圆锥曲线中的证明、定值和定点问题 课件-2026届高三数学三轮复习

　圆锥曲线中的证明、定值和定点问题 题型1　证明问题 【例1】(2025·天津卷)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，P为直线x＝a上一点，且直线PF的斜率为，△PFA的面积为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点P的直线与椭圆有唯一交点B(异于点A)，求证：PF平分∠AFB． (1)【解析】依题意，设椭圆＋＝1(a>b>0)的半焦距为c，则左焦点为F(－c，0)，右顶点为A(a，0)，离心率为e＝＝，即a＝2c，因为P为直线x＝a上一点，所以设P(a，m).又直线PF的斜率为，所以＝，即＝，所以＝，解得m＝c，所以P(a，c)，即P(2c，c).因为△PFA的面积为，|AF|＝a－(－c)＝a＋c＝3c，|AP|＝|m|，所以S△PFA＝|AF|·|AP|＝×3c×c＝，解得c＝1，所以a＝2c＝2，b2＝a2－c2＝3，所以椭圆的方程为＋＝1. (2)【证明】由(1)可知P(2，1)，F(－1，0)，A(2，0)，易知直线PB的斜率存在，设其方程为y＝kx＋m，则1＝2k＋m，即m＝1－2k，联立消去y得(3＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，因为直线与椭圆有唯一交点，所以Δ＝(8k·m)2－4(3＋4k2)(4m2－12)＝0，即4k2－m2＋3＝0，所以4k2－(1－2k)2＋3＝0，解得k＝－，所以m＝2，所以直线PB的方程为y＝－x＋2，联立解得 所以B，所以＝，＝(3，1)，＝(3，0)，所以cos ∠BFP＝＝＝，cos ∠PFA＝＝＝，所以cos ∠BFP＝cos ∠PFA，又∠BFP，∠PFA∈，所以∠BFP＝∠PFA，即PF平分∠AFB． 【变式】已知椭圆＋＝1(a>b>0)过点(2，)，离心率为. (1)求椭圆的方程． (2)过点P(0，1)作椭圆的两条弦AB，CD(A，C分别位于第一、二象限).若AD，BC与直线y＝1分别交于点M，N，求证：＝. (1)【解析】因为椭圆＋＝1过点(2，)，所以＋＝1，又＝，所以c2＝.又a2＝b2＋c2，所以a2＝8，b2＝4，故椭圆的方程为＋＝1. (2)【证明】由题意，可设直线AB的方程为y＝k1x＋1，直线CD的方程为y＝k2x＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，点M，N的横坐标分别为xM，xN.将直线AB的方程代入椭圆的方程＋＝1中，整理得(1＋2k)x2＋4k1x－6＝0，所以x1＋x2＝－，x1x2＝－，同理得x3＋x4＝－，x3x4＝－.因为＝(xM－x1，1－y1)，＝(xM－x4，1－y4)，且A，M，D三点共线，所以(xM－x1)(1－y4)－(xM－x4)(1－y1)＝0，将y1－1＝k1x1，y4－1＝k2x4代入上式并整理可得(k2x4－k1x1)xM＝(k2－k1)x1x4.又y1≠y4，即k2x4－k1x1≠0，所以xM＝. 同理，xN＝， 所以xM＋xN＝＋＝＝＝0，所以xM＝－xN，|xM|＝|xN|，故|PM|＝|PN|. 题型2　定点问题 【例2】已知抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，过点D(2，1)且斜率为1的直线经过点F. (1)求抛物线C的方程； (2)若A，B是抛物线C上两个动点，在x轴上是否存在定点M(异于坐标原点O)，使得当直线AB经过点M时，满足OA⊥OB？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】(1)由题意知，过点D(2，1)且斜率为1的直线方程为y－1＝x－2，即y＝x－1，令y＝0，得x＝1，所以点F的坐标为(1，0)，所以＝1，所以p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝4x. (2)由(1)知，抛物线C的方程为y2＝4x，假设存在定点M(m，0)(m≠0)满足题意，设直线AB的方程为x＝ty＋m(t∈R)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得y2－4ty－4m＝0，且Δ＝16(t2＋m)>0，所以y1＋y2＝4t，y1y2＝－4m.因为OA⊥OB，所以·＝0，所以·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋m)(ty2＋m)＋y1y2＝(t2＋1)y1y2＋Xtm(y1＋y2)＋m2＝－4m(t2＋1)＋4mt2＋m2＝m2－4m＝0，又m≠0，所以m＝4.当m＝4时，点M的坐标为(4，0)，满足OA⊥OB，所以存在定点M(4，0)满足题意． 【变式】已知椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)过A(－2，0)，B(0，1)两点． (1)求椭圆M的离心率； (2)设椭圆M的右顶点为C，点P在椭圆M上(P不与椭圆M的顶点重合)，直线AB与直线CP交于点Q，直线BP交x轴于点S，求证：直线SQ过定点． (1)【解析】因为点A(－2，0)，B(0，1)都在椭圆M上，所以a＝2，b＝1，所以c＝＝.所以椭圆M的离心率e＝＝. (2)【证明】由(1)知椭圆M的方程为＋y2＝1，C(2，0).由题意知，直线AB的方程为x＝2y－2.设P(x0，y0)(y0≠0，y0≠±1)，Q(2yQ－2，yQ)，S(xS，0).因为C，P，Q三点共线，所以∥，又＝(x0－2，y0)，＝(2yQ－2－2，yQ)，所以(x0－2)·yQ＝y0(2yQ－4)，所以yQ＝，所以Q.因为B，S，P三点共线，所以＝， 即xS＝，所以S，所以直线QS的方程为x＝y＋.又点P在椭圆M上，所以x＝4－4y，所以直线QS的方程为x＝(y－1)＋2，所以直线QS过定点(2，1). 题型3　定值问题 【例3】已知M，N分别为椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点，F为其右焦点，|FM|＝3|FN|，且点P在椭圆E上． (1)求椭圆E的标准方程； (2)若过F的直线l与椭圆E交于A，B两点，且l与以MN为直径的圆交于C，D两点，求证：＋为定值． (1)【解析】由|FM|＝3|FN|，可得a＋c＝3(a－c)，解得a＝2c，又因为a2＝b2＋c2，所以b＝c.因为点P在椭圆E上，所以＋＝1，解得a＝2，b＝，c＝1，所以椭圆E的标准方程为＋＝1. (2)【证明】①当l与x轴重合时，|AB|＝|CD|＝4，所以＋＝7. ②当l不与x轴重合时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l的方程为x＝my＋1，由消去x并整理得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，则y1＋y2＝，y1y2＝， 故|AB|＝＝＝12×，圆心O到直线l的距离为，所以|CD|2＝4，所以＝4－，所以＋＝＋4－＝7.综上，＋为定值． (1)定值问题的常见处理方法 ①确定一个(或两个)变量为核心变量，其余量均根据条件用核心变量表示； ②将所求表达式用核心变量表示，然后进行化简，看能否得到一个常数． (2)定值问题的处理技巧 ①对于较为复杂的问题，可先利用特殊位置求出定值，进而给后面一般情况的处理提供解题思路． ②在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便向定值靠近． ③巧妙利用变量间的关系，尽量做到整体代入，简化运算． 【变式】已知抛物线C：x2＝2py(p>0)经过点P(2，1)，过点Q(1，0)的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交x轴于点M，直线PB交x轴于点N. (1)求直线l的斜率的取值范围； (2)设O为原点，＝λ，＝μ，求证：＋为定值． (1)【解析】由已知得22＝2p，解得p＝2，所以抛物线C的方程为x2＝4y.由题意知，直线l的斜率存在．设直线l的方程为y＝kx－k，代入抛物线方程得x2＝4(kx－k)，即x2－4kx＋4k＝0.因为直线与抛物线有两个交点，所以Δ＝(－4k)2－4×4k>0，解得k>1或k<0.又直线PA，PB与x轴有交点，所以直线l不过点P(2，1)和点P′(－2，1)，所以k≠－.综上，斜率k的取值范围为∪∪(1，＋∞). (2)【证明】设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(1)知，x1＋x2＝4k，x1x2＝4k，直线PA的方程为y－1＝(x－2).令y＝0，得xM＝2－，则(xM－1，0)＝λ(－1，0)，则＝＝＝－·，同理可得＝－·，所以＋＝－＝－·＝－＝2.故＋为定值． $