球与几何体的切、接问题 课件-2026届高三数学二轮复习

球与几何体的切、接问题 球的切、接问题是历年高考的热点内容,经常以客观题形式出现.一般围绕球与其他几何体的内切、外接命题,考查球的体积与表面积,其关键点是确定球心.解题时既要运用多面体、旋转体的知识,又要运用球的几何性质,要特别注意寻找多面体、旋转体的有关几何元素与球的半径之间的关系. 题型一　几何体的外接球 角度1　长方体切割体的外接球 例1　(1)(鳖臑模型)已知P,A,B,C为球O的球面上的四个点,若PA⊥平面ABC,AC⊥BC,PA=1,AC=BC=,则球O的表面积为(　　) A.2π B.3π C.4π D.5π D 题型一 题型二 解析 可将三棱锥P-ABC补形成如图所示的长方体.若P,A,B,C为球O的球面上的四个点,则该长方体的各顶点亦在球O的球面上.设球O的半径为R,则该长方体的体对角线长为2R,即2R=,从而S球=4πR2=π(2R)2=5π.故选D. 题型一 题型二 (2)(对棱相等模型)(2025·广东汕头开学考试)已知三棱锥P-ABC中, AP=AC=BP=BC=2,AB=PC=2,则其外接球表面积为(　　) A. B.8π C.8π D.24π D 题型一 题型二 解析 根据三棱锥P-ABC的特征,把三棱锥的顶点放在长方体的顶点处,三棱锥的外接球就是长方体的外接球. 设长方体的长、宽、高分别是x,y,z,则所以x2+y2+z2=24, 设长方体的外接球半径为R,则2R==2,所以外接球表面积为4πR2=24π.故选D. 题型一 题型二 (3)(墙角模型)(2025·湖南长沙期末)已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上,PA,PB,PC两两垂直,PA=PC=2,PB=1,则球O的表面积为　　　.  9π 解析 如图所示,将三棱锥P-ABC补形为一个长方体,则球的直径即为长方体体对角线.设外接球的半径为R,则(2R)2=22+22+12=9,故S=4πR2=9π. 题型一 题型二 规律方法　补形法适用的三种常见三棱锥 (1)墙角模型——三条棱两两垂直,如图1; (2)鳖臑模型——四个面都是直角三角形,如图2; (3)对棱相等模型——三组对棱分别相等,如图3. 图1 图2 图3 题型一 题型二 [对点训练1](1)(2025·贵州六盘水期末)已知三棱锥P-ABC,PA,PB,PC两两垂直,PA=,PB=,PC=,则三棱锥P-ABC外接球的表面积为(　　) A.10π B.20π C.25π D.40π A 解析 因为PA,PB,PC两两垂直,故三棱锥P-ABC的外接球即是以PA=, PB=,PC=为棱长的长方体的外接球,故球的半径为,则球的表面积为4π×()2=10π.故选A. 题型一 题型二 (2)(2024·广东汕头二模)已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的表面上,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,且PA=8,AC=6,则球O的表面积为(　　) A.10π B.25π C.50π D.100π D 题型一 题型二 解析 三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的表面上,PA⊥平面ABC,AB⊥BC,且PA=8,AC=6,把三棱锥P-ABC补成一个长方体,如图所示.所以长方体的外接球即是三棱锥P-ABC的外接球.因为PA=8,AC=6,可得长方体的外接球的半径为R==5,所以球O的表面积为S=4π×52=100π.故选D. 题型一 题型二 (3)已知四面体ABCD中,AB=CD=2,AC=BD=,AD=BC=,则四面体ABCD外接球的体积为(　　) A.45π B. C. D.24π C 题型一 题型二 解析 设四面体ABCD的外接球的半径为R,则四面体ABCD在一个长、宽、高为a,b,c的长方体中,如图, 则 故R=, 故四面体ABCD外接球的体积为V=R3=故选C. 题型一 题型二 角度2　柱体的外接球 例2　(1)(2025·广东肇庆模拟)已知圆柱的高为2,侧面积为4π,若该圆柱的上、下底面圆周都在某一球的球面上,则该球的体积为(　　) A. B. C.4π D.4π A 题型一 题型二 解析 由圆柱侧面积S=2πrh=4πr=4π,解得r=1. 因为圆柱的上、下底面圆周都在某一球的球面上,所以球心在圆柱的上、下底面圆心连线的中点处. 设球半径为R,则R=,所以V=R3=2 故选A. 题型一 题型二 (2)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长为,高为2,则该正三棱柱的外接球的体积为(　　) A. B.4π C.π D. A 题型一 题型二 解析 (方法一)如图,设正三棱柱ABC-A1B1C1外接球的球心为O,半径为R.记△ABC和△A1B1C1外接圆的圆心分别为O1和O2,其半径为r, 由正弦定理得r==1.而O为O1O2的中点, 所以R2=12+=4,R=2,则V=R3=故选A. (方法二)设正三棱柱ABC-A1B1C1外接球的半径为R, 因为正三棱柱的高为2,由对称性知其外接球球心 必为O1O2的中点,故R>,此时V=R3>4故选A. 题型一 题型二 规律方法　柱体的外接球半径公式为R=,h为柱体的高,r为底面(外接)圆的半径. 题型一 题型二 角度3　锥体的外接球 例3　(1)(2025·重庆模拟)已知三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC, ∠ABC=60°,PA=AC=2,则此三棱锥外接球的表面积为(　　) A. B. C.10π D.5π B 题型一 题型二 解析 设△ABC外接圆的圆心为O1,三棱锥P-ABC外接球的球心为O,连接AO1,OO1,OA,则OO1⊥平面ABC. 因为PA⊥平面ABC,所以PA∥OO1. 作OF⊥PA,连接OP,又∠FAO1=∠OO1A=90°, 所以四边形OFAO1是矩形,所以AF=OO1, 又OP=OA,则AF=PA,即OO1=PA=1. 设△ABC外接圆的半径为r,三棱锥外接球的半径为R. 由正弦定理得2r=,可得r=,所以R=,则外接球的表面积为S=4πR2=4π×()2=故选B. 题型一 题型二 (2)(2025·安徽蚌埠高三期末)已知三棱锥P-ABC中,△PAC是边长为3的正三角形,AB⊥BC,平面PAC⊥平面ABC,则该三棱锥外接球的体积为(　　) A.3π B. C.4π D.12π C 题型一 题型二 解析 取等边三角形PAC的中心为O,连接PO并延长,交AC于E, 则PE⊥AC且EA=EC. 因为平面PAC⊥平面ABC,PE⊂平面PAC,平面PAC∩平面ABC=AC, 所以PE⊥平面ACB,而BE⊂平面ABC,故PE⊥EB,故OB2=OE2+EB2,同理OA=OC=,AE=EC=EB,AB⊥BC, 故OA=OC=OB=OP,故O为外接球的球心, 且OP=3, 故外接球的体积为π×3=4 故选C. 题型一 题型二 (3)(2025·河北唐山三模)已知一个圆锥的底面半径为,侧面积为6π,则该圆锥外接球的体积为(　　) A. B.6π C.8π D. A 题型一 题型二 解析 设圆锥的母线长为l,则2l=6π,解得l=2,故其高h==3. 取圆锥PO的轴截面△PAB,如图所示. 由圆锥的几何性质可知,球心O1在直线PO上,设该圆锥的外接球O1的半径为R,由题意可知,OO1=3-R,AO1=R,由勾股定理可得O1O2+AO2=R2,即(3-R)2+3=R2,解得R=2,故其体积V=R3=故选A. 题型一 题型二 规律方法　单面定球心法 步骤:(1)定一个面外接圆圆心:如图1,在三棱锥P-ABC中,选中底面三角形ABC,确定其外接圆圆心O1(正三角形中心就是外心,直角三角形外心在斜边中点上,普通三角形用正弦定理2r=定外心). (2)①侧棱相等的三棱锥——如图1,PO1⊥底面ABC,则球心一定在直线PO1上(注意不一定在线段PO1上),取球心O,则OP=OA=R,利用公式OA2=O1A2+O,可计算出球的半径R. 图1 题型一 题型二 ②侧棱垂直于底面的棱锥——如图2,过△ABC的外接圆圆心O1作底面ABC的垂线,球心O在垂线上,过球心O向PA作垂线,垂足为M,则有MA=OO1=h,OM=O1A=r.计算球的半径R:利用OA=R==OP=,求出h,从而求出R(实际上h=PA). 图2 题型一 题型二 [对点训练2](1)(2025·广东广州模拟)已知三棱锥P-ABC中,△PAB是边长为2的等边三角形,PC=2,AC=,BC=,则三棱锥P-ABC外接球的表面积为 (　　) A.6π B.10π C. D. C 题型一 题型二 解析 由已知AB2+BC2=AC2, 所以AB⊥BC,取AC中点D,则D是△ABC的外心, 又PA=PB=PC,所以点P在底面ABC上的射影是△ABC的外心,即点D, 所以PD⊥平面ABC, 因此外接球球心O在PD上,△PAC的外接圆就是球的大圆, PD=,所以sin∠PCD=, 2OP=,OP=,这就是外接球的半径, 外接球表面积为S=4π·OP2=4π×()2= 故选C. 题型一 题型二 (2)(2025·湖南益阳三模)已知圆锥的母线长为2,其外接球体积为,则该圆锥的表面积为(　　) A.3π B.6π C.9π D.12π C 题型一 题型二 解析 圆锥的轴截面如图,设其外接球的半径为R,则外接球体积为R3,则R=2,即|AO|=|OC|=2,设圆锥的高为|AO1|=h,圆锥的底面圆半径为|O1C|=r,则r2+h2=,由(h-R)2+r2=R2,解得h=3,r=,则此圆锥的表面积为πr2+πrl=3π+π2=9π.故选C. 题型一 题型二 角度4　台体的外接球 例4　(1)(2025·福建莆田四模)已知某圆台下底面半径为2,高与上底面半径均为1,则该圆台外接球的表面积是(　　) A.12π B.16π C.20π D.24π C 题型一 题型二 解析 由题意分析可得球心应该在线段O1O2的延长线上,如图,设O为圆台外接球的球心,O1,O2分别为上、下底面圆的圆心,R为外接球半径,则R2=1+=22+O,解得R2=5,所以外接球的表面积为S=4πR2=20π.故选C. 题型一 题型二 (2)(2025·福建泉州一检)已知正四棱台的顶点都在同一球面上,其上、下底面边长分别为,2,高为3,则该球的表面积为(　　) A.40π B.20π C.16π D. B 题型一 题型二 解析 (方法一)正四棱台的对角面的外接圆为其外接球O的大圆(如下图),对角面为等腰梯形AA'C'C,其上、下底边长分别为2,4,高为3,由正四棱台的对称性可知,球O的球心O在梯形上、下底的中点连线O1O2所在直线上,设OO1=d,则OO2=|3-d|,球O半径为OC'=R=OC,由R2=|3-d|2+22=d2+12,解得d=2,R=,所以所求球O的表面积为4πR2=20π.故选B. 题型一 题型二 (方法二)下底的外接圆不大于球的大圆,故球的半径R≥2(下底对角线长的一半),表面积4πR2≥16π,排除D; 对角面等腰梯形AA'C'C的对角线长为3,故球的半径R>,表面积4πR2>18π,排除C; 若4πR2=40π,则R=,易求球心到A'C'的距离为d1=3,球心到AC的距离为d2=,无法满足|d1+d2|=h=3,或|d1-d2|=h=3,排除A.故选B. 题型一 题型二 解题思维链 规律方法　台体存在外接球的充要条件是其轴截面为等腰图形(如圆台的轴截面是等腰梯形,正四棱台的对角面是等腰梯形),且外接球的球心必在台体的“轴”(即上、下底面中心的连线,记为“台体轴”)上. 题型一 题型二 题型二　几何体的内切球 例5　(1)(等体积法)已知正四面体的棱长为12,则其内切球的表面积为(　) A.12π B.16π C.20π D.24π D 题型一 题型二 解析 设正四面体内切球球心为O,内切球半径为R,取CD中点F,作AE⊥平面BCD于E,则E为△BCD中心, 则VA-BCD=(S△BCD+S△ACD+S△ABC+S△ABD)·R=S表·R,∴R= ∵BE=BF=6=4,∴AE==4, ∴VA-BCD=S△BCD·AE=1224=144, 又S表=4S△BCD=4122=144, ∴R=,∴内切球表面积S=4πR2=24π.故选D. 题型一 题型二 (2)(独立截面法)(2025·浙江高三开学考试)若某圆台有内切球(与圆台的上、下底面及每条母线均相切的球),且母线与底面所成角的余弦值为,则此圆台与其内切球的体积之比为(　　) A. B.2 C. D. A 题型一 题型二 解析 将圆台母线延长交于点S,得圆锥SO1,作圆锥SO1的轴截面,等腰梯形ABCD为圆台的轴截面, 截内切球O得大圆,并且是梯形ABCD的内切圆,令SA切圆O于T,如图, 设底面圆直径AB=2R,依题意,cos∠SAO1=, SA=3R,SO1=2R, 设内切球半径为r,则OT=OO1=OO2=r,cos∠SOT=,SO=3r,SO1=4r=2R,于是R=r,且O2为SO1的中点,而内切球体积V1=r3,圆台的体积V2=R2·SO1-(R)2SO1=4r=r3,所以圆台与其内切球的体积比为故选A. 题型一 题型二 规律方法　1.内切球等体积法 如图,在四棱锥P-ABCD中,内切球为球O,求球半径r.方法如下: VP-ABCD=VO-ABCD+VO-PBC+VO-PCD+VO-PAD+VO-PAB,即VP-ABCD =·r+S△PBC·r+S△PCD·r+S△PAD·r+S△PAB·r,可求出r. 题型一 题型二 2.内切球独立截面法 (1)画出过球心和切点的大圆的截面图; (2)在截面中,找到和球半径相关的直角三角形; (3)利用相似、全等、勾股定理等平面几何知识求出内切球半径. 题型一 题型二 [对点训练3](1)已知球O内切于圆台,且圆台的上、下底面半径分别为r1,r2,且r2=4r1=4,则圆台的体积与球的体积之比为(　　) A. B. C. D. B 题型一 题型二 解析 如图为该几何体的轴截面,其中圆O是等腰梯形ABCD的内切圆,设圆O与梯形的腰相切于点E,与上、下底面分别切于点O1,O2,r1=1,r2=4.注意到OD与OA均为角平分线,因此∠DOA=90°,从而△AO2O∽△OO1D,设球的半径为r,故r2=r1r2=4.设圆台体积为V1,球体积为V2, 则故选B. 题型一 题型二 (2)(2025·广东惠州模拟)已知正三棱锥A-BCD中,底面边长BC为3,侧棱长AB为,则此正三棱锥的内切球的半径R=　　　　　.  题型一 题型二 解析 在正三角形BCD中,设底面正三角形BCD的中心为O,BC=3,故其高为,则OB=,故正三棱锥A-BCD的高OA=, 所以S△BCD=3,所以VA-BCD=, △ABC为等腰三角形,其高为,故S△ABC=3, 所以S△ABC=S△ABD=S△ACD=, 内切球的半径为R,则由等体积的方法可得(S△ABC+S△ABD+S△ACD+S△BCD)R=,即)R=, 故内切球的半径R= 题型一 题型二 $