河南省部分重点中学2025-2026学年高三下学期4月质量检测数学试题

秘密★启用前 高三数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ）． A. B. C. D. 2. 复数的虚部为（ ）． A. B. C. 1 D. 2 3. 已知向量满足，，且的夹角为120°，则（ ）． A. 1 B. C. D. 4. 曲线在点处的切线方程为（ ）． A. B. C. D. 5. 已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 6. 记椭圆1的上顶点为，右焦点为，则以为圆心，为半径的圆与的交点个数为（ ）． A. 0 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知函数，若恒成立，则实数的最大值为（ ）． A. B. C. D. 1 8. 已知球的半径为2，其表面上有三点，满足，，则四面体的体积为（ ）． A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在中，，则（ ）． A. B. C. D. 10. 已知三棱台的上、下底面相似比为1:2.在中，，侧棱，且与下底面所成的角为60°.则（）． A. 直线与直线相互垂直 B. 直线与直线相互垂直 C. 侧面与底面相互垂直 D. 侧面与侧面相互垂直 11. 已知随机变量（且），设函数，记，则（ ）． A. 对任意恒成立 B. 对任意恒成立 C. 存在，使得方程在区间内有解 D. 存在，使得函数在区间内单调 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知抛物线，为坐标原点，直线与抛物线交于两点，且，则______． 13. 若，，则______． 14. 将标有1，2，3，4，5的五张数字牌摆放成一排，则前三张牌上的数字按顺序构成等差数列的排法总数为______．（用数字回答） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记为数列的前项和，． （1）求数列的前项和； （2）求． 16. 如图所示，在直四棱柱中，. （1）证明：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 17. 某商场对商品售卖的情况进行统计，已知该商场共六层． （1）当各楼层的商品种类相近时，得到该商场各楼层的销售额（单位：万元）的值： 楼层 1 2 3 4 5 6 销售额 700 500 400 200 100 100 记销售额与楼层之间的经验回归方程为． （i）求（用分数表示）； （ii）求（用分数表示）． （2）由于网络热点的影响，销售利润（单位：万元）近似服从正态分布，求销售利润在的概率． 附：回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为． 若，则，． 参考数据：． 18. 已知双曲线上有两点． （1）求的标准方程； （2）过点的直线（的斜率不为零）与E交于两点． （i）证明：直线与的斜率之积为定值； （ii）若，求的外接圆的标准方程，并判断点是否在圆上． 19. 设函数，其中． （1）当时，证明：． （2）设为等腰三角形，其中为底边，顶角.若存在满足条件的的三个顶点均在曲线上，且顶点的纵坐标为1． （i）证明：点关于定直线对称； （ii）记的面积为，证明：是关于的单调递减函数． 秘密★启用前 高三数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】D 【8题答案】 【答案】C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 【9题答案】 【答案】AC 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 【12题答案】 【答案】3 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】16 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1）证明： 由，可得为的垂直平分线，所以， 在直四棱柱中，可得平面， 因为平面，所以， 又因为平面，且，得平面． （2） 【17题答案】 【答案】（1）（i）；（ii） （2）0.8186 【18题答案】 【答案】（1） （2）（i）证明： 设且， 联立方程组，整理得， 则，且， 由 为定值． （ii），点不在该圆上． 【19题答案】 【答案】（1）证明: 由函数，可得， 要证，即证， 设，其中，可得． 当时，，所以在上单调递增， 因为，所以当时，， 即，所以，即成立． （2）（i）证明： 由点在曲线上，且纵坐标为1，结合，可得， 设且，其中，且， 由是等腰三角形且为底边，可知， 即， 设，则有， 且， 当时，且，可得， 即在上单调递减，同理可证在上单调递增， 又，所以， 即函数图象关于直线对称， 综上所述，若且，则与必然关于对称， 因此，点关于定直线对称． （ii）证明： 由（i）可知，可设点的横坐标为，点的横坐标为，其中， 此时的纵坐标均为，，点到的距离，也即三角形的高，为，则由几何关系可得， 令，则． 先证明是关于的函数，设，其中， 可得， 由（1）可知，即在上单调递减，故， 对于任意，取， 当时，设， 因为，令，可得， 所以单调递增，，可得单调递增， 所以，即，所以， 综上可得，函数的值域为． 由于存在，所以必有.由于单调递减，且值域覆盖该范围，方程在内有唯一解，则是关于的函数． 再证明该函数单调递减，， 令，则，其中， 易知，即单调递增，则当增大时，增大，增大． 由于，且是关于的单调递减函数，所以增大时，减小． 又由是关于的单调递增函数，当减小时，随之减小.综上，是关于的单调递减函数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $