浙江杭州学军中学2025-2026学年高二下学期数学周末练（7）

《杭州学军中学2025学年高二（下）数学周末练（7)》参考答案 题号 2 3 4 6 8 9 10 答案 B 0 A A B BD ABC 题号 11 答案 ACD 1.B 【详解】质数了的定义线为0心121， 则-1≤x2-1<0或x2-1≥3， 1-1, 当-1≤2-1<0时， 当-123时，0<x-3 1<1 综上，此函数的值城为，小0引 2.D 【详解】在ABC中，cosB<a,由余弦定理得c.a+c2- -<a, 2ac 整理得a2+b>c2,则cosC=a2+b-c2 >0,因此0<C< 2ab 2, 显然A,B之一可以是钝角，也可以是直角，这两个角还可以都是锐角 3.C 【详解】PAB)=PAB说明了A的发生与否与B的发生与否无关， 即A与B相互独立，其等价于A与B相互独立， 而由事件独立性定义可知：当P(BA=P(B)时，A与B相互独立，故为充要条件 4.A 【详解】二顶式x+(aeN)的展开式的第r+1项为： T,1=C·x"- 2 =C2x-2r,r=01,2,,n, 所以第6项的系数为C2,第7项的系数C26. 又第6项系数与第7项系数之比为3：1，所以C2 C203, 答案第1页，共2页 n! 2 所以5n-5! n.26 3,所以23，解特n=6 6(n-6)！ 5.A 【详解】由递推关系得a3=a2+a1=3,a4=-a3+a2=-1,a5=a4+a3=2, a6=-a5+a4=-3,a,=a6+a5=-1,ag=-a,+a6=-2, a=ag+a1=-3,a0=-a,+ag=1,a1=a10+a,=-2, a12=-a1+a10=3,a13=a12+a1=1,a14=-a13+a12=2…, 所以{an}的周期为12，则a2o26=a1。=1,故A正确，B错误； 一个周期内的和为1+2+3-1+2-3-1-2-3+1-2+3=0， 则S2o26=168×0+1+2+3-1+2-3-1-2-3+1=-1,故C、D错误 6.B 【详解】函数f(x)=ex+x2-x,定义域为R 易知函数-e-只含项 因此f关于直线x对称当塔大时，（x- 增大，函数值增大， 所以八在习上单调通减 在行*网上早潤途格 f(m<f(m+2)等价于m离的距离小于m+2离)的距离大小问题， 即+2-两边平方ma+: 整理得-4m<2,解得m>- 故m的取值范围为 -2+0 7.A 【详解】如图，过P点做PD⊥x轴于点D 答案第1页，共2页 PF-PF =2d PF =4a 由 Ps=PA PF =2a 由PF,=PA→D为AF,中点 又4a0,c0,所以D(20小所以40=0s=c--22 2 2 在RuaPos.Po-Pef-r-2af-2j-15o-g2ac 4 在w05中，9f-+pm=-e+-2 4 整理得：c2+ac-6a2=0. 因为e=￡，所以e+e-6=0→e+3(e-2)=0. 又e>1,所以e=2. 即所求双曲线的离心率为2 8.C 【详解】依题意，该船空船时不受水深影响，设卸货前的吃水深度为d,在xh时的安全水 深为m, 则y=d+1.5-兀(x-4x≥4，令f)=V2 sinx+5.5,x∈[4,12]，求导得 f()-zn -C0s。x, 8 8 如图， 坏 y=√2sin(受x+5.5 5.5 y=gx.41.5+d 041012 答案第1页，共2页 当直线y=d+1.5-工(x-4x≥4与曲线y=f相切时，d达到最大值， 8 此时0=爱则m爱=9，由42，为号1，解=6成=0， 2 当x=6时，f0=65,d+15-受6-)=65，解得d=5+子而 fx)=5.5+V2<d+1.5,不符合题意： 当x=10时，f00=45,d+15-00-4到=45，解特d=3+经536，符合题意， 所以其卸货前的吃水最大深度约为5.36m,对比选项可知C选项最接近. 9.BD 【详解】设z1=a+bia,beR),则其共轭复数z2=a-bi, z,-z2=a+bi-(a-bi=2bi,当b≠0时为纯虚数，不一定是实数，故A错误； z1z2=(a+bi)(a-bi=a2-b22=a2+b2,是实数，故B正确： =a+bi_(a+bi)'a2-b2+2abi 22a-bi（a-bi(a+bi)）a2+b2 当a≠0，b≠0时，虚部2ab 。+*0,不一定是 实数，故C错误； z+z号=(a+bi)2+(a-bi)2=a2-b2+2abi+a2-b2-2abi=2a2-2b2,是实数，故D正确. 故选：BD 10.ABC 【详解】因为随机变量ξ~N(0,1,则正态分布的对称轴4=0， 选项A:f(0)=P(5≤0)=0.5，故A正确； 选项B:随着x逐渐增大，P(5≤x逐渐增大且连续，所以f(x是增函数，故B正确； 选项C:根据对称性可得f(-x=P(5≤-x=P(5>x), 又P(5>x)=1-P(5≤x)=1-f(x),所以f(-x)=1-f(x),故C正确： 选项D:P(≤x)=P(-x≤5≤x)=P(5≤x)-P(E<-x) =f(x)-f(-x)=f(x)-(1-f(x)月=2f(x)-1,故D错误； 11.ACD 答案第1页，共2页 【详解】选项A若点(x,y)在曲线Γ上，满足2(x+y)=(x-y) 将(-x,-y)代入方程，左边=2(-x-y)=-2(x+y),右边=(-x+y)3=-(x-y)3=-2(x+y)= 左边， 因此（一x,一y)也在曲线Γ上，曲线关于原点中心对称，A正确 选项B.联立y=x(k≠)代入曲线方程，整理得x21+k)-(1-k)'x2=0, x=0是一个解，剩余=20+当20+想<0（如k=-2)时，无额外实根，仅1个交点， 1-k)3(1-k)3 不是一定有三个交点，B错误 选项C.令”=x-y,则y=x-“,代入原方程可得参数形式：x=心+2，y u3-2u 4 对0侧求导得x=3+2>0,故四是R上严格增函数，与X一一对应， 4 因此每个x对应唯一y，满足函数定义，曲线可以作为函数的图像，C正确 选项D.x20即心+2≥0，因+2>0，故u≥0. 4 对侧)-”，2u求导得y)-3-2,令y=0,得驻点u=6u≥0， 4 4 3 6) 代入得 -2.6 3 3V6,D正确， ymin 4 9 12.2 【详解】由题意有， 则令f(a)= 1 a(a>-2且a≠0)， 2aa+ 求河商，@a这，a=2a 21 为f@)的极值点， 3 上取得最小值 调为a<c部则当a=2时，名号 1. 【详解】己知sin(C-B)=2sinA,则sin C cosB-cosC sin B=2sinA, 又由正弦定理有c cos B-bcosC=2a, 答案第1页，共2页 又由余弦定理有c。+c2-b-b.。+b2-c=2a,化简得2a=c2-b2O, 2ac 2ab 已知2ac0sB=3 bcosA, 则由余弦定理有2a。+c--36.+c心-。，化简得5=c2+5动@， 2ac 2bc 联立①②及c=5,解得a=√0，b=√5， 又由余弦定理有cosA= b2+c2-a25+25-1025 2bc2×V5×5 5 又在48C中，Ae0,,所以snA=5 故BC的面积为S.4c=)besin4A=x5x5x5_ 1 2 2 、52 14.12-82 【详解】当8≤0时，即a≤0时，f(x)=x2-ax≥0在0,2]恒成立， ·f(x=f(x),此时在[0,2]上单调递增， .f(xma=f(x)m=f(2)=22-2a=4-2a,.k≤4-2a对任意的a≤0成立，.k≤4； 当号≥2时，即a心4，f(x=x2-ax≤0在[0,21恒成立， 0 2 .f(x)=-f(x),f(x此时在[0,2]上单调递减， f(xma=-f(x)mim=f(2)=-22+2a=-4+2a,k≤-4+2a对任意的a≥4成立，.k≤4； 当0<51时，即0<2时，f八纠此时在0，上单调递减，，2习上单调递增， 答案第1页，共2页 且f(x≤0在[0，a]恒成立，f(x)≥0在[a,2]恒成立， al/1max=mar21,-f(8》 又-f}-2到-年+2a40时，即2≥a2-4+4W5时，/mm=g a2主 :k≤a对任意的a≥-4+45成立，k≤12-82： 4 0≤a≤-4+4v2时，f(x)max=4-2a, a 2x k≤4-2a对任意的0≤a≤-4+4V2成立， k≤12-8√2； 当长分<2时，即2<a<4时，了)a=-侣)=年k年对任意的2<a<4成立， 2 4 4 .k≤1； 综上所述：k≤12-82； 故答案为12-8√2 15.【详解】(1)因为2S。=(3”-1a,所以当n≥2时，2S1=(31-1a, 两式相减得，2S,-2S1=(3”-1a。-(3-1-1a1, 化简可得(3”-3a。-(3-1-1an-1=0,所以3an-am-1=0,即3an=a-1, 又a-兮可科。-有所以发列是以首欧 3 为公比的等比数列， 可)-) 答案第1页，共2页 anag周传o 则b.1-aS 鸣百g百gg⑥ 2 +1 8,则T28 16.【详解】(1)连接CE,由E为AD中点，则BC=AE,又BC/IAD, 则四边形ABCE为菱形，设AC∩BE=O,则O为AC中点， 则AO=A0=C0,故A,A⊥AC; (2)当AC=2A,A=2V3时，△OAA,是边长为√5的等边三角形， 又因为梯形ABCD的面积为3√5，所以△ABE的面积为√5， 所以8E0A=V5,所以BE=2, 以0为坐标原点，以OB,OC分别为x,y轴建立空间直角坐标系，如图所示， 答案第1页，共2页 则sLao,ck50j.o250小，a-5 所以AC= 9 BC=（-1,5,0),CD=(-20,0), 设n=(x,y,z为平面ABC的法向量，则 R·4C=0 z·BC=0 353 即2y2=0,令y=1,则x==5,所以元=(5,15， z=0 -x+V3y=0 n2·AC=0 设n2=(a,b,c为平面A,CD的法向量，则 .CD=0 3V5.3 即 2h-2c=0,令6=1，则a=0,c=5,所以m=01,5, -2a=0 所以C0sn,h2= n242√7 277, 因此，平面ABC与平面ACD夹角的余弦值为27， 7: (3)过A作AM⊥AO,垂足为M, 因为四边形ABCE为菱形，所以BO⊥OA,BO⊥OC,即B0⊥OA,BO⊥OC, 又OA,OC是平面AA,C内的两条相交直线， 所以B0⊥平面AAC,因为A,Mc平面AAC,所以B0⊥A,M, 又因为AO∩B0=O,AO、BOc平面ABCD,所以A,M⊥平面ABCD, 设BE=A4=2a,∠BA0=0,则B0=a,A0=A0=,a tan0' 根据△ABE的面积为V5,得×2a×A0=V5,即a2=5an0, 答案第1页，共2页 要使三棱锥A-ABE的体积最大，则AM最大， 因为c0s∠404=40+A0_44=1-2am0, 2A0×A0 所以sin∠A0A=1-(1-2tan20)=2vfan0-tang, 4M=40-snL404=2G1-am间=25am0-am0,其中8e0好】 令x=tan0,记f(x=x-x3(0<x<1,f'(x=1-3x2, 令川x=0,x=5,或x=-5 (舍) 上单调递增， 当e5时，f<0.f在 上单调递减， 所以x刘≤3) V3_2W3 即AMs25x25_26 9 3 所以三棱锥A-ABE的体积最大值为)×5×26_22 3 3 因此，四棱锥A-ABCD体积的最大值为2√2 17.【详解】(1)当2≥50时，泊松分布近似于正态分布，且满足X~N(2,1,若 X~Poi(900, 当1=900时，泊松分布X~Poi900)近似于正态分布X~N(900,900), 即4=900，。=√900=30，要计算P(870<X<930), 根据正态分布的性质，P(u-o<X<4+o)≈0.6827， ∴.P(870<X<930)≈0.6827. (2)当n≥20,0≤p≤0.05时，可以用泊松分布Poi(np近似二项分布B(n,p), 即对于X~B(n,p,Y~Poi(np), 设X,为配送延迟包裹数，则X1=0,1,2,X1~B(30000,0.0001, :n1=30000>20,0<p1=0.0001<0.05, 答案第1页，共2页 元=n1P1=30000×0.0001=3, :P叫X=A利a2em k！ 行e3, 那么，某天至少3起配送延迟的概率约为： P(X,≥3)=1-P(X,=0)-P(X,=1-P(X,=2 ≈1-e3-3e3_9e -≈0.58. (3)由P(X≤1)> ,得PX=0)+PX=1> 5ve 2e2 根据泊松分布的概率公式：P(X=0)=e,P(X=1)=e,得(2+1)e> 5ve 2e21 设h(2)=(2+1)e(元>0)， 由h'(2)=-1e<0,知h(2)在(0，+oo）上为减函数. 3 (2+1)e> 5,.元+1、1 2e2’ 2, e e2 h(2)>h 即0<1<2 3 :2的取值范国为Q》 18.【详解】(1)依题意，a-c=2-√2，b=√2，a2=b2+c2, 架得a=2.,所以雨C的方我为号+号-1： (2)①设点P(x,y),Q(x2,y2),设直线PQ的方程为x=y+m, 2+2y=4’得+2y2+2m+m2-4=0: x=ty+m 由 △=412m2-42+2(m2-4=822-m2+4>0, 答案第1页，共2页 2tm 且y+y2= 产+2’5=m2-4 Γt2+2 Pg=i+fy-为=+V男+2-4=+F.222-m2+4 t2+2 原点O到直线PQ的距离h= 5.mo0-P m t2+2 依题意知，0E=0P+00,则点E(x1+x2,+), 由点E在椭图C上，得(5+户+2y+=4,又+2=4 x+2y=4 代入整理得xx2+2yy2+2=0,即(y+m)(y2+m)+2yy2+2=0, 整理得(+2)+my+)+m2+2=0,即2m2-2-24m =0 2+2 则t2+2=2m2 因此Sme=2S,e=2V5m.V2r-m+ 5m-6 t2+2 =2V 所以该平行四边形面积S。os=V6为定值。 ②点A-2,0, 由①得线段AP的中点 x-2 AQ的中点 2,2m*-2, x2-2 2’2 x=-0.5 M 线段P的中垂线方程为y-片=-+2x-5,2）,即y=-x+2x-4, 2y（”2 y 2 同理线段40的中垂线方程为y=-5+2x-上】 y2 2 1y2(-y2)1y2y-2) =1.y=1m-2 则x=26+2引-5+22y(+m+2-0+m+22m+22F+2 由△P0的外心M在直线x=号上，符子-月 2^P+22解得m=-4, -2m-m2+4>0 而22-m2+4>0,则 m≠-2 ,解得-2<m≤0或-1-5<m<-2, m=-t2≤0 答案第1页，共2页 则m取值范围为(-1-5，-2u(-2,0. 19.【详解】(1)设s()=osr-1+,0<r≤1，则g(x)=sinr+ 4 : 0, 令p到=sin+,xea0写引，测p到=sr+ 得g'(x在区间(0，上单调递减， 故g'(x<g'(0)=0,所以gx)在区间(0，上单调递减，因此g(x)<g(0)=0. 所以当0<≤1时，<1-式 (2)方法一：（数形结合）由题： sinx≤ax,令f()=2+cosx sinx 2+cosx 不等式fx≤ar恒成立，说明函数fy=,sin,x0,+o)的图象在直线y=ar的下方. 2+cosx 柔数小小-2的同期为2,1到 2cosx+1 (2+cosx)2 当xe2m-2,2km+ 2π 3 时，2cosx+1>0,f'(x>0: 3 当re2+2 3时，2cosr+1<0,f"(x)<0. 4 故函数f(x在区间2km- (keZ)上单调递增， 在区间2+子2a+智eZ上单调觉 可作出函数f(x)的图象如图所示. 注意到/0-了：y=2在：=0处的切线斜字为了直线“的斜率为a 于是，对任意x0+四，当且仅当a≥写时，f到≤ar成立. y-ax y=f代x) 方法二：设函数h(x)=ax- sinx 2+cosx 'r之0，求导得h(x)=a-cosx(2+cosx+sin2x (2+cosx)2 答案第1页，共2页 1+2cosx 2 3 =Q- (2+cosx)2 =a-2+cox(2+cosx) +a- 3 当a≥写时，20，函数到0+a上单谓递蜡，20=0，因此a≥行 当0<a<有时，令p()=sinr-3ax≥0，求导得o'=cosr-3a,3a∈(0，， 则30引，使得9（小=0， 当0<x<时，p'(x>0,函数px在(0，x。)上递增， 当0<x<x时，p(>p0)=0,即simr>3ar,因此，sinx>sinx>m, 2+cosx 3 此时h(x)=ax sinr<0,不符合题意： 2+cosx 当a≤0时， <0,不符合题意，所以cf的取值范围a≥行 (3)由(2)可知，当x>0时， 2+c0i2+co sinx 1 3 1 2+c0s x2 xsin≤ x,由(1)可知cosx<1- 4 3 22 x< 3 3 12x2 豆sm12-)12言管得证 答案第1页，共2页 杭州学军中学2025学年高二（下）数学周末练（7） 命题人：徐秋英 审题人：胡满 一、单选题 1．若函数的定义域为，则此函数的值域为（   ） A． B． C． D． 2．在中，，，分别为，，的对边，若，则为（   ） A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．以上三个选项都有可能 3．已知为随机事件，且，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知的展开式中，第6项系数与第7项系数之比为3:1．则n的值为（   ） A．6 B．7 C．12 D．11 5．数列满足：为的前项和，则（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，则满足的的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．已知双曲线的左､右焦点分别为为右顶点，是上一点，若，则的离心率为（    ） A．2 B． C． D．3 8．根据预报数据，某港口某一天的水深（单位：）与时间（单位：）的关系可以用函数来近似描述．现有一艘货船准备在这天4：00进入港口并及时卸货，已知该船空船时的吃水深度（船底与水面的距离）为，在卸货过程中，其吃水深度以的速度减少，且安全间隙（船底与海底的距离）为．若要保证该船能在当天安全驶出港口，则其卸货前的吃水最大深度约为（ ） A． B． C． D． 二、多选题 9．设，是共轭复数，则下列运算结果一定是实数的有（    ） A． B． C． D． 10．已知随机变量，则（    ） A． B．是增函数 C． D． 11．已知曲线，则下列说法正确的有（    ） A．曲线是中心对称图形 B．曲线与直线有三个不同的交点 C．该曲线可以成为一个函数的图象 D．当时， 三、填空题 12．设，则当 ______时，取得最小值. 13．记的三个内角所对的边分别为，已知，，,则的面积为__________． 14．已知，若对任意的，存在，使得成立，则实数k的最大值是_____． 四、解答题 15．（13分）记为正项数列的前项和，且，. (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和为，证明：. 16．（15分）如图，在面积为的梯形中，，，为的中点． 将沿翻折至． (1)证明：； (2)当时，求平面与平面夹角的余弦值； (3)当时，求四棱锥体积的最大值． 17．（15分）泊松分布（Poisson Distribution）是一种重要的离散型分布，用于描述稀有事件的发生情况．如果随机变量X的所有可能取值为0，1，2，…，且，，其中，e为自然对数的底数，则称X服从泊松分布，记作． (1)当时，泊松分布近似于正态分布，且满足，若，求的近似值； (2)已知当，时，可以用泊松分布近似二项分布，即对于，，当k不太大时，有．已知某快递公司共有30000个包裹待配送，每个包裹有0.0001的概率出现配送延迟．试估计某天出现至少3起配送延迟的概率；（保留两位有效数字） (3)若，且，求的取值范围． 参考数据：若，，则有，，． 18．（17分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆的左顶点为A，椭圆上动点到左焦点与原点O的最小距离分别为、． (1)求椭圆C的方程； (2)若直线l与椭圆C交于P，Q两点且直线l方程为 ①点E是椭圆C上的动点，若四边形为平行四边形，证明该平行四边形面积为定值； ②若点M为的外心，且M在抛物线的准线上，求实数m的取值范围． 19．（17分）（1）证明：，； （2）实数，若不等式在恒成立，求实数a的取值范围； （3）证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $