精品解析：山东省普通高等学校招生考试(春季)数学专业知识模拟试题（一）

山东省普通高等学校招生考试（春季） 数学专业知识模拟试题（一） 本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分.满分120分，考试时间120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 卷一（选择题，共60分） 注意事项： 1.答卷一前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上. 3.本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，最后结果精确到0.01. 一、选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，填涂在答题卡上） 1. 已知全集，，，那么集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用集合的运算可解. 【详解】因为，，， 所以，，故AB错误； 则，，故C错误，D正确. 故选：D. 2. 已知复数，则的共轭复数等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据共轭复数概念求解即可. 【详解】根据共轭复数的概念，的共轭复数是. 故选：B. 3. 已知下列四个命题： ①若，，则；②若，且，则；③若，，则；④若，则. 其中，真命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据命题的定义以及不等式的性质求解即可. 【详解】命题①满足不等式的传递性，故正确； 命题②，因为，且，所以，即，故正确； 命题③取特值验证：令，，，，则，，故错误； 命题④，因为，所以，所以，故正确. 故选：C. 4. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据偶次根式的被开方数大于等于0，分母不等于0列不等式求解即可. 【详解】要使函数有意义， 必须有，即， 因为在上为增函数， 所以由，得，且. 所以该函数的定义域为， 故选：C. 5. 如图所示，已知，，点在线段上，且，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的加法以及减法的几何运算求解即可. 【详解】因为，所以是线段的四等分点， 则. 故选：A. 6. 已知边长为4的正方形，用斜二测画法画出其水平放置的直观图，则该直观图的面积等于（ ） A. 4 B. C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据斜二测画法的规则计算即可. 【详解】正方形面积是，斜二侧画法的面积是原来图形面积的倍， 直观图面积为. 故选：B. 7. 已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别讨论和两种情况，再由一元二次不等式解集与判别式的关系列不等式求解即可. 【详解】已知关于的不等式， 当时，不等式可化为，恒成立，满足条件， 当时，需满足：且， 即且，整理得且，解得， 综上可知. 故选：C. 8. 已知抛物线上一点到焦点的距离是6，则其准线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的定义求解即可. 【详解】由题可得，解得：，所以抛物线的准线方程为. 故选:A. 9. 设是等差数列的前n项和，若，则（ ） A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 【答案】A 【解析】 【分析】利用等差数列的性质与求和公式即可求解. 【详解】因为是等差数列， 所以由可得，故， 故， 故选：A 10. 某射击运动员平时训练命中环数为随机变量，其分布列为： 6 7 8 9 10 则的数学期望为（ ） A. 7.65 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数学期望的计算公式求值即可. 【详解】. 故选：B. 11. 已知点，若，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设出点C的坐标，由列式即可求解点C的坐标. 【详解】设， ， ，， ， ， ，， ． 故选:D. 12. 某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬食品类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测.若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蓅食品类种数之和是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】先计算分层抽样的抽样比，再求抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和 【详解】由题知共有种食品，抽样比为， 则抽取的植物油类与果蓅食品类种数之和是. 故选：C. 13. 有10名中职生前往某宾馆实习，7人担任客房服务工作，余下3人担任前厅接待工作，则所有分工方案的种数是（ ） A. 4 B. 120 C. 24 D. 72 【答案】B 【解析】 【分析】根据组合数的计算求解即可. 【详解】由题意可知，从10名中职生中选出7人担任客房服务工作，余下3人担任前厅接待工作， 所以所有分工方案共有：种. 故选：B. 14. 若是第二象限的角，则化简的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由同角三角函数关系式化简求值即可. 【详解】由是第二象限的角得， 则. 故选:B． 15. 已知的展开式的第三项系数是15，则展开式中含有项的系数是（ ） A. 20 B. —20 C. 15 D. —15 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式即可解得 【详解】由题， 则由解得， 又， 令， 则， 即. 故选：C 16. 直线同时要经过第一、第二、第四象限，则、、应满足（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】可先将直线方程化为斜截式的形式，再根据直线经过的象限确定斜率和截距的符号，进而得到a、b、c满足的关系. 【详解】由题意可知，则直线可化为. 如图，由图可知，直线的斜率，， 又直线在轴上的截距为，0. 故选：B. 17. 经过原点且与圆相切的直线是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将圆的一般方程化为标准式得到圆心坐标和半径，设出直线方程，再根据相切求解即可. 【详解】因为圆可化为， 所以圆心坐标为，半径， 当经过原点的直线的斜率不存在时，直线方程为， 此时圆心到直线的距离为，该直线与圆相离，不满足题意； 所以直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离，可化为，解得， 所以切线方程是. 故选：C. 18. 用红、黄、蓝三种不同颜色涂料给三个矩形随机涂色，每个矩形只能涂一种颜色，则三个矩形颜色都不相同的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式求值即可. 【详解】红、黄、蓝三种不同颜色涂料给三个矩形随机涂色共有种涂法， 若三个矩形颜色都不相同有种涂法， 所以三个矩形颜色都不相同的概率为. 故选：C. 19. 若，是两个不同的直线，，，是三个不同的平面，已知命题：①若，，则，异面；②，，则；③，；④，.其中，正确的命题个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线与平面，平面与平面的位置关系逐项分析即可. 【详解】若，， 则，可能异面，可能平行，可能相交，故①是假命题， 若，，则，故②是真命题； 若，，则或，故③是假命题， 若，，则与可能平行，可能相交，故④是假命题， 所以正确的命题个数为1个， 故选：A. 20. 在中，，，分别为内角，，所对的边，若，且，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦定理将条件化为边的关系，结合余弦定理求出角，又由，求出，再由正弦定理求出即可. 【详解】由，根据正弦定理可得， 结合余弦定理知，，所以， 因为，所以， 又，，可知， ， 而， 根据正弦定理变形知. 故选：A. 卷二（非选择题，共60分） 二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分.请将答案填在答题卡相应题号的横线上） 21. 函数在上的最小值为__________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据二次函数的最值求解即可. 【详解】函数的对称轴是，且开口向上， 所以当时函数值最小，最小为. 故答案为：4. 22. 如图所示，正三棱柱底面边长是2，侧棱长是，是中点，则三棱锥的体积为__________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据线面垂直的判定定理以及三棱锥的体积公式求解即可. 【详解】因为平面，所以. 因为，平面， 所以平面，为三棱锥的高，， 底面积，体积. 故答案为：1. 23. 从某校高三年级中随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中的视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如下图所示．若某高校A专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中符合A专业视力要求的人数为__________． 【答案】20 【解析】 【分析】根据频率直方图得到满足符合A专业视力要求的频率，进而即可求解. 【详解】由图可知学生视力在0.9以上的频率为. 所以符合A专业视力要求的人数为人. 故答案为：20. 24. 在中，已知，若，则__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据向量夹角的公式求解即可. 【详解】因为， 所以. 因为，则. 故答案为：. 25. 设是双曲线上的一点，双曲线的一条渐近线方程是，，分别是双曲线的左右焦点，若，则__________. 【答案】7 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线方程可求得的值，再由双曲线的定义求解即可. 【详解】因为双曲线的渐近线方程为，即，且焦点在轴上， 所以，又因为双曲线的方程为：，所以， 因为，所以，所以， 由双曲线的定义可得：， 因为，所以或（舍去）. 故答案为：. 三、解答题（本大题5个小题，共40分） 26. 已知等比数列的各项都是正数，，前三项和. （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前20项和的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出公比，根据等比数列的前n项和公式求出，再求出通项公式即可. （2）根据等比数列的前n项和公式以及等差数列的前n项和公式求解即可. 【小问1详解】 设公比为，则， 整理得，解得或（舍去）， 所以. 【小问2详解】 因为 ， 所以. 27. 某商场购进一批单价为16元的日用品，经试验发现，若按每件20元价格销售时，每月能卖360件，若按每件25元价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y（件）是关于价格x（元/件）的一次函数. （1）试求y与x的函数关系式； （2）在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问：销售价定为多少时，才能使每月获得的利润最大？每月的最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）销售价为24元时，每月利润最大，为1920元. 【解析】 【分析】（1）设立一次函数，根据售价与销售的情况，求得参数，即可求解. （2）列出利润的函数关系，分析函数的最大值，即可求解. 【小问1详解】 依题意，每月销售件数y（件）是关于价格x（元/件）的一次函数， 设，则，得到，即. ∴. 即，. 【小问2详解】 每月获得的利润为， . 所以，当时，值最大，为1920元. 即，当销售价为24元时，每月利润最大，为1920元. 28. 已知函数的图像经过两个相邻的最值点和.求： （1）的解析式； （2）的单调递增区间. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据函数的最值，周期以及特殊点，求出，得到函数的解析式即可. （2）根据正弦函数的单调性求解即可. 【小问1详解】 由题意，的最大值为，最小值为， ，， ，，，. 则， 将代入得，整理得， ，. ，令得. . 【小问2详解】 令， 解得. 故的单调递增区间为. 29. 如图所示，在四棱锥中，，，平面平面，求证： （1）平面； （2）平面平面. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由，根据线面平行的判定定理可证明； （2）由，，可得，又平面平面，根据面面垂直的性质定理可得平面，据此可得证. 【小问1详解】 平面平面， 平面； 【小问2详解】 ， 平面平面，平面平面平面. 平面， 又平面 平面平面. 30. 已知椭圆经过点，离心率为，左右焦点分别为，． （1）求椭圆的方程； （2）若直线l：与椭圆交于A，B两点，与以为直径的圆交于C，D两点，且满足，求直线l的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意结合椭圆中的关系即可求解. （2）根据圆的标准方程，直线与椭圆，直线与圆相交的弦长及点到直线的距离公式，即可得解. 【小问1详解】 由题意可得， 解得，，. ∴椭圆的方程为. 【小问2详解】 由题意可得以为直径的圆方程为． ∴圆心到直线l的距离为， 由得. ∴. 设. 联立， 整理得， 所以. ∴. ∵， ∴. 解方程得，且满足. ∴直线l的方程为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省普通高等学校招生考试（春季） 数学专业知识模拟试题（一） 本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分.满分120分，考试时间120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 卷一（选择题，共60分） 注意事项： 1.答卷一前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上. 3.本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，最后结果精确到0.01. 一、选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，填涂在答题卡上） 1. 已知全集，，，那么集合是（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则的共轭复数等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知下列四个命题： ①若，，则；②若，且，则；③若，，则；④若，则. 其中，真命题的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 5. 如图所示，已知，，点在线段上，且，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 已知边长为4的正方形，用斜二测画法画出其水平放置的直观图，则该直观图的面积等于（ ） A. 4 B. C. 8 D. 7. 已知关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线上一点到焦点的距离是6，则其准线方程为（ ） A. B. C. D. 9. 设是等差数列的前n项和，若，则（ ） A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 10. 某射击运动员平时训练命中环数为随机变量，其分布列为： 6 7 8 9 10 则的数学期望为（ ） A. 7.65 B. C. D. 11. 已知点，若，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 12. 某商场有四类食品，其中粮食类、植物油类、动物性食品类及果蔬食品类分别有40种、10种、30种、20种，现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测.若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蓅食品类种数之和是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 13. 有10名中职生前往某宾馆实习，7人担任客房服务工作，余下3人担任前厅接待工作，则所有分工方案的种数是（ ） A. 4 B. 120 C. 24 D. 72 14. 若是第二象限的角，则化简的结果为（ ） A. B. C. D. 15. 已知的展开式的第三项系数是15，则展开式中含有项的系数是（ ） A. 20 B. —20 C. 15 D. —15 16. 直线同时要经过第一、第二、第四象限，则、、应满足（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 17. 经过原点且与圆相切的直线是（ ） A. B. C. D. 18. 用红、黄、蓝三种不同颜色涂料给三个矩形随机涂色，每个矩形只能涂一种颜色，则三个矩形颜色都不相同的概率是（ ） A. B. C. D. 19. 若，是两个不同的直线，，，是三个不同的平面，已知命题：①若，，则，异面；②，，则；③，；④，.其中，正确的命题个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 20. 在中，，，分别为内角，，所对的边，若，且，则等于（ ） A. B. C. D. 卷二（非选择题，共60分） 二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分.请将答案填在答题卡相应题号的横线上） 21. 函数在上的最小值为__________. 22. 如图所示，正三棱柱底面边长是2，侧棱长是，是中点，则三棱锥的体积为__________. 23. 从某校高三年级中随机抽取一个班，对该班50名学生的高校招生体检表中的视力情况进行统计，其结果的频率分布直方图如下图所示．若某高校A专业对视力的要求在0.9以上，则该班学生中符合A专业视力要求的人数为__________． 24. 在中，已知，若，则__________ 25. 设是双曲线上的一点，双曲线的一条渐近线方程是，，分别是双曲线的左右焦点，若，则__________. 三、解答题（本大题5个小题，共40分） 26. 已知等比数列的各项都是正数，，前三项和. （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前20项和的值. 27. 某商场购进一批单价为16元的日用品，经试验发现，若按每件20元价格销售时，每月能卖360件，若按每件25元价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y（件）是关于价格x（元/件）的一次函数. （1）试求y与x的函数关系式； （2）在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问：销售价定为多少时，才能使每月获得的利润最大？每月的最大利润是多少？ 28. 已知函数的图像经过两个相邻的最值点和.求： （1）的解析式； （2）的单调递增区间. 29. 如图所示，在四棱锥中，，，平面平面，求证： （1）平面； （2）平面平面. 30. 已知椭圆经过点，离心率为，左右焦点分别为，． （1）求椭圆的方程； （2）若直线l：与椭圆交于A，B两点，与以为直径的圆交于C，D两点，且满足，求直线l的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $