第十一章 一元一次不等式【期末复习讲义】（培优版）-2025-2026学年苏科版数学七年级下册

2025-2026学年苏科版新教材数学七年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第十一章 一元一次不等式【期末复习讲义】-培优版 『导图+知识梳理+19个题型讲练+真题实战练 共48题』（原卷版） 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 求一元一次不等式的解集 题型二 求一元一次不等式的整数解 题型三 在数轴上表示不等式的解集 题型四 求一元一次不等式解的最值 题型五 求不等式组的解集 题型六 求一元一次不等式组的整数解 题型七 由一元一次不等式组的解集求参数 题型八 由不等式组解集的情况求参数 题型九 不等式组和方程组结合的问题 题型十 列一元一次不等式组 题型十一 不等式组的行程问题 题型十二 不等式组的经济问题 题型十三 不等式组的分配问题 题型十四 不等式组的方案选择问题 题型十五 不等式组的阶梯收费问题 题型十六 —元—次不等式组的其他应用 题型十七 列一元一次不等式 题型十八 用一元一次不等式解决实际问题 题型十九 用一元一次不等式解决几何问题 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点一 生活中的不等式 一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 【方法点拨】 (1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大． (2)五种不等号的读法及其意义： 符号 读法 意义 “≠” 读作“不等于” 它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小 “＜” 读作“小于” 表示左边的量比右边的量小 “＞” 读作“大于” 表示左边的量比右边的量大 “≤” 读作“小于或等于” 即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量 “≥” 读作“大于或等于” 即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量 (3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立． 知识点二 不等式的解及解集 不等式的解 是具体的未知数的值，不是一个范围 不等式的解集 是一个集合，是一个范围． 其含义：①解集中的每一个数值都能使不等式成立 ②能够使不等式成立的所有数值都在解集中 不等式的解集的表示方法 （1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8． (2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示： 借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定方向．(1)确定“边界点”：若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；(2)确定“方向”：对边界点a而言，x＞a或x≥a向右画；对边界点a而言，x＜a或x≤a向左画． 【易错点拨】在表示a的点上画空心圆圈，表示不包括这一点． 知识点三 不等式的基本性质 不等式的基本性质1：用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c． 不等式的基本性质2：用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 不等式的基本性质3：用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)． 不等式的基本性质的掌握注意以下几点： (1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会． (2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变． 知识点四 解一元一次不等式 (1)一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式(单项式或多项式)； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数为1. (2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系： 相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式． 不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”、“≤”、“≥”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向． 一元一次不等式的解法 与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：（或）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)化为（或）的形式（其中）；(5)两边同除以未知数 的系数，得到不等式的解集. （1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用． （2）解不等式应注意： ①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项； ②移项时不要忘记变号； ③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号； ④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变． 不等式的解集在数轴上表示： 在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个解，它对以后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助． 在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向： （1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈； （2）方向：大向右，小向左． 知识点五 一元一次不等式实际问题 1.行程问题：路程＝速度×时间 2.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量 3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价， 4.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率 5.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率 6.数字问题：多位数的表示方法：例如：. 7.收费问题：分类讨论，起步价，超过部分价格分好设x即可 8.几何问题：判断是哪种类型，如果是长方形则设长和宽x即可 列不等式解决实际问题 列一元一次不等式解应用题与列一元一次方程解应用题类似，通常也需要经过以下几个步骤： (1)审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等； (2)设：设出适当的未知数； (3)列：根据题中的不等关系，列出不等式； (4)解：解所列的不等式； (5)答：写出答案，并检验是否符合题意． 【易错点拨】 (1)列不等式的关键在于确定不等关系； (2)求得不等关系的解集后，应根据题意，把实际问题的解求出来； (3)构建不等关系解应用题的流程如图所示． （4） 用不等式解决应用问题，有一点要特别注意：在设未知数时，表示不等关系的文字如“至少”不能出现，即应给出肯定的未知数的设法，然后在最后写答案时，应把表 示不等关系的文字补上． 知识点六 一元一次不等式组 1.不等式组的概念 如，等都是一元一次不等式组． (1)这里的“几个”不等式是两个、三个或三个以上． (2)这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数． 2.解一元一次不等式组 ①一元一次不等式组的解集： 【易错点拨】 (1)找几个不等式的解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们重叠的部分． (2)有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分，也就是说有的不等式组可能出现无解的情况． ②一元一次不等式组的解法 （1）分别求出不等式组中各个不等式的解集． （2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分即这个不等式组的解集． 一元一次不等式组的应用 列一元一次不等式组解应用题的步骤为：审题→设未知数→找不等关系→列不等式组→解不等式组→检验→答． 【易错点拨】 (1)利用一元一次不等式组解应用题的关键是找不等关系． (2)列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景，从解集中联系实际找出符合题意的答案，比如求人数或物品的数目、产品的件数等，只能取整数． 第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 求一元一次不等式的解集 【例1】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）阅读材料，回答问题： 我们把关于的一个一元一次方程和一个一元一次不等式，组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“专属组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“非属组合”． (1)直接判断是“专属组合”还是“非属组合”________．（填“A”或“B”） A．“专属组合”    B．“非属组合” (2)判断是“专属组合”还是“非属组合”，并说明理由． (3)若关于的组合是“专属组合”，求的取值范围． 【变式】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）对于三个实数a、b、c，定义为a、b、c中最大的数，例如：，，请回答以下问题： （1）____； （2）若，则a的取值范围是____． 题型讲练二 求一元一次不等式的整数解 【例2】（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）若不等式的最小整数解是关于x的方程的解，求式子的值． 【变式】（25-26八年级上·浙江杭州·月考）我们用表示不大于的最大整数，例如：，；用表示大于的最小整数，例如：，．解决下列问题： (1) ， ． (2)已知，满足方程组，求，的取值范围． 题型讲练三 在数轴上表示不等式的解集 【例3】（25-26七年级下·福建福州·期中）解不等式，并将解集在数轴上表示． (1) (2) 【变式】25-26七年级下·全国·周测）若关于x，y的方程组的解中x与y的和不大于3，则k的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 题型讲练四 求一元一次不等式解的最值 【例4】（2025·河北沧州·模拟预测）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上2，同时区就会自动减去1，且均显示计算结果．已知A，两区初始显示的数分别是和7． (1)按键1次后，求A，两区显示的结果的和； (2)若按键次后，A区的结果大于区的结果，求的最小值． 【变式】（24-25七年级上·贵州遵义·期中）集合这个概念是非常基本和自然的，并且自古以来在一些数学著作中就已经使用．然而，人们通常把集合创始人归功于19世纪中期德国数学家康托尔（G．Cantor），因为他对集合论作出巨大贡献．把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：、，我们称之为集合，其中的每个数称为该集合的元素．如果一个所有元素均为有理数的集合满足：当有理数a是集合的元素时，也必是这个集合的元素，那么这样的集合我们称为“好的集合”．例如，集合就是一个“好的集合”． (1)集合__________“好的集合”（填“是”或“不是”） (2)若一个“好的集合”中最大的一个元素为3013，则该集合是否存在最小的元素？如果存在，请直接写出答案；如果不存在，请说明理由． (3)若一个“好的集合”中所有元素之和为整数M，且，则该集合共有几个元素？请说明理由． 题型讲练五 求不等式组的解集 【例5】（25-26七年级下·四川内江·期中）已知方程组中为非正数，为负数． (1)求的取值范围； (2)在（1）的范围中，当为何整数时，不等式的解集为． 【变式】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）关于x、y的二元一次方程组，则下列四个结论正确的个数是（    ） ①若，则上述方程组的解为； ②若，则； ③若，，则k的最小值为； ④若则的最大值为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型讲练六 求一元一次不等式组的整数解 【例6】解不等式或不等式组 (1)解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． (2)解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． (3)解不等式组：，并求出它的非负整数解． 【变式】（25-26七年级上·江苏南京·月考）材料阅读：对非负数“四舍五入”到个位的值记为． 即：当为非负整数时，如果，则． 如：，，，… 解决下列问题： (1)填空：①______． ②如果，求的取值范围； (2)判断：是否成立？成立，请说明理由；不成立，请举出反例． (3)请直接写出满足的所有非负数的值：______． (4)若为正整数，求证：． 题型讲练七 由一元一次不等式组的解集求参数 【例7】（25-26七年级下·四川宜宾·期中）定义新运算：，若关于正数的不等式组恰有三个整数解，则的取值范围_____． 【变式】（25-26七年级下·全国·课后作业）若一个不等式组A有解且解集为，称为A的“解集中点值”，若是不等式组B的解，则称不等式组B对于不等式组A“中点包含”．已知关于x的不等式组C和不等式组D若不等式组D对于不等式组C“中点包含”，则m的取值范围为_________． 题型讲练八 由不等式组解集的情况求参数 【例8】（25-26七年级下·四川内江·期中）若关于、的方程组中未知数、满足，且关于的不等式组恰好有三个整数解，则符合条件的所有整数的和是（    ） A． B． C．11 D．9 【变式】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）若关于x的不等式组． （1）解集为，则a的值为_____________． （2）不等式组的正整数解之和为6，则a的取值范围为____________． 题型讲练九 不等式组和方程组结合的问题 【例9】（24-25九年级下·江西鹰潭·期中）已知在关于x，y的二元一次方程组中，x为非负数，y为负数． (1)求m的取值范围． (2)在（1）的条件下，若不等式的解集为，则整数m的值是多少？ 【变式】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）对x，y定义一种新运算T， 规定：（其中 a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：． (1)已知，． ①求a，b的值； ②若关于m的不等式组恰好有2个整数解，求实数p的取值范围； (2)若对任意实数x，y都成立（这里和均有意义），则a，b应满足怎样的关系式？ 题型讲练十 列一元一次不等式组 【例10】（22-23六年级下·上海浦东新·期末）已知方程组的解满足：为非正数，为负数． (1)求的取值范围； (2)在的取值范围内，是否存在，使成立？ (3)在的取值范围内，当为何整数时，不等式的解集为？ 【变式】（25-26七年级上·全国·课后作业）电影《刘三姐》中，有这样一个场景，罗秀才摇头晃脑地吟唱道：“三百条狗交给你，一少三多四下分，不要双数要单数，看你怎样分得匀．”其大意是把300条狗分成4个群，每个群里狗的数量都是奇数，其中1个群里狗的数量最少，并且另外3个群里狗的数量一样多．问应该如何分．请你根据题意解答下列问题： (1)刘三姐的姐妹们以对歌的形式给出答案：“九十九条打猎去，九十九条看羊来，九十九条守门口，剩下三条给财主．”下列说法正确的是________（填序号）． ①刘三姐的姐妹们给出的答案是正确的，但不是唯一正确的答案； ②刘三姐的姐妹们给出的答案是唯一正确的答案； ③该歌词表达的数学题的正确答案有无数多种． (2)若罗秀才再增加一个条件“数量多的3个群里，每个群里狗的数量都比剩下的那个群里狗的数量多40条”，则每个群里有多少条狗？ 题型讲练十一 不等式组的行程问题 【例11】（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地 甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发 在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以 的速度行驶，乙车始终以 的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． (1)若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h (2)已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 【变式】（24-25七年级下·湖南永州·期中）热爱锻炼的李子宸同学沿着香零山的环形跑道（周长大于）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的记录数据如图所示． (1)当李子宸同学跑了2圈时，他的运动里程数______（填“”“”或“”）； (2)若，利用不等式的基本性质比较与的大小； (3)如果李子宸同学跑到时恰好回到起点，求此时李子宸同学总共跑的圈数． 题型讲练十二 不等式组的经济问题 【例12】（25-26八年级上·河南驻马店·期末）某水果店计划在春节购进杨梅、龙眼两种水果．已知购进杨梅斤，龙眼斤共需元；购进杨梅斤，龙眼斤共需元． (1)杨梅、龙眼每斤的价格分别是多少元？ (2)该水果店计划用不超过元购进杨梅、龙眼共斤，且杨梅的斤数不超过龙眼斤数的倍．若杨梅的购进斤数为整数，则共有多少种进货方案？（不需要一一列出） 【变式】（25-26八年级上·浙江温州·月考）某厨具店购进一批电饭煲和电压力锅两种电器，其进价与售价如表： 进价（元/台） 售价（元/台） 电饭煲 电压力锅 (1)一季度，厨具店购进这两种电器共台，用去了元，并且全部售完，问厨具店在该买卖中盈利多少元？ (2)为了满足市场需求，二季度厨具店决定用不超过元的资金采购电饭煲和电压力锅共台，且电饭煲的数量不少于电压力锅的，问厨具店有哪几种进货方案？ 题型讲练十三 不等式组的分配问题 【例13】（24-25八年级下·宁夏银川·期中）一堆玩具分给若干个小朋友，若每人分2件，则剩余3件；若前面每人分3件，则最后一个人得到的玩具数不足2件．求小朋友的人数与玩具数． 【变式】（25-26七年级下·全国·课后作业）七年级某班部分学生参加端午节包粽子活动，活动结束后把包好的粽子分给这些学生．如果每人分4个，那么余6个；如果前面的学生每人分5个，那么最后1名学生能分到的粽子不少于2个但少于4个．求参加端午节包粽子活动的学生的人数． 题型讲练十四 不等式组的方案选择问题 【例14】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）综合与实践 【背景】 夏季来临，某电器专卖店计划采购、两种型号的空调进行销售．两种空调的进价均为元／台． 【素材1】 已知型空调每台售价为元，型空调每台售价比型多元．该店曾经购进型台、型台，全部售出后总利润为元．（注：两种型号空调的售价此后保持不变） 【素材2】 现该店计划用元的资金购进这两种空调共台，且型空调的数量不少于型空调数量的倍．全部售出后，总利润不低于元． 【任务】 (1)求、两种型号空调的销售单价； (2)求型空调所有可能的进货台数； (3)在（2）的条件下，分别计算每种进货方案的总利润，并指出总利润最大的进货方案． 【变式】（25-26七年级下·全国·周测）制作好的茶叶会运往各地进行售卖，已知某茶叶经销商安排货车，欲将300件茶产品从某县运往甲、乙、丙三地销售．现要求运往乙地的产品件数是运往甲地产品件数的2倍，各地运送费用及路线如下图所示． (1)设安排运往甲地的产品件数为x，根据题目信息将下列表格填写完整． 甲地 乙地 丙地 产品件数 x 2x 运费/元 20x (2)若经销商运往丙地的产品件数不高于运往乙地产品件数的3倍，且总运费不超过5400元，请你帮经销商计算有哪几种运输方案． 题型讲练十五 不等式组的阶梯收费问题 【例15】（24-25七年级下·重庆·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 (1)若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元； (2)若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示） (3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？ 【变式】（24-25七年级下·辽宁大连·期末）大连地铁票收费标准如下： 不超过，2元人次；超过到（含），元/人次； 超过到（含），4元/人次； 超过到（含），5元/人次； 超过到（含），6元/人次； 超过到（含），7元/人次； 超过到（含），8元/人次； 超过部分，票价每增加元可再乘坐． 一位乘客单次乘坐地铁购票花费了元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示的范围为______． 题型讲练十六 —元—次不等式组的其他应用 【例16】（25-26七年级下·重庆·期中）按如图所示的程序进行计算，若输入整数后，程序运行了两次后输出结果，则输入的整数的值可以是（   ） A．1 B．4 C．7 D．10 【变式】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，某校的饮水机有温水，开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为，整个接水的过程不计热量损失． 物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可转化为：开水体积开水降低的温度=温水体积温水升高的温度． 阅读并结合以上信息解决下列问题： (1)甲同学要接一杯的水，如果他先接开水秒，则再接温水的时间为多少秒； (2)乙同学先接温水，再接开水，得到一杯的水，如果接水的时间是秒，求乙同学分别接温水和开水所用的时间； (3)丙同学要接一杯的温水和开水混合的水，现有两种方案可供选择，方案一：先接秒的温水，再接开水；方案二：先接秒的开水，再接温水；请你帮助丙同学分析一下哪种接水方案杯中水的温度会更高． 题型讲练十七 列一元一次不等式 【例17】（25-26八年级下·全国·课后作业）用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C的含量及购买这两种原料的价格如下表： 原料 甲 乙 维生素C的含量/（单位/kg） 500 80 原料价格/（元/kg） 10 4 (1)现配制这种饮料10kg，要求至少含有3600单位的维生素C，试写出所需甲种原料的质量（单位：）应满足的不等式． (2)如果还要求购买甲、乙两种原料的总费用不超过65元，试写出应满足的另一个不等式． 【变式】（25-26七年级下·安徽六安·期中）用甲、乙两种原料配制成某种饮料，设所需甲种原料的质量为．已知这两种原料中维生素的含量及购买这两种原料的价格如下表所示： 类别 甲种原料 乙种原料 维生素的含量/（单位/千克） 600 100 原料价格/（元/千克） 8 4 现配制这种饮料，要求含有不低于4000单位的维生素． (1)请列出应满足的不等式； (2)如果同时要求购买甲、乙两种原料的总费用低于72元，请解答以下问题： ①求出满足题意的的取值范围； ②计算此时这种饮料中维生素含量的范围． 题型讲练十八 用一元一次不等式解决实际问题 【例18】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）2026马年央视春晚中，机器人展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．若买2台A型机器人、3台B型机器人，共需340万元；若买3台A型机器人、2台B型机器人，共需360万元． (1)求A、B两种型号智能机器人的单价． (2)该企业现计划采购A型和B型机器人共15台，且总费用不超过1100万元．最多能买A型机器人多少台？ 【变式】（25-26七年级下·山西临汾·期中）综合与探究 问题背景 为庆祝“五一”国际劳动节，临汾某学校计划组织七年级师生开展“走进陶寺遗址，探寻文明根脉”的研学实践活动．陶寺遗址位于山西省临汾市襄汾县，是中华文明起源的重要见证．为保障本次研学活动顺利开展，学校向某旅游客运公司租用甲、乙两种型号的客车用于接送师生，已知该客运公司有甲、乙两种型号的客车共辆，它们的载客量、每天的租金如下表所示．在这20辆客车都坐满的情况下，共载客人． 甲型客车 乙型客车 载客量（人辆） 日租金（元辆） (1)求该旅游客运公司甲、乙两种型号的客车各有多少辆？ 问题解决 (2)该学校计划租用甲、乙两种型号的客车共辆，研学开始前，学校后勤部门核定了租车预算，经核算，本次租车的总费用不超过元． 至少要租用多少辆甲型客车？ 若七年级的师生共有人，请写出所有可能的租车方案，并确定最省钱的租车方案． 题型讲练十九 用一元一次不等式解决几何问题 【例19】（24-25七年级下·江苏淮安·月考）如图：在长方形中，，，动点从点出发，先以的速度沿，然后以的速度沿运动，到点停止运动，设点运动的时间为秒． (1)①当点在上时，的面积与时间的关系________． ②当的面积时，时间________秒． (2)点整个运动过程中，是否存在这样的，使得的面积？如果存在，请求出的取值范围；如果不存在，请说明理由． (3)若另一动点与动点同时从点出发，先以的速度沿，然后以的速度沿运动，到点后立即原路返回，并且在边，上的速度等于原速，当点停止时点也随之停止．在整个运动过程中，是否存在时间使得的面积总大于的面积，如果存在，直接写出的取值范围；如果不存在，请说明理由． 【变式】（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在中，是边上的高，，，．点在高上，且．点从点出发，沿折线方向以每秒2个单位长度运动，到达点时停止，设点运动时间为秒． (1)求点整个运动过程共需多少秒？ (2)当点在边上运动，且以点、、为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求的值； (3)当的长大于点运动总路程的时，求的取值范围． 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）若关于x的不等式组，恰有3个整数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·安徽亳州·月考）若，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）把一些书分给若干名同学，若每人分12本，则有剩余；若______．依题意，设有x名同学，可列不等式．则横线上的条件应该是（  ） A．每人分8本，则剩余6本 B．每人分8本，则恰好可多分给6个人 C．每人分6本，则剩余8本 D．其中一个人分8本，则其他同学每人可分6本 4．（25-26七年级下·湖南娄底·期中）关于x的不等式组的解集中任意一个x的值均不在的范围内，则m的取值范围是______． 5．（25-26七年级下·上海普陀·期中）如果关于的不等式的正整数解有4个，那么的取值范围是______． 6．（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）若关于x、y的二元一次方程组的解满足，则k的取值范围是______． 7．（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）已知与，都是方程的解． (1)求k、b的值； (2)若y的值不小于0，求x的取值范围； (3)若，求y的取值范围． 8．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）阅读材料，回答问题： 我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组成一种组合，当一元一次方程的解正好在一元一次不等式的解集里时，我们把这个方程的解叫“集内点”，当一元一次方程的解不在一元一次不等式的解集里时，我们把这个方程的解叫“集外点”． (1)请直接判断下列组合中方程的解是_____（填“集内点”或“集外点”）； (2)若关于x的组合中方程的解是“集内点”，求a的取值范围． 9．某网店销售甲、乙两种书包，已知甲种书包每个售价比乙种书包每个售价2倍少30元，网购2个甲种书包和3个乙种书包共花费255元（免运费）．请解答下列问题： (1)该网店甲、乙两种书包每个售价各是多少元？ (2)根据消费者需求，该网店决定用不超过8900元购进甲、乙两种书包共200个，且甲种书包的数量超过87个，已知甲种书包每个进价为50元，乙种书包每个进价为40元，该网店有哪几种进货方案； (3)在（2）条件下，若该网店推出促销活动：一次性购买同一种书包超过10个，赠送1个相同的书包，该网店这次所购进书包全部售出，共赠送了4个书包，获利1250元，直接写出该网店甲、乙两种书包各赠送几个． 10．西乡塘区金陵镇三联村打造千亩香葱产业示范区，2017年被认定为广西现代特色农业乡级示范园．如今，三联村绝大部分的香葱成功销往北京、郑州等地． (1)2022年初，又到香葱丰收季，三联村委招聘工人采摘香葱，已知3个熟练工和2个新手每天可以采摘1220千克，4个熟练工和1个新手每天可以采摘1360千克，求1个熟练工和1个新手每天分别采摘多少千克香葱？ (2)今年3月，北京荔胜蔬菜批发公司张经理到三联村收购了30吨香葱，已知香葱收购价为4元/千克，这批香葱运往北京的损耗率为，运费为15000元．设香葱在北京的售价为m元/千克． ①当时，销售这批香葱可获利润多少元？ ②为保障公司利润，在北京销售这批香葱的利润率不低于，求m的最小值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年苏科版新教材数学七年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第十一章 一元一次不等式【期末复习讲义】-培优版 『导图+知识梳理+19个题型讲练+真题实战练 共48题』（解析版） 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 求一元一次不等式的解集 题型二 求一元一次不等式的整数解 题型三 在数轴上表示不等式的解集 题型四 求一元一次不等式解的最值 题型五 求不等式组的解集 题型六 求一元一次不等式组的整数解 题型七 由一元一次不等式组的解集求参数 题型八 由不等式组解集的情况求参数 题型九 不等式组和方程组结合的问题 题型十 列一元一次不等式组 题型十一 不等式组的行程问题 题型十二 不等式组的经济问题 题型十三 不等式组的分配问题 题型十四 不等式组的方案选择问题 题型十五 不等式组的阶梯收费问题 题型十六 —元—次不等式组的其他应用 题型十七 列一元一次不等式 题型十八 用一元一次不等式解决实际问题 题型十九 用一元一次不等式解决几何问题 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点一 生活中的不等式 一般地，用“＜”、 “＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 【方法点拨】 (1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大． (2)五种不等号的读法及其意义： 符号 读法 意义 “≠” 读作“不等于” 它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小 “＜” 读作“小于” 表示左边的量比右边的量小 “＞” 读作“大于” 表示左边的量比右边的量大 “≤” 读作“小于或等于” 即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量 “≥” 读作“大于或等于” 即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量 (3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立． 知识点二 不等式的解及解集 不等式的解 是具体的未知数的值，不是一个范围 不等式的解集 是一个集合，是一个范围． 其含义：①解集中的每一个数值都能使不等式成立 ②能够使不等式成立的所有数值都在解集中 不等式的解集的表示方法 （1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x≤8． (2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示： 借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定方向．(1)确定“边界点”：若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；(2)确定“方向”：对边界点a而言，x＞a或x≥a向右画；对边界点a而言，x＜a或x≤a向左画． 【易错点拨】在表示a的点上画空心圆圈，表示不包括这一点． 知识点三 不等式的基本性质 不等式的基本性质1：用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c． 不等式的基本性质2：用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或)． 不等式的基本性质3：用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或)． 不等式的基本性质的掌握注意以下几点： (1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会． (2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变． 知识点四 解一元一次不等式 (1)一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式(单项式或多项式)； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数为1. (2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系： 相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式． 不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”、“≤”、“≥”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向． 一元一次不等式的解法 与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，将不等式逐步化为：（或）的形式，解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)化为（或）的形式（其中）；(5)两边同除以未知数 的系数，得到不等式的解集. （1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用． （2）解不等式应注意： ①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项； ②移项时不要忘记变号； ③去括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号； ④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变． 不等式的解集在数轴上表示： 在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个解，它对以后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助． 在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向： （1）边界：有等号的是实心圆点，无等号的是空心圆圈； （2）方向：大向右，小向左． 知识点五 一元一次不等式实际问题 1.行程问题：路程＝速度×时间 2.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量 3.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价， 4.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率 5.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率 6.数字问题：多位数的表示方法：例如：. 7.收费问题：分类讨论，起步价，超过部分价格分好设x即可 8.几何问题：判断是哪种类型，如果是长方形则设长和宽x即可 列不等式解决实际问题 列一元一次不等式解应用题与列一元一次方程解应用题类似，通常也需要经过以下几个步骤： (1)审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等； (2)设：设出适当的未知数； (3)列：根据题中的不等关系，列出不等式； (4)解：解所列的不等式； (5)答：写出答案，并检验是否符合题意． 【易错点拨】 (1)列不等式的关键在于确定不等关系； (2)求得不等关系的解集后，应根据题意，把实际问题的解求出来； (3)构建不等关系解应用题的流程如图所示． （4） 用不等式解决应用问题，有一点要特别注意：在设未知数时，表示不等关系的文字如“至少”不能出现，即应给出肯定的未知数的设法，然后在最后写答案时，应把表 示不等关系的文字补上． 知识点六 一元一次不等式组 1.不等式组的概念 如，等都是一元一次不等式组． (1)这里的“几个”不等式是两个、三个或三个以上． (2)这几个一元一次不等式必须含有同一个未知数． 2.解一元一次不等式组 ①一元一次不等式组的解集： 【易错点拨】 (1)找几个不等式的解集的公共部分的方法是先将几个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们重叠的部分． (2)有的一元一次不等式组中的各不等式的解集可能没有公共部分，也就是说有的不等式组可能出现无解的情况． ②一元一次不等式组的解法 （1）分别求出不等式组中各个不等式的解集． （2）利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分即这个不等式组的解集． 一元一次不等式组的应用 列一元一次不等式组解应用题的步骤为：审题→设未知数→找不等关系→列不等式组→解不等式组→检验→答． 【易错点拨】 (1)利用一元一次不等式组解应用题的关键是找不等关系． (2)列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景，从解集中联系实际找出符合题意的答案，比如求人数或物品的数目、产品的件数等，只能取整数． 第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 求一元一次不等式的解集 【例1】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）阅读材料，回答问题： 我们把关于的一个一元一次方程和一个一元一次不等式，组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“专属组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“非属组合”． (1)直接判断是“专属组合”还是“非属组合”________．（填“A”或“B”） A．“专属组合”    B．“非属组合” (2)判断是“专属组合”还是“非属组合”，并说明理由． (3)若关于的组合是“专属组合”，求的取值范围． 【答案】(1)B； (2) 专属组合，理由见详解； (3) 【思路引导】（1）先求方程的解，再解不等式，根据“专属组合”和“非属组合“的定义，判断即可； （2）同理（1）解答即可； （3）先解方程和不等式，然后根据“专属组合”的定义求a的取值范围； 【规范解答】（1）解：， ， ， ， 不在范围内， 是“非属组合”； （2）解：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：． 解不等式， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，合并同类项，得：， 化系数为1，得：． 在范围内， ∴是“专属组合”； （3）解：解方程得，， 解不等式，得：， ∵关于x的组合是“专属组合”， 在范围内， ， ． 【变式】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）对于三个实数a、b、c，定义为a、b、c中最大的数，例如：，，请回答以下问题： （1）____； （2）若，则a的取值范围是____． 【答案】 【思路引导】（1）将前两个多项式化为完全平方式与一个常数的和后与1比较大小，再将前两个多项式利用作差法比较大小即可； （2）分情况讨论得到或9，列不等式求解即可 【规范解答】解：（1）∵， ， ， ∴； （2）由题意知， 当，即或时，， ，解得； 当，即时，， ， 整理得，即，无解； 综上，a的取值范围是； 题型讲练二 求一元一次不等式的整数解 【例2】（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）若不等式的最小整数解是关于x的方程的解，求式子的值． 【答案】 【思路引导】先求得不等式的最小整数解为．代入一元一次方程求得，再代入代数式求值，即可求解． 【规范解答】解：， 解不等式，得． ∴不等式的最小整数解为． ∵不等式的最小整数解是关于x的方程的解， ∴将代入方程，得， 解得． ∴． 【变式】（25-26八年级上·浙江杭州·月考）我们用表示不大于的最大整数，例如：，；用表示大于的最小整数，例如：，．解决下列问题： (1) ， ． (2)已知，满足方程组，求，的取值范围． 【答案】(1) (2)， 【思路引导】本题考查新定义，解二元一次方程组及不等式，解答的关键是对新定义的理解与运用． （1）根据和的意义进行求解即可； （2）利用加减消元法求出相应的，的值再根据新定义求出x，y的取值范围即可． 【规范解答】（1）解：， 故答案为：． （2）解：， 由得， 由得， 解得， ， 把代入得， 解得， ． 题型讲练三 在数轴上表示不等式的解集 【例3】（25-26七年级下·福建福州·期中）解不等式，并将解集在数轴上表示． (1) (2) 【答案】(1)，解集在数轴上的表示见解析 (2)，解集在数轴上的表示见解析 【规范解答】（1）解： 去括号得， ∴ 解得： 解集在数轴上的表示： （2）解： 不等式两边同时乘以去分母得 去括号得 合并同类项得 移项得 合并同类项得 系数化为1时改变不等号方向得 解集在数轴上的表示： 【变式】25-26七年级下·全国·周测）若关于x，y的方程组的解中x与y的和不大于3，则k的取值范围在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题主要考查了解一元一次不等式及二元一次方程组的解，能根据题意用表示出及熟知解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 根据所给方程组，用表示出，再根据与的和不大于建立关于的不等式，据此可解决问题． 【规范解答】解： 得，， 与的和不大于， ， 解得． 在数轴上表示为： 故选：A． 题型讲练四 求一元一次不等式解的最值 【例4】（2025·河北沧州·模拟预测）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动加上2，同时区就会自动减去1，且均显示计算结果．已知A，两区初始显示的数分别是和7． (1)按键1次后，求A，两区显示的结果的和； (2)若按键次后，A区的结果大于区的结果，求的最小值． 【答案】(1)5 (2)4 【思路引导】本题考查有理数的混合运算以及一元一次不等式，能根据题意分别列出算式和不等式是关键． （1）根据题意列出算式计算即可； （2）根据A区的计算结果大于B区的计算结果列不等式，解出即可． 【规范解答】（1）解：按键1次后，，两区显示的结果的和； （2）解：由题意，得， 解得， 为整数， 的最小值为4． 【变式】（24-25七年级上·贵州遵义·期中）集合这个概念是非常基本和自然的，并且自古以来在一些数学著作中就已经使用．然而，人们通常把集合创始人归功于19世纪中期德国数学家康托尔（G．Cantor），因为他对集合论作出巨大贡献．把几个数用大括号围起来，中间用逗号断开，如：、，我们称之为集合，其中的每个数称为该集合的元素．如果一个所有元素均为有理数的集合满足：当有理数a是集合的元素时，也必是这个集合的元素，那么这样的集合我们称为“好的集合”．例如，集合就是一个“好的集合”． (1)集合__________“好的集合”（填“是”或“不是”） (2)若一个“好的集合”中最大的一个元素为3013，则该集合是否存在最小的元素？如果存在，请直接写出答案；如果不存在，请说明理由． (3)若一个“好的集合”中所有元素之和为整数M，且，则该集合共有几个元素？请说明理由． 【答案】(1)是 (2)存在， (3)该集合共有22个元素，理由见解析 【思路引导】本题考查了有理数以及探究性问题，关键是明确什么是“好的集合”，集合中的各个数都是元素，明确“好的集合”中的元素个数都是偶数个，在此还要应用到估算的知识． （1）根据“好的集合”的概念求解即可； （2）根据“好的集合”的概念可得最大和最小的和是，据此求解即可； （3）根据“好的集合”的概念求解即可； 【规范解答】（1）解：∵，， ∴集合是“好的集合”， 故答案为：是； （2）解：存在． 由新定义得：是集合的一个元素， 因为一个好集合中最大的一个元素为3013， 所以， 解得：， 则最小的元素为； （3）解：该集合共有22个元素，理由如下： 因为在“好的集合”中，如果一个元素为a，则存在另一个元素为，当时，， 所以“好的集合”中元素不包含时一定为偶数个，包含时一定为奇数个； 因为“好的集合”中的每一对对应元素的和为：，，，， 又因为一个“好的集合”中所有元素之和为整数M，且， 当“好的集合”中元素不包含时，这个“好的集合”共有（个）元素； 当“好的集合”中元素包含时，，和都不在范围内，不存在符合条件的和； 答：该集合共有22个元素． 题型讲练五 求不等式组的解集 【例5】（25-26七年级下·四川内江·期中）已知方程组中为非正数，为负数． (1)求的取值范围； (2)在（1）的范围中，当为何整数时，不等式的解集为． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）首先解方程组，然后根据为非正数，为负数列不等式组求解； （2）根据不等式的性质得到，求出，然后结合求解即可． 【规范解答】（1）解：解方程组得， ∵方程组中为非正数，为负数 ∴ 解得：； （2）解：∵ ∴ ∵不等式的解集为 ∴， ∴ ∵， ∴ ∴整数． 【变式】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）关于x、y的二元一次方程组，则下列四个结论正确的个数是（    ） ①若，则上述方程组的解为； ②若，则； ③若，，则k的最小值为； ④若则的最大值为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【思路引导】先解出方程组中，关于的表达式，再逐一验证四个结论，统计正确结论的个数即可． 【规范解答】解:原方程组，两式相加得， ，代入得， ① 当时，，，方程组的解为，故①正确． ② 若，则， ，得，故②正确． ③ 若，，则： ，，得； ，，得； 的取值范围是，可以取到，故的最小值为，③正确． ④ ，由得，代入得： ，若，随增大而增大， 当时，的最大值为，不是，故④错误． 综上，正确的结论共3个，答案选C． 题型讲练六 求一元一次不等式组的整数解 【例6】解不等式或不等式组 (1)解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． (2)解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． (3)解不等式组：，并求出它的非负整数解． 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 (3)，非负整数解为0、1、 【思路引导】（1）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1的步骤进行解答即可； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可； （3）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【规范解答】（1）解：去分母得，， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，； 解集在数轴上表示如下： （2）解：， 由①得，， 由②得，， 故此不等式组的解集为， 解集在数轴上表示如下： （3）解：， 由①得，， 由②得，， 故此不等式组的解集为， 它的非负整数解为0、1、 【变式】（25-26七年级上·江苏南京·月考）材料阅读：对非负数“四舍五入”到个位的值记为． 即：当为非负整数时，如果，则． 如：，，，… 解决下列问题： (1)填空：①______． ②如果，求的取值范围； (2)判断：是否成立？成立，请说明理由；不成立，请举出反例． (3)请直接写出满足的所有非负数的值：______． (4)若为正整数，求证：． 【答案】(1)①3；② (2)不成立，反例见解析 (3)0或或 (4)证明见解析 【思路引导】本题考查解一元一次不等式，解题的关键是读懂题意，理解新定义． （1）①根据新定义即可得到答案； ②根据新定义列出不等式组，即可解得答案； （2）由新定义可知不一定成立，再举一个反例即可； （3）根据新定义列出不等式组求出的取值范围，再由为整数可得的值． （4）设，根据新定义证明即可． 【规范解答】（1）解：①， ． 故答案为：3． ②， ， 解得． （2）解：不一定成立， 比如：，， ， 而， 此时． （3）解：， ∴， 解得． 为非负数， ． 设，则k为整数， ∴， ， 解得：， ， 或或． 故答案为：0或或． （4）设， 则， ． ． ， ． 题型讲练七 由一元一次不等式组的解集求参数 【例7】（25-26七年级下·四川宜宾·期中）定义新运算：，若关于正数的不等式组恰有三个整数解，则的取值范围_____． 【答案】 【思路引导】根据新运算定义化简不等式组，得到不等式组的解集后，再根据整数解的个数确定参数的取值范围即可． 【规范解答】解：为正数，， 对于， ，即， ， 由得，解得， 对于， ，即， ， 由得，解得． 因此不等式组的解集为． 不等式组恰有三个整数解，三个整数解为， ， 不等式两边同时加，得． 【变式】（25-26七年级下·全国·课后作业）若一个不等式组A有解且解集为，称为A的“解集中点值”，若是不等式组B的解，则称不等式组B对于不等式组A“中点包含”．已知关于x的不等式组C和不等式组D若不等式组D对于不等式组C“中点包含”，则m的取值范围为_________． 【答案】 【思路引导】本题考查了一元一次不等式组的解法及新定义的应用，掌握解一元一次不等式组的步骤，以及根据新定义转化条件的方法是解题的关键． 先分别解不等式组C和D，确定不等式组C有解的条件；再计算C的解集中点值，根据中点包含的定义，让该中点值满足不等式组D的解集，最后结合所有条件推导m的取值范围． 【规范解答】解：解不等式组C：，得； 解不等式组D：，得． 不等式组C有解需满足， 解得； 不等式组D有解需满足， 解得， 但已涵盖． C的解集中点值为． 由中点包含，需满足D的解集，即． 解得； 解得． 结合， 故． 故答案为：． 题型讲练八 由不等式组解集的情况求参数 【例8】（25-26七年级下·四川内江·期中）若关于、的方程组中未知数、满足，且关于的不等式组恰好有三个整数解，则符合条件的所有整数的和是（    ） A． B． C．11 D．9 【答案】B 【思路引导】首先解方程组得到，然后根据求出；然后解不等式组得到，然后根据不等式组恰好有三个整数解，进而求解即可． 【规范解答】解： 得，， ∵ ∴ ∴； 解不等式组得， ∵关于的不等式组恰好有三个整数解， ∴三个整数解为，0，1， ∴， ∴， ∴ ∴整数，， ∴． ∴符合条件的所有整数的和是． 【变式】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）若关于x的不等式组． （1）解集为，则a的值为_____________． （2）不等式组的正整数解之和为6，则a的取值范围为____________． 【答案】 6 【思路引导】（1）求出不等式组中的两个不等式的解集，再根据不等式组的解集即可得到答案； （2）求出不等式组中的两个不等式的解集，再根据不等式组的正整数解之和为6确定不等式组的正整数解，进而可得答案． 【规范解答】解：（1） 解不等式①得， 解不等式②得， ∵原不等式组的解集为， ∴； （2） 解不等式①得， 解不等式②得， ∵不等式组的正整数解之和为6，且， ∴不等式组的正整数解为1，2，3， ∴ ． 题型讲练九 不等式组和方程组结合的问题 【例9】（24-25九年级下·江西鹰潭·期中）已知在关于x，y的二元一次方程组中，x为非负数，y为负数． (1)求m的取值范围． (2)在（1）的条件下，若不等式的解集为，则整数m的值是多少？ 【答案】(1) (2) 整数的值是 【思路引导】（1）先解二元一次方程组得到用表示的，再根据为非负数，为负数列出不等式组，求解得到的取值范围； （2）整理不等式后，根据解集判断系数的符号，得到的新范围，结合（1）的范围即可求出整数． 【规范解答】（1）解：给定方程组， ，得， 解得； ，得， 解得． ∵为非负数，为负数， ∴， 解第一个不等式，得； 解第二个不等式，得． 因此的取值范围是． （2）解：整理不等式得， 当时，，不合题意； 当时，x不存在； 当时，， 此时， 结合（1）中，可得． 因此范围内的整数为． 【变式】（24-25七年级下·湖南长沙·期末）对x，y定义一种新运算T， 规定：（其中 a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：． (1)已知，． ①求a，b的值； ②若关于m的不等式组恰好有2个整数解，求实数p的取值范围； (2)若对任意实数x，y都成立（这里和均有意义），则a，b应满足怎样的关系式？ 【答案】(1)①，② (2) 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的解法以及一元一次不等式组的整数解，解题的关键是正确理解新定义运算法则以及整式的加减运算与乘除运算法则． （1）①根据新定义得到；，解方程组即可得到答案；②根据新定义得到，求出不等式组的解集，再由不等式组恰好有2个整数解进行求解即可； （2）根据新定义得到，进而得到，据此可得答案． 【规范解答】（1）解：①根据题意得： ， 解得：， ②由题意得：， 则可以化为， 解得：， 恰有2个整数解， 故 解得 （2）∵对任意实数x，y都成立 即对任意实数都成立 即 题型讲练十 列一元一次不等式组 【例10】（22-23六年级下·上海浦东新·期末）已知方程组的解满足：为非正数，为负数． (1)求的取值范围； (2)在的取值范围内，是否存在，使成立？ (3)在的取值范围内，当为何整数时，不等式的解集为？ 【答案】(1)． (2)存在，使成立． (3)时，不等式的解集为． 【思路引导】（1）解关于和的二元一次方程，根据题意可得到关于的一元一次不等式组，求解即可得到的取值范围． （2）根据的取值范围取值范围，可将化简，得到关于关于的一元一次方程，求解即可得到答案． （3）将不等式移项并合并同类项，根据题目要求，可知，解不等式，即可得到的取值范围，取符合条件的整数即可． 【规范解答】（1）解关于和的二元一次方程 解得 由于为非正数，为负数，得不等式组 解得 ． （2）， ，． ，． 化简，得 ， 解得 ． 经检验，满足． 所以，存在，使成立． （3）将移项并合并同类项，得 解集为， ． 解得 ． 又， 的解集为． 的整数值为． 时，不等式的解集为． 【考点剖析】本题主要考查二元一次方程的解法、一元一次不等式和一元一次不等式组的解法、绝对值的性质等，熟悉绝对值的性质，牢记二元一次方程、一元一次不等式和一元一次不等式组的解法是解题的关键 【变式】（25-26七年级上·全国·课后作业）电影《刘三姐》中，有这样一个场景，罗秀才摇头晃脑地吟唱道：“三百条狗交给你，一少三多四下分，不要双数要单数，看你怎样分得匀．”其大意是把300条狗分成4个群，每个群里狗的数量都是奇数，其中1个群里狗的数量最少，并且另外3个群里狗的数量一样多．问应该如何分．请你根据题意解答下列问题： (1)刘三姐的姐妹们以对歌的形式给出答案：“九十九条打猎去，九十九条看羊来，九十九条守门口，剩下三条给财主．”下列说法正确的是________（填序号）． ①刘三姐的姐妹们给出的答案是正确的，但不是唯一正确的答案； ②刘三姐的姐妹们给出的答案是唯一正确的答案； ③该歌词表达的数学题的正确答案有无数多种． (2)若罗秀才再增加一个条件“数量多的3个群里，每个群里狗的数量都比剩下的那个群里狗的数量多40条”，则每个群里有多少条狗？ 【答案】(1)① (2)数量少的群里有45条狗，其余三个群里各有85条狗 【思路引导】（1）设一样多的3个群里的狗数量为只，则数量最少狗群里有狗只，列不等式组即可求解. （2）设数量少的狗群的数量为只，则狗的数量多且数量相同的群里狗的数量为只，根据狗的总数为300只，可列一元一次方程，求解即可． 【规范解答】（1）解：设一样多的3个群里的狗数量为只，则数量最少狗群里有狗只，得： ， 解得， 又 为奇数， 共个. ①是正确的,②③是错误的. 答：说法正确的是①. （2）解：设数量少的群里有条狗， 则其余三个群里各有条狗． 由题意，得， 解得，则， 答：数量少的群里有45条狗，其余三个群里各有85条狗． 【考点剖析】本题考查了一元一次方程和一元一次不等式的实际应用，准确理解题意并熟练掌握知识点是解题的关键． 题型讲练十一 不等式组的行程问题 【例11】（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地 甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发 在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以 的速度行驶，乙车始终以 的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． (1)若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h (2)已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 【答案】(1)①M，N；② (2)①，②或 【思路引导】①根据题意，分别得到，，，，根据甲乙两车的速度，即可得到两车行驶的距离，即可得到结果； ②根据甲车在段和段的速度不同，得到甲车的行驶时间，结合乙车比甲车晚出发，得到乙车所用时间； ①两车在P处相遇与N重合，分别求出甲乙所用的时间，从而得到乙车的速度； ②分类讨论相遇点在上，分别表示甲乙所行驶的路程，根据总路程为，得到等式，表示出速度，同时结合限速的要求，得到结果． 本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，以及路程、速度、时间之间的关系的应用，正确理解题意是解题的关键． 【规范解答】（1）解：①依题意，，，， ， 甲车从A地出发，始终以的速度行驶， 甲车2小时共行驶了， 甲车出发2小时，行至M处， 乙车从B地出发，比甲车晚出发小时，以的速度行驶， 乙车共行驶了， 乙车行至N处， 故答案为：M，N； ②甲车行至的中点时，所用时间为：， 此时乙车行驶所用时间：， 故答案为：； （2）①两车在P处相遇，P与N重合， 甲车所用时间为， 此时乙车所用时间为， 乙车的速度为； ②P在非施工道路上不与M，N重合， 若P在上，设甲的行驶时间为t，则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 若P在上，设甲的行驶时间为t，， 则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 综上所述或． 【变式】（24-25七年级下·湖南永州·期中）热爱锻炼的李子宸同学沿着香零山的环形跑道（周长大于）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的记录数据如图所示． (1)当李子宸同学跑了2圈时，他的运动里程数______（填“”“”或“”）； (2)若，利用不等式的基本性质比较与的大小； (3)如果李子宸同学跑到时恰好回到起点，求此时李子宸同学总共跑的圈数． 【答案】(1) (2) (3)7 【思路引导】本题考查了一元一次不等式组的应用，不等式的性质，正确理解题意，得出不等式是解题的关键． （1）由图可得，小明跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，据此可知小明跑了2圈时，他的运动里程数小于； （2）利用不等式的基本性质求解即可； （3）设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，然后列不等式求出t的取值范围，再根据，代入求出x的取值范围即可． 【规范解答】（1）解：由图可得，小明跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和， ∴当小明跑了2圈时，他的运动里程数； （2）解：∵ ∴ ∴； （3）解：设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈， 由题意得：， 解得：， ∴， ∴ 又∵李子宸同学跑到时恰好回到起点， ， ∴， ∴， ∵x是正整数， ∴，即此时小明总共跑的圈数为7． 题型讲练十二 不等式组的经济问题 【例12】（25-26八年级上·河南驻马店·期末）某水果店计划在春节购进杨梅、龙眼两种水果．已知购进杨梅斤，龙眼斤共需元；购进杨梅斤，龙眼斤共需元． (1)杨梅、龙眼每斤的价格分别是多少元？ (2)该水果店计划用不超过元购进杨梅、龙眼共斤，且杨梅的斤数不超过龙眼斤数的倍．若杨梅的购进斤数为整数，则共有多少种进货方案？（不需要一一列出） 【答案】(1)杨梅每斤的价格是元，龙眼每斤的价格是元； (2)共有种进货方案． 【思路引导】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，读懂题意，正确列出二元一次方程组或一元一次不等式组是解题的关键． （）设杨梅每斤的价格是元，龙眼每斤的价格是元，根据题意得，然后解方程组即可； （）设杨梅购进斤，则龙眼购进斤，由题意可得，然后解不等式组即可． 【规范解答】（1）解：设杨梅每斤的价格是元，龙眼每斤的价格是元， 根据题意，得，解得， 答：杨梅每斤的价格是元，龙眼每斤的价格是元； （2）解：设杨梅购进斤，则龙眼购进斤， 由题意，可得， 解得， ∵为整数， ∴共有种进货方案． 【变式】（25-26八年级上·浙江温州·月考）某厨具店购进一批电饭煲和电压力锅两种电器，其进价与售价如表： 进价（元/台） 售价（元/台） 电饭煲 电压力锅 (1)一季度，厨具店购进这两种电器共台，用去了元，并且全部售完，问厨具店在该买卖中盈利多少元？ (2)为了满足市场需求，二季度厨具店决定用不超过元的资金采购电饭煲和电压力锅共台，且电饭煲的数量不少于电压力锅的，问厨具店有哪几种进货方案？ 【答案】(1)元 (2)方案一：购买电饭煲台，电压力锅台；方案二：购买电饭煲台，电压力锅台；方案三：购买电饭煲台，电压力锅台 【思路引导】（）设购买电饭煲台，购买电压力锅台，根据题意列方程组求出的值，再列式求出利润即可； （）设购买电饭煲台，则购买电压力锅台，列出不等式组求出的取值范围，进而即可求解； 本题考查了一元一次方程的应用，有理数混合运算的实际应用，一元一次不等式组的应用，理解题意是解题的关键． 【规范解答】（1）解：设购买电饭煲台，购买电压力锅台， 由题意得，， 解得， ∴购买电饭煲台，电压力锅台， ∴厨具店在该买卖中盈利为元； （2）解：设购买电饭煲台，则购买电压力锅台， 由题意得，， 解得， ∵是整数， ∴或或， ∴有以下三种进货方案： 方案一：购买电饭煲台，电压力锅台； 方案二：购买电饭煲台，电压力锅台； 方案三：购买电饭煲台，电压力锅台． 题型讲练十三 不等式组的分配问题 【例13】（24-25八年级下·宁夏银川·期中）一堆玩具分给若干个小朋友，若每人分2件，则剩余3件；若前面每人分3件，则最后一个人得到的玩具数不足2件．求小朋友的人数与玩具数． 【答案】小朋友的人数与玩具数分别为5人、件或6人、件． 【思路引导】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，解本题的关键在于找出小朋友人数和玩具数之间的关系式． 设小朋友的人数为人，玩具数为，则，，且，的是正整数，将代入求出、的值，当求出的值后，求的值即可． 【规范解答】解：设小朋友的人数为人，玩具数为，由题意可得： ， ，即：， 解得，由于的是正整数，所以的取值为5人或6人， 当时，件； 当时，件； 所以小朋友的人数及玩具数分别为5人、件或6人、件． 【变式】（25-26七年级下·全国·课后作业）七年级某班部分学生参加端午节包粽子活动，活动结束后把包好的粽子分给这些学生．如果每人分4个，那么余6个；如果前面的学生每人分5个，那么最后1名学生能分到的粽子不少于2个但少于4个．求参加端午节包粽子活动的学生的人数． 【答案】8或9 【思路引导】本题考查了一元一次不等式组的应用，找准数量关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键． 两次分配的粽子数量是相等的，因此可设有人包粽子，则表示出粽子总量为个，第二次分配时最后一个人的粽子数量为个．根据最后一名学生能分到的粽子不少于个但少于个列出不等式组，求正整数解即可． 【规范解答】解：设参加端午节包粽子活动的学生有人． 由题意，得， 解得． ∵为正整数， ∴可取或， 答：参加端午节包粽子活动的学生的人数为或． 题型讲练十四 不等式组的方案选择问题 【例14】（25-26七年级下·安徽合肥·期中）综合与实践 【背景】 夏季来临，某电器专卖店计划采购、两种型号的空调进行销售．两种空调的进价均为元／台． 【素材1】 已知型空调每台售价为元，型空调每台售价比型多元．该店曾经购进型台、型台，全部售出后总利润为元．（注：两种型号空调的售价此后保持不变） 【素材2】 现该店计划用元的资金购进这两种空调共台，且型空调的数量不少于型空调数量的倍．全部售出后，总利润不低于元． 【任务】 (1)求、两种型号空调的销售单价； (2)求型空调所有可能的进货台数； (3)在（2）的条件下，分别计算每种进货方案的总利润，并指出总利润最大的进货方案． 【答案】(1)型空调销售单价为元，型空调销售单价为元 (2)型空调所有可能的进货台数是台，台，台 (3)三种进货方案的总利润分别为元，元，元；总利润最大的进货方案是购进型空调台，型空调台 【思路引导】（1）根据总利润的等量关系列一元一次方程，求解得到两种空调的销售单价； （2）设B型空调进货台数为未知数，结合题目给出的数量限制和总利润限制列一元一次不等式组，结合台数为正整数得到所有可能结果； （3）写出总利润关于B型空调台数的表达式，分别计算各方案总利润，比较得到总利润最大的方案． 【规范解答】（1）解：型空调销售单价为元，则型空调销售单价为 元． 由题意得 整理得 解得 则 答：A型空调销售单价为2300元，B型空调销售单价为2800元． （2）解：设购进B型空调台，则购进A型空调台． 两种空调总进价为 （元），满足不超过100000元的资金要求． 根据题意列不等式组 解第一个不等式得 解第二个不等式得 ，即 因为为正整数， 所以的取值为14，15，16 答：B型空调所有可能的进货台数为14台，15台，16台． （3）解：设总利润为元，由题意得 当时， （元），对应方案：购进A型空调36台，B型空调14台． 当时， （元），对应方案：购进A型空调35台，B型空调15台． 当时， （元），对应方案：购进A型空调34台，B型空调16台． 因为 所以总利润最大的方案为购进A型空调34台，B型空调16台 答：三种进货方案的总利润分别为22000元，22500元，23000元，总利润最大的进货方案是购进A型空调34台，B型空调16台． 【变式】（25-26七年级下·全国·周测）制作好的茶叶会运往各地进行售卖，已知某茶叶经销商安排货车，欲将300件茶产品从某县运往甲、乙、丙三地销售．现要求运往乙地的产品件数是运往甲地产品件数的2倍，各地运送费用及路线如下图所示． (1)设安排运往甲地的产品件数为x，根据题目信息将下列表格填写完整． 甲地 乙地 丙地 产品件数 x 2x 运费/元 20x (2)若经销商运往丙地的产品件数不高于运往乙地产品件数的3倍，且总运费不超过5400元，请你帮经销商计算有哪几种运输方案． 【答案】(1)见解析 (2)一共有3种运输方案，分别如下：方案1：安排34件产品运往甲地，安排68件产品运往乙地，安排198件产品运往丙地；方案2：安排35件产品运往甲地，安排70件产品运往乙地，安排195件产品运往丙地；方案3：安排36件产品运往甲地，安排72件产品运往乙地，安排192件产品运往丙地 【思路引导】（1）根据运往丙地的产品件数总件数运往甲地的产品件数运往乙地的产品件数；运费相应件数一件产品的运费，即可补全图表； （2）根据经销商运往丙地的产品件数不高于运往乙地产品件数的倍，且总运费不超过元，求出的取值范围，再根据只能取整数，即可得出运输方案． 【规范解答】（1）解：表格填写如下： 甲地 乙地 丙地 产品件数 运费/元 （2）解：根据题意，得 解得 ∴该不等式组的解集为． 为正整数， 可取或或． 故一共有种运输方案，分别如下： 方案：安排件产品运往甲地，安排件产品运往乙地，安排件产品运往丙地； 方案：安排件产品运往甲地，安排件产品运往乙地，安排件产品运往丙地； 方案：安排件产品运往甲地，安排件产品运往乙地，安排件产品运往丙地． 【考点剖析】此题考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是读懂题意，找出之间的数量关系，列出不等式组，注意只能取整数． 题型讲练十五 不等式组的阶梯收费问题 【例15】（24-25七年级下·重庆·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 (1)若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元； (2)若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示） (3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？ 【答案】(1)； (2)，； (3)3月份用水立方米，4月份用水立方米． 【思路引导】本题主要考查了分段计费问题，涉及有理数运算、列代数式及一元一次方程的应用．熟练掌握分段计算费用的方法，根据不同用水量范围准确列出算式或方程是解题的关键． （1）根据价目表，将12.5立方米的用水量按不同单价分段计算，分别算出各段水费再求和． （2）当时，水费由6立方米按2元/立方米和超出6立方米部分按4元/立方米计算；当时，水费由6立方米按2元/立方米、4立方米（6到10立方米）按4元/立方米、超出10立方米部分按8元/立方米计算，据此列代数式． （3）分情况讨论3月用水量的范围，根据不同范围的水费计算方式列方程求解． 【规范解答】（1）解：应交水费：（元）， 故答案为：； （2）解：当时， 水费为（元） 当时， 水费为（元） 故答案为：，； （3）解：设3月份用水立方米，则4月份用水立方米，由题意得， ，即． 当，即时， 水费为． 令， 解得（舍去）． 若，即， 水费为． 令， 解得． ∴3月份用水立方米，4月份用水立方米． 【变式】（24-25七年级下·辽宁大连·期末）大连地铁票收费标准如下： 不超过，2元人次；超过到（含），元/人次； 超过到（含），4元/人次； 超过到（含），5元/人次； 超过到（含），6元/人次； 超过到（含），7元/人次； 超过到（含），8元/人次； 超过部分，票价每增加元可再乘坐． 一位乘客单次乘坐地铁购票花费了元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示的范围为______． 【答案】 【思路引导】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．根据“超过部分，票价每增加元可再乘坐”，结合一位乘客单次乘坐地铁购票花费了元，即按里程计算超过元且不超过元，可列出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围． 【规范解答】解：根据题意得：， 解得：． 故答案为：． 题型讲练十六 —元—次不等式组的其他应用 【例16】（25-26七年级下·重庆·期中）按如图所示的程序进行计算，若输入整数后，程序运行了两次后输出结果，则输入的整数的值可以是（   ） A．1 B．4 C．7 D．10 【答案】B 【思路引导】列出每一次运算的算式：第一次：，第二次：，再由运算进行2次才停止，列出一元一次不等式组求解即可． 【规范解答】解：由题意可知，第一次输出：， 第二次输出：， ∵程序运行了两次后输出结果， ∴， 解得：， 观察4个选项，只有4符合题意． 【变式】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，某校的饮水机有温水，开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为，整个接水的过程不计热量损失． 物理知识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可转化为：开水体积开水降低的温度=温水体积温水升高的温度． 阅读并结合以上信息解决下列问题： (1)甲同学要接一杯的水，如果他先接开水秒，则再接温水的时间为多少秒； (2)乙同学先接温水，再接开水，得到一杯的水，如果接水的时间是秒，求乙同学分别接温水和开水所用的时间； (3)丙同学要接一杯的温水和开水混合的水，现有两种方案可供选择，方案一：先接秒的温水，再接开水；方案二：先接秒的开水，再接温水；请你帮助丙同学分析一下哪种接水方案杯中水的温度会更高． 【答案】(1) (2)乙同学接温水所用的时间为，接开水所用的时间为 (3)当时，方案一的水温更高；当时，方案一、二的水温一样高；当时，方案二的水温更高． 【思路引导】（1）根据接水时间×速度＝体积，得到接温水的时间． （2）设乙同学接温水所用的时间为，根据接水的总体积列方程，得到接温水和开水的时间． （3）根据每个方案分别列出温水和开水的接水体积，设两种方案最终的温度值和，根据热量守恒列方程，得到和的值，分，，三种情况解得的取值范围． 【规范解答】（1）解：∵他先接开水秒， ∴他接开水的体积为：， ∴他接温水的体积为：， ∴他再接温水的时间为：； （2）解：设乙同学接温水所用的时间为，则他接开水所用的时间为， 根据题意可列方程：，解得：， ∴， ∴乙同学接温水所用的时间为，接开水所用的时间为； （3）解：方案一：丙同学接的温水体积为，则他接的开水体积为， 设接好后的水温为，则根据题意有：， 解得：， 方案二：丙同学接的开水体积为，则他接的温水体积为， 设接好后的水温为，则根据题意有：， 解得：， ∴当时，即时，解得：， 当时，即时，解得：， 当时，即时，解得：， 又∵，解得：， ∴当时，方案一的水温更高；当时，方案一、二的水温一样高；当时，方案二的水温更高． 题型讲练十七 列一元一次不等式 【例17】（25-26八年级下·全国·课后作业）用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C的含量及购买这两种原料的价格如下表： 原料 甲 乙 维生素C的含量/（单位/kg） 500 80 原料价格/（元/kg） 10 4 (1)现配制这种饮料10kg，要求至少含有3600单位的维生素C，试写出所需甲种原料的质量（单位：）应满足的不等式． (2)如果还要求购买甲、乙两种原料的总费用不超过65元，试写出应满足的另一个不等式． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）所需甲种原料的质量，则所需乙种原料的质量，根据“至少含有3600单位的维生素C”可得不等式； （2）所需甲种原料的质量，则所需乙种原料的质量，根据“甲、乙两种原料的费用不超过65元”列出不等式. 【规范解答】（1）解：设所需甲种原料的质量，由题意得： . （2）解：根据题意，得． 【考点剖析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系，列出不等式. 【变式】（25-26七年级下·安徽六安·期中）用甲、乙两种原料配制成某种饮料，设所需甲种原料的质量为．已知这两种原料中维生素的含量及购买这两种原料的价格如下表所示： 类别 甲种原料 乙种原料 维生素的含量/（单位/千克） 600 100 原料价格/（元/千克） 8 4 现配制这种饮料，要求含有不低于4000单位的维生素． (1)请列出应满足的不等式； (2)如果同时要求购买甲、乙两种原料的总费用低于72元，请解答以下问题： ①求出满足题意的的取值范围； ②计算此时这种饮料中维生素含量的范围． 【答案】(1) (2)①；②维生素含量 【思路引导】（1）由题中表格所给数据直接列不等式即可； （2）①由（1）中得到的不等式，结合要求购买甲、乙两种原料的总费用低于72元，组成不等式组求解即可；②设维生素的含量为单位，得到，结合①中的取值范围，由不等式性质求解即可． 【规范解答】（1）解：设所需甲种原料的质量为，则所需乙种原料的质量为， 则由题意可得应满足的不等式为； （2）解：设所需甲种原料的质量为，则所需乙种原料的质量为， ， 解得， 满足题意的的取值范围为； ②由①知满足题意的的取值范围为， 设维生素的含量为单位， 则， ， ， 即， 维生素含量． 题型讲练十八 用一元一次不等式解决实际问题 【例18】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）2026马年央视春晚中，机器人展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．若买2台A型机器人、3台B型机器人，共需340万元；若买3台A型机器人、2台B型机器人，共需360万元． (1)求A、B两种型号智能机器人的单价． (2)该企业现计划采购A型和B型机器人共15台，且总费用不超过1100万元．最多能买A型机器人多少台？ 【答案】(1)型智能机器人的单价为80万元，型智能机器人的单价为万元 (2)最多能买型机器人台 【思路引导】（1）设、两种型号智能机器人的单价分别为万元，万元，根据题意列出方程组即可得到答案； （2）设能买型机器人台，则能买型机器人台，根据题意列出不等式，即可得到答案． 【规范解答】（1）解：设、两种型号智能机器人的单价分别为万元，万元， 由题意得，， 解得， 答：型智能机器人的单价为80万元，型智能机器人的单价为万元； （2）解：设能买型机器人台，则能买型机器人台， 由题意得，， 解得，， 答：最多能买型机器人台． 【变式】（25-26七年级下·山西临汾·期中）综合与探究 问题背景 为庆祝“五一”国际劳动节，临汾某学校计划组织七年级师生开展“走进陶寺遗址，探寻文明根脉”的研学实践活动．陶寺遗址位于山西省临汾市襄汾县，是中华文明起源的重要见证．为保障本次研学活动顺利开展，学校向某旅游客运公司租用甲、乙两种型号的客车用于接送师生，已知该客运公司有甲、乙两种型号的客车共辆，它们的载客量、每天的租金如下表所示．在这20辆客车都坐满的情况下，共载客人． 甲型客车 乙型客车 载客量（人辆） 日租金（元辆） (1)求该旅游客运公司甲、乙两种型号的客车各有多少辆？ 问题解决 (2)该学校计划租用甲、乙两种型号的客车共辆，研学开始前，学校后勤部门核定了租车预算，经核算，本次租车的总费用不超过元． 至少要租用多少辆甲型客车？ 若七年级的师生共有人，请写出所有可能的租车方案，并确定最省钱的租车方案． 【答案】(1)甲型号客车有辆，乙型号的客车有辆； (2) 辆；共有种租车方案，详见解析，最省钱的租车方案为：租用辆甲型客车，辆乙型客车． 【思路引导】（）设甲型号客车有辆，乙型号的客车有辆，根据题意得，然后解方程组即可； （）设租用甲型号的客车辆，则租用乙型号的客车辆，由题意得，，然后解不等式即可； 由题意得，解得，所以，再结合为整数，则有或或，再分别计算三种方案的租车费用并比较即可． 【规范解答】（1）解：设甲型号客车有辆，乙型号的客车有辆， 根据题意得， 解得， 答：甲种型号客车有辆，乙种型号的客车有辆； （2）解：设租用甲型号的客车辆，则租用乙型号的客车辆， 由题意得，， 解得， ∵为整数， ∴的最小值为， ∴至少要租用辆甲型客车； 由题意得，， 解得， 由得， ∴， ∵为整数， ∴或或， ∴共有种租车方案，方案：租用辆甲型客车，辆乙型客车；方案：租用辆甲型客车，辆乙型客车；方案：租用辆甲型客车，辆乙型客车， 方案的租车费用：（元）； 方案的租车费用：（元）； 方案的租车费用：（元）； ∵， ∴最省钱的租车方案为：租用辆甲型客车，辆乙型客车． 题型讲练十九 用一元一次不等式解决几何问题 【例19】（24-25七年级下·江苏淮安·月考）如图：在长方形中，，，动点从点出发，先以的速度沿，然后以的速度沿运动，到点停止运动，设点运动的时间为秒． (1)①当点在上时，的面积与时间的关系________． ②当的面积时，时间________秒． (2)点整个运动过程中，是否存在这样的，使得的面积？如果存在，请求出的取值范围；如果不存在，请说明理由． (3)若另一动点与动点同时从点出发，先以的速度沿，然后以的速度沿运动，到点后立即原路返回，并且在边，上的速度等于原速，当点停止时点也随之停止．在整个运动过程中，是否存在时间使得的面积总大于的面积，如果存在，直接写出的取值范围；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；②或 (2)存在；或 (3)存在；或 【思路引导】（1）①根据三角形面积公式进行求解即可； ②分两种情况：当点在上时，当点P在上时，分别列出方程求出结果即可； （2）分两种情况：当点在上时，当点P在上时，分别列出不等式求出结果即可； （3）分四种情况：当点Q从点A向点B运动时，当点Q从点B向点C运动时，当点Q从点C向点B运动时，当点Q从点B向点A运动时，分别列出不等式进行求解即可． 【规范解答】（1）解：①当点在上时，的面积与时间的关系为： ； ②当时，点P在上，， 解得：； 当时，点P在上，， 解得：， 综上分析可知：或； （2）解：存在； 当时，点在上，， 解得：， ∴此时； 当时，点在上时，， 解得：， ∴此时； 综上分析可知：或； （3）解：存在； 当时，点Q从点A向点B运动，， ∴， ∴当时，； 当时，点Q从点B向点C运动，则， 解得：， ∴当时，； 当时，点Q从点C向点B运动，则， 解得：， ∴此时没有符合条件的t存在； 当时，点Q从点B向点A运动，， 整理得：， ∵此时， ∴， ∴总成立， ∴时，； 综上分析可知：或时，． 【考点剖析】本题主要考查了列代数式，求不等式的解集，一元一次方程的应用，三角形面积计算，解题的关键是注意进行分类讨论． 【变式】（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在中，是边上的高，，，．点在高上，且．点从点出发，沿折线方向以每秒2个单位长度运动，到达点时停止，设点运动时间为秒． (1)求点整个运动过程共需多少秒？ (2)当点在边上运动，且以点、、为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求的值； (3)当的长大于点运动总路程的时，求的取值范围． 【答案】(1)12秒 (2)2或6 (3)或 【思路引导】本题考查一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，注意分情况讨论是解题的关键． （1）利用速度、路程、时间的关系求解； （2）当点在边上运动，且以点、、为顶点的三角形是等腰直角三角形时，，分点P在点D左侧与右侧两种情况，根据列方程，即可求解； （3）点运动总路程为，分“点在边上运动”和“点在边上运动”两种情况，根据的长大于点运动总路程的列不等式，解不等式即可． 【规范解答】（1）解：， （秒）， 即点整个运动过程共需12秒； （2）解： 是边上的高， 当点在边上运动，且以点、、为顶点的三角形是等腰直角三角形时，， 当点P在点D左侧时，，即， 解得； 当点P在点D右侧时，，即， 解得； 综上可知，的值为2或6； （3）解：点运动总路程为， 当点在边上运动时，， 则， 解得； 当点在边上运动时，， 则， 解得， 点整个运动过程共需12秒， ， 综上可知，的取值范围为或． 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）若关于x的不等式组，恰有3个整数解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】先分别解不等式组中两个不等式，得到不等式组的解集，再根据恰有3个整数解的条件，确定a的取值范围． 【规范解答】解： 解①得 解②得 ∴不等式组的解集为 ∵不等式组恰有个整数解， ∴整数解为，共个 ∴ 不等式两边同除以，得 2．（25-26七年级下·安徽亳州·月考）若，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】不等式性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．据此逐一判断选项可得到结论． 【规范解答】解：A、，不等式两边同乘正数，不等号方向不变，，A一定正确，不符合题意； B、，不等式两边同乘负数，不等号方向改变，得，不等式两边同加，不等号方向不变，，B一定正确，不符合题意； C、当，时，满足，但，，此时，因此C不一定正确，符合题意； D、，，D一定正确，不符合题意． 3．（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）把一些书分给若干名同学，若每人分12本，则有剩余；若______．依题意，设有x名同学，可列不等式．则横线上的条件应该是（  ） A．每人分8本，则剩余6本 B．每人分8本，则恰好可多分给6个人 C．每人分6本，则剩余8本 D．其中一个人分8本，则其他同学每人可分6本 【答案】B 【思路引导】根据不等式各部分的实际意义，结合x表示原同学人数，分析不等式中每个代数式对应的实际含义，即可判断横线上的条件． 【规范解答】解：∵设有名原同学，给出的不等式为 ， ∴代表每人分本，代表比原人数多个人，即可以多分给个人， ∴横线上的条件为每人分本，则恰好可多分给个人． 4．（25-26七年级下·湖南娄底·期中）关于x的不等式组的解集中任意一个x的值均不在的范围内，则m的取值范围是______． 【答案】或 【思路引导】先解不等式组，得到解集为，根据题意，解集中任意均不在范围内，则有或，求解得到的取值范围． 【规范解答】解：解不等式组得， ∵解集中任意的值均不在范围内， ∴或， 解得或， 因此，的取值范围是或． 5．（25-26七年级下·上海普陀·期中）如果关于的不等式的正整数解有4个，那么的取值范围是______． 【答案】 【思路引导】先解出不等式，再根据正整数解得到答案即可． 【规范解答】解：， ∴， 由关于的不等式的正整数解有4个， ∴关于的不等式的正整数解是1、2、3、4， ∴， ∴. 6．（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）若关于x、y的二元一次方程组的解满足，则k的取值范围是______． 【答案】 【思路引导】把方程组中的两个方程的左右两边分别相加可得，则，据此根据题意建立关于k的不等式，解不等式即可得到答案． 【规范解答】解： 得， ∴， ∵关于x、y的二元一次方程组的解满足， ∴， ∴． 7．（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）已知与，都是方程的解． (1)求k、b的值； (2)若y的值不小于0，求x的取值范围； (3)若，求y的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】（1）将与代入求解即可； （2）由（1）得，根据“y的值不小于0”列不等式求解即可； （3）由（1）得，进而得到，根据列不等式组求解即可． 【规范解答】（1）解：根据题意，得， 解得； （2）解：由（1）得， ∵， ∴， 解得； （3）解：由（1）得， ∴． ∵， ∴， 解得． 8．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）阅读材料，回答问题： 我们把关于x的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组成一种组合，当一元一次方程的解正好在一元一次不等式的解集里时，我们把这个方程的解叫“集内点”，当一元一次方程的解不在一元一次不等式的解集里时，我们把这个方程的解叫“集外点”． (1)请直接判断下列组合中方程的解是_____（填“集内点”或“集外点”）； (2)若关于x的组合中方程的解是“集内点”，求a的取值范围． 【答案】(1)集外点 (2) 【思路引导】本题先分别求解组合中的一元一次方程和一元一次不等式，再根据题干中“集内点”“集外点”的定义进行判断或求解参数的取值范围，用到的知识点为一元一次方程和一元一次不等式的求解方法． 【规范解答】（1）解：解方程， 移项得， 系数化为1得， 解不等式， 移项得， 系数化为1得， 不在的解集内， 方程的解是集外点． （2）解：解方程， 移项得， 系数化为1得， 解不等式， 两边同乘2得， 移项合并同类项得， 系数化为1得， 方程的解是“集内点”， 满足，即， 的取值范围是． 9．某网店销售甲、乙两种书包，已知甲种书包每个售价比乙种书包每个售价2倍少30元，网购2个甲种书包和3个乙种书包共花费255元（免运费）．请解答下列问题： (1)该网店甲、乙两种书包每个售价各是多少元？ (2)根据消费者需求，该网店决定用不超过8900元购进甲、乙两种书包共200个，且甲种书包的数量超过87个，已知甲种书包每个进价为50元，乙种书包每个进价为40元，该网店有哪几种进货方案； (3)在（2）条件下，若该网店推出促销活动：一次性购买同一种书包超过10个，赠送1个相同的书包，该网店这次所购进书包全部售出，共赠送了4个书包，获利1250元，直接写出该网店甲、乙两种书包各赠送几个． 【答案】(1)甲、乙两种书包每个售价分别是60元，45元 (2)共有三种进货方案，方案1：购甲88个，乙112个．方案2：购甲89个，乙111个．方案3：购甲90个，乙110个 (3)赠甲书包1个，乙书包3个 【思路引导】（1）设甲种书包每个售价x元，乙种书包每个售价y元，根据数量＝总价÷单价结合“甲种书包每个售价比乙种书包每个售价2倍少30元，网购2个甲种书包和3个乙种书包共花费255元”列出方程组并解答； （2）设购进甲种书包m个，则购进乙种书包个，根据用不超过8900元购进甲、乙两种书包共200个，且甲种书包的数量超过87个，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数即可得出各进货方案； （3）先假设该网店甲书包赠送了n个，则乙书包赠送了个，根据题意：总利润=总销售额-总成本，其中赠送的书包不产生销售收入，但其成本已包含在总成本中，则可列出方程，求出n的值即可． 【规范解答】（1）解：设甲种书包每个售价x元，乙种书包每个售价y元， 根据题意得， 解得． 答：该网店甲种书包每个售价60元，乙种书包每个售价45元； （2）解：设购进甲种书包m个，则购进乙种书包个， 根据题意可得． 解得． ∵， ∴． ∵m为整数， ∴、89、90， ，111，110． ∴该网店有3种进货方案： 方案一、购进甲种书包88个，乙种书包112个； 方案二、购进甲种书包89个，乙种书包111个； 方案三、购进甲种书包90个，乙种书包110个． （3）解：分三种情况： ①购进甲种书包88个，乙种书包112个时： 设该网店甲书包赠送了n个，则乙书包赠送了个，根据题意得， ， 解得， ∵n是整数，故此种情况不成立； ②购进甲种书包89个，乙种书包111个时： 设该网店甲书包赠送了n个，则乙书包赠送了个，根据题意得， ， 解得，， 故甲书包赠送1个，乙书包赠送3个． ③购进甲种书包90个，乙种书包110个时： 设该网店甲书包赠送了n个，则乙书包赠送了个，根据题意得， ， 解得， ∵n是整数，故此种情况不成立． 综上，甲书包赠送1个，乙书包赠送3个． 【考点剖析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 10．西乡塘区金陵镇三联村打造千亩香葱产业示范区，2017年被认定为广西现代特色农业乡级示范园．如今，三联村绝大部分的香葱成功销往北京、郑州等地． (1)2022年初，又到香葱丰收季，三联村委招聘工人采摘香葱，已知3个熟练工和2个新手每天可以采摘1220千克，4个熟练工和1个新手每天可以采摘1360千克，求1个熟练工和1个新手每天分别采摘多少千克香葱？ (2)今年3月，北京荔胜蔬菜批发公司张经理到三联村收购了30吨香葱，已知香葱收购价为4元/千克，这批香葱运往北京的损耗率为，运费为15000元．设香葱在北京的售价为m元/千克． ①当时，销售这批香葱可获利润多少元？ ②为保障公司利润，在北京销售这批香葱的利润率不低于，求m的最小值． 【答案】(1)1个熟练工每天采摘300千克香葱，1个新手每天采摘160千克香葱 (2)①当时，销售这批香葱可获利润9000元；②m的最小值为6 【思路引导】（1）设1个熟练工每天采摘x千克香葱，1个新手每天采摘y千克香葱，根据“已知3个熟练工和2个新手每天可以采摘1220千克，4个熟练工和1个新手每天可以采摘1360千克”，列出方程组求解即可． （2）①根据“利润 实际销售总额 收购成本 运费”求解即可； ②根据“这批香葱的利润率不低于”列出不等式求解即可（利润率 (总销售额总成本) 总成本，其中总成本收购价 数量运费）． 【规范解答】（1）解：设1个熟练工每天采摘x千克香葱，1个新手每天采摘y千克香葱， 根据题意得：， 解得：． 答：1个熟练工每天采摘300千克香葱，1个新手每天采摘160千克香葱； （2）解：①根据题意得：（元）． 答：当时，销售这批香葱可获利润9000元； ②根据题意得：， 解得：， ∴m的最小值为6． 答：m的最小值为6． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $