，由平行四边形的性质、平行线的性质可得，，然后利用等腰三角形的性质及勾股定理可得，，，，最后根据相似三角形的判定与性质得比例式，计算可得答案． 本题考查作图，掌握角平分线的性质、平行四边形的性质、平行线的性质是解题的关键． 8.【答案】  【解析】解：在中，，，． ，， 由勾股定理得， ． 故选：． 在中，根据直角三角形的性质可得、，再根据勾股定理可得，最后根据计算即可解答． 本题主要考查了扇形的面积公式、直角三角形的性质、勾股定理等知识点，掌握扇形面积公式是解题的关键． 9.【答案】  【解析】解：设关于的函数解析式为， 由图示知，该函数图象经过点． 把代入， ， 函数解析式为， 当时，， 当时，， 度数减少了度， 故答案为：． 用待定系数法求出反比例函数解析式，再把代入解析式求出的值，进而计算即可． 本题考查了反比例函数的实际应用，读懂题意，掌握课本知识是解决问题的关键． 10.【答案】  【解析】解：由条件可知，， ， ． 故答案为：． 根据一元二次方程根的定义以及根与系数的关系得出，，代入所求代数式计算即可． 本题考查了根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 11.【答案】  【解析】解：过点作于点，如图， 在中， ， ， ， 在中， ，， ， ． 此时的长为． 故答案为：． 过点作于点，如图，在中利用正弦的定义求出的长，再在中利用余弦的定义求出，在中利用正切的定义求出，然后计算即可． 本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线是解题的关键． 12.【答案】  【解析】解：要使的周长最小，而一定，只要使最短即可，  连接交于，  等边，、、分别为、、的中点，  ，，  ，，  、关于对称，  即当和重合时，此时最小，即的周长最小，  ，，  最小值是：  故答案为． 连接交于，根据等边三角形的性质证明、关于对称，得到，周长最小，求出即可得到答案． 本题主要考查对等边三角形的性质，轴对称最短路线问题，平行线分线段成比例定理等知识点的理解和掌握，能求出的最小值是解此题的关键． 13.【答案】  ，  【解析】解：原式 ； 原式 ， 当时，原式． 先计算绝对值，二次根式的乘法，乘方，再算加减即可求解； 先化简，再代入的值即可求解． 本题考查了分式的化简求值，二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 14.【答案】，；   建议如下： 因为型号智能机器人每天可分拣快递数量的平均数高于型号智能机器人， 所以购买型号智能机器人答案不唯一；    【解析】由所给表格可知， 型机器人每天分拣快递数量的众数为， 所以． 由所给条形统计图可知， 型机器人每天可分拣快递的数量从小到大排列为： 、、、、、、、、、， 所以型机器人分拣快递数量的中位数是， 所以． 故答案为：，； 建议如下： 因为型号智能机器人每天可分拣快递数量的平均数高于型号智能机器人， 所以购买型号智能机器人答案不唯一． 令台型号智能机器人为，，台型号智能机器人为，． 画树状图如下图所示， 由树状图可知， 共有种等可能的结果，其中抽取的智能机器人恰是同一型号智能机器人的结果有种， 所以抽取的智能机器人恰是同一型号智能机器人． 根据众数及中位数的定义进行计算即可； 结合表格中的数据进行建立即可； 利用树状图或列表，求出抽取的智能机器人恰是同一型号智能机器人的概率即可． 本题主要考查了列表法与树状图法、方差、中位数、众数及条形统计图，熟知中位数、众数的定义及树状图是解题的关键． 15.【答案】每台型无人机单次最高载货量为，每台型无人机单次最高载货量为  共有种运送方案，方案一：使用台型无人机和台型无人机载货；方案二：使用台型无人机和台型无人机载货  【解析】解：设每台型无人机的单次最高载货量为，则 ， 解得， 经检验，是所列方程的根，且符合题意， ， 答：每台型无人机单次最高载货量为，每台型无人机单次最高载货量为； 该公司决定使用台型无人机和台型无人机载货， ， ， ，、为整数， 或； 共有种运送方案，方案一：使用台型无人机和台型无人机载货 方案二：使用台型无人机和台型无人机载货． 设每台型无人机的单次最高载货量为，则型无人机的单次最高载货量为，根据“用相同数量的无人机一次性运送货物，型无人机共载货，型无人机共载货”列出分式方程求解即可； 根据题意得，，再根据的取值范围求解即可． 本题考查一次函数的应用，正确进行计算是解题关键． 16.【答案】是的外接圆，为的直径，， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线  的半径为；  【解析】证明：是的外接圆，为的直径，， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径， 是的切线； 解：为的直径， ， ， ， ，即， ， ， ， 的半径为； ， ， ，， ， 设，， ， 解得， ，， ， ，即， ，即， ． 证明，得到，即可证明是的切线； 根据正切函数的定义求得，得到，再利用勾股定理即可求解； 设，，由勾股定理求得，再利用平行线分线段成比例即可求解． 本题考查切线的性质，正确进行计算是解题关键． 17.【答案】解：由题意可知顶点的坐标为，  设抛物线的函数表达式为：，  代入，得，  解得，  抛物线的函数表达式为；  设点的坐标为，，，的长度之和为米，  可得：，，  则，  ，  当时，有最大值，最大值为，  答：，，的长度之和的最大值为米；  当时，，  解得，  左右外侧的两个照明灯之间的距离为米，  ，且每两个相邻照明灯之间的水平距离相等且不超过米，  至少要安装个照明灯．  【解析】根据题意，用待定系数法求函数解析式；  设点的坐标为，，，的长度之和为米，得出与的函数解析式，由函数的性质求最值；  当时，求出的值，结合实际情况确定照明灯的个数． 本题考查二次函数的应用，关键是利用函数的性质解答． 18.【答案】；  补全图形如图所示： 中的两个结论不成立，理由如下： 矩形中，， ， 设，则， ， ， ， ∽， ， ；连接， ， ， ． ，点是的中点， 是线段的垂直平分线， ，   【解析】解：矩形中，， ， 四边形是正方形． ， ， ． ， ≌， ； 故答案为：； 连接， 四边形是正方形， ． ，点是的中点， 是线段的垂直平分线， ， ； 补全图形如图所示： 不成立，理由如下： 矩形中，， ， 设，则， ， ， ， ∽， ， ； 连接， ， ， ． ，点是的中点， 是线段的垂直平分线， ， 当，且点在延长线上时，． 先说明四边形是正方形，再根据“角边角”证明≌，可得； 连接，根据正方形的性质得，再根据线段垂直平分线的性质得，然后根据等腰三角形的性质得出答案； 先补全图形如图所示，再说明∽，可得；然后连接，根据，可得，再结合线段垂直平分线的性质得，最后根据等腰三角形的性质得出答案． 本题考查相似形综合题，相似三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $