精品解析：河南省实验中学2026届高三下学期临门押题实战演练·数学(一)

临门押题实战演练数学（一） （120分钟150分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，若，则实数的取值集合为（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，，若，则（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 5 3. 已知随机变量服从正态分布，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 4. “水韵江苏·家门口享非遗”展示活动中，主办方从全省遴选70余项极具地方特色的非遗代表性项目，并别出心裁地划分为“指尖非遗”“潮玩非遗”“舌尖非遗”“康养非遗”四大主题板块.甲、乙、丙3名游客每人至少从中选择一个主题体验，每个主题都恰有1人体验，则不同的体验方法一共有（ ） A. 36种 B. 48种 C. 72种 D. 81种 5. 已知点是圆上一点，点，为坐标原点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 6. 一化工厂产生的废气中含二氧化硫的浓度为，经过分钟净化后，废气中二氧化硫的浓度为，并满足.根据环保要求，当废气中二氧化硫的浓度降至时，达到排放标准，则该化工厂的废气达到排放标准需要至少净化（参考数据：，，）（ ） A. 136分钟 B. 140分钟 C. 142分钟 D. 150分钟 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，点是双曲线右支上一点，且轴，若直线与以为圆心，为半径的圆相切，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得3分.） 9. 已知数列满足，，，记，为数列的前项和，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 数列是等差数列 D. 10. 已知函数，，方程的根为，方程的根为.下列说法正确的是（ ） A. 函数与的图像关于直线对称 B. 当时， C. 若函数在上的极小值为，则 D. 若，则的最小值为 11. 已知点是曲线上一点，圆，下列说法正确的是（ ） A. 若曲线表示圆，则实数的取值范围是 B. 若，则的最大值为 C. 若点在圆上，则点到直线的距离的最小值为 D. 若，过点作圆的切线，切点分别为、，则、的最小值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知的展开式中的系数为，则实数______. 13. 已知椭圆的右焦点为，若椭圆上存在点使得，则椭圆离心率的取值范围是______. 14. 已知集合，，，若集合为有限集合，将集合中的元素个数记为.设，数列的前项和为，则______. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 新能源汽车越来越受到年轻人的青睐.某品牌新能源汽车有限公司为了了解新能源汽车爱好者对本公司生产的新能源汽车款和款的满意度进行了市场调研，在社会上随机调查了200名新能源爱好者，得到如下列联表： 满意 不满意 合计 新能源汽车A款 80 新能源汽车B款 30 合计 150 200 （1）请完善上述列联表，并判断能否有90%的把握认为新能源汽车的款型对满意度有影响； （2）从这200位新能源爱好者中任选两人，在被调查的两人选择新能源汽车款型一致的条件下，试求他们对该新能源汽车款型均满意的概率. 附：，其中. 0.15 0.10 0.05 0.025 2.07 2.71 3.84 5.024 16. 在中，角、、所对的边分别为、、，且. （1）求角的大小； （2）若点是上一点，且平分 ①用，表示的长； ②求的取值范围. 17. 如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，、、分别是、、的中点. （1）求证：平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为 （ⅰ）求的值； （ⅱ）若，求平面与平面夹角的余弦值. 18. 在平面直角坐标系中，动点到点的距离与点到轴的距离之差为，点. （1）求动点所在曲线的方程； （2）动点在直线上，过点作以为直径的圆的切线，切点为，当的面积取最大值时，求点的坐标； （3）已知点，，在曲线上，直线与曲线的另一个交点为，若，，成等差数列，试问：、、是否成等差数列？并证明你的结论. 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）讨论函数的零点个数； （3）若恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临门押题实战演练数学（一） （120分钟150分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，若，则实数的取值集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】令，解得或，所以. 因为，所以或，解得或或. 经检验：当时，与集合中元素的互异性矛盾. 所以实数的取值集合为. 2. 已知复数，，若，则（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【详解】因为，，， 所以， 所以，，则. 3. 已知随机变量服从正态分布，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由正态分布的对称性，结合二次函数性质即可求解. 【详解】因为随机变量服从正态分布， 所以， 所以， 所以， 因为，所以当时，取得最大值为. 4. “水韵江苏·家门口享非遗”展示活动中，主办方从全省遴选70余项极具地方特色的非遗代表性项目，并别出心裁地划分为“指尖非遗”“潮玩非遗”“舌尖非遗”“康养非遗”四大主题板块.甲、乙、丙3名游客每人至少从中选择一个主题体验，每个主题都恰有1人体验，则不同的体验方法一共有（ ） A. 36种 B. 48种 C. 72种 D. 81种 【答案】A 【解析】 【详解】3名游客，4个主题，每人至少从中选择一个主题体验且每个主题都恰有1人体验， 则必有1名游客选择2个主题，其余2人各选择1个主题，则体验方法的总数为种. 5. 已知点是圆上一点，点，为坐标原点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，结合向量数量积的坐标表示、辅助角公式、三角函数性质即可求解. 【详解】设，所以， 因为，所以， 所以， 所以当时，取得最大值6. 6. 一化工厂产生的废气中含二氧化硫的浓度为，经过分钟净化后，废气中二氧化硫的浓度为，并满足.根据环保要求，当废气中二氧化硫的浓度降至时，达到排放标准，则该化工厂的废气达到排放标准需要至少净化（参考数据：，，）（ ） A. 136分钟 B. 140分钟 C. 142分钟 D. 150分钟 【答案】C 【解析】 【详解】依题意，时，，则，解得，所以， 当时，可得，所以，所以， 故，故浓度降至需要至少142分钟. 7. 已知双曲线的左、右焦点分别为、，点是双曲线右支上一点，且轴，若直线与以为圆心，为半径的圆相切，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知得出，再轴，代入计算得出，最后应用定义得出齐次式计算离心率. 【详解】因为直线与以为圆心，为半径的圆相切，所以圆的半径， 又，所以，所以， 因为轴，所以当时，有，解得，所以， 因为，所以， 所以，整理得， 因为，所以，解得. 8. 已知，，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过等式得出与的关系，然后构造新函数，利用函数的单调性即可求解. 【详解】因为，所以， 令，所以，因为恒成立， 所以在上单调递增，所以，即， 所以，令， 所以，令， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 所以当时，取得最大值为， 即的最大值是，故C正确. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得3分.） 9. 已知数列满足，，，记，为数列的前项和，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 数列是等差数列 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】应用递推公式计算判断A，B，取对数化简结合等差数列定义计算判断C，应用等比数列求和公式计算判断D. 【详解】对于A，由，又，，所以，，得，故A正确； 对于B，因为，，，所以，，所以，故B正确； 对于C，由得，两边同时取以2为底的对数得， 即，又，所以，所以，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列，故C不正确； 对于D，由C知，故D正确； 10. 已知函数，，方程的根为，方程的根为.下列说法正确的是（ ） A. 函数与的图像关于直线对称 B. 当时， C. 若函数在上的极小值为，则 D. 若，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，在函数的图象上任取一点，设点关于直线对称的点为， 则，，因为，所以，所以，所以点在函数的图象上， 所以函数与的图象关于直线对称，故A正确； 对于B，当时，设函数，所以在上恒成立， 所以函数在上单调递增， 又，所以函数的零点有且只有一个，为，即方程的根为； 设函数，所以在上恒成立，所以函数在上单调递增， 又，所以函数的零点有且只有一个，为，即方程的根为，所以，故B正确； 对于C，令，所以，显然函数在上单调递增， 又，，所以存在唯一的，使得，此时，则， 当时，，当时，，所以当时，函数取得极小值， 所以， 令，所以在上恒成立， 所以函数在上单调递减， 所以，即，故C不正确； 对于D，令，得，所以在上单调递增， 令，得，且， 所以在上单调递增，因此对任意，和都是唯一的， 由题意，，即，则， 故，故， 根据的是唯一的，得，即， 故，， 令，，则， 由得，当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 故当时，取得最小值，故D正确. 11. 已知点是曲线上一点，圆，下列说法正确的是（ ） A. 若曲线表示圆，则实数的取值范围是 B. 若，则的最大值为 C. 若点在圆上，则点到直线的距离的最小值为 D. 若，过点作圆的切线，切点分别为、，则、的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，根据一般方程表示圆的条件即可判断；对于B，时，可知圆心，半径，结合设，即，再根据点到直线的距离求解；对于C，求出圆心到直线的距离，最小值用即可；对于D，设点到圆心的距离为，，得到，结合两圆位置关系求出的范围，再由单调性求最值即可． 【详解】解：对于A，因为曲线表示圆，所以，解得，故A不正确； 对于B，当时，，即，， 其圆心，半径， 设，即，所以点在直线上， 所以直线和圆有公共点， 所以圆心到直线的距离， 化简得，解得，故B正确； 对于C，因为圆心到直线的距离， 所以点到直线的距离的最小值， 等于圆心到的距离减去其半径，所以最小值为，故C正确； 对于D，设点到圆心的距离为，圆的半径为，，则， 所以，则， 所以， 因为， 所以，即，所以， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 因为，所以最小值取不到， 又因为在上单调递增，所以当时，取最小值为，故D不正确． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知的展开式中的系数为，则实数______. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项展开式即可求解. 【详解】因为的展开式中的系数为，的展开式中的系数为，的展开式中的系数为， 所以的展开式中的系数为， 所以，即，解得. 13. 已知椭圆的右焦点为，若椭圆上存在点使得，则椭圆离心率的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由，结合，求出的范围，即可求解. 【详解】由椭圆的性质知，所以， 所以，因为， 所以， 即， 整理得，解得， 所以，因为，且， 所以， 则椭圆离心率的取值范围是. 14. 已知集合，，，若集合为有限集合，将集合中的元素个数记为.设，数列的前项和为，则______. 【答案】 【解析】 【详解】由题意知，，， 所以， 所以. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15. 新能源汽车越来越受到年轻人的青睐.某品牌新能源汽车有限公司为了了解新能源汽车爱好者对本公司生产的新能源汽车款和款的满意度进行了市场调研，在社会上随机调查了200名新能源爱好者，得到如下列联表： 满意 不满意 合计 新能源汽车A款 80 新能源汽车B款 30 合计 150 200 （1）请完善上述列联表，并判断能否有90%的把握认为新能源汽车的款型对满意度有影响； （2）从这200位新能源爱好者中任选两人，在被调查的两人选择新能源汽车款型一致的条件下，试求他们对该新能源汽车款型均满意的概率. 附：，其中. 0.15 0.10 0.05 0.025 2.07 2.71 3.84 5.024 【答案】（1）列联表见解析，没有 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题设数据完善表格，然后根据公式计算卡方统计量即可； （2）根据条件概率公式计算即可. 【小问1详解】 完善列联表如下： 满意 不满意 合计 新能源汽车A款 新能源汽车B款 合计 零假设：新能源汽车的款型对满意度没有影响， ， 根据小概率值的独立性检验，推断成立， 所以没有的把握认为新能源汽车的款型对满意度有影响； 【小问2详解】 记事件为“被调查的两人选择新能源汽车款型一致”，事件为“他们对该新能源汽车款型均满意”，则 ，， 所以， 所以在被调查的两人选择新能源汽车款型一致的条件下，他们对该新能源汽车款型均满意的概率为. 16. 在中，角、、所对的边分别为、、，且. （1）求角的大小； （2）若点是上一点，且平分 ①用，表示的长； ②求的取值范围. 【答案】（1） （2）①② 【解析】 【分析】（）由已知条件，利用正弦定理边角互化及两角和的正弦公式化简即可； （2）①利用 化简即可求得；② 由①可得，根据角平分线的性质求得，利用三角恒等变换将转化为正切型函数，结合正切函数单调性即可求得. 【小问1详解】 由和正弦定理，可得， 又，所以， 代入式得，因为，所以， 可得，即，又，所以； 【小问2详解】 如下图：①因为平分，则， 由，可得 化简得，则； ②因为平分，所以，即，解得， 则由正弦定理， ， 因，则，，则，即， 故的取值范围是. 17. 如图，四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，、、分别是、、的中点. （1）求证：平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为 （ⅰ）求的值； （ⅱ）若，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）（i）或（ii） 【解析】 【分析】（1）先建立空间直角坐标系，应用数量积得出线线垂直，再应用线面垂直判定定理证明即可； （2）（ⅰ）先求出平面的一个法向量，再应用线面角正弦公式计算得出参数；（ⅱ）再求出平面的一个法向量进而应用二面角余弦公式计算求解. 【小问1详解】 因为四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面， 所以以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，，， ，所以，，， 所以， ，所以，， 即，，又，，平面， 所以平面； 【小问2详解】 （ⅰ）由（1）知，，， 设平面的一个法向量为，则， 所以，取，则，，所以， 设直线与平面所成的角为， 所以， 化简得，解得或，所以或. （ⅱ）因为，所以由（ⅰ）知，所以，， 由（1）知，平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为，则， 所以，取，则，，所以， 设平面与平面夹角为， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 在平面直角坐标系中，动点到点的距离与点到轴的距离之差为，点. （1）求动点所在曲线的方程； （2）动点在直线上，过点作以为直径的圆的切线，切点为，当的面积取最大值时，求点的坐标； （3）已知点，，在曲线上，直线与曲线的另一个交点为，若，，成等差数列，试问：、、是否成等差数列？并证明你的结论. 【答案】（1） （2）或 （3）不是等差数列，证明见解析 【解析】 【分析】（1）由题意列出等式即可求解； （2）由当且仅当时，此时的面积取得最大值即可求解； （3）设直线的方程为，与抛物线联立，结合韦达定理判断即可. 【小问1详解】 因为动点到点的距离与点到轴的距离之差为， 所以，所以， 两边平方得，当时，，这与矛盾，故舍去， 当时，， 所以动点所在曲线的方程为； 【小问2详解】 如图所示，设，，以为直径的圆的方程为， 化简得，其圆心为，半径为， 设点到直线的距离为，则， 因为，所以， 因为当且仅当时，最大，此时的面积取得最大值， 所以， 所以直线的方程为，即， 所以，解得或， 所以点的坐标为或； 【小问3详解】 （3）设直线的方程为， 得，且， 所以 则，所以， ； 所以，其中， 而， 所以，即， 所以、、不成等差数列. 19. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）讨论函数的零点个数； （3）若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）当或时，1个零点；当或时，2个零点 （3） 【解析】 【分析】（1）求导，可得，，结合导数的几何意义求切线方程； （2）令，原题意转化为与的交点个数，利用导数判断的图象，即可得结果； （3）整理可得恒成立，结合反函数性质可得，整理可得，结合（2）中结论运算求解. 【小问1详解】 当时，则， 可得，， 所以曲线在处的切线方程为，即. 【小问2详解】 因为， 令，可得， 令，则转化为与的交点个数， 因为， 当时，；当时，； 可知在内单调递增，在内单调递减，则， 当趋近于0时，趋近于；当趋近于时，趋近于0； 且，可得： 当或，即或时，与有1个交点； 当，即或时，与有2个交点； 综上所述：当或时，1个零点；当或时，2个零点. 【小问3详解】 因为恒成立，即恒成立， 当时，，因为不恒成立，所以不满足题意； 当时，由得，即恒成立， 等价于恒成立， 因为曲线与关于直线对称，所以， 等价于，可得， 由（2）可得：，则； 综上可得：的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $