精品解析：2026年山东省普通高等学校招生考试（春季）模拟（二）数学知识试题

山东省普通高校招生（春季）考试 数学仿真模拟试题（二） 本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分，满分120分，考试时间120分钟.考生请在答题卡上答题，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 卷一（选择题 共60分） 一、选择题：本大题共20个小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合与元素，集合与集合之间的关系即可求解 【详解】对A: 为自然数集，为整数集，所以，故A正确； 对B：为有理数集，为无理数，所以，故B错误； 对C: 没有任何元素，所以，故C错误； 对D：为自然数集，所以，故D错误. 故选：A. 2. 复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据共轭复数的定义求解即可. 【详解】复数的共轭复数为. 故选：C. 3. 若，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合不等式的基本性质即可得解. 【详解】对选项A，当，时，此不等式不成立，故A不正确； 对选项B，当时，此不等式不成立，故B不正确； 对选项C，函数，底数，所以为减函数，所以，故C不正确； 对选项D，由于，所以成立，故D正确. 故选：D. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】由充分必要条件分析即可得解. 【详解】由“”推不出“”，故充分性不成立； 由“”可以推出“”，故必要性成立， 故“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 5. 设函数（为常数）为定义在上的奇函数，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇函数的性质即可得解. 【详解】因为是定义在上的奇函数， 所以，解得， 故选：B. 6. 函数的定义域是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据真数大于零及分母不为零列出不等式组即可得解. 【详解】要使函数有意义，需使，所以且， 所以函数的定义域为且. 故选：C. 7. 已知点关于点的对称点，则点到原点的距离是（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】代两点的中点坐标公式以及两点间距离公式求解即可. 【详解】因为点与点关于点对称，所以点为点与点的中点， 所以有，即，，点即， 则点到原点的距离是. 故选：D. 8. 若数列的前项和，则（ ） A. 20 B. 30 C. 40 D. 70 【答案】B 【解析】 【分析】由数列的项与数列的前项和的关系即可得解. 【详解】由题意得，. 故选：B. 9. 在△ABC中，，则一定是（　　） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理结合已知条件求出角B的值，然后进行判断即可． 【详解】因为在中，， 由正弦定理可得， 角A为三角形的内角，所以， 同除以可得， 又，则， 一定是直角三角形. 故选：B. 10. 在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数和二次函数的图象与性质逐项分析即可得解. 【详解】当时，二次函数的图象开口向上，直线的斜率为负数， 图象经过第一、二、四象限，排除A选项，B选项正确； 当时，二次函数的图象开口向下， 直线的斜率为正数，图象经过第一、二、三象限，排除C，D选项； 故选：B. 11. 若某位射击选手在射击时，所得的环数的分布列见下表. 3 4 5 6 7 0.02 0.04 0.09 0.29 则的值为（ ） A. 0.56 B. 0.94 C. 0.09 D. 0.44 【答案】A 【解析】 【分析】根据分布列的性质列出方程即可得解. 【详解】由离散型随机变量分布列的性质知：， 所以. 故选：A. 12. 暑假期间，某高校5名同学去社区进行社会实践活动调查，根据需要，安排这5名同学去甲、乙两个小区进行调查，每个小区至少去2名同学，则不同的安排方法的种数是（ ） A. 20 B. 40 C. 60 D. 84 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合组合数及排列数的计算即可得解. 【详解】把5个人分成2组，然后去甲、乙两个小区进行调查， 所以不同的安排方法的种数是. 故选：A. 13. 若向量与反向，则（ ） A. B. C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量反向的性质求出值，代入平面向量内积公式即可得解. 【详解】因为与反向， 所以且，解得， 所以，，则， 故选：A. 14. 若，则的值等于（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意利用正弦的二倍角公式进行化简即可得解. 【详解】因为，则. 故选：D. 15. 某职业学校有三个年级，共有1000名学生，其中一年级有370名，若从全校学生中任意选出一名学生，则恰好选到二年级学生的概率是0.33.现计划利用分层抽样的方法，从全体学生中选出100名参加座谈会，那么需要从三年级学生中选出（ ） A. 20人 B. 30人 C. 33人 D. 60人 【答案】B 【解析】 【分析】先求出三年级的学生人数，再利用分层抽样的方法求解即可. 【详解】由题意知，全校二年级学生的人数为人， 所以全校三年级学生的人数为人； 所以需要从三年级学生中选出（人）. 故选：B. 16. 直线与圆相交，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与圆的位置关系，结合点到直线的距离公式求解即可. 【详解】因为圆的圆心为，半径， 所以圆心到直线的距离， 因为直线与圆相交，所以，即，解得：， 所以的取值范围是. 故选：C. 17. 已知直线，，平面，，，则下列条件中，可推出的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ，，， 【答案】A 【解析】 【分析】由直线与平面、平面与平面的位置关系逐项判断即可. 【详解】垂直于同一条直线的两个平面平行，故A正确； 垂直于同一个平面的两个平面可能平行，也可能相交，故B不正确； 平行于同一条直线的两个平面可能相交，也可能平行，故C不正确； 一个平面内的两条相交直线都与另一个平面平行，两个平面才平行，故D不正确. 故选：A. 18. 定义运算，若函数，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将函数根据题意写出分段函数的形式即可得解. 【详解】由题意知：,， 所以， 故选：D. 19. 直线与抛物线交于，两点，则的中点到抛物线的准线的距离等于（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意联立方程组，结合韦达定理及抛物线的性质即可得解. 【详解】 如图所示，设，， 联立直线方程和抛物线方程，得， 所以，所以， 抛物线，则，，则准线方程为, 所以的中点到抛物线的准线的距离为. 故选：C. 20. 牟合方盖是由我国古代数学家刘徽首先发现并采用的一种用于计算球体体积的方法，由于其采用的模型像一个牟合的方形盒子，故称为牟合方盖，刘徽通过计算，“牟合方盖”的体积与球的体积的比是，并且推理出了“牟合方盖”的八分之一的体积计算公式，即（为球的半径），从而计算出球的体积公式.如果记所有棱长都为的正四棱锥的体积为，则（ ） A. B. 1 C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据题意求出和正四棱锥的体积，再求出即可. 【详解】因为“牟合方盖”的体积与球的体积的比是， 所以，所以. 因为， ， 正四棱锥的高为， ， 所以. 故选：A. 卷二（非选择题 共60分） 二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分. 21. 二项式的展开式的所有系数之和为__________. 【答案】 【解析】 【分析】令，即可得解. 【详解】令，，则的展开式的所有系数之和为. 故答案为：. 22. 已知，，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】方法一：根据平面向量垂直的性质结合两角差的余弦公式得出，代入模长公式即可得解. 方法二：求出得出点，点在以坐标原点为圆心，以1为半径的圆上即可得解. 【详解】方法一：因为，所以， 则， 又因为， 所以. 方法二：因为，， ，， 则点，点在以坐标原点为圆心，以1为半径的圆上， 且，所以. 故答案为：. 23. 若某公司从甲、乙、丙、丁、戊五位大学毕业生中录用三人，若每个人被录用的机会均等，则甲、乙两人都被录用的概率为__________. 【答案】##0.3 【解析】 【分析】根据题意结合古典概型公式及组合数的计算即可得解. 【详解】记“甲、乙两人都被录用”为事件， 所以， 故答案为：. 24. 已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程是____________________. 【答案】或 【解析】 【分析】设出直线的点斜式方程，根据在两坐标轴上的截距相等列出等式求出斜率即可得解. 【详解】当直线斜率不存在和斜率为时，不符合题意； 设直线的斜率为，则直线的方程为， 令，得；令，得， 所以，所以或， 所以直线的方程是或. 故答案为：或. 25. 以椭圆的右焦点为圆心作一个圆，使此圆过椭圆的中心，交椭圆于点，，若直线（为椭圆的左焦点）是圆的切线，则椭圆的离心率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的切线的性质得出，，由勾股定理求出，然后由椭圆的定义及离心率公式求解. 【详解】 由题意知：，，，所以， 由椭圆的定义知：，所以， 所以椭圆的离心率， 故答案为：. 三、解答题：本大题共5个小题，共40分. 26. 已知函数（，且）的图象过点. （1）求函数的解析式； （2）解不等式. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出对数函数的解析式； （2）由对数函数的单调性列式求解即可. 【小问1详解】 因为函数的图象过点， 所以，所以. 因为，且， 所以，即. 【小问2详解】 因为在上单调递增，且， 所以所以 所以，所以原不等式的解集是. 27. 在我国古代著名的数学专著《张丘建算经》里有一段叙述：今有两马，一马发长安至齐，初日行一百二十八里，日减半；另一马发齐至长安、初日行九十七里，日减半里，两马8日相逢.问：齐离长安多少里？ 【答案】1017里 【解析】 【分析】根据题意结合等差数列及等比数列的求和公式即可得解. 【详解】由题意知一马每日行程构成等比数列，其中，公比， 则8日行程为. 另一马每日行程构成等差数列，其中，公差， 则8日行程为. 所以. 所以齐离长安1017里. 28. 如图所示，钝角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，圆与轴的正半轴交于点，与角的终边交于点，设. （1）使用表示； （2）如果，求点的坐标. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合题意及三角形的内角和使用表示； （2）由二倍角公式、诱导公式及三角函数的定义即可得解. 【小问1详解】 如题图，因为， 所以. 【小问2详解】 因为，为锐角，所以， 所以， ， 因为点N在圆上，半径为5， 由三角函数的定义知：， ， 所以. 29. 已知直三棱柱的所有棱长都相等，，分别为棱，的中点，如图所示. 求证： （1）平面； （2）平面平面. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，利用三角形中位线定理和线面平行的判定定理证明即可； （2）根据直三棱柱的特点，结合线面垂直的判定定理、性质定理和面面垂直判定定理证明即可. 【小问1详解】 取的中点，连接，. 在中，因为，分别为，的中点， 所以是的中位线， 所以，且. 因为，且， 所以，且， 所以四边形是平行四边形，所以. 因为平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为三棱柱为直三棱柱， 所以平面.因为平面， 所以. 又因为，为的中点，所以. 因为，平面，平面， 所以平面，因为平面， 所以平面平面. 30. 已知双曲线的渐近线为，且抛物线与双曲线的一个交点为. （1）求双曲线的标准方程； （2）为坐标原点，直线与抛物线交于，两点，且，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据双曲线的渐近线方程及与抛物线的交点，代数求解即可； （2）根据直线与抛物线的位置关系，结合向量内积的坐标表示和直线的点斜式方程分析求解即可. 【小问1详解】 因为双曲线过点， 所以.① 又因为渐近线，所以.② 由①②解得：，， 所以双曲线的标准方程为. 【小问2详解】 因为抛物线过点， 所以，所以， 所以抛物线方程为. 设，则. ③ 因为，，， 所以. ④ 由③④可得或 或，且点满足抛物线方程和， 当时，，直线的方程为，即； 当时，， 直线的方程为，即. 所以直线的方程为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省普通高校招生（春季）考试 数学仿真模拟试题（二） 本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分，满分120分，考试时间120分钟.考生请在答题卡上答题，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 卷一（选择题 共60分） 一、选择题：本大题共20个小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 3. 若，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 4. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 设函数（为常数）为定义在上的奇函数，则（ ） A. 2 B. C. D. 6. 函数的定义域是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 7. 已知点关于点的对称点，则点到原点的距离是（ ） A. 4 B. C. D. 8. 若数列的前项和，则（ ） A. 20 B. 30 C. 40 D. 70 9. 在△ABC中，，则一定是（　　） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 10. 在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（ ） A. B. C. D. 11. 若某位射击选手在射击时，所得的环数的分布列见下表. 3 4 5 6 7 0.02 0.04 0.09 0.29 则的值为（ ） A. 0.56 B. 0.94 C. 0.09 D. 0.44 12. 暑假期间，某高校5名同学去社区进行社会实践活动调查，根据需要，安排这5名同学去甲、乙两个小区进行调查，每个小区至少去2名同学，则不同的安排方法的种数是（ ） A. 20 B. 40 C. 60 D. 84 13. 若向量与反向，则（ ） A. B. C. 6 D. 8 14. 若，则的值等于（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 15. 某职业学校有三个年级，共有1000名学生，其中一年级有370名，若从全校学生中任意选出一名学生，则恰好选到二年级学生的概率是0.33.现计划利用分层抽样的方法，从全体学生中选出100名参加座谈会，那么需要从三年级学生中选出（ ） A. 20人 B. 30人 C. 33人 D. 60人 16. 直线与圆相交，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 17. 已知直线，，平面，，，则下列条件中，可推出的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ，，， 18. 定义运算，若函数，，则（ ） A. B. C. D. 19. 直线与抛物线交于，两点，则的中点到抛物线的准线的距离等于（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 20. 牟合方盖是由我国古代数学家刘徽首先发现并采用的一种用于计算球体体积的方法，由于其采用的模型像一个牟合的方形盒子，故称为牟合方盖，刘徽通过计算，“牟合方盖”的体积与球的体积的比是，并且推理出了“牟合方盖”的八分之一的体积计算公式，即（为球的半径），从而计算出球的体积公式.如果记所有棱长都为的正四棱锥的体积为，则（ ） A. B. 1 C. 8 D. 卷二（非选择题 共60分） 二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分. 21. 二项式的展开式的所有系数之和为__________. 22. 已知，，，则__________. 23. 若某公司从甲、乙、丙、丁、戊五位大学毕业生中录用三人，若每个人被录用的机会均等，则甲、乙两人都被录用的概率为__________. 24. 已知直线过点，且在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程是____________________. 25. 以椭圆的右焦点为圆心作一个圆，使此圆过椭圆的中心，交椭圆于点，，若直线（为椭圆的左焦点）是圆的切线，则椭圆的离心率为__________. 三、解答题：本大题共5个小题，共40分. 26. 已知函数（，且）的图象过点. （1）求函数的解析式； （2）解不等式. 27. 在我国古代著名的数学专著《张丘建算经》里有一段叙述：今有两马，一马发长安至齐，初日行一百二十八里，日减半；另一马发齐至长安、初日行九十七里，日减半里，两马8日相逢.问：齐离长安多少里？ 28. 如图所示，钝角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，圆与轴的正半轴交于点，与角的终边交于点，设. （1）使用表示； （2）如果，求点的坐标. 29. 已知直三棱柱的所有棱长都相等，，分别为棱，的中点，如图所示. 求证： （1）平面； （2）平面平面. 30. 已知双曲线的渐近线为，且抛物线与双曲线的一个交点为. （1）求双曲线的标准方程； （2）为坐标原点，直线与抛物线交于，两点，且，求直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $