抛物线知识点总结课件-2026届高三数学三轮冲刺

抛物线知识点总结 相等 准线 AC B 8 A ABD D (8，12) B A 3 B [知识总结] 1．抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离 的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的 ． 2．抛物线的标准方程与几何性质 3.常用结论 设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)x1x2＝，y1y2＝－p2； (2)当A在第一象限，B在第四象限时，|AF|＝，|BF|＝，|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为直线AB的倾斜角)； (3)＋＝； (4)以弦AB为直径的圆与准线相切． [基础训练] 1．(多选)下列说法正确的有( ). A．到点与到直线y＝－的距离相等的动点P的轨迹方程是x2＝2y B．若抛物线的顶点在原点，对称轴是坐标轴且经过点A(－1，－2)，则抛物线的方程是x2＝－y C．若抛物线的顶点在原点，焦点是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，则抛物线的方程是y2＝－4x D．若过抛物线y2＝2px的焦点与x轴垂直的直线被抛物线截得的弦长为6，则抛物线的方程是y2＝6x 2．设O为坐标原点，F为抛物线C：x2＝8y的焦点，P为C上一点，若＝6，则△POF的面积为( ). A．2　　　 B．4 C．4　　　 D．4 3．顶点在原点，且过点P(－2，3)的抛物线的标准方程是 ． 4．已知过抛物线y2＝4x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则PQ＝ ． 5．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线与x轴的交点为A，以AF为直径的圆在第一象限交抛物线于点B，则·的值等于 ． y2＝－x或x2＝y 6－2 题型1　抛物线的定义及标准方程 【例1】(1)(2025·长沙模拟)在建筑中很多圆顶建筑的顶部会使用抛物线形状，例如飞机库、穹顶体育场和博物馆采用了抛物线形状的圆顶，因为这种形状可以提供良好的结构稳定性，并能使空间更加开阔．图8.6­1①为某机场的一个飞机库，它的一个纵截面呈抛物线形，将其置于平面直角坐标系xOy中，如图8.6­1②.已知该飞机库的底面宽度约为96 m，高度约为60 m，则此纵截面所在抛物线的方程为( ). A．x2＝－y　　　 B．x2＝－y C．x2＝－y　　　 D．x2＝－75y (2)(多选)(2024·全国Ⅱ卷)抛物线C：y2＝4x的准线为l，P为C上的动点，过P作⊙A：x2＋(y－4)2＝1的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则( ). A．l与⊙A相切 B．当P，A，B三点共线时，|PQ|＝ C．当|PB|＝2时，PA⊥AB D．满足|PA|＝|PB|的点P有且仅有2个 【变式】(1)(2025·苏州质检)在平面直角坐标系Oxy中，动点P(x，y)到直线x＝1的距离比它到定点(－2，0)的距离小1，则点P的轨迹方程为( ). A．y2＝2x　　　 B．y2＝4x C．y2＝－4x　　　 D．y2＝－8x (2)如图8.6­2，点F是抛物线y2＝8x的焦点，点A，B分别在抛物线y2＝8x及圆(x－2)2＋y2＝16的实线部分上运动，且AB始终平行于x轴，则△ABF的周长的取值范围是 ． 图8.6­2 【解析】设A(xA，yA)，B(xB，yB).由题意知，抛物线的准线方程为x＝－2，焦点为F(2，0)，由抛物线定义可得|AF|＝xA＋2.圆(x－2)2＋y2＝16的圆心为点(2，0)，半径为4，所以△FAB的周长为|AF|＋|AB|＋|BF|＝xA＋2＋(xB－xA)＋4＝6＋xB．易知抛物线y2＝8x及圆(x－2)2＋y2＝16的交点的横坐标为2，所以xB∈(2，6)，所以6＋xB∈(8，12)，所以△ABF的周长的取值范围是(8，12). 题型2　抛物线的焦点弦 【例2】已知F为抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，A(x1，y1)，B(x2，y2)是抛物线上不同的两点，则下列条件中与“A，F，B三点共线”等价的是( ). A．x1x2＝ B．y1y2＝－p2 C．＋＝ D．x1x2＋y1y2＝－ 【解析】设直线AB的方程为x＝ky＋t，将直线AB的方程与抛物线的方程联立得消去x得y2－2pky－2pt＝0.由根与系数的关系得y1＋y2＝2pk，y1y2＝－2pt.抛物线的焦点F的坐标为，若A，F，B三点共线，则t＝.对于A，x1x2＝＝＝，解得t＝±； 对于B，y1y2＝－2pt＝－p2，解得t＝；对于C，＋＝＋＝＋＝＋＝，整理得yy＝p4，即4p2t2＝p4，解得t＝±；对于D，x1x2＋y1y2＝＋y1y2＝t2－2pt＝－，整理得4t2－8pt＋3p2＝0，解得t＝或t＝. 题型3　直线与抛物线 【例3】(揭阳期末)已知F是抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点，过点F的直线l与E交于A，B两点．当l⊥x轴时，△OAB(O为坐标原点)的面积为2. (1)求E的方程； (2)设过点F的直线l1与E交于C，D两点，且|FA|·|FB|＝|FC|·|FD|，当|CD|＝8时，求直线l的方程． 【解析】(1)当l⊥x轴时，|AB|＝2p.易知OF⊥AB，所以△OAB的面积S＝×|AB|×|OF|＝＝2，解得p＝2，所以E的方程为y2＝4x. (2)由题意可设直线l的方程为x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2).联立得y2－4my－4＝0，Δ＝16m2＋16>0，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.根据抛物线的定义得|FA|＝x1＋1，|FB|＝x2＋1，所以|FA|·|FB|＝(x1＋1)(x2＋1)＝(my1＋2)(my2＋2)＝m2y1y2＋2m(y1＋y2)＋4＝4m2＋4.设直线l1的方程为x＝m1y＋1，同理可得|FC|·|FD|＝4m＋4.因为|FA|·|FB|＝|FC|·|FD|，所以4m2＋4＝4m＋4，解得m＝m1(舍去)或m＋m1＝0，即m1＝－m，所以|AB|＝|FA|＋|FB|＝x1＋x2＋2＝m(y1＋y2)＋4＝4m2＋4，同理可得|CD|＝4m＋4＝4(－m)2＋4＝4m2＋4.当|CD|＝8时，4m2＋4＝8，解得m＝±1，所以直线l的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0. 【变式】已知抛物线C：x2＝2py(p>0)的焦点为F，点B在抛物线C上，点A(－2，2)，且＝＋2(O为坐标原点). (1)求抛物线C的标准方程； (2)若过点M(2，0)的直线l与抛物线C交于D，E两点，线段DE的中点为N，且|DM|＝|EN|，求直线l的斜率． 【解析】(1)设B(x0，y0)，因为F，A(－2，2)，所以＝，＝，＝.因为＝＋2，所以解得因为点B在抛物线C上，所以(－4)2＝2p×4，解得p＝2，所以抛物线C的标准方程为x2＝4y. (2)根据题意，只有点E在点D的上方时才有|DM|＝|EN|.当直线l的斜率不存在时，直线l与抛物线C只有一个交点，显然不符合题意，故直线l的斜率存在且不为0.设直线l的方程为y＝k(x－2)(k≠0)，联立消去y并整理得x2－4kx＋8k＝0，则Δ＝(－4k)2－4×8k>0，解得k>2或k<0.设D(x1，y1)，E(x2，y2)，则x1＋x2＝4k，x1x2＝8k.设N(xN，yN)，则xN＝＝2k.由|DM|＝|EN|，得|DE|＝|MN|，所以·|x1－x2|＝·|xN－2|，所以＝|xN－2|，即＝|2k－2|，整理得3k2－6k－1＝0，解得k＝1＋或k＝1－，均满足题意． 与抛物线有关的最值问题 “看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，许多抛物线的最值问题可以根据抛物线的定义进行求解．“由数想形，由形想数，数形结合”是灵活解决与抛物线有关的最值问题的一条捷径． 【例题】(1)若抛物线y2＝4x的准线为l，P是抛物线上任意一点，则P到准线l的距离与P到直线3x＋4y＋7＝0的距离之和的最小值是( ). A．2　　　 B． C．　　　 D．3 (2)(2025·海南调研)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，A为C上一点，B为圆M：(x－3)2＋(y－1)2＝1上一点，则|AB|＋|AF|的最小值为 ． 【解析】依题意，抛物线C的准线方程为x＝－1，圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的圆心为M(3，1)，半径为1，过A作AA′垂直于抛物线C的准线，垂足为A′，则|AF|＝|AA′|，所以|AB|＋|AF|＝|AB|＋|AA′|≥|AM|＋|AA′|－1≥3，当且仅当A，A′，M三点共线，且点B在A，M之间时等号成立． 【变式】(2025·徐州调研)已知点P为抛物线y2＝－4x上的动点，设点P到直线l：x＝1的距离为d1，到直线x＋y－4＝0的距离为d2，则d1＋d2的最小值是( ). A．　　　 B． C．2　　　 D． 【解析】易知直线l：x＝1为抛物线y2＝－4x的准线，点P到抛物线y2＝－4x的准线的距离等于点P到抛物线y2＝－4x的焦点F的距离，过焦点F作直线x＋y－4＝0的垂线，如答图8.6­2，当点P为所作垂线与抛物线的交点时，d1＋d2的值最小，且最小值为点F到直线x＋y－4＝0的距离．因为F(－1，0)，所以(d1＋d2)min＝＝. 直线与抛物线交点问题的解题思路 (1)交点坐标可通过解直线方程与抛物线方程组成的方程组得到． (2)求与交点相关的问题，可以借助根与系数的关系或用向量法解决． $