第十一章 不等式与不等式组【期末复习讲义】（基础版）-2025-2026学年人教版数学七年级下册

2025-2026学年人教版新教材数学七年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第十一章 不等式与不等式组【期末复习讲义】-基础版 『导图+知识梳理+21个题型讲练+真题实战练 共52题』（原卷版） 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 不等式的解集 题型二 不等式的性质 题型三 求一元一次不等式的解集 题型四 求一元—次不等式的整数解 题型五 在数轴上表示不等式的解集 题型六 求一元一次不等式解的最值 题型七 列一元一次不等式 题型八 用一元一次不等式解决实际问题 题型九 用一元一次不等式解决几何问题 题型十 求不等式组的解集 题型十一 求一元一次不等式组的整数解 题型十二 由一元一次不等式组的解集求参数 题型十三 由不等式组解集的情况求参数 题型十四 不等式组和方程组结合的问题 题型十五 列一元一次不等式组 题型十六 不等式组的行程问题 题型十七 不等式组的经济问题 题型十八 不等式组的分配问题 题型十九 不等式组的方案选择问题 题型二十 不等式组的阶梯收费问题 题型二十一 —元一次不等式组的其他应用 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点一 一元一次不等式组 定义：关于同一个未知数的几个一元一次不等式联立在一起，就组成了一个一元一次不等式组. 特征：①不等式组中的所有不等式都是一元一次不等式； ②不等式组中的所有一元一次不等式都含有同一个未知数； ③不等式组中的一元一次不等式的个数为两个或两个以上. 知识点二 一元一次不等式组的解集 一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集．解不等式组就是求它的解集. 【补充】 1）如果不等式的解集无公共部分，就说这个不等式组无解. 2）在求不等式组的解集的过程中，通常是利用数轴来表示不等式组的解集的.确定方法如下表所示： 不等式组 设a＞b 解集 x＞a x＜b 无解 数轴上的表示 口诀 同大取大 同小取小 大大小小无处找 大小，小大中间找 知识点三 解一元一次不等式组的一般步骤 第一步：求出不等式组中各不等式的解集； 第二步：将各不等式的解集在数轴上表示出来； 第三步：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. 【易错点拨】 1）利用数轴表示不等式组解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画公共部分. 2）当不等式组中含有“≥”或“≤”时，边界点处要用实心圆点，解集的取法不变. 3）关于x的不等式组的解集为x=a，关于x的不等式组无解. 知识点四 一元一次不等式组的整数解 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 知识点五 一元一次不等式组的应用 对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解． 一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤： （1）分析题意，找出不等关系； （2）设未知数，列出不等式组； （3）解不等式组； （4）从不等式组解集中找出符合题意的答案； （5）作答． 第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 不等式的解集 【例1】（2024七年级·全国·竞赛）下表所示为三种食品原料的维生素含量（单位/千克）及成本（元/千克）： 维生素的含量 维生素的含量 成本 6 5 4 现在要将三种食物混合成千克的混合物，要求混合物至少需含单位的维生素和单位的维生素．如果所用的食物中的质量分别为千克，千克，千克，当分别取何值时，成本最低？ 【变式】（23-24七年级上·安徽蚌埠·月考）下列四个数轴上的点表示的数都是，其中一定满足的是（    ）    A．（1）（3） B．（2）（3） C．（1）（4） D．（2）（4） 题型讲练二 不等式的性质 【例2】（25-26七年级下·上海奉贤·期中）保持规范的姿势有助于视力保护（如图1），小乐在阅读时，示意图如图2所示．已知水平线桌面，从侧面看到的书本与桌面的夹角是，视线与水平线的夹角为． (1)如果视线与书本的夹角为，求书本与桌面的夹角的度数； (2)请根据图3中的读姿规范要求，求出符合规范要求下度数的取值范围． 【变式】（25-26七年级上·安徽六安·月考）【阅读】根据等式和不等式的基本性质，可以用作差法比较两个实数或代数式的大小： 若，则； 若，则； 若，则． (1)【理解】若，比较代数式和的大小； (2)【运用】若，试比较的大小． 题型讲练三 求一元一次不等式的解集 【例3】（25-26七年级下·湖南常德·期中）定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式的解，称这个方程（组）的解是这个不等式的“内含解”．例如：方程的解是，同时也是不等式的解，则方程的解是不等式的“内含解”． (1)判断方程的解是不是不等式的“内含解”，并说明理由； (2)当时，方程的解是不等式的“内含解”，求整数的最小值； (3)若关于，的方程组的解是不等式的“内含解”，求的取值范围． 【变式】（25-26七年级下·上海闵行·月考）按要求完成下列计算： (1)解不等式： (2)解不等式并求出所有负整数解： 题型讲练四 求一元—次不等式的整数解 【例4】（25-26七年级上·江苏苏州·期中）关于的不等式的负整数解是，，则的取值范围是________． 【变式】对于整数a，b，c，d，定义，如：． (1)求当时，x的值是多少？ (2)求，关于x的不等式的负整数解为时，求k的取值范围． 题型讲练五 在数轴上表示不等式的解集 【例5】（25-26七年级下·全国·课后作业）解不等式，并将解集在数轴上表示出来． ． 【变式】（25-26七年级上·江苏苏州·月考）解方程： (1)； (2)解不等式，并把它的解集表示在数轴上： 题型讲练六 求一元一次不等式解的最值 【例6】（24-25八年级上·湖南岳阳·期末）已知当时的最小值为，当时的最大值为，则________． 【变式】（25-26八年级上·福建三明·期末）若是方程的解，，是正整数，则的最小值是______． 题型讲练七 列一元一次不等式 【例7】（24-25七年级下·全国·课后作业）教育部正式印发《义务教育课程方案》，将劳动从原来的综合实践活动课程中完全独立出来，并正式施行．某学校组织七年级学生到劳动实践教育基地参加实践活动，某小组的任务是平整土地，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了．若设他们在剩余时间内每小时平整土地，则根据题意可列不等式为（   ） A． B． C． D． 【变式】（23-24七年级下·江苏连云港·期末）阅读下列材料： 解答“已知，且，试确定的取值范围”有如下解法： ∵，∴， 又∵，∴ ∴， 又∵，∴① 同理得：②， 由得， ∴的取值范围是 请按照上述方法，完成下列问题： (1)已知，且，试确定的取值范围； (2)已知，若成立，试确定的取值范围（结果用含的式子表示）． 题型讲练八 用一元一次不等式解决实际问题 【例8】（25-26七年级下·重庆·期中）一家文具店采购中性笔套装和笔记本套装，已知采购2套中性笔套装和3套笔记本套装的总进价为300元，且1套中性笔套装的进价比1套笔记本套装的进价多25元． (1)求一套中性笔套装和一套笔记本套装的进价分别为多少元？ (2)店家采购中性笔套装和笔记本套装共100套．已知每套中性笔套装的售价为90元，每套笔记本套装的利润率为，中性笔套装销售一半后，商家为了加快销售速度，对剩下的中性笔套装打九折销售，笔记本套装售价不变．两种套装全部售完后要求这批商品的总利润不低于930元，至少需要采购多少套中性笔套装？ 【变式】（25-26七年级下·上海普陀·期中）为了建设美好家园，提高垃圾分类意识，某社区决定购买、两种型号的新型垃圾桶．已知型号的新型垃圾桶的单价比型号的新型垃圾桶单价贵元，购买2个型号的新型垃圾桶和购买个型号的新型垃圾桶共元．社区需要购买、两种型号的新型垃圾桶共个，且总费用不超过元． (1)求、两种型号的新型垃圾桶的单价； (2)社区最多能买几个型号的新型垃圾桶？ 题型讲练九 用一元一次不等式解决几何问题 【例9】（24-25七年级下·重庆·期中）如图，中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度运动，到达点时停止，设点运动的时间为秒． (1)点整个运动过程中，共需___秒； (2)若的面积为时，求的值； (3)若的面积大于时，求的取值范围． 【变式】（24-25七年级上·湖北孝感·月考）如图，点、是数轴上的两个点，点表示数是，点表示数是，点表示数是，且． (1)直接写出：__________，_________，线段的中点对应的数为_________； (2)点、分别从点、出发同时向左匀速运动，点的速度为每秒个单位长度，的速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒，当时，求的值； (3)在（2）的条件下，为线段的中点，为线段的中点，点、在运动过程中，当为何值时，有最小值，最小值为多少？ 题型讲练十 求不等式组的解集 【例10】（25-26七年级下·北京·期中）规定：对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即当为非负整数时，若，则．如：，，，． (1)满足的所有整数的个数为_______； (2)若，则满足条件的实数的值为________． 【变式】（25-26七年级下·湖南邵阳·期中）解下列不等式和不等式组，并将解集表示在数轴上． (1)； (2)． 题型讲练十一 求一元一次不等式组的整数解 【例11】（25-26七年级下·上海崇明·期中）解不等式组：，将解集表示在数轴上，并写出不等式组的整数解． 【变式】（25-26七年级下·广西贵港·期中）定义：若一个不等式组有解且解集是，则称为的“绝对距离”．若的绝对距离是不等式组的一个解，则称对于 “绝对包含”．例如：已知不等式组和．解集：，其绝对距离为；的解集：，因为，所以是的解，对于绝对包含． (1)已知关于的不等式组， ①这个不等式组的解集是______． ②这个不等式组的绝对距离是______． ③结合不等式组，判断：不等式组______（填“是”或“不是”）对绝对包含； (2)已知关于的不等式组，不等式组，若不等式组对于不等式组绝对包含，求的取值范围； (3)已知关于的不等式组，若存在整数，使得不等式组对于不等式组绝对包含，求满足条件的所有整数的和． 题型讲练十二 由一元一次不等式组的解集求参数 【例12】（25-26七年级下·北京·期中）两个关于x、y的二元一次方程为：方程①和方程②，其中方程①的部分解如下表所示．将方程①中的y值记为，方程②中的y值记为，若当时，对于x的每一个值，都有，则m的取值范围是（    ） x … 0 1 2 … y … 0 1 2 3 … A． B． C． D． 【变式】（25-26七年级下·上海浦东新·期中）明明在解一元一次不等式组时，发现“”里的常数看不清楚，但知道这个不等式组的解集为，若用字母表示“”里的常数，则的取值范围是______． 题型讲练十三 由不等式组解集的情况求参数 【例13】（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）已知关于x的不等式组有且仅有5个整数解，且使关于y的一元一次方程的解满足，求所有满足条件的整数a的值． 【变式】如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程． 例如：方程的解为，不等式组的解集为．因为，所以称方程为不等式组的关联方程． (1)在方程①，②，③中，不等式组的关联方程是__________；（填序号） (2)若不等式组的一个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是__________；（写出一个即可） (3)若方程，都是关于的不等式组的关联方程，求的取值范围． 题型讲练十四 不等式组和方程组结合的问题 【例14】24-25七年级下·江苏宿迁·期末）已知关于的方程组． (1)若方程组的解满足，求的值． (2)若方程组的解满足，求的取值范围． 【变式】（24-25七年级下·广东汕头·期末）（1）在关于x，y的二元一次方程组 中，，求a的取值范围． （2）已知，且，求的取值范围． （3）已知，在关于x，y的二元一次方程组 中，，化简 题型讲练十五 列一元一次不等式组 【例15】（24-25七年级下·全国·单元测试）某市教育局计划购买台阅卷扫描仪，有，两种型号可供选择，其中型号功能多一点．已知购买台型号和台型号共需要万元；购买台型号和台B型号共需要万元． (1)求，两种型号阅卷扫描仪的单价； (2)若购买阅卷扫描仪的费用不超过万元，请你通过计算说明，共有哪几种购买方案； (3)在（2）的购买方案中，教育局想多购买功能多一点的阅卷扫描仪，应选择哪种方案？ 【变式】阅读材料：形如的不等式，我们称之为双连不等式，求解这类不等式的方法之一：转化为不等式组求解，如上面的不等式转化为再求解；方法二：利用不等式的性质直接求解，双连不等式的左、中、右同时减去3，得，然后再同时除以2，得． (1)解决问题：请你将双连不等式转化为不等式组； (2)解决问题：利用不等式的性质解双连不等式． 题型讲练十六 不等式组的行程问题 【例16】（25-26八年级上·重庆·期末）为梦想续航，向美好奔赴．1月12日下午，南开中学一年一度的迎新年环校跑火热开跑．3000余名南开学子奔跑在美丽的校园里，他们无惧考验，用脚步丈量青春．为了在比赛中取得好名次，甲、乙、丙3人于1月10日、11日两天去操场练习，已知甲、乙、丙的速度均为整数，不低于，不高于，乙速度是甲速度的两倍，且均各自保持不变．10日甲乙练习时间之比为，丙练习时间比甲少，10日他们一共跑了．11日他们练习时间增加，甲增加的时间占乙、丙增加时间之和的，乙增加的时间是丙增加时间的2倍，且甲乙练习时间之和为丙练习时间的3倍，11日他们一共跑了，则甲的速度为______，11日三人练习时间之和为_______． 【变式】（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地 甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发 在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以 的速度行驶，乙车始终以 的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． (1)若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h (2)已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 题型讲练十七 不等式组的经济问题 【例17】（25-26八年级上·浙江宁波·期中）为更高效推进生活垃圾分类工作、持续改善城市生态环境，某小区计划采购、两种型号的垃圾箱．经前期市场调研，相关采购成本信息如下：购买4个型垃圾箱与3个型垃圾箱，总费用为560元；同时，购买2个型垃圾箱的支出，比购买1个型垃圾箱少20元． (1)求每个型垃圾箱和每个型垃圾箱分别多少元？ (2)该小区计划用不多于1500元的资金购买、两种型号的垃圾箱共20个，且型号垃圾箱个数不多于型号垃圾箱个数的3倍，则该小区购买、两种型号的垃圾箱有哪些方案？并求出总支出最小值． 【变式】（24-25七年级下·贵州遵义·期末）校运会期间，七年级1班准备给班上50名同学每人购买一杯奶茶，有“杨枝甘露”和“满野凤梨”两款果茶供大家选择．经调查：“杨枝甘露”每杯元，“满野凤梨”每杯元． (1)该班同学发现，购买1杯“杨枝甘露”和购买1杯“满野凤梨”需要32元，购买3杯“杨枝甘露”和2杯“满野凤梨”共需要81元．求的值； (2)同学们在某团上看到该店正在做活动．具体方式如下： 活动1：买十送一，送的产品为购买产品中价格最低的一种； 活动2：全部商品打9折． 如果同学们决定购买“杨枝甘露”30杯，另外的买“满野凤梨”．请通过计算，他们选择哪种活动更合算． (3)该班决定选择（2）中的活动2购买果茶，预算总费用不少于725元又不多于730元，有哪几种购买方案？ 题型讲练十八 不等式组的分配问题 【例18】2025七年级下·河南·专题练习）快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件．快递员的提成取决于送件数和揽件数．某快递公司快递员小李若平均每天的送件数和揽件数分别为80件和20件，则他平均每天的提成是160元；若平均每天的送件数和揽件数分别为120件和25件，则他平均每天的提成是230元． (1)求快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成各是多少元； (2)已知快递员小李一周内平均每天的送件数和揽件数共计200件，且揽件数不大于送件数的．如果他平均每天的提成不低于318元，求他平均每天的送件数． 【变式】（24-25七年级下·湖南永州·期中）电影《哪吒之魔童闹海》上映15天总票房突破91亿，成为中国影史首部票房破90亿元电影，档期结束后热度依然不减．某商家抓住商机购进A、B两种类型的哪吒纪念娃娃进行销售，已知购进4个A种娃娃和购进5个B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多2元． (1)每个种娃娃和每个种娃娃的进价分别是多少元？ (2)根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1704元的资金购进A、B两种娃娃共200个，其中种娃娃的数量不超过种娃娃数量的3倍，商家有哪几种进货方案？ 题型讲练十九 不等式组的方案选择问题 【例19】（25-26七年级下·河南南阳·期中）下面是某数学兴趣小组探究用不同方程解决实际问题的讨论片段，请仔细阅读，并解决相应的问题． 下面是练习册上的一道例题，墨水覆盖了条件的一部分． 中招体育考试足球是非常重要的一个项目，某中学为此专门开设了“足球大课间活动”，学校现决定购买A种品牌的足球25个，B种品牌的足球50个，共花费4500元．若，则A，B两种品牌足球的单价各是多少元/个？ 南南通过查看例题的解析发现：设A种品牌足球的单价为元/个，则列出一元一次方程：． (1)根据题意，例题中被覆盖的条件是_______；（填序号） ①A种品牌足球的单价比B种品牌足球的单价低30元/个； ②A种品牌足球的单价比B种品牌足球的单价高30元/个． (2)阳阳看了解析后对比发现，二元一次方程组能够更直接地表示出等量之间的关系，从而解决该问题，请你列出方程组并求A，B两种品牌足球的单价； (3)老师在例题的条件下，增设了一个问题：根据需要，学校决定再次购进A，B两种品牌的足球50个，恰逢体育用品商店搞“优惠促销”活动，A种品牌的足球打8折销售，B种品牌的足球每个优惠4元．若此次学校购买A，B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买A种品牌的足球不少于23个．请通过计算，写出所有符合购买要求的购买方案． 【变式】（25-26七年级下·重庆·月考）某服装厂设计了甲、乙两种款式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表： 款式 成本（元/件） 售价（元/件） 甲 700 1000 乙 800 1200 根据以上信息，解答下列问题： (1)若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？ (2)工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完利润不低于166500元，请通过计算设计该工厂所有可能的生产方案． 题型讲练二十 不等式组的阶梯收费问题 【例20】（25-26七年级下·全国·课后作业）某市出租车起步价是8元（及以内为起步价），以后每千米收费元，不足按收费．若小明乘出租车到达目的地时计价器显示为元，则此出租车行驶的路程可能为（   ） A． B． C． D． 【变式】（2026七年级下·江苏·专题练习）为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量17m3以下（包括17m3）；第二级为月用水量超过17m3但不超过30m3；第三级为月用水量超过30m3（不包括30m3）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 居民生活用水消费明细 计费日期2025﹣7﹣1至2025﹣7﹣31 自来水费 污水处理费 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 阶段一：17 2 34 阶段一：17 1 17 阶段二： 2.5 阶段二： 1 本期实付金额（大写） （注：居民生活用水水费=自来水费+污水处理费） 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为42m3，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为xm3，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 题型讲练二十一 —元一次不等式组的其他应用 【例21】（25-26八年级上·浙江金华·期末）金华佛手适宜闻香观赏，佛手柑挂件深受大家喜爱．某工艺品店销售小号和大号两种规格的佛手柑挂件，已知销售个小号佛手柑挂件和个大号佛手柑挂件共可获利元，销售个小号佛手柑挂件的获利和销售个大号佛手柑挂件的获利相等． (1)求销售个小号佛手柑挂件和个大号佛手柑挂件分别获利几元？ (2)该店某天销售佛手柑挂件共个，已知销售的大号佛手柑挂件的数量比小号佛手柑挂件的数量的倍还多，获得的总利润不足元，请求出销售的小号佛手柑挂件和大号佛手柑挂件各多少个？ 【变式】（2026·甘肃·模拟预测）敦煌莫高窟是甘肃省著名的世界文化遗产．为更好地保护石窟，研究院计划为某洞窟安装一批新的监测传感器．已知购买3个A型传感器和4个B型传感器共需1700元；购买5个A型传感器和2个B型传感器共需1900元． (1)求每个A型传感器和每个B型传感器的价格． (2)研究院准备购买A、B两种型号的传感器共30个，要求A型传感器的数量不少于B型传感器数量的一半，且总费用不超过11000元．请问有哪几种购买方案？ 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）若关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·上海普陀·期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）四月是工大附小的读书节活动月，四年级某班班主任刘老师打算把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么剩余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人分到了书但是不到3本．则共有（    ）名同学． A．6 B．7 C．8 D．9 4．若关于x的不等式可化为，则a的取值范围是_______． 5．（25-26七年级下·上海杨浦·月考）与的和的一半是非负数，用不等式表示为______． 6．（25-26七年级下·河南南阳·月考）关于x，y的方程组的解，满足，则k的取值范围是___________． 7．（21-22七年级下·重庆铜梁·周测）求不等式或不等式组并把解集在数轴上表示出来. (1)． (2)． 8．（25-26七年级下·北京·期中）解方程（组）或不等式组： (1) (2)解方程组 (3)解不等式组，并求出所有整数解． 9．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）黄山毛峰是我国十大名茶之一，它是由采摘的良种茶树的鲜叶在经历杀青、揉捻、烘焙等环节制作而成，已知生产1千克一级毛峰需要鲜叶千克，生产1千克二级毛峰需要鲜叶5千克． (1)某一天生产一级、二级毛峰共20千克，所使用的鲜叶不超过105千克，则生产的一级毛峰至多为多少千克？ (2)市场上一级毛峰售价每千克600元，二级毛峰售价每千克500元，经市场调研后，现对一级毛峰销售单价降，二级毛峰销售单价涨，若这次售出两种毛峰共100千克，总售价不低于56000元，则至少售出一级毛峰多少千克？ 10．（24-25七年级下·福建龙岩·期末）根据以下素材，探究完成任务． 背景 2026年3月14日是第七个国际数学日，为增强同学们学习数学的兴趣，张老师的班级将开展数学知识抢答赛活动，他提前在线上平台购买了玩偶与徽章等文创品作为奖品． 素材一 线上平台无促销活动时，若买10个玩偶和20个徽章共需390元；若买15个玩偶和15个徽章共需405元． 素材二 2026年线上平台促销活动信息如下： 方式一：购买48元会员卡后所有商品打8折； 方式二：非会员所有商品打9折． 解决问题： (1)线上平台在无促销活动时，求玩偶和徽章的销售单价各是多少元？ (2)张老师计划在促销期间购买玩偶和徽章共35个，其中购买玩偶m个（）， 若按方式一购买，共需 元； 若按方式二购买，共需 元．（均用含m的代数式表示） (3)请你帮张老师算一算，在任务二的条件下，购买玩偶的数量在什么范围内时，选择方式一更划算？ 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年人教版新教材数学七年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第十一章 不等式与不等式组【期末复习讲义】-基础版 『导图+知识梳理+21个题型讲练+真题实战练 共52题』（解析版） 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 不等式的解集 题型二 不等式的性质 题型三 求一元一次不等式的解集 题型四 求一元—次不等式的整数解 题型五 在数轴上表示不等式的解集 题型六 求一元一次不等式解的最值 题型七 列一元一次不等式 题型八 用一元一次不等式解决实际问题 题型九 用一元一次不等式解决几何问题 题型十 求不等式组的解集 题型十一 求一元一次不等式组的整数解 题型十二 由一元一次不等式组的解集求参数 题型十三 由不等式组解集的情况求参数 题型十四 不等式组和方程组结合的问题 题型十五 列一元一次不等式组 题型十六 不等式组的行程问题 题型十七 不等式组的经济问题 题型十八 不等式组的分配问题 题型十九 不等式组的方案选择问题 题型二十 不等式组的阶梯收费问题 题型二十一 —元一次不等式组的其他应用 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点一 一元一次不等式组 定义：关于同一个未知数的几个一元一次不等式联立在一起，就组成了一个一元一次不等式组. 特征：①不等式组中的所有不等式都是一元一次不等式； ②不等式组中的所有一元一次不等式都含有同一个未知数； ③不等式组中的一元一次不等式的个数为两个或两个以上. 知识点二 一元一次不等式组的解集 一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集．解不等式组就是求它的解集. 【补充】 1）如果不等式的解集无公共部分，就说这个不等式组无解. 2）在求不等式组的解集的过程中，通常是利用数轴来表示不等式组的解集的.确定方法如下表所示： 不等式组 设a＞b 解集 x＞a x＜b 无解 数轴上的表示 口诀 同大取大 同小取小 大大小小无处找 大小，小大中间找 知识点三 解一元一次不等式组的一般步骤 第一步：求出不等式组中各不等式的解集； 第二步：将各不等式的解集在数轴上表示出来； 第三步：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. 【易错点拨】 1）利用数轴表示不等式组解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画公共部分. 2）当不等式组中含有“≥”或“≤”时，边界点处要用实心圆点，解集的取法不变. 3）关于x的不等式组的解集为x=a，关于x的不等式组无解. 知识点四 一元一次不等式组的整数解 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 知识点五 一元一次不等式组的应用 对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解． 一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤： （1）分析题意，找出不等关系； （2）设未知数，列出不等式组； （3）解不等式组； （4）从不等式组解集中找出符合题意的答案； （5）作答． 第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 不等式的解集 【例1】（2024七年级·全国·竞赛）下表所示为三种食品原料的维生素含量（单位/千克）及成本（元/千克）： 维生素的含量 维生素的含量 成本 6 5 4 现在要将三种食物混合成千克的混合物，要求混合物至少需含单位的维生素和单位的维生素．如果所用的食物中的质量分别为千克，千克，千克，当分别取何值时，成本最低？ 【答案】时，成本最小为元 【思路引导】本题考查了不等式组的应用，由题意得，成本为，通过消元法得出的取值范围是解题关键． 【规范解答】解：依题意有， 即 得：， 得：，解得：， 成本为：， 当时，成本最小为元． 【变式】（23-24七年级上·安徽蚌埠·月考）下列四个数轴上的点表示的数都是，其中一定满足的是（    ）    A．（1）（3） B．（2）（3） C．（1）（4） D．（2）（4） 【答案】C 【思路引导】由得或进而即可求解； 【规范解答】解：∵， ∴或， ∴或， ∴（1）（4）符合题意． 故选：C． 【考点剖析】本题主要考查绝对值的概念、不等式的应用，掌握相关知识是解题的关键． 题型讲练二 不等式的性质 【例2】（25-26七年级下·上海奉贤·期中）保持规范的姿势有助于视力保护（如图1），小乐在阅读时，示意图如图2所示．已知水平线桌面，从侧面看到的书本与桌面的夹角是，视线与水平线的夹角为． (1)如果视线与书本的夹角为，求书本与桌面的夹角的度数； (2)请根据图3中的读姿规范要求，求出符合规范要求下度数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了平行线的性质与判定，不等式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先过点P作，运用平行线的性质，得出，故，再代入数值得出； （2）结合（1）得，又因为，代入整理得，即可作答． 【规范解答】（1）解：过点P作，如图所示： ∵水平线桌面， ∴， ∵， ∴， ∵为． ∴ ∵为， ∴． （2）解：由（1）的角度关系可得：， 根据规范要求，书本与桌面夹角满足， 代入得： ∴， 即符合要求的范围为：． 【变式】（25-26七年级上·安徽六安·月考）【阅读】根据等式和不等式的基本性质，可以用作差法比较两个实数或代数式的大小： 若，则； 若，则； 若，则． (1)【理解】若，比较代数式和的大小； (2)【运用】若，试比较的大小． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）利用作差法求解即可； （2）利用作差法求解即可． 【规范解答】（1）解：因为， 所以， 所以； （2）解：， 因为， 则， 所以， 即， 所以． 题型讲练三 求一元一次不等式的解集 【例3】（25-26七年级下·湖南常德·期中）定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式的解，称这个方程（组）的解是这个不等式的“内含解”．例如：方程的解是，同时也是不等式的解，则方程的解是不等式的“内含解”． (1)判断方程的解是不是不等式的“内含解”，并说明理由； (2)当时，方程的解是不等式的“内含解”，求整数的最小值； (3)若关于，的方程组的解是不等式的“内含解”，求的取值范围． 【答案】(1)是，理由见解析 (2)整数的最小值为 (3) 【思路引导】（1）分别解方程和解不等式，然后根据“内含解”的定义进行判断； （2）分别解方程和解不等式，然后根据“内含解”的定义列不等式，解不等式即可得解； （3）分别解方程组和解不等式，然后根据“内含解”的定义列不等式，解不等式即可得解． 【规范解答】（1）解：是，理由如下： 解方程， ， ， 解得； 解不等式， ， 解得； ， 方程的解是不等式的“内含解”． （2）解：解方程， ， 解得． ， ， 解不等式， ， ， ， 解得． 由“内含解”的定义，得， ， ， 解得， 整数的最小值为． （3）解：， 由，得， ，方程组的解是不等式的“内含解”， ，解得． 【变式】（25-26七年级下·上海闵行·月考）按要求完成下列计算： (1)解不等式： (2)解不等式并求出所有负整数解： 【答案】(1) (2)，负整数解：，， 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； ∴负整数解有：，，． 题型讲练四 求一元—次不等式的整数解 【例4】（25-26七年级上·江苏苏州·期中）关于的不等式的负整数解是，，则的取值范围是________． 【答案】 【思路引导】本题考查了根据不等式的解集求参数． 首先解不等式得到的取值范围，然后根据负整数解是和，确定和满足不等式，而不满足，从而得到关于的不等式组，求解即可． 【规范解答】解：解不等式，得， 由于负整数解是，， 因此和满足不等式，即，得； 同时不满足不等式，即，得； 故的取值范围是． 故答案为：． 【变式】对于整数a，b，c，d，定义，如：． (1)求当时，x的值是多少？ (2)求，关于x的不等式的负整数解为时，求k的取值范围． 【答案】(1)6 (2) 【思路引导】本题考查了解一元一次方程、一元一次不等式及一元一次不等式的整数解等知识，正确求解是解题的关键； （1）根据定义的法则，可得关于x的一元一次方程，解方程即可； （2）根据定义的法则，可得关于x的一元一次不等式，解不等式，根据解集的负整数解为，可得关于k的不等式，解不等式即可． 【规范解答】（1）解：， ∵， ∴， 解得：， 即x的值为6； （2）解：由，得， 解得：； 由于关于x的不等式的负整数解为，则， 解得：， 即满足条件的k的取值范围为：． 题型讲练五 在数轴上表示不等式的解集 【例5】（25-26七年级下·全国·课后作业）解不等式，并将解集在数轴上表示出来． ． 【答案】，见解析 【思路引导】本题考查了一元一次不等式的解法与解集的数轴表示，掌握解一元一次不等式的步骤，以及系数为负时不等号方向改变是解题的关键． 按照解一元一次不等式的步骤，先去分母，再依次进行去括号、移项、合并同类项，最后将系数化为，并在数轴上表示解集即可． 【规范解答】解：去分母，得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 两边都除以得． 解集在数轴上的表示如图． 【变式】（25-26七年级上·江苏苏州·月考）解方程： (1)； (2)解不等式，并把它的解集表示在数轴上： 【答案】(1) (2)，数轴见解析 【思路引导】本题考查了解一元一次方程，解一元一次不等式，将解集表示在数轴上，解题的关键在于熟练掌握相关解题步骤． （1）根据解一元一次方程的解题步骤求解，即可解题； （2）先去分母，然后进一步去掉括号加以化简，最终求出解集，然后再将解集表示在数轴上即可． 【规范解答】（1）解： ； （2）解： ； 解集在数轴上表示如下： 题型讲练六 求一元一次不等式解的最值 【例6】（24-25八年级上·湖南岳阳·期末）已知当时的最小值为，当时的最大值为，则________． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了不等式的解．根据不等式的定义求出a、b的值，然后代值计算即可． 【规范解答】解：∵当时的最小值为，当时的最大值为， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式】（25-26八年级上·福建三明·期末）若是方程的解，，是正整数，则的最小值是______． 【答案】 【思路引导】本题考查二元一次方程的解及一元一次不等式的求解，核心是利用方程的解得到与的数量关系，再结合正整数的约束条件求的最小值．先将方程的解代入方程，得到的关系式；再将转化为关于的代数式；最后根据的正整数取值范围，确定使最小的值，进而求出结果． 【规范解答】解：∵是方程的解， ∴，即． ∴， ∵，是正整数， ∴，解得， 又为正整数， ∴的取值为． ∴要使最小，需取最大值， 当时，，满足正整数条件，此时； 故答案为：． 题型讲练七 列一元一次不等式 【例7】（24-25七年级下·全国·课后作业）教育部正式印发《义务教育课程方案》，将劳动从原来的综合实践活动课程中完全独立出来，并正式施行．某学校组织七年级学生到劳动实践教育基地参加实践活动，某小组的任务是平整土地，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整了．若设他们在剩余时间内每小时平整土地，则根据题意可列不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了 实际问题抽象出一元一次不等式，设他们在剩余时间内每小时平整土地，根据“某小组的任务是平整土地，学校要求完成全部任务的时间不超过3小时”即可列出一元一次不等式． 【规范解答】解：由题意得：， 故选：A． 【变式】（23-24七年级下·江苏连云港·期末）阅读下列材料： 解答“已知，且，试确定的取值范围”有如下解法： ∵，∴， 又∵，∴ ∴， 又∵，∴① 同理得：②， 由得， ∴的取值范围是 请按照上述方法，完成下列问题： (1)已知，且，试确定的取值范围； (2)已知，若成立，试确定的取值范围（结果用含的式子表示）． 【答案】(1)； (2) 【思路引导】本题考查了一元一次不等式组的运用、一元一次不等式的解法，解题的关键是熟练掌握一元一次不等式的解法，并能进行推理论证． （1）仿照材料方法，先求出的取值范围，同理得出的取值范围，即可求解； （2）仿照材料方法，先求出的取值范围，同理得出的取值范围，即可求解． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴①， 同理得：②， 由得：， ∴的取值范围是； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴①， 同理得：②， 由得：， ∴的取值范围是. 题型讲练八 用一元一次不等式解决实际问题 【例8】（25-26七年级下·重庆·期中）一家文具店采购中性笔套装和笔记本套装，已知采购2套中性笔套装和3套笔记本套装的总进价为300元，且1套中性笔套装的进价比1套笔记本套装的进价多25元． (1)求一套中性笔套装和一套笔记本套装的进价分别为多少元？ (2)店家采购中性笔套装和笔记本套装共100套．已知每套中性笔套装的售价为90元，每套笔记本套装的利润率为，中性笔套装销售一半后，商家为了加快销售速度，对剩下的中性笔套装打九折销售，笔记本套装售价不变．两种套装全部售完后要求这批商品的总利润不低于930元，至少需要采购多少套中性笔套装？ 【答案】(1)一套中性笔套装的进价为75元，一套笔记本套装的进价为50元 (2)至少需要采购60套中性笔套装 【思路引导】（1）设一套中性笔套装为元，一套笔记本套装为元，根据“采购2套中性笔套装和3套笔记本套装的总进价为300元，且1套中性笔套装的进价比1套笔记本套装的进价多25元”列出二元一次方程组，即可解答； （2）设采购中性笔套装套，则采购笔记本套装套，然后表示出两种套装的利润，再根据总利润不低于930元，列出不等式，即可解答． 【规范解答】（1）解：设一套中性笔套装的进价为元，一套笔记本套装的进价为元， ， 解得， 答：一套中性笔套装的进价为75元，一套笔记本套装的进价为50元． （2）解：设采购中性笔套装套，则采购笔记本套装套， ， 解得， 答：至少需要采购60套中性笔套装． 【变式】（25-26七年级下·上海普陀·期中）为了建设美好家园，提高垃圾分类意识，某社区决定购买、两种型号的新型垃圾桶．已知型号的新型垃圾桶的单价比型号的新型垃圾桶单价贵元，购买2个型号的新型垃圾桶和购买个型号的新型垃圾桶共元．社区需要购买、两种型号的新型垃圾桶共个，且总费用不超过元． (1)求、两种型号的新型垃圾桶的单价； (2)社区最多能买几个型号的新型垃圾桶？ 【答案】(1)型号的新型垃圾桶单价为元，型号的新型垃圾桶单价为元 (2)社区最多能买个型号的新型垃圾桶 【思路引导】（1）设型号的新型垃圾桶单价为元，则型号的新型垃圾桶单价为元，根据题意可列方程，求解即可． （2）设购买型号的新型垃圾桶个，则购买型号的新型垃圾桶个，再根据总费用不超过4000元的条件列不等式，结合数量为非负整数的实际要求，求出型号的新型垃圾桶的最大购买数量． 【规范解答】（1）解：设型号的新型垃圾桶单价为元，则型号的新型垃圾桶单价为元， 根据题意可得 ， 展开整理得 ， 解得 ， 则， 答：型号的新型垃圾桶单价为元，型号的新型垃圾桶单价为元． （2）解：设购买型号的新型垃圾桶个，则购买型号的新型垃圾桶个， 根据题意，总费用不超过元，可得 ， 展开整理得 ， 解得 ， ∵是非负整数 ， ∴的最大值为， 答：社区最多能买个型号的新型垃圾桶． 题型讲练九 用一元一次不等式解决几何问题 【例9】（24-25七年级下·重庆·期中）如图，中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度运动，到达点时停止，设点运动的时间为秒． (1)点整个运动过程中，共需___秒； (2)若的面积为时，求的值； (3)若的面积大于时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)的值为或 (3) 【思路引导】本题考查了一元一次不等式和一元一次方程的应用，动点问题，解题的关键是分类讨论． （1）先求出运动的路程，再根据时间路程速度，即可求解； （2）分两种情况：当在上运动时，当在上运动时，根据三角形的面积公式列方程即可求解； （3）根据当时，，当时，，即可求解． 【规范解答】（1）解： ，， 点整个运动过程中，路程为， 点整个运动过程中，所需时间为秒， 故 答 案 为：； （2）当在上运动时，， 解 得：， 当在上运动时，， 解得：， 综上可得的值为或； （3）当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 综上可得：． 【变式】（24-25七年级上·湖北孝感·月考）如图，点、是数轴上的两个点，点表示数是，点表示数是，点表示数是，且． (1)直接写出：__________，_________，线段的中点对应的数为_________； (2)点、分别从点、出发同时向左匀速运动，点的速度为每秒个单位长度，的速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒，当时，求的值； (3)在（2）的条件下，为线段的中点，为线段的中点，点、在运动过程中，当为何值时，有最小值，最小值为多少？ 【答案】(1)，， (2)当或时， (3)当为何值时，有最小值，最小值为 【思路引导】（1）根据绝对值和平方的非负数，求出，，再根据中点的性质，即可； （2）根据题意，得到，，，分类讨论：当点在点的左侧时，当点在点的左侧时，解出，即可； （3）综上所述，当为何值时，有最小值，最小值为． 【规范解答】（1）解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴线段的中点对应的数为：， 故答案为：，，． （2）解：∵， ∴， ∵点的速度为每秒个单位长度，的速度为每秒个单位长度，设运动时间为秒， ∴，，， 当点在点的左侧时， ∴， ∵， ∴， 解得：； 当点在点的左侧时， ∴， ∵， ∴， 解得：； 综上所述，当或时，． （3）解：由（2）得，点表示数是，点表示数是，点表示的数为，点表示数为； ∵为线段的中点，为线段的中点 ∴点表示的数为：，点表示的数为：， ∴， ∴ 当点在点的右侧时，， ∴， ∴； ∴； 当点不在点的右侧，且点在点的右侧时， ∴，， ∴， ∴， ∴， 当点不在点的右侧，且点不在点的右侧时 ∴，， ∴， ∴， ∴； 综上所述，当为何值时，有最小值，最小值为． 【考点剖析】本题考查一元一次方程，一元一次不等式，数轴，绝对值等知识，解题的关键是掌握一元一次不等式的应用，一元一次方程的应用，绝对值的非负性的应用，根据题意，列出方程，进行解答，即可． 题型讲练十 求不等式组的解集 【例10】（25-26七年级下·北京·期中）规定：对非负实数“四舍五入”到个位的值记为，即当为非负整数时，若，则．如：，，，． (1)满足的所有整数的个数为_______； (2)若，则满足条件的实数的值为________． 【答案】(1) (2)，， 【思路引导】（1）先根据新定义，由列出不等式，再通过平方求出的取值范围，最后找出范围内的所有整数并统计个数； （2）先根据新定义，将转化为关于的不等式组，求出的取值范围，再结合为非负整数的条件，在范围内枚举所有符合要求的值． 【规范解答】（1）解：根据题意可得，，即， 则，即， 故满足条件的整数为，，，，，，，，共个． （2）解：根据题意可得，， 整理得， 解得， 由为非负整数， 则满足题意的为，，． 【变式】（25-26七年级下·湖南邵阳·期中）解下列不等式和不等式组，并将解集表示在数轴上． (1)； (2)． 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 【思路引导】（1）根据解一元一次不等式的方法可以求得该不等式的解集，然后在数轴上表示解集即可； （2）分别求两个一元一次不等式的解集，进而可得一元一次不等式组的解集，然后在数轴上表示解集即可． 【规范解答】（1）解：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 解集在数轴上的表示如图： （2）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：， 解集在数轴上可表示为： 题型讲练十一 求一元一次不等式组的整数解 【例11】（25-26七年级下·上海崇明·期中）解不等式组：，将解集表示在数轴上，并写出不等式组的整数解． 【答案】，图见解析，整数解为：，0，1 【思路引导】分别求出不等式组中的两个不等式的解集，再求出不等式组的解集，然后表示在数轴上，再求出整数解． 【规范解答】解：∵不等式组：， 解得， 解得， ∴不等式组的解为， 解集在数轴上表示为： 所以：不等式组的整数解为：，0，1 【变式】（25-26七年级下·广西贵港·期中）定义：若一个不等式组有解且解集是，则称为的“绝对距离”．若的绝对距离是不等式组的一个解，则称对于 “绝对包含”．例如：已知不等式组和．解集：，其绝对距离为；的解集：，因为，所以是的解，对于绝对包含． (1)已知关于的不等式组， ①这个不等式组的解集是______． ②这个不等式组的绝对距离是______． ③结合不等式组，判断：不等式组______（填“是”或“不是”）对绝对包含； (2)已知关于的不等式组，不等式组，若不等式组对于不等式组绝对包含，求的取值范围； (3)已知关于的不等式组，若存在整数，使得不等式组对于不等式组绝对包含，求满足条件的所有整数的和． 【答案】(1)①；②；③是 (2) (3) 【思路引导】（1）根据不等式组的解法及“绝对包含”的意义求解即可； （2）分别求解不等式组和的解集，计算的绝对距离，根据“绝对包含”的定义列出关于的不等式组，结合不等式组有解的条件确定的取值范围； （3）先确定不等式组的绝对距离，求解不等式组的解集，根据“绝对包含”的定义列出关于的不等式组，结合的取值范围确定整数的取值，最后求和． 【规范解答】（1）解：①解不等式组， 不等式的解集为：， 不等式的解集为：， ∴这个不等式组的解集是； ②， 这个不等式组的绝对距离是； ③∵不等式组的解集为，且，即是不等式组的解， ∴不等式组是对绝对包含； （2）解：解不等式组得， ∵不等式组的绝对距离是：， ∵不等式组， ∴不等式组的解集为：， ∵不等式组对于不等式组绝对包含， ∴是的解，即， 解得：， ∴的取值范围为； （3）解：解不等式组得， ∵不等式组的绝对距离是：， ∵不等式组， ∴不等式组的解集为：， ∵不等式组对于不等式组绝对包含， ∴是的解，即， 解得：， ∵为整数， ∴整数的取值为，，，， ∴满足条件的所有整数的和为：． 题型讲练十二 由一元一次不等式组的解集求参数 【例12】（25-26七年级下·北京·期中）两个关于x、y的二元一次方程为：方程①和方程②，其中方程①的部分解如下表所示．将方程①中的y值记为，方程②中的y值记为，若当时，对于x的每一个值，都有，则m的取值范围是（    ） x … 0 1 2 … y … 0 1 2 3 … A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】先根据表格给出的解确定方程①的表达式，整理得到和，再根据时恒成立的条件，推导得到的取值范围即可． 【规范解答】解：将分别代入方程①，得 ，即， ∴方程①可化为方程①， ∵关于x，y的方程是二元一次方程， ∴， 即方程①为， ∴， 整理方程②，得 ， 根据题意，当时，恒成立，代入得： ∴ ． ， ， 即， ∵所有满足的都小于， ∴要使大于所有的，可得． 【变式】（25-26七年级下·上海浦东新·期中）明明在解一元一次不等式组时，发现“”里的常数看不清楚，但知道这个不等式组的解集为，若用字母表示“”里的常数，则的取值范围是______． 【答案】 【思路引导】先解，再根据不等式组的解集为，即可求出的取值范围． 【规范解答】解：用字母表示“”里的常数， ∴， 解不等式得：， ∵不等式组的解集为， ∴． 题型讲练十三 由不等式组解集的情况求参数 【例13】（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）已知关于x的不等式组有且仅有5个整数解，且使关于y的一元一次方程的解满足，求所有满足条件的整数a的值． 【答案】a为19或20或21 【思路引导】先求出不等式组的解集，根据不等式组的整数解的个数求出的范围，求出方程的解，根据求出的范围，求出公共部分，再求出的整数解，最后求出答案即可． 【规范解答】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集是， ∵不等式组有且仅有5个整数解， ， 解得：， 解方程得：， ， ， 解得：， ∵a为整数， ∴a为19或20或21． 【变式】如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程． 例如：方程的解为，不等式组的解集为．因为，所以称方程为不等式组的关联方程． (1)在方程①，②，③中，不等式组的关联方程是__________；（填序号） (2)若不等式组的一个关联方程的根是整数，则这个关联方程可以是__________；（写出一个即可） (3)若方程，都是关于的不等式组的关联方程，求的取值范围． 【答案】(1)①③ (2) (3) 【思路引导】（1）求出所给的3个方程的解及所给不等式组的解集，再按“关联方程”的定义进行判断即可； （2）先求出所给不等式组的整数解，再结合“关联方程”的定义进行分析解答即可； （3）先求出所给不等式组的解集和所给的两个方程的解，再结合“关联方程的定义”和“已知条件”进行分析解答即可． 【规范解答】（1）解：解方程 ①得 ：； 解方程②得：； 解方程③得：； 解不等式组  得：， ∵上述3个方程的解中和都在的范围内， ∴不等式组 的关联方程是方程①③； 故答案为①③． （2）解：解不等式组得：， ∵原不等式组的关联方程的解为整数， ∴解为的一元一次方程都是原不等式组的关联方程，如， 故答案为：（答案不唯一）． （3）解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴原不等式组的解集为， 解方程，得， 解方程，得， ∵方程和方程都是原不等式组的关联方程， ∴和都在的范围内， ∴，解得， ∴， ∴的取值范围是． 【考点剖析】本题考查不等式组的解法及应用，读懂题意，理解“关联方程”的定义，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键． 题型讲练十四 不等式组和方程组结合的问题 【例14】24-25七年级下·江苏宿迁·期末）已知关于的方程组． (1)若方程组的解满足，求的值． (2)若方程组的解满足，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查解二元一次方程组，解一元一次不等式和一元一次方程，熟练掌握利用含参数的二元一次方程组的解法，按题中条件列式求解是解决问题的关键． （1）由化简得到，代入解方程即可得到答案； （2）得，代入解不等式即可得到答案． 【规范解答】（1）解：， 得 ∴ 方程组的解满足， ∴， 解得； （2）解： 由得， 方程组的解满足， ∴， 解得． 【变式】（24-25七年级下·广东汕头·期末）（1）在关于x，y的二元一次方程组 中，，求a的取值范围． （2）已知，且，求的取值范围． （3）已知，在关于x，y的二元一次方程组 中，，化简 【答案】（1）；（2）；（3） 【思路引导】本题考查了解二元一次方程组、解一元一次不等式组、化简绝对值等知识点，熟练掌握方程组和不等式组的解法是解题关键． （1）先利用加减消元法求出x、y的值，再根据可得一个关于a的一元一次不等式组，然后解不等式组即可得； （2）设，根据（1）的方法求解即可； （3）先利用加减消元法求出x、y的值，再根据可得，然后将代入所求式子，根据绝对值运算进行化简即可得． 【规范解答】解：（1）， ①②得：， 解得：， 将代入②得：， 解得， 由得：， 解不等式③得：， 解不等式④得：， 则的取值范围是； （2）设， 得： 解得 得： 解得 x 8， y 4， ， 解得 故取值范围为； （3）， ①②得：， 解得， 将代入①得：， 解得， 由得：， 由得：， 则， ， ， ， ， ， ． 题型讲练十五 列一元一次不等式组 【例15】（24-25七年级下·全国·单元测试）某市教育局计划购买台阅卷扫描仪，有，两种型号可供选择，其中型号功能多一点．已知购买台型号和台型号共需要万元；购买台型号和台B型号共需要万元． (1)求，两种型号阅卷扫描仪的单价； (2)若购买阅卷扫描仪的费用不超过万元，请你通过计算说明，共有哪几种购买方案； (3)在（2）的购买方案中，教育局想多购买功能多一点的阅卷扫描仪，应选择哪种方案？ 【答案】(1)型号阅卷扫描仪的单价是万元/台，型号阅卷扫描仪的单价是万元/台 (2)有三种购买方案．方案一：购买型号阅卷扫描仪台，型号阅卷扫描仪台；方案二：购买型号阅卷扫描仪台，型号阅卷扫描仪台；方案三：购买型号阅卷扫描仪台 (3)选择方案一：购买型号阅卷扫描仪台，型号阅卷扫描仪台 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设型号阅卷扫描仪的单价是万元，B型号阅卷扫描仪的单价是万元，根据题意列出方程组并求解； （2）设购买型号阅卷扫描仪台，根据题意列出不等式即可； （3）写出所有可能的方案，然后选出型号最多的方案． 【规范解答】（1）设型号阅卷扫描仪的单价是万元/台，型号阅卷扫描仪的单价是万元/台， 根据题意，得解得 答：型号阅卷扫描仪的单价是万元/台，型号阅卷扫描仪的单价是万元/台． （2）设购买型号阅卷扫描仪台，则购买型号阅卷扫描仪台． 根据题意，得， 解得． ∵m为正整数，， ∴m可取，，，对应的值为，，． ∴有三种购买方案．方案一：购买型号阅卷扫描仪台，型号阅卷扫描仪台；方案二：购买型号阅卷扫描仪台，型号阅卷扫描仪台；方案三：购买型号阅卷扫描仪台． （3）在（2）的购买方案中，教育局想多购买功能多一点的阅卷扫描仪，应选择方案一：购买型号阅卷扫描仪台，型号阅卷扫描仪台． 【变式】阅读材料：形如的不等式，我们称之为双连不等式，求解这类不等式的方法之一：转化为不等式组求解，如上面的不等式转化为再求解；方法二：利用不等式的性质直接求解，双连不等式的左、中、右同时减去3，得，然后再同时除以2，得． (1)解决问题：请你将双连不等式转化为不等式组； (2)解决问题：利用不等式的性质解双连不等式． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）直接根据把双连不等式化为不等式组的方法可得答案； （2）先在双连不等式中的左边，中间，右边都减去2，再在左边，中间，右边都除以，从而可得答案． 【规范解答】（1）解：双连不等式转化为不等式组为： （2）∵， ∴ 即 ∴左边，中间，右边都除以得： 【考点剖析】本题考查的是双连不等式的定义，双连不等式与一元一次不等式组之间的联系，利用不等式的性质解双连不等式，掌握解双连不等式的方法与步骤是解本题的关键． 题型讲练十六 不等式组的行程问题 【例16】（25-26八年级上·重庆·期末）为梦想续航，向美好奔赴．1月12日下午，南开中学一年一度的迎新年环校跑火热开跑．3000余名南开学子奔跑在美丽的校园里，他们无惧考验，用脚步丈量青春．为了在比赛中取得好名次，甲、乙、丙3人于1月10日、11日两天去操场练习，已知甲、乙、丙的速度均为整数，不低于，不高于，乙速度是甲速度的两倍，且均各自保持不变．10日甲乙练习时间之比为，丙练习时间比甲少，10日他们一共跑了．11日他们练习时间增加，甲增加的时间占乙、丙增加时间之和的，乙增加的时间是丙增加时间的2倍，且甲乙练习时间之和为丙练习时间的3倍，11日他们一共跑了，则甲的速度为______，11日三人练习时间之和为_______． 【答案】 5 288 【思路引导】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，二元一次方程组的应用，设甲的速度为，丙的速度为，则乙的速度为，根据三人的速度不低于，不高于列出不等式组可求出，则甲的速度为，则乙的速度为；设1月10日甲练习的时间为，则乙练习的时间为，丙练习的时间为，根据路程等于速度乘以时间可得；设1月11日丙增加的时间为，则乙增加的时间为，则甲增加的时间为，根据甲乙练习时间之和为丙练习时间的3倍，推出；根据路程等于速度乘以时间可得，联立①②，解方程组即可得到答案． 【规范解答】解：设甲的速度为，丙的速度为，则乙的速度为， 由题意得，， ∴， ∴， ∴甲的速度为，则乙的速度为； 设1月10日甲练习的时间为，则乙练习的时间为，丙练习的时间为， ∵10日他们一共跑了， ∴， ∴ 设1月11日丙增加的时间为，则乙增加的时间为， ∴甲增加的时间为， ∵甲乙练习时间之和为丙练习时间的3倍， ∴， ∴； ∵11日他们一共跑了， ∴， ∴， ∴， 联立①②，解得， ∴， ∴11日三人练习时间之和为； 故答案为：5；288． 【变式】（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地 甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发 在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以 的速度行驶，乙车始终以 的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． (1)若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h (2)已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 【答案】(1)①M，N；② (2)①，②或 【思路引导】①根据题意，分别得到，，，，根据甲乙两车的速度，即可得到两车行驶的距离，即可得到结果； ②根据甲车在段和段的速度不同，得到甲车的行驶时间，结合乙车比甲车晚出发，得到乙车所用时间； ①两车在P处相遇与N重合，分别求出甲乙所用的时间，从而得到乙车的速度； ②分类讨论相遇点在上，分别表示甲乙所行驶的路程，根据总路程为，得到等式，表示出速度，同时结合限速的要求，得到结果． 本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，以及路程、速度、时间之间的关系的应用，正确理解题意是解题的关键． 【规范解答】（1）解：①依题意，，，， ， 甲车从A地出发，始终以的速度行驶， 甲车2小时共行驶了， 甲车出发2小时，行至M处， 乙车从B地出发，比甲车晚出发小时，以的速度行驶， 乙车共行驶了， 乙车行至N处， 故答案为：M，N； ②甲车行至的中点时，所用时间为：， 此时乙车行驶所用时间：， 故答案为：； （2）①两车在P处相遇，P与N重合， 甲车所用时间为， 此时乙车所用时间为， 乙车的速度为； ②P在非施工道路上不与M，N重合， 若P在上，设甲的行驶时间为t，则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 若P在上，设甲的行驶时间为t，， 则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 综上所述或． 题型讲练十七 不等式组的经济问题 【例17】（25-26八年级上·浙江宁波·期中）为更高效推进生活垃圾分类工作、持续改善城市生态环境，某小区计划采购、两种型号的垃圾箱．经前期市场调研，相关采购成本信息如下：购买4个型垃圾箱与3个型垃圾箱，总费用为560元；同时，购买2个型垃圾箱的支出，比购买1个型垃圾箱少20元． (1)求每个型垃圾箱和每个型垃圾箱分别多少元？ (2)该小区计划用不多于1500元的资金购买、两种型号的垃圾箱共20个，且型号垃圾箱个数不多于型号垃圾箱个数的3倍，则该小区购买、两种型号的垃圾箱有哪些方案？并求出总支出最小值． 【答案】(1)每个A型垃圾箱50元，每个B型垃圾箱120元 (2)有三种购买方案： 方案1：购买15个A型垃圾箱，购买5个B型垃圾箱，支出1350元；方案2：购买14个A型垃圾箱，购买6个B型垃圾箱，支出1420元；方案3：购买13个A型垃圾箱，购买7个B型垃圾箱，支出1490元，总支出最小值为1350元 【思路引导】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确的列出方程组和不等式组是解题的关键： （1）设每个型垃圾箱元，每个型垃圾箱元，根据购买4个型垃圾箱与3个型垃圾箱，总费用为560元；同时，购买2个型垃圾箱的支出，比购买1个型垃圾箱少20元，列出方程组进行求解即可； （2）设购买个型垃圾箱，则购买个型垃圾箱，根据题意，列出不等式组，求出整数解即可． 【规范解答】（1）解：设每个型垃圾箱元，每个型垃圾箱元， 由题意得： 解得：； 答：每个A型垃圾箱50元，每个B型垃圾箱120元． （2）设购买个型垃圾箱，则购买个型垃圾箱 由题意得： 解得： 又为整数， 可取5，6，7， 有三种购买方案： 方案1：购买15个型垃圾箱，购买5个B型垃圾箱，支出（元）； 方案2：购买14个型垃圾箱，购买6个B型垃圾箱，支出（元）； 方案3：购买13个型垃圾箱，购买7个B型垃圾箱，支出（元）； ， 总支出最小值为1350元． 【变式】（24-25七年级下·贵州遵义·期末）校运会期间，七年级1班准备给班上50名同学每人购买一杯奶茶，有“杨枝甘露”和“满野凤梨”两款果茶供大家选择．经调查：“杨枝甘露”每杯元，“满野凤梨”每杯元． (1)该班同学发现，购买1杯“杨枝甘露”和购买1杯“满野凤梨”需要32元，购买3杯“杨枝甘露”和2杯“满野凤梨”共需要81元．求的值； (2)同学们在某团上看到该店正在做活动．具体方式如下： 活动1：买十送一，送的产品为购买产品中价格最低的一种； 活动2：全部商品打9折． 如果同学们决定购买“杨枝甘露”30杯，另外的买“满野凤梨”．请通过计算，他们选择哪种活动更合算． (3)该班决定选择（2）中的活动2购买果茶，预算总费用不少于725元又不多于730元，有哪几种购买方案？ 【答案】(1)， (2)他们选择活动2更合算，理由见解析 (3)共有3种方案：①购买“杨枝甘露”28杯，购买“满野凤梨”22杯；②购买“杨枝甘露”29杯，购买“满野凤梨”21杯；③购买“杨枝甘露”30杯，购买“满野凤梨”20杯． 【思路引导】此题考查了二元一次方程组，有理数的混合运算的实际应用和一元一次不等式组的实际应用，解题的关键是找准等量关系和不等关系列出二元一次方程组和一元一次不等式组． （1）根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）分别按照活动1和活动2的方式计算，然后比较求解即可； （3）设购买“杨枝甘露”a杯，则购买“满野凤梨”杯，根据题意列出一元一次不等式组求解即可． 【规范解答】（1）解：∵“杨枝甘露”每杯元，“满野凤梨”每杯元， 根据题意得， 解得； （2）解：活动1：（元）， 活动2：（元）， ∵， ∴他们选择活动2更合算； （3）解：设购买“杨枝甘露”a杯，则购买“满野凤梨”杯， 根据题意得， 解得 ∵a是正整数 ∴或29或30 ∴或21或20 ∴共有3种方案：①购买“杨枝甘露”28杯，购买“满野凤梨”22杯；②购买“杨枝甘露”29杯，购买“满野凤梨”21杯；③购买“杨枝甘露”30杯，购买“满野凤梨”20杯． 题型讲练十八 不等式组的分配问题 【例18】2025七年级下·河南·专题练习）快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件．快递员的提成取决于送件数和揽件数．某快递公司快递员小李若平均每天的送件数和揽件数分别为80件和20件，则他平均每天的提成是160元；若平均每天的送件数和揽件数分别为120件和25件，则他平均每天的提成是230元． (1)求快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成各是多少元； (2)已知快递员小李一周内平均每天的送件数和揽件数共计200件，且揽件数不大于送件数的．如果他平均每天的提成不低于318元，求他平均每天的送件数． 【答案】(1)快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成各是1.5元和2元 (2)160件或161件或162件或163件或164件 【思路引导】本题考查二元一次方程组、一元一次不等式组解应用题，读懂题意，找准关系，准确列出方程组及不等式组求解是解决问题的关键． （1）设快递员小李平均每送一件的提成是元，平均每揽一件的提成是元，由题意列二元一次方程组求解即可得到答案； （2）设他平均每天的送件数是件，则他平均每天的揽件数是件，由题意列一元一次不等式组求解即可得到答案． 【规范解答】（1）解：设快递员小李平均每送一件的提成是元，平均每揽一件的提成是元， 根据题意得， 解得， 答：快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成各是1.5元和2元； （2）解：设他平均每天的送件数是件，则他平均每天的揽件数是件， 根据题意得， 解得， ∵是正整数， ∴的值为160，161，162，163，164． 答：他平均每天的送件数是160件或161件或162件或163件或164件． 【变式】（24-25七年级下·湖南永州·期中）电影《哪吒之魔童闹海》上映15天总票房突破91亿，成为中国影史首部票房破90亿元电影，档期结束后热度依然不减．某商家抓住商机购进A、B两种类型的哪吒纪念娃娃进行销售，已知购进4个A种娃娃和购进5个B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多2元． (1)每个种娃娃和每个种娃娃的进价分别是多少元？ (2)根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1704元的资金购进A、B两种娃娃共200个，其中种娃娃的数量不超过种娃娃数量的3倍，商家有哪几种进货方案？ 【答案】(1)每个种娃娃的进价为10元，每个种娃娃的进价为8元 (2)该商家有3种进货方案，方案一：购进A种娃娃50个，B种娃娃150个；方案二：购进A种娃娃51个，B种娃娃149个；方案三：购进A种娃娃：2个，B种娃娃148个 【思路引导】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确的列出方程组和不等式组，是解题的关键： （1）设每个种娃娃的进价为元，每个种娃娃的进价为元，根据购进4个A种娃娃和购进5个B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多2元，列出方程组进行求解即可； （2）设购进a个种娃娃，则购进个种娃娃，根据该商家计划用不超过1704元的资金购进A、B两种娃娃共200个，其中种娃娃的数量不超过种娃娃数量的3倍，列出不等式组，求出整数解即可． 【规范解答】（1）解：设每个种娃娃的进价为元，每个种娃娃的进价为元， 依题意，得：， 解得：； 答：每个种娃娃的进价为10元，每个种娃娃的进价为8元． （2）设购进a个种娃娃，则购进个种娃娃， 依题意，得：解得： 是整数， ， 当时，； 当时，； 当时，； 答：该商家有3种进货方案， 方案一：购进A种娃娃50个，B种娃娃150个； 方案二：购进A种娃娃51个，B种娃娃149个； 方案三：购进A种娃娃：2个，B种娃娃148个． 题型讲练十九 不等式组的方案选择问题 【例19】（25-26七年级下·河南南阳·期中）下面是某数学兴趣小组探究用不同方程解决实际问题的讨论片段，请仔细阅读，并解决相应的问题． 下面是练习册上的一道例题，墨水覆盖了条件的一部分． 中招体育考试足球是非常重要的一个项目，某中学为此专门开设了“足球大课间活动”，学校现决定购买A种品牌的足球25个，B种品牌的足球50个，共花费4500元．若，则A，B两种品牌足球的单价各是多少元/个？ 南南通过查看例题的解析发现：设A种品牌足球的单价为元/个，则列出一元一次方程：． (1)根据题意，例题中被覆盖的条件是_______；（填序号） ①A种品牌足球的单价比B种品牌足球的单价低30元/个； ②A种品牌足球的单价比B种品牌足球的单价高30元/个． (2)阳阳看了解析后对比发现，二元一次方程组能够更直接地表示出等量之间的关系，从而解决该问题，请你列出方程组并求A，B两种品牌足球的单价； (3)老师在例题的条件下，增设了一个问题：根据需要，学校决定再次购进A，B两种品牌的足球50个，恰逢体育用品商店搞“优惠促销”活动，A种品牌的足球打8折销售，B种品牌的足球每个优惠4元．若此次学校购买A，B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买A种品牌的足球不少于23个．请通过计算，写出所有符合购买要求的购买方案． 【答案】(1)② (2)A种品牌足球的单价为80元，B种品牌足球的单价50元 (3)见解析 【思路引导】（1）根据小明所列的一元一次方程，分析x与的含义，结合选项判断被覆 盖的条件； （2）设A、B两种品牌足球的单价分别为x元、y元，根据“A品牌单价比B品牌高30元”和“购买25个A 、50个B共花费4500元”列二元一次方程组，求解方程组得到单价； （3）设购买A品牌足球m个，则购买B品牌足球个，根据“总费用不超过2750元”和“A品牌数 量不少于23个”列一元一次不等式组，求解得到m的取值范围，结合m为正整数确定所有购买方案，再分 别计算各方案费用，选出费用最低的方案． 【规范解答】（1）解：设A种品牌足球的单价为元/个，从列出一元一次方程可知B种品牌足球的单价为元/个，说明A种品牌足球的单价比B种品牌足球的单价高30元/个．故选②． （2）解：设A种品牌足球的单价为x元，B种品牌足球的单价为y元， 由题意得， 解得． 答：A种品牌足球的单价为80元，B种品牌足球的单价为50元． （3）解：设购买A种品牌足球m个，B种品牌足球个， 由题意得， 解得． 又， 且m为正整数． ，24，25，共三种购买方案， 方案一：购A种品牌足球23个，B种品牌足球27个； 方案二：购A种品牌足球24个，B种品牌足球26个； 方案三：购A种品牌足球25个，B种品牌足球25个． 【变式】（25-26七年级下·重庆·月考）某服装厂设计了甲、乙两种款式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表： 款式 成本（元/件） 售价（元/件） 甲 700 1000 乙 800 1200 根据以上信息，解答下列问题： (1)若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？ (2)工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完利润不低于166500元，请通过计算设计该工厂所有可能的生产方案． 【答案】(1)可以生产甲款服装100件，乙款服装200件 (2)共有2种可能的生产方案，方案一：生产甲款服装334件，乙款服装166件；方案二：生产甲款服装335件，乙款服装165件 【思路引导】（1）设甲款服装x件，则乙款服装件，然后根据题意可得方程，进而求解即可； （2）设甲款服装m件，则乙款服装件，由题意可列出不等式组，进而求解即可． 【规范解答】（1）解：设甲款服装x件，则乙款服装件，由题意得： ， 解得：， ∴； 答：可以生产甲款服装100件，乙款服装200件． （2）解：设甲款服装m件，则乙款服装件，由题意得： ， 解得：， ∵m是正整数， ∴m的取值为334或335； 答：共有2种可能的生产方案，方案一：生产甲款服装334件，乙款服装166件；方案二：生产甲款服装335件，乙款服装165件． 题型讲练二十 不等式组的阶梯收费问题 【例20】（25-26七年级下·全国·课后作业）某市出租车起步价是8元（及以内为起步价），以后每千米收费元，不足按收费．若小明乘出租车到达目的地时计价器显示为元，则此出租车行驶的路程可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】设出租车行驶的路程为s千米，根据“车费=起步价+超出3千米的路程×每千米的收费”结合小明乘出租车到达目的地时计价器显示为14.4元，即可得出关于s的一元一次不等式组，解不等式组即可得出s的取值范围，结合四个选项即可得出结论． 【规范解答】解：设出租车行驶的路程为s千米，由题意得 ， 解得． 在四个选项中，只有在此范围内，所以，选项B符合题意． 【变式】（2026七年级下·江苏·专题练习）为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量17m3以下（包括17m3）；第二级为月用水量超过17m3但不超过30m3；第三级为月用水量超过30m3（不包括30m3）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 居民生活用水消费明细 计费日期2025﹣7﹣1至2025﹣7﹣31 自来水费 污水处理费 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 阶段一：17 2 34 阶段一：17 1 17 阶段二： 2.5 阶段二： 1 本期实付金额（大写） （注：居民生活用水水费=自来水费+污水处理费） 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为42m3，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． (1)设该居民7月份的用水量为xm3，求x的取值范围； (2)该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； (3)若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 【答案】(1) (2)89.5元 (3) 【思路引导】（1 ）设该居民7月份的用水量为，则该居民6月份的用水量为，根据“7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍”，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围； （2 ）求出当7月份用水量是时的水费即可； （3 ）根据该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，可列出关于x的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【规范解答】（1）解：设该居民7月份的用水量为，则该居民6月份的用水量为， 根据题意得：， 解得：． 答：x的取值范围为； （2）解：根据题意得： （元）． 答：该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳89.5元； （3）解：当时，水费差为， 令 解得：，不符合题意，舍去； 当时，， 解得：． 答：该居民7月份的用水量为． 题型讲练二十一 —元一次不等式组的其他应用 【例21】（25-26八年级上·浙江金华·期末）金华佛手适宜闻香观赏，佛手柑挂件深受大家喜爱．某工艺品店销售小号和大号两种规格的佛手柑挂件，已知销售个小号佛手柑挂件和个大号佛手柑挂件共可获利元，销售个小号佛手柑挂件的获利和销售个大号佛手柑挂件的获利相等． (1)求销售个小号佛手柑挂件和个大号佛手柑挂件分别获利几元？ (2)该店某天销售佛手柑挂件共个，已知销售的大号佛手柑挂件的数量比小号佛手柑挂件的数量的倍还多，获得的总利润不足元，请求出销售的小号佛手柑挂件和大号佛手柑挂件各多少个？ 【答案】(1)销售一个小号佛手柑挂件获利元，销售一个大号佛手柑挂件获利元 (2)销售小号佛手柑挂件个，销售大号佛手柑挂件个 【思路引导】本题考查二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用， （1）设销售一个小号佛手柑挂件获利元，销售一个大号佛手柑挂件获利元，根据“销售个小号佛手柑挂件和个大号佛手柑挂件共可获利元，销售个小号佛手柑挂件的获利和销售个大号佛手柑挂件的获利相等”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设销售小号佛手柑挂件个，则销售大号佛手柑挂件个（为正整数），根据“销售的大号佛手柑挂件的数量比小号佛手柑挂件的数量的倍还多，获得的总利润不足元”，可列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出结论； 解题的关键：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． 【规范解答】（1）解：设销售一个小号佛手柑挂件获利元，销售一个大号佛手柑挂件获利元， 依题意，得：， 解得：， 答：销售一个小号佛手柑挂件获利元，销售一个大号佛手柑挂件获利元； （2）解：设销售小号佛手柑挂件个，则销售大号佛手柑挂件个（为正整数）， 依题意，得：， 解得：， ∵为正整数， ∴， ∴（个）， 答：销售小号佛手柑挂件个，销售大号佛手柑挂件个． 【变式】（2026·甘肃·模拟预测）敦煌莫高窟是甘肃省著名的世界文化遗产．为更好地保护石窟，研究院计划为某洞窟安装一批新的监测传感器．已知购买3个A型传感器和4个B型传感器共需1700元；购买5个A型传感器和2个B型传感器共需1900元． (1)求每个A型传感器和每个B型传感器的价格． (2)研究院准备购买A、B两种型号的传感器共30个，要求A型传感器的数量不少于B型传感器数量的一半，且总费用不超过11000元．请问有哪几种购买方案？ 【答案】(1)A型传感器每个300元，B型传感器每个200元 (2)见解析 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，设每个A型传感器元，每个B型传感器元，根据购买3个A型传感器和4个B型传感器共需1700元；购买5个A型传感器和2个B型传感器共需1900元，求解即可作答． （2）先由购买A、B两种型号的传感器共30个，得出购买B型传感器个，又因为 A型传感器的数量不少于B型传感器数量的一半，且总费用不超过11000元，列出不等式组，求解即可作答． 【规范解答】（1）解：设每个A型传感器元，每个B型传感器元． 依题意得：， 解得：， 答：A型传感器每个300元，B型传感器每个200元． （2）解：设购买A型传感器个，则购买B型传感器个． 依题意得： 解不等式组得：． 为整数， 可取10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20，21，22，23，24，25，26，27，28，29，30 有21种购买方案． 分别是购买A型传感器个，购买B型传感器个； 购买A型传感器个，购买B型传感器个； 购买A型传感器个，购买B型传感器个； 购买A型传感器个，购买B型传感器个； 购买A型传感器个，购买B型传感器个； 购买A型传感器个，购买B型传感器个； 购买A型传感器个，购买B型传感器个； 购买A型传感器个，购买B型传感器个； 购买A型传感器个，购买B型传感器个； 购买A型传感器个，购买B型传感器个； 购买A型传感器个，购买B型传感器个； 购买A型传感器个，购买B型传感器个； 购买A型传感器个，购买B型传感器个； 购买A型传感器个，购买B型传感器个； 购买A型传感器个，购买B型传感器个； 购买A型传感器个，购买B型传感器个； 购买A型传感器个，购买B型传感器个； 购买A型传感器个，购买B型传感器个； 购买A型传感器个，购买B型传感器个； 购买A型传感器个，购买B型传感器个； 购买A型传感器个，购买B型传感器个． 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）若关于x的一元一次不等式组无解，则a的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】不等式组无解说明两个不等式没有公共解集，据此推导参数a的取值范围即可． 【规范解答】解：∵关于的一元一次不等式组无解， ∴两个不等式没有公共解集， 可得． 2．（25-26七年级下·上海普陀·期中）不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【规范解答】解：解不等式得， 在数轴上表示正确的是 3．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）四月是工大附小的读书节活动月，四年级某班班主任刘老师打算把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么剩余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人分到了书但是不到3本．则共有（    ）名同学． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【思路引导】设共有名同学，则书本总数为本，根据最后一人分到书但不到3本的条件列出不等式组，求解后取正整数即可得到结果． 【规范解答】解：设共有名同学，则书本总数为本， 根据题意，最后一人分得的书本数大于0且小于3，可得不等式组： 化简第一个不等式得， 化简第二个不等式得， 因此不等式组的解集为， ∵为正整数， ∴． 即共有6名同学． 4．若关于x的不等式可化为，则a的取值范围是_______． 【答案】 【思路引导】根据已知解集得到为负数，即可确定出的范围． 【规范解答】解：不等式可化为， ， 解得：． 5．（25-26七年级下·上海杨浦·月考）与的和的一半是非负数，用不等式表示为______． 【答案】 【思路引导】先表示出与的和，再表示出该和的一半，根据非负数的定义（大于等于的数）列出不等式即可. 【规范解答】解：∵与的和为， ∴与的和的一半为， 与的和的一半是非负数， . 6．（25-26七年级下·河南南阳·月考）关于x，y的方程组的解，满足，则k的取值范围是___________． 【答案】 【思路引导】先将方程组的两个方程相加，整理得到关于k的表达式，再代入不等式求解即可． 【规范解答】解： 由①②得：， 等式两边同除以得：， ， ， 移项解得：． 7．（21-22七年级下·重庆铜梁·周测）求不等式或不等式组并把解集在数轴上表示出来. (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）解一元一次不等式按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤计算即可； （2）解不等式组需要先分别解出每个不等式的解集，再取两个解集的公共部分得到最终结果，然后在数轴上表示解集，注意带等号是实心，不带等号，是空心． 【规范解答】（1）解： 不等式两边同乘去分母得， 去括号得， 移项合并同类项得， 系数化为得， ∴不等式的解集为， 数轴表示为： （2）解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， 数轴表示为： 8．（25-26七年级下·北京·期中）解方程（组）或不等式组： (1) (2)解方程组 (3)解不等式组，并求出所有整数解． 【答案】(1)， (2) (3)不等式组的解集为，所有整数解为 【思路引导】（1）将方程去分母、系数化为1后利用平方根求解即可． （2）直接利用加减消元法解方程即可； （3）根据不等式的性质分别求出各不等式的解集，再找到公共解集，最后在公共解集中取所有的整数解即可． 【规范解答】（1）解：， ， ，． （2）解：， 由得：， 由得：，解得， 将代入①得：， ∴， ∴原方程组的解为． （3）解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， 其中所有整数解为． 9．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）黄山毛峰是我国十大名茶之一，它是由采摘的良种茶树的鲜叶在经历杀青、揉捻、烘焙等环节制作而成，已知生产1千克一级毛峰需要鲜叶千克，生产1千克二级毛峰需要鲜叶5千克． (1)某一天生产一级、二级毛峰共20千克，所使用的鲜叶不超过105千克，则生产的一级毛峰至多为多少千克？ (2)市场上一级毛峰售价每千克600元，二级毛峰售价每千克500元，经市场调研后，现对一级毛峰销售单价降，二级毛峰销售单价涨，若这次售出两种毛峰共100千克，总售价不低于56000元，则至少售出一级毛峰多少千克？ 【答案】(1)生产的一级毛峰至多为10千克． (2)至少售出一级毛峰50千克． 【思路引导】本题考查一元一次不等式的实际应用，先设出一级毛峰的质量为未知数，再根据题干给出的不等关系列出一元一次不等式，求解不等式后结合题意得到最终结果． 【规范解答】（1）解：设生产一级毛峰千克，则生产二级毛峰千克． 根据题意可得不等式： 展开整理得： 解得： 答：生产的一级毛峰至多为10千克． （2）解：设售出一级毛峰千克，则售出二级毛峰千克． 调整价格后，一级毛峰单价为（元/千克） 调整价格后，二级毛峰单价为（元/千克） 根据总售价不低于56000元，可得： 展开整理得： 解得： 答：至少售出一级毛峰50千克． 10．（24-25七年级下·福建龙岩·期末）根据以下素材，探究完成任务． 背景 2026年3月14日是第七个国际数学日，为增强同学们学习数学的兴趣，张老师的班级将开展数学知识抢答赛活动，他提前在线上平台购买了玩偶与徽章等文创品作为奖品． 素材一 线上平台无促销活动时，若买10个玩偶和20个徽章共需390元；若买15个玩偶和15个徽章共需405元． 素材二 2026年线上平台促销活动信息如下： 方式一：购买48元会员卡后所有商品打8折； 方式二：非会员所有商品打9折． 解决问题： (1)线上平台在无促销活动时，求玩偶和徽章的销售单价各是多少元？ (2)张老师计划在促销期间购买玩偶和徽章共35个，其中购买玩偶m个（）， 若按方式一购买，共需 元； 若按方式二购买，共需 元．（均用含m的代数式表示） (3)请你帮张老师算一算，在任务二的条件下，购买玩偶的数量在什么范围内时，选择方式一更划算？ 【答案】(1)玩偶的销售单价是15元，徽章的销售单价是12元 (2)， (3)在任务二的条件下，购买玩偶的数量时，选择方式一更划算． 【思路引导】（1）设线上平台在无促销活动时，玩偶的销售单价是x元，徽章的销售单价是y元，根据题意列方程组计算即可； （2）由题意可知购买玩偶m个，则购买徽章个，再根据购买方式列代数式即可； （3）根据题意列不等式计算即可． 【规范解答】（1）解：设线上平台在无促销活动时，玩偶的销售单价是x元，徽章的销售单价是y元， 根据题意得：， 解得：， 答：线上平台在无促销活动时，玩偶的销售单价是15元，徽章的销售单价是12元； （2）解：根据题意得：购买玩偶m个，则购买徽章个， 方式一购买，共需（元）， 方式二购买，共需（元）； （3）解：根据题意得：， 解得：， 又∵， ∴． 答：在任务二的条件下，购买玩偶的数量时，选择方式一更划算． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $