达芬奇椭圆仪：猫的运动轨迹与解析动态可视化动画

猫的运动轨迹与达·芬奇椭圆仪 查看图形演示 查看分步解析 几何轨迹·解析法·动态演示 题目原文展示区 (阅读题)猫的运动轨迹与达·芬奇椭圆仪一一架立在光滑地板上的梯子抵墙下滑，一只猫坐在梯子的正中间不动。试求在梯子下滑 过程中猫的运动轨迹。在这一生动有趣的叙述后面，我们可见到下面的数学问题： 已知一个直角，一条长度为d的线段的两个端点分别在这个直角的两边上滑动，求线段中点的轨迹。 如果这只猫没有坐在梯子的正中间，那么在梯子下滑过程中，它沿怎样的一条路线运动？下面我们用解析法来描述猫运动的轨迹。 以直角的两边所在的直线分别作为x轴和y轴，建立直角坐标系。过点M作MC⊥AO于点C,MD⊥BO于点D。设BM=a, AM=b,M(X,y),A(m,0),B(0,n)。根据△BMD△BAO,得益=，即m=atb。同理得n=a+by 因为m2+2=(a+b)2,将上面的m,n代入并化简，得号+卡=1，其中x,y均为正数。因此，这只猫沿着一段椭圆弧运 动。 上面的结果与用来作椭圆的“达·芬奇椭圆仪”的工作原理非常相似。制作椭圆仪的方法如下：用两根木条钉成十字架，木条中间挖一道 槽。在另一活动木条PBA的P处钻一小孔，可以容纳笔尖。A、B是两个滑钉，可以放在移动凹槽内配合AP=a、BP=b的长 度。当A、B各在一条槽内移动时，P处笔尖就画出一个椭圆。你能解释它的原理吗？