二项式定理及其应用 课件-2026届高三数学三轮冲刺

二项式定理及其应用 k＋1 C C C 5 10 6 1 215 B 20 10 B A D A －23 A －160 5 [知识总结] 1．二项式定理 二项式定理 (a＋b)n＝ (n∈N*) 二项展开式 的通项 Tk＋1＝ ，它表示展开式的第 项 二项式系数 展开式中各项的二项式系数为C(k＝0，1，2，…，n) Can＋Can-1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn Can－kbk 2.二项式系数的性质 性质 对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C＝C 增减性 与最大值 当k<时，C随k的增加而增大 当k>时，C随k的增加而减小 当n为偶数时，中间的一项取得最大值 当n为奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值 二项式 系数的和 C＋C＋C＋…＋C＝2n C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n-1 [基础训练] 1．在的展开式中，常数项为( ). A．－120　　　 B．120 C．－160　　　 D．160 2．若的展开式的二项式系数之和为64，则展开式中的常数项为( ). A．120　　　 B．－120 C．60　　　 D．－60 3．(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为( ). A．－80　　　 B．－40 C．40　　　 D．80 4．已知多项式(x－1)3＋(x＋1)4＝x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4，则a1＝ ，a2＋a3＋a4＝ ． 5．若展开式的各项系数和为64，则n＝ ，x3的系数为 ． 题型1　求解(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量 【例1】(1)(2024·北京卷)(x－)4的二项展开式中x3的系数为( ). A．15　　　 B．6 C．－4　　　 D．－13 (2)(2024·天津卷)在的展开式中，常数项为 ． 【解析】因为的展开式的通项为Tr＋1＝C＝36-2rCx6(r-3)，r＝0，1，…，6，令6(r－3)＝0，可得r＝3，所以常数项为30C＝20. (3)(2024·上海卷)在(x＋1)n的二项展开式中，若各项系数的和为32，则含x2项的系数为 ． 【解析】令x＝1，得(1＋1)n＝32，得2n＝32，解得n＝5，(x＋1)5的展开式的通项为Tr＋1＝C·x5-r，令5－r＝2，得r＝3，所以T4＝Cx2＝10x2. 【变式】(1)的展开式的中间项为( ). 【解析】由题意得中间项为C()4·＝x－. (2)已知的展开式的第3项是常数项，则n等于( ). A．6　　　 B．5 C．4　　　 D．3 【解析】的展开式的通项为Tk＋1＝(－2)kCx，当k＝2时，T3＝(－2)2Cx，则＝0，解得n＝6. 题型2　求解(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量 【例2】(1)(2025·湖北十一校联考)(x2＋ax－1)(1－x)6的展开式中x2的系数是－2，则实数a的值为( ). A．0　　　 B．3 C．－1　　　 D．－2 【解析】(x2＋ax－1)(1－x)6的展开式中含x2的项为x2·1＋ax·C(－x)1＋(－1)·C(－x)2＝x2－6ax2－15x2＝－(6a＋14)x2，所以－(6a＋14)＝－2，解得a＝－2. (2)(2x3－2)的展开式的常数项为( ). A．－288　　　 B．－312 C．480　　　 D．736 【解析】因为的展开式的通项为Tk＋1＝C(－2)k(0≤k≤8，k∈N)，所以(2x3－2)·的展开式的项为2x3C(－2)k(0≤k≤8，k∈N)或－2C(－2)k(0≤k≤8，k∈N).当k＝2时，2x3C(－2)k＝2x3Cx-3(－2)2＝224；当k＝8时，－2C·(－2)k＝－2C(－2)8＝－512，所以(2x3－2)·的展开式的常数项为－512＋224＝－288. 【变式】若(ax＋1)4(a∈N)的展开式中含x2的项的系数为8，则该展开式的常数项为 ． 【解析】因为(ax＋1)4＝(ax＋1)4－(ax＋1)4，展开式中含x2的项的系数为Ca2－Ca4＝8，整理得a4－6a2＋8＝0，解得a2＝2或a2＝4.因为a∈N，所以a＝2，所以展开式的常数项为C－C22＝1－6×4＝－23. 题型3　二项式系数的性质及各项系数和 【例3】在①只有第5项的二项式系数最大；②第4项与第6项的二项式系数相等；③奇数项的二项式系数的和为128，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答问题． 已知(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn(n∈N*)， ． (1)求＋＋…＋的值； (2)求a1＋2a2＋3a3＋…＋nan的值． 【解析】(1)若选①：因为只有第5项的二项式系数最大，所以展开式中共有9项，即n＋1＝9，解得n＝8. 若选②：因为第4项与第6项的二项式系数相等，所以C＝C，所以n＝8. 若选③：因为奇数项的二项式系数的和为128，所以2n-1＝128，解得n＝8. 由题意得(2x－1)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，令x＝，得＝a0＋＋＋…＋，得a0＋＋＋…＋＝0，令x＝0，得a0＝1，所以＋＋…＋＝－a0＝－1. (2)由(1)可知n＝8，(2x－1)8＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，两边求导得16(2x－1)7＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋8a8x7，令x＝1，得16＝a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8，所以a1＋2a2＋3a3＋…＋8a8＝16. 【变式】已知(2－x)2 025＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a2 025(x＋1)2 025，则|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 025|等于( ). A．24 050　　　 B．1 C．22 025　　　 D．0 【解析】令t＝x＋1，则x＝t－1，则(2－x)2 025＝[2－(t－1)]2 025＝(3－t)2 025＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋a2 025t2 025，(3－t)2 025的展开式的通项为Tr＋1＝C·32 025-r·(－t)r，则ar＝C·32 025-r·(－1)r.当r为奇数时，ar<0；当r为偶数时，ar>0，所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 025|＝a0－a1＋a2－…－a2 025＝(3＋1)2 025＝24 050. 最值问题 要明确二项式系数与项的系数的区别，二项式系数的和及二项式系数的最值问题直接运用公式求解即可，求解项的系数和问题的关键是赋值，此类问题难度不大．另外还可能涉及项的系数的最值问题，难度中档，主要考查数学运算的核心素养． 角度1　二项式系数的最值问题 【例1】(2－x)n的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则展开式中x3的系数为 ． 【解析】因为(2－x)n的展开式中只有第4项的二项式系数最大，所以n＝6，所以(2－x)n＝(2－x)6，其展开式的通项为Tr＋1＝C·26-r·(－x)r＝(－1)r·26-r·Cxr，所以展开式中x3的系数为(－1)3·26-3·C＝－160. 二项式系数最大项的确定方法 (1)如果n是偶数，那么中间一项的二项式系数最大； (2)如果n是奇数，那么中间两项的二项式系数相等，且同时取最大值． 角度2　项的系数的最值问题 【例2】(2024·全国甲卷)的展开式中，各项系数的最大值是 ． 【解析】的展开式的通项为Tr＋1＝Cxr，0≤r≤10且r∈Z，设展开式中第r＋1项的系数最大，则则即≤r≤，又r∈Z，所以r＝8，所以展开式中系数最大的项是第9项，且该项系数为C＝5. 【变式】已知(n∈N*). (1)当n＝6时，二项式的展开式中x3的系数为A，常数项为B，若B＝4A，求a的值； (2)当n＝6，a＝－2时，求二项式的展开式中系数最大的项． 【解析】(1)当n＝6时，二项式为，其展开式的通项为Tk＋1＝Cx6-k＝(－a)kCx (k＝0，1，…，6)，令6－＝3，得k＝2，所以A＝a2C＝15a2.令6－＝0，得k＝4，所以B＝a4C＝15a4，结合B＝4A，解得a＝0(舍去)或a＝2或a＝－2，所以a＝2或a＝－2. (2)当n＝6，a＝－2时，二项式为，其展开式的通项为Tk＋1＝Cx6-k＝2kCx (k＝0，1，…，6)，设第k＋1项的系数最大，则解得故k＝4，所以二项式的展开式中系数最大的项为T4＋1＝24C＝240. $