2026年中考数学三轮复习备考-二次函数压轴之特殊三角形问题归纳练

**基本信息** 聚焦二次函数与特殊三角形综合，以分类讨论为核心，系统整合代数表达与几何性质，培养逻辑推理与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |等腰三角形存在性|5题|三线分类（腰/底）+坐标距离公式|二次函数表达式→对称轴/顶点→线段长度方程| |直角三角形存在性|4题|直角顶点分类+勾股定理/斜率乘积|函数图像交点→几何图形坐标化→方程求解| |相似三角形存在性|3题|对应角分类+比例线段/三角函数|已知三角形性质→相似判定条件→参数计算| |综合应用|1题|动静结合+多情况整合|基础计算→几何性质→代数推理→综合验证|

2026年中考数学三轮复习备考-二次函数压轴之特殊三角形问题归纳练 1．如图，一次函数与轴、轴分别交于、 两点，二次函数的图象经过、两点，与轴交于另一点，其对称轴为直线 (1)求该二次函数表达式； (2)在轴的负半轴上是否存在一点，使以点、、为顶点的三角形与相似，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在对称轴上是否存在点，使为等腰三角形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，点P是直线下方抛物线上的一个动点，连接． (1)求抛物线的函数表达式； (2)过点P作轴于点Q，交直线于点D，连接．在点P运动过程中，是否存在点P使为等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，二次函数的图象交x轴于，两点，交y轴于点C．动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿x轴向终点B运动．当点P运动到线段上时，过点P作轴，交线段于Q，交抛物线于点D，设运动的时间t秒．    (1)求a，b的值． (2)连接，当t为何值时的值最大，此时的面积为多少？ (3)作线段的垂直平分线交直线于点M，连接，随着点P的运动，当点M在直线的上方且时，求点D的坐标． 4．综合与探究：如图1，已知抛物线与x轴相交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，点P是第一象限抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为D，交线段于点E，过点P作，垂足为F． (1)求A，B，C三点的坐标； (2)求的最大值及此时点P的坐标； (3)当取最大值时，试探究：在y轴上是否存在点Q，使为等腰三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 5．在平面直角坐标系中，一次函数的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数的图像经过点A、B． (1)求a、b满足的关系式及c的值； (2)如果，点P是直线AB下方抛物线上的一点，过点P作PD垂直于x轴，垂足为点D，交直线AB于点E，使． ①求点P的坐标； ②直线PD上是否存在点Q，使△ABQ是以AB为斜边的直角三角形？若存在，求出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴和轴分别交于点和点，点是此抛物线上一点，其横坐标为． (1)求抛物线的解析式． (2)若点在轴上方的抛物线上时，请结合图象直接写出的取值范围． (3)过点作轴，点的横坐标为，点与点不重合． ①当线段的长度随的增大而减小，求的取值范围． ②在的下方作等腰直角三角形，且，当时，直接写出等腰直角三角形与抛物线的交点个数及的取值范围． 7．已知，点，点，点，抛物线过A，B，C三点．点P在该抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)若，求点P的坐标； (3)当时，在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使为直角三角形．若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由． 8．如图1，抛物线与x轴交于点，，与轴交于点，顶点为，直线交轴于点．    (1)求抛物线的表达式． (2)如图2，将沿直线平移得到． ①当点落在抛物线上时，求点的坐标． ②在移动过程中，存在点使为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 9．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴相交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线上方抛物线上一动点，连接，求面积的最大值以及此时点P的坐标； (3)抛物线上是否存在点Q，使？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 10．如图，二次函数的图象交轴于、两点，交轴于点，顶点为点，经过、两点的直线为．    (1)求该二次函数的关系式； (2)是直线下方抛物线上一动点，的面积是否有最大值？若有，求出这个最大值和此时的坐标； (3)在该抛物线的对称轴上是否存在点，使以点、、为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 11．如图，抛物线与x轴相交于点，，，顶点为点D． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，连接，若点E是y轴负半轴上的一动点，过点E作的垂线，分别与线段、抛物线相交于点F、G（点F、G都在抛物线对称轴的右侧），当最大时，求的面积； (3)如图2，连接，抛物线上是否存在点P，使是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 12．如图1，在平面直角坐标系中，是抛物线对称轴上的一点．且抛物线与y轴的交点坐标为． (1)求抛物线的函数表达式； (2)A，B是抛物线上的两动点，点A在点B的左侧． ①当点A，B均在对称轴的右侧时，若是以为直角的直角三角形，且，点A和点B的坐标； ②如图2，点A，B，P在同一直线上，过点作y轴的垂线l，设l与直线交于点Q，是否存在m，使得恒成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． 13．如图1，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．    (1)求该拋物线的解析式； (2)过线段上的一动点作轴，交拋物线于点，求线段的最大值； (3)在（2）的结论下，抛物线上取一动点. ①当点在直线下方运动时，连接交轴于点，若四边形是平行四边形，请求出它的周长； ②线段绕点顺时针旋转，得到线段，若点恰好落在抛物线的对称轴上，求此时点的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1) (2)或 (3)或或或或 【分析】（1）分别求出点，点的坐标，根据对称轴求出另一交点，再根据交点式得出答案； （2）以点、、为顶点的三角形与相似，，则或，根据正切值求解即可； （3）分、、三种情况，利用线段长度相等，列出等式求解即可． 【详解】（1）对于，当时，，即点， 令，则，即点. ∵抛物线的对称轴为直线，则点， ∴抛物线与x轴的另一个交点为 设二次函数表达式为：， ∵抛物线过点， 则， 解得：， 故抛物线的表达式为：； （2）存在，理由： 在中，，，则， ∵以点M、O、B为顶点的三角形与相似，， ∴或， ∴或， 即或， 解得：或2， ∵点在轴的负半轴上 即点或； （3）存在，理由： 根据题意对称轴，设点， 由点A、C、P的坐标得：，，， 当时，则， 解得：， 即点P的坐标为：或； 当时，则， 解得：， 即点； 当时，则， 解得：， 即点P的坐标为：或． 综上，点P的坐标为：或或或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，等腰三角形的性质，解直角三角形等知识，分类讨论是本题求解的关键． 2．(1) (2)存在，或或 【分析】本题考查二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）两点式写出函数解析式即可； （2）设，求出直线的解析式，分三种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于，两点， ∴抛物线的解析式为：； （2）存在； ∵， ∴当时，， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得：， ∴， 设，则：， ∵， ∴， 当为等腰三角形时，分三种情况： 当时，则：，解得：或（舍去）， ∴； 当时，则：，解得：或（舍去）， ∴； 当时，则：，解得：， ∴； 综上：或或． 3．(1) (2)，2 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定等等： （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的函数关系式是．再求出，得到，，即可得到，则当时，QD最大值为2，再根据三角形面积计算公式求解即可． （3）过点M作轴于E，延长与过B点垂直于x轴的直线交于点F，连接．证明．得到，，进而得到，推出，，则，解得：， 此时，可知P点的横坐标是1，D点的横坐标也是1，据此求解即可． 【详解】（1）解：把，代入抛物线解析式中，得， 解得： ∴二次函数的关系式为． ∴，． （2）解：∵C点的坐标是， ∴可设直线的函数关系式是． 根据题意，得， 解得：， ∴直线的函数关系式是． ， ， ， ， ∴当时，QD最大值为2， ， ， 即当时，QD值最大，此时的面积为2．    （3）解：过点M作轴于E，延长与过B点垂直于x轴的直线交于点F，连接．     ， ， ， ， 又，， ． ，， ∴ ， ， ， ， 解得：， 此时，可知P点的横坐标是1，D点的横坐标也是1． 把代入中，得 ∴点D的坐标是． 4．(1) (2)的最大值为， (3)，， 【分析】本题主要考查了二次函数的综合题，等腰三角形性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，利用分类讨论思想和数形结合思想解答是解题的关键，是中考压轴题． （1）分别令，，即可求解； （2）求出直线的解析式为，然后设点，则点，可得，再根据，可得，得到二次函数表达式求出最大值及坐标即可求解； （3）设点，然后分三种情况讨论，结合勾股定理，即可求解． 【详解】（1）解∶抛物线， 当时，， 当时，， 解得：， ∴； （2）解：如图， 设直线的解析式为， 把点代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 设点，则点， ∴， ， ， ， ∵轴， ∴， ， 在中， ， ∴当时，的值最大，最大值为， 此时点； （3）解：存在， 由（2）得点E的横坐标为3，把代入， ， 设点， ∵， ∴，， 当时，， 即， 解得：， 此时点； 当时，， 即， 解得：， 此时点； 当时，， 即， 解得：或（不合题意舍去）， 此时点； 综上所述，点Q的坐标为，，． 5．(1)， (2)①；②存在，点Q坐标为或． 【分析】（1）根据一次函数解析式可得出A、B两点坐标，再代入二次函数解析式中，即可得出c的值和a与b的关系式； （2）①当a=1时，可得出该二次函数解析式，设点P坐标为，根据（1）可推出，则，再根据题意即可证为等腰直角三角形，得出，结合点E为DP中点，即可列出关于a的一元二次方程，解出a即可求出P点坐标； ②以AB为斜边的直角三角形，即点Q为直角顶点时，根据圆周角定理可以以线段AB的中点E为圆心，AE为半径作交PD于点，，由得，即得出，从而可求出和的长，由此即得出Q点坐标． 【详解】（1）解：∵对于一次函数，当x=0时，；y=0时，x=2， ∴点A坐标为(2，0)，点B坐标为(0，-2)． 则在二次函数中， 将，代入中得： ， 即； （2）当时，，则二次函数表达式为． ①设点P横坐标为a，则点P坐标为 由（1）可知，在中，， ∴． 根据作图可知， ∴在中，，即 ∵点E为DP中点， ∴ ∴ 解得，（舍去）． 即点P坐标为，即为． ②是以为斜边的直角三角形，则以线段的中点为圆心，为半径作交于点，，如图： ∵点A坐标为(2，0)，点B坐标为(0，-2)． ∴， 线段AB的中点E坐标为，在直线PD上， ∴， ∴， ∴ ∴点坐标为； ∴， ∴ ∴点坐标为． 综上可知，若是以为斜边的直角三角形，则点Q坐标为或． 【点睛】本题为一次函数和二次函数综合题．考查一次函数，二次函数函数与x轴的交点坐标，利用待定系数法求函数解析式，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，圆周角定理等知识．综合性强，属于压轴题，困难题型．在解决（2）②时正确的作出辅助线是解题的关键． 6．(1) (2) (3)①；②时，有一个交点；时，有两个交点；时，有三个交点 【分析】用待定系数法可得抛物线的解析式为； 求出时或，由图可得的取值范围是； 求出当，即时，与重合；即可得当，即时，，随的增大而减小，符合题意；而当，即时，，随的增大而增大，不符合题意；从而可得答案； 由知，当时，，重合，分种情况：当时，当时，当时，分别画出图形可得答案． 【详解】（1）解：把和代入得： ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：在中，令得：， 解得或， 由图可得，点在轴上方的抛物线上时，的取值范围是； （3）解：轴，点横坐标为，点的横坐标为， 当，即时，与重合； 当，即时，， 此时随的增大而减小，符合题意； 当，即时，， 此时随的增大而增大，不符合题意； 综上所述，当线段的长度随的增大而减小，的取值范围是； 由知，当时，，重合， 当时，在的左侧，如图： 此时等腰直角三角形与抛物线的交点只有个； ， 抛物线的对称轴为直线， 当时，在的右侧，如图： 由图可知，此时等腰直角三角形与抛物线的交点有个； 当时，如图： 此时等腰直角三角形与抛物线的交点有个； 综上所述，当时，等腰直角三角形与抛物线的交点有个；当时，等腰直角三角形与抛物线的交点有个；当时，等腰直角三角形与抛物线的交点有个． 【点睛】本题考查二次函数的应用，涉及待定系数法，二次函数图象与x轴交点，二次函数与二次不等式的关系，等腰直角三角形等知识，解题的关键是数形结合思想和分类讨论思想的应用． 7．(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了二次函数综合，正确做出辅助线是解题的关键． （1）将点，点，点代入抛物线解析式即可解答； （2）如图，过点作交与点，过点作轴的平行线，过作的垂线段，分别交于点，证明，得到点的坐标，求得的解析式，即可求得点坐标； （3）考虑三种情况，即分别为直角的时，利用勾股定理，即可解答． 【详解】（1）解：把将点，点，点代入抛物线解析式， 可得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：如图，过点作交与点，过点作轴的平行线，过作的垂线段，分别交于点， ，， ，， ， ， ， ， ， 根据可得， ， ， 设直线的解析式为， 把代入可得， 解得， 直线的解析式为， 故可得， 解得， ， ； （3）解：， 抛物线的对称轴为直线， 设， 则，，， ①当时， 可得方程， 方程无解，故不成立； ②当时，， 可得方程 解得； ③当，， 可得方程， 解得， 综上所述，或． 8．(1)抛物线的表达式为 (2)①点的坐标为或；②点的坐标为或或或 【分析】（1）抛物线的表达式为：，即，解方程即可得到答案； （2）①将点的坐标代入抛物线表达式，即可求解；②根据题意，分为直角、为直角、为直角三种情况，由勾股定理分别列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，， ∴设抛物线解析式为， 则，即， 解得， 故抛物线的表达式为； （2）解：抛物线与x轴交于点，， 函数的对称轴为，故点； 设直线的表达式为：， 将点、的坐标代入得，解得， 直线的表达式为， 设点， ∵，则点， ①将点的坐标代入抛物线表达式得， 解得， 故点的坐标为或； ②点，点的坐标分别为、，则，，， 当为直角时，由勾股定理得， 解得， 故点的坐标为或； 当为直角时，由勾股定理得， 解得， 故点的坐标为； 当为直角时，由勾股定理得， 解得， 故点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及二次函数图象与性质、待定系数法确定二次函数表达式、待定系数法确定一次函数表达式、勾股定理的运用等，其中（2）②，要注意分类求解，避免遗漏，熟练掌握二次函数图象与性质及二次函数综合问题解法是解决问题的关键． 9．(1)抛物线的解析式为 (2)面积的最大值为4，此时点P的坐标为 (3)存在，Q的坐标为或 【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的解析式为； （2）过P作轴交于K，求出，直线解析式为，设，则，可得，故，根据二次函数性质可得答案； （3）当Q在上方时，过B作于T，过T作轴于N，过B作于M，，证明，有，设设，可得，即知，直线解析式为，联立，解得；当Q在BC下方时，过B作于R，过R作轴于W，过B作于S，同理可得． 【详解】（1）解：把，两点代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：过P作轴交于K，如图： 在中，令得， ∴， 设直线解析式为， 把，代入得，， 解得，， ∴直线解析式为， 设，则， ∴ ∴， ∵， ∴当时，取最大值4，此时， ∴面积的最大值为4，此时点P的坐标为； （3）解：抛物线上存在点Q，使，理由如下： 当Q在上方时，过B作于T，过T作轴于N，过B作于M，如图： ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∵， ∴， 解得 ∴， 设直线解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线解析式为， 联立， 解得， ∴； 当Q在BC下方时，过B作于R，过R作轴于W，过B作于S，如图： 同理可得， ∴， 设， ∴， 解得， ∴， 设直线解析式为， 把，代入得，， 解得，， ∴直线解析式为， 联立， 解得 ， ∴， 综上所述，Q的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及全等三角形判定与性质，等腰直角三角形判定与性质，三角形面积等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． 10．(1) (2)当时，的值有最大值，此时点的坐标为 (3)存在，的坐标为或或或 【分析】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图像上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题． （1）先利用一次函数解析式确定点和点坐标，然后利用待定系数法求抛物线解析式； （2）作轴交于，设，则，利用三角形面积公式得到，然后利用二次函数的性质解决问题； （3）先配方得到，则，抛物线的对称轴为直线，设，利用等腰三角形的性质，当时，即；当时，即；当时，即；然后分别解关于的方程即可得到对应的点坐标． 【详解】（1）解：当时，，则， 当时，，解得：，则， 把，代入得： ， 解得：， 抛物线的解析式为： （2）作轴交于，如图，    设，则， ， 当时，的值有最大值，此时点坐标为 （3）∵抛物线， ∴顶点，对称轴为直线， 设 当时，为等腰三角形，即， 解得： 此时点坐标为：，， 当时，为等腰三角形，即， 解得：， 此时点坐标为： 当时，为等腰三角形，即， 解得：（舍去），， 此时点坐标为：； 综上所述，的坐标为或或或 11．(1) (2)当最大时，的最大面积为 (3)当点的坐标为或时，使是以为直角边的直角三角形 【分析】（1）由，，设抛物线的解析式为：，代入，即可得到二次函数解析式； （2）过作轴交线段于点，求出直线的解析式，由，且，可得由是定值，得当取最大值时，取最大值，设，则，求出的最大值，从而得到的面积； （3）分两种情况：当时，当时，利用相似三角形即可求解． 【详解】（1）解：抛物线过点，， ∴设抛物线的解析式为：， 又∵抛物线过点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为； （2）过作轴交线段于点， ∵，， ∴抛物线的对称轴为：，令，代入，得：， ∴， 设直线的解析式为：，代入，， 得：，解得：， ∴直线的解析式为：， ∵，且， ∴， ∴， 由是定值，得当取最大值时，取最大值， 设，则， ∴， ∴当时，有最大值， 此时， ∴， ∴的最大面积为； （3）存在，当点的坐标为或时，使是以为直角边的直角三角形． 设， 当时，过点作轴，点作轴，则 ∵，， 则，，，， ∵， ∴， ∴， ∴，即：，解得：，（舍去）， 则点的坐标为； 当时，过点作轴，点作，则 ∵，， 则，，，， 同理可得， ∴，即：，解得：，（舍去）， 则点的坐标为； 综上，当点的坐标为或时，使是以为直角边的直角三角形． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，面积最值问题，相似三角形的判定及性质，直角三角形的存在性问题，本题的关键是熟练二次函数的性质，利用分类讨论思想解题． 12．(1) (2)①，；② 【分析】本题考查二次函数的综合应用，待定系数法求解析式，相似三角形的判定和性质，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）①设，过点作对称轴，过点作对称轴，证明，求出点坐标，根据点都在抛物线上，进行求解即可； ②设直线，将点代入，得到，联立直线和抛物线的解析式，求出，，设直线与对称轴交于点，过点分别作，，得到，，根据，推出，进而得到，推出，根据恒成立，得到，即可得解． 【详解】（1）解：∵是抛物线对称轴上的一点．且抛物线与y轴的交点坐标为 ∴，解得：； ∴； （2）①设，过点作对称轴，过点作对称轴，则：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即：， ∵是抛物线上的两个动点， ∴，解得：（点左侧的舍去） ∴，； ②设直线，把，代入，得：，解得：， ∴， 联立，解得：或， ∴，， 设直线与对称轴交于点，过点分别作，， 则：，， ，， ∴，， ∴， 当时，即：，则：， ∴， ∴， ∴， ∵恒成立， ∴， ∴． 13．(1)抛物线的解析式为 (2)当时，线段的最大值为 (3)①平行四边形的周长为，②点P的坐标为或 【分析】（1）用待定系数法求二次函数的解析式； （2）先求直线的解析式，然后设点的坐标为，则点的坐标为，计算得出，根据二次函数的性质即得答案； （3）①由（2）可求出，根据平行四边形的性质可得，，由此即得答案； ②设点的坐标为，分两种情况讨论： （Ⅰ）当点在对称轴左侧时，即，作轴，分别过D，G两点作于点，于点，证明，得到，从而可得，解方程即得答案； （Ⅱ）当点在对称轴右侧时，即，作轴，分别过D，G两点作于点，于点，同理可得，得方程，解方程即得答案． 【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点， 设所求拋物线的解析式为， 把点代入，得，， 解得， 所求抛物线的解析式为， 即； （2）解：设直线的解析式为， 直线经过，两点， ， 解得， 直线的解析式为， 设点的坐标为，则点的坐标为， ， ，且， 当时，线段的最大值为； （3）解：①当时，点的坐标为，点的坐标为， ， 四边形是平行四边形， ，， 平行四边形的周长为； ②根据对称性可知抛物线的对称轴为，设点的坐标为， （Ⅰ）当点在对称轴左侧时，即， 如图，作轴，分别过D，G两点作于点，于点， 则， ， ， ， ， ， ， ， 则， 解得，（舍去）， 当时，， ；      （Ⅱ）当点在对称轴右侧时，即， 如图，作轴，分别过D，G两点作于点，于点， 同理可得， ， 则， （舍去），， 当时，， ；    综上所述，当点P的坐标为或时，点G恰好落在抛物线的对称轴上． 【点睛】本题主要考查了二次函数与几何的综合问题，求一次函数的解析式，全等三角形的判定与性质，平行四边形的性质，用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，图形旋转的性质等知识，利用分类讨论思想分情况讨论及添加辅助线构造三角形全等是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $