与导数相关的函数构造问题（抽象函数）讲义-2026届高三数学二轮复习

函数中的构造问题（抽象函数） 知识梳理 1、构造函数解不等式解题思路 利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是： （1）把不等式转化为； （2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别. ①在上是偶函数，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； ②在上是偶函数，且在单调递减 若解不等式 ，则有（变号加绝对值）； 2、构造函数的规律方法归类总结 已知条件式 可构造的函数 原函数的导函数 f(x)+f'(x)>0(或<0) F(x)=exf(x) F'(x)=ex[f(x)+f'(x)] nf(x)+xf'(x)>0(或<0) F(x)=xnf(x) F'(x)=xn-1[nf(x)+xf'(x)] nf(x)+f'(x)>0(或<0) F(x)=enxf(x) F'(x)=enx[nf(x)+f'(x)] f'(x)-f(x)>0(或<0) F(x)= F'(x)= xf'(x)-f(x)>0(或<0) F(x)= F'(x)= xf'(x)-nf(x)>0(或<0) F(x)= F'(x)= f'(x)-nf(x)>0(或<0) F(x)= F'(x)= f'(x)sin x-f(x)cos x>0(或<0) F(x)= F'(x)= f'(x)cos x+f(x)sin x>0(或<0) F(x)= F'(x)= f(x)+f'(x)±k>0(或<0) F(x)=exf(x)±kex F'(x)=ex[f(x)+f'(x)±k] f'(x)-f(x)±k>0(或<0) F(x)= F'(x)= 题型1 利用构造函数 规律与方法 利用f(x)与kx加减构造函数 模型1.对于，构造 模型2.对于不等式，构造函数. 【例1】已知是函数的导数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，对函数求导，利用的单调性可得答案. 【详解】设，因为，所以， 对函数求导，得，因为，所以， 所以函数是实数集上的增函数， 因此由. 故选：D. 练习： 1.（23-24高三下·重庆·月考）已知是函数的导数，且，，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，利用导数说明函数的单调性，再由，不等式即，结合单调性解得即可. 【详解】令，则， 所以在上单调递增，又，所以， 不等式，即，即，所以， 即不等式的解集为. 故选：B 2．（2024·山东聊城·三模）设函数的定义域为，导数为，若当时，，且对于任意的实数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，根据题意，可证为上的偶函数，且在上单调递增，在上单调递减，又由转化为，即，即可得解. 【详解】因为， 设， 则， 即为上的偶函数， 又当时，， 则，所以在上单调递增，在上单调递减， 因为， 所以， 即，所以，即， 解得. 故选：B 【点睛】关键点点睛：根据题意，设，研究函数的奇偶性和单调性，从而求解不式. 3．已知函数及其导数的定义域均为，对任意实数，，且当时，.不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，从而结合导数与所给条件得到函数的单调性与对称性，在将所给不等式中化为即可得解. 【详解】令，则， 由题意可得，当时，，即在上单调递增， 由，则， 即，故为偶函数，故在上单调递减， 则不等式可化为：， 即，则有，即， 即，即， 解得. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于构造函数，从而结合导数与所给条件得到函数的单调性与对称性. 题型2 利用f(x)与x构造函数 规律与方法 利用f(x)与x构造函数 ①出现nf(x)+xf'(x)形式，构造函数F(x)=xnf(x). ②出现xf'(x)-nf(x)形式，构造函数 【例2】（2025·江西南昌·三模）已知函数的定义域为，且，对任意，，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设，由恒成立，在上单调递减，由可得，由单调性解不等式即可. 【解答过程】设，则 ， 对任意，，恒成立，即在上单调递减， 由可得，，解得，即解集为. 故选：A. 练习： 1.（2025·吉林·二模）已知函数的定义域为，其导函数满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】令，求导可得在上单调递减，由已知可得，可得，可得不等式的解集. 【解答过程】由题意知，当时，， 令，则， 所以在上单调递减， 不等式等价于， 即为，所以，解得. 故选：A. 2.已知是偶函数的导函数，.若时，，则使得不等式成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】构造函数，则由条件可知的单调性、奇偶性以及，即可将问题转化为求解不等式. 【解答过程】令，则， 则当时，，即单调递增， 因为偶函数，则，则， 即为奇函数， 则在上单调递增， 因，则， 则可转化为， 则，即， 故不等式的解集为. 故选：A. 3.（24-25高三下·河北邯郸·月考）已知函数是定义域为的奇函数的导函数，当时，，且，则不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，求导可得在上单调递增.根据是定义域为的奇函数得到为上的偶函数，结合的性质可求的解集． 【详解】根据题意，构造函数，求导得， 当时，，所以在上单调递增， 因为为奇函数，所以是偶函数，故在上单调递减. 因为，所以，故. 当时，不等式可化为， 因为在上单调递增，所以. 当时，因为在上为奇函数，所以，满足. 当时，不等式可化为， 因为在上单调递减，所以. 综上，的解集为. 故选：C. 题型3 利用f(x)与ex构造函数 规律与方法 模型1.对于不等式，构造函数 拓展：对于不等式，构造函数 模型2.对于不等式，构造函数 【例3】（24-25高三下·黑龙江鸡西·月考）已知定义在上的函数的导数为，且，，则不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题干条件可构造函数，对求导得在上单调递减，由已知条件可得，结合的单调性可解函数不等式. 【详解】由，联想到积的导数公式，故构造函数， 则，故在上单调递减， 又，所以不等式即的解集为. 故选：B. 练习： 1.（24-25高三下·内蒙古赤峰·月考）已知函数在上可导，导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，通过求导，结合条件判断函数单调性，利用为偶函数及，推出，即得，将所求不等式等价转化为，利用单调性即得. 【详解】设，则，故函数在上为增函数， 因，且为偶函数，故，故，则， 于是等价于，即，由函数的单调性可得， 即不等式的解集为. 故选：B. 2.（2025·四川德阳·三模）已知函数及其导函数在定义域均为且是偶函数，其函数图象为不间断曲线且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】对求导，结合题意分析的符号，可得的单调性，结合单调性和偶函数性质解不等式即可. 【解答过程】因为，则， 又因为，即， 且， 当时，则，可得； 当时，则，可得； 可知在内单调递增，在内单调递减，且函数图象为不间断曲线， 若，即， 可得，则，解得， 所以不等式的解集为. 故选：C. 3．（2025·山西·模拟预测）已知函数在R上可导，其导函数为，且，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】构造函数利用函数的单调性解不等式即可. 【详解】设则， 故在R上单调递减， 且，即， 即， 故. 故不等式的解集为. 故答案为： 题型4 利用f(x)与sinx，cosx构造函数 规律与方法 模型1.（1）对于，即， 构造． （2）对于，构造． 模型2.（1） （2） 【例4】函数是定义在上的奇函数，其导函数为，且，当时，，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由题意可构造函数，利用导数判断其单调性，结合其奇偶性，即可判断的正负情况，结合，即可求得答案. 【解答过程】令，则， 由于当时，，故此时， 则在上单调递减， 由于函数是定义在上的奇函数， 则，即为上的偶函数， 则在上单调递增， 而，故， 故当或时，，当或时，， 由可得或，解得或， 故不等式的解集为， 故选：B. 练习：1.（2025·重庆九龙坡·二模）已知偶函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】构造函数，利用导数讨论单调性，结合函数的偶函数性质解抽象不等式. 【解答过程】构造函数， ， 所以函数在单调递增， 因为函数为偶函数，所以函数也为偶函数， 且函数在单调递增，所以函数在单调递减， 因为，所以， 关于x的不等式可变为，也即， 所以，则解得或， 故选:C. 2.（23-24高三上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数的定义域为，其导函数是.若对任意的有，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，构造函数，利用导数探讨函数的单调性，再利用单调性求解不等式即得. 【详解】令函数，，求导得， 因此函数在上单调递减，不等式， 即，解得， 所以原不等式的解集为. 故选：B 3.（2025·全国·模拟预测）已知定义在上的函数满足，当时，不等式恒成立（为的导函数），若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】构造函数，分析函数的奇偶性及其在上的单调性，可得出，，，结合函数在上的单调性可得出、、的大小关系. 【解答过程】由题意得函数为偶函数，构造函数， 所以， 易知当时，，所以函数在上单调递减． 因为，则， 由，则， 且， 因为函数在上单调递减，且， 所以，即，故选：C． 课后作业： 1．（23-24高三上·湖北武汉·期中）已知函数的定义域为，，对任意，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 构造函数，利用导数研究函数的单调性即可求解. 【详解】设，则， 对任意，， 对任意，，在上单调递减， ，， 由，得， 的解集为. 故选：D. 2．（2025·湖南·三模）已知是定义在上连续可导函数，其导函数为，若，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，根据条件得在区间上单调递减，从而可得，即可求解. 【详解】令，则， 因为，则，所以， 则在区间上单调递减， 又，由，得到，所以， 解得， 故选：D. 3．若定义在R上的函数的导函数为，且满足，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意构造新函数，求导得到单调性，再解不等式即可. 【详解】由题可设，因为， 则， 所以函数在R上单调递增， 又，不等式可转化为， 所以，解得，所以不等式的解集为． 故选：A. 4．（2024·宁夏银川·三模）已知定义在R上的奇函数的图象是一条连续不断的曲线，是的导函数，当时，，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据构造函数，通过求导发现利用已知条件可知恒为正数，所以可知在时是单调递增函数，再结合已知条件又可知是偶函数，利用单调性和奇偶性解不等式即可. 【详解】令，则， 因为当时，，所以在上单调递增， 又为奇函数，且图象连续不断，所以为偶函数， 由，得，解得或 故选：D. 【点睛】关键点点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及函数与导数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键. 5．（24-25高三下·河北邢台·月考）已知函数在上可导，且，其导函数满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造新函数，利用导数判断的单调性，再将不等式变形，借助的单调性即可求解. 【详解】令，则，所以在上单调递增． 又不等式，等价于， 即， 所以，所以，解得． 故选：B. 6．（2024·云南楚雄·一模）已知是上的奇函数，且对任意的均有成立．若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，利用导数得到的单调性，再将问题转化为，从而得解 【详解】由得． 令，则， 所以在上单调递增， 又，为奇函数， 所以，， 则． 故选：B. 7．已知定义在上的函数的导数为，，且对任意的满足，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】构造，求导得到其单调性，并结合，得到时，，从而求出解集. 【详解】设， 因为， 所以， 故在上单调递减， 又，故， 故当时，，当时，， ， 故的解集为. 故选：A 8．设奇函数的定义域为，且的图象是连续不间断，任意，有，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数，可知为奇函数，利用导数可判断出函数在区间上为减函数，进而得出在定义域内的单调性，将所求不等式变形为 ，利用函数的单调性可解出所求不等式. 【详解】令，定义域为， 因为函数为奇函数，所以， 则函数是定义在上的奇函数， ， 因为任意的，有， 所以当时，，则在上单调递增， 则函数是上的奇函数并且单调递增， 由， 因为，所以 ，即， 所以， 又因为，因此. 故选：C. 9．（2026·陕西咸阳·三模）已知函数的定义域为，且满足，若函数有三个不同的零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】已知，构造函数， 则，故， 设为常数，则，代入得， ，即，解得， ， 求导得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 在处取得极大值，即最大值； 当时，；时，； 令， 当时，有1个解；当时，有2个解； 当时，有1个解；当时，无解； 则等价于， 设，，求导得， 当，，单调递增，； 当，，单调递减，； 当时，，单调递减，； 当时，，单调递增，； 当时，； 当时，； 当时，； 要使有3个零点，需要对应的值，使得共有3个的解； 当时，对应1个的解； 当时，对应2个的解；总共个解， 时，，时，， ， 在单调递增， ，故， 综上可得． 10．（2026·青海西宁·二模）已知定义域为的函数的导函数为，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设，则， 由，可得，又，所以， 则在上单调递增. 将原不等式两边同时除以得：，即，所以， 由在上单调递增，所以，即， 又因为且，所以， 综上，不等式的解集为. 11．（2026·贵州黔东南·模拟预测）已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，则. 因为，所以，即，所以在上单调递减. 不等式等价于不等式，即. 因为，所以，所以. 因为在上单调递减，所以，解得. 12．（2026·河南洛阳·模拟预测）定义在上的奇函数满足：，当时，，则函数的零点的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】构造研究其奇偶性、区间单调性，问题转化为求与的交点个数，数形结合判断交点个数，即可得. 【详解】令且定义域为R，则， 所以为偶函数，在上， 所以在上单调递减，结合偶函数的对称性知，其在上单调递增， 由，则，且，则， 由于函数 由的零点个数等价于与的交点个数，函数大致图象如下，    函数关于对称，且时，， 在、上分别单调递减、单调递增， 显然时， 在上单调递增，则时恒成立， 在上单调递减，且时,， 所以使， 综上，与的交点横坐标有，即有3个零点. 故选：D 13．（23-24高三下·上海·月考）已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】构造函数，由已知得出为偶函数，且在上是增函数，在上为减函数，将转化为求解即可． 【详解】令，则， 当时，， 所以当时，， 即在上是增函数，由题意是定义在上的偶函数， 所以，又， 所以是偶函数，所以在上递减， 所以， 即不等式等价为， 所以，所以． 故答案为：． 14．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·期中）已知定义在R上的函数满足，且的导函数满足，则不等式的解集为 【答案】 【分析】令，结合导数可得函数在R上单调递增，进而由将原不等式等价于，进而结合单调性求解即可. 【详解】令，则， 所以函数在R上单调递增， 因为， 故原不等式等价于，所以， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 15．（24-25高三上·山东日照·月考）已知函数及其导函数在定义域均为且是偶函数，其函数图象为不间断曲线且则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】分析函数的奇偶性和单调性，利用函数的性质把函数不等式转化为代数不等式求解. 【详解】因为， 所以. 又因为，用代替得：. 所以，当时，，所以. 所以在上单调递增. 又为偶函数，其图象关于轴对称，在上单调递减. 设，则，则，又， 所以，根据函数为偶函数，且图象不间断，在上单调递减，在上单调递增，所以. 即. 所以不等式的解集为. 故答案为： 【点睛】方法点睛：关于函数不等式的解法，一般要构造函数，利用函数的单调性等性质，把函数不等式转化为代数不等式求解. 16．（2024·河南·三模）已知函数的定义域为，为其导函数，若，，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】构造函数，求导确定函数的单调性，由于在上时，与同解，即可根据求解. 【详解】令，则 ， 所以在上单调递增． 由于当，当， 而， 故在上，不等式与同解， 即，又，得，即， 所以原不等式的解集为． 故答案为： 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 函数中的构造问题（抽象函数） 知识梳理 1、构造函数解不等式解题思路 利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是： （1）把不等式转化为； （2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别. ①在上是偶函数，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； ②在上是偶函数，且在单调递减 若解不等式 ，则有（变号加绝对值）； 2、构造函数的规律方法归类总结 已知条件式 可构造的函数 原函数的导函数 f(x)+f'(x)>0(或<0) F(x)=exf(x) F'(x)=ex[f(x)+f'(x)] nf(x)+xf'(x)>0(或<0) F(x)=xnf(x) F'(x)=xn-1[nf(x)+xf'(x)] nf(x)+f'(x)>0(或<0) F(x)=enxf(x) F'(x)=enx[nf(x)+f'(x)] f'(x)-f(x)>0(或<0) F(x)= F'(x)= xf'(x)-f(x)>0(或<0) F(x)= F'(x)= xf'(x)-nf(x)>0(或<0) F(x)= F'(x)= f'(x)-nf(x)>0(或<0) F(x)= F'(x)= f'(x)sin x-f(x)cos x>0(或<0) F(x)= F'(x)= f'(x)cos x+f(x)sin x>0(或<0) F(x)= F'(x)= f(x)+f'(x)±k>0(或<0) F(x)=exf(x)±kex F'(x)=ex[f(x)+f'(x)±k] f'(x)-f(x)±k>0(或<0) F(x)= F'(x)= 题型1 利用构造函数 规律与方法 利用f(x)与kx加减构造函数 模型1.对于，构造 模型2.对于不等式，构造函数. 【例1】已知是函数的导数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 练习： 1.（23-24高三下·重庆·月考）已知是函数的导数，且，，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山东聊城·三模）设函数的定义域为，导数为，若当时，，且对于任意的实数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数及其导数的定义域均为，对任意实数，，且当时，.不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 题型2 利用f(x)与x构造函数 规律与方法 利用f(x)与x构造函数 ①出现nf(x)+xf'(x)形式，构造函数F(x)=xnf(x). ②出现xf'(x)-nf(x)形式，构造函数 【例2】（2025·江西南昌·三模）已知函数的定义域为，且，对任意，，则不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 练习： 1.（2025·吉林·二模）已知函数的定义域为，其导函数满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2.已知是偶函数的导函数，.若时，，则使得不等式成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.（24-25高三下·河北邯郸·月考）已知函数是定义域为的奇函数的导函数，当时，，且，则不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 题型3 利用f(x)与ex构造函数 规律与方法 模型1.对于不等式，构造函数 拓展：对于不等式，构造函数 模型2.对于不等式，构造函数 【例3】（24-25高三下·黑龙江鸡西·月考）已知定义在上的函数的导数为，且，，则不等式的解集为（      ） A． B． C． D． 练习： 1.（24-25高三下·内蒙古赤峰·月考）已知函数在上可导，导函数为，满足，且为偶函数，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 2.（2025·四川德阳·三模）已知函数及其导函数在定义域均为且是偶函数，其函数图象为不间断曲线且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·山西·模拟预测）已知函数在R上可导，其导函数为，且，则不等式的解集为 ． 题型4 利用f(x)与sinx，cosx构造函数 规律与方法 模型1.（1）对于，即， 构造． （2）对于，构造． 模型2.（1） （2） 【例4】函数是定义在上的奇函数，其导函数为，且，当时，，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 练习：1.（2025·重庆九龙坡·二模）已知偶函数的定义域为，其导函数为，当时，有成立，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2.（23-24高三上·黑龙江齐齐哈尔·期末）已知函数的定义域为，其导函数是.若对任意的有，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3.（2025·全国·模拟预测）已知定义在上的函数满足，当时，不等式恒成立（为的导函数），若，，，则（    ） A． B． C． D． 课后作业： 1．（23-24高三上·湖北武汉·期中）已知函数的定义域为，，对任意，，则的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南·三模）已知是定义在上连续可导函数，其导函数为，若，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．若定义在R上的函数的导函数为，且满足，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 4．（2024·宁夏银川·三模）已知定义在R上的奇函数的图象是一条连续不断的曲线，是的导函数，当时，，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三下·河北邢台·月考）已知函数在上可导，且，其导函数满足，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·云南楚雄·一模）已知是上的奇函数，且对任意的均有成立．若，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．已知定义在上的函数的导数为，，且对任意的满足，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 8．设奇函数的定义域为，且的图象是连续不间断，任意，有，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（2026·陕西咸阳·三模）已知函数的定义域为，且满足，若函数有三个不同的零点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10．（2026·青海西宁·二模）已知定义域为的函数的导函数为，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 11．（2026·贵州黔东南·模拟预测）已知定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 12．（2026·河南洛阳·模拟预测）定义在上的奇函数满足：，当时，，则函数的零点的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 13．（23-24高三下·上海·月考）已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为 ． 14．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·期中）已知定义在R上的函数满足，且的导函数满足，则不等式的解集为 15．（24-25高三上·山东日照·月考）已知函数及其导函数在定义域均为且是偶函数，其函数图象为不间断曲线且则不等式的解集为 . 16．（2024·河南·三模）已知函数的定义域为，为其导函数，若，，则不等式的解集是 ． 第 1 页 共 2 页 学科网（北京）股份有限公司 $