排列、组合问题的解题策略题型归纳 课件-2027届高三数学一轮复习

排列、组合问题的解题策略题型归纳 题型一　特殊元素与特殊位置优先策略 例1　(2025·辽宁大连模拟)据典籍《周礼·春官》记载,“宫”“商”“角”“徵” “羽”这五音是中国古乐的基本音阶.若把这五个音阶全用上,排成一个五音阶音序,要求“宫”不为末音阶,“商”和“羽”之间恰有两个音阶,则可以排成不同音序的种数是(　　) A.12 B.20 C.24 D.32 B 解析 当“宫”在“商”和“羽”之间时,可以排成不同音序的种数为=16;当“宫”不在“商”和“羽”之间时,可以排成不同音序的种数为=4,所以一共可以排成不同音序的种数为16+4=20.故选B. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 规律方法　 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 [对点训练1](多选题)(2025·广东深圳模拟)现用0,1,2,3,4共5个数字组成四位数,则(　　) A.可以组成84个无重复数字的四位数 B.可以组成404个有重复数字的四位数 C.可以组成54个无重复数字的四位偶数 D.可以组成120个百位为奇数的四位偶数 BD 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 解析 对于A,可以组成无重复数字的四位数=96(个),故A错误;对于B,可以组成有重复数字的四位数=404(个),故B正确;对于C,若个位数为0,则有=24(个);若个位数不为0,则有=36(个),则可以组成无重复数字的四位偶数24+36=60(个),故C错误;对于D,依次选择千位、百位、十位、个位的数字,则可以组成百位为奇数的四位偶数=120(个),故D正确.故选BD. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型二　定序问题倍缩、空位插入策略 例2　(1)高二(1)班5位同学排成一排准备照相时,又来了2位同学要加入,若保持原来5位同学的相对顺序不变,则不同的加入方法种数为(　　) A.42 B.30 C.21 D.15 A 解析 7位同学排成一排照相,共有种排法,原来5位同学的排列方法有种,所以保持原来5位同学的相对顺序不变的排法种数为=42.故选A. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 (2)(2025·辽宁三模)9本不同的书平均分成三摞,如图所示,现将这9本书全部取走,且每次只能从其中一摞的上面取一本,则不同的取法有(　　) A.种 B.种 C.种 D.种 B 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 解析 对取出的书进行编号,记取出的第一本书为1,第二本书为2,依次类推,最后取出的书为9,则不同的取法对应这9个编号的书在书堆中的排列,因此不同的取法数目等于不同的排列数目,即将9本书分成三摞的摆放方法数,又因为每次只能从其中一摞的最上面取一本,故每摞书的编号从上往下依次增大,因此再摆放时每摞书的顺序唯一确定,从9本书中选三本放在第一摞,有种方法,再从剩下的6本书中选三本放在第二摞,有种方法,最后剩下的3本书中选三本放在第三摞,有种方法,综上,共有种方法.故选B. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 规律方法　 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 [对点训练2](1)某中学为了让AI服务教学,组织研究性学习.在研究性学习成果报告会上,有A,B,C,D,E,F共6项成果要汇报,如果B成果不能最先汇报,而A,C,D按先后顺序汇报(不一定相邻),那么不同的汇报安排种数为(　　) A.100 B.120 C.300 D.600 A 解析 先排B元素,有5种排法,然后排剩余5个元素共=120(种)排法,由于A,C,D顺序确定,所以不同的排法共有=100(种).故选A. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 (2)(多选题)数学中蕴含着无穷无尽的美,尤以对称美最为直观.回文数是对称美的一种体现,它是按照从左到右与从右到左两种顺序读法都一样的正整数,如22,121,3443,94249等.下列说法正确的是(　　) A.末尾为1的五位回文数有100个 B.十位大于个位的六位回文数有360个 C.2n(n∈N*)位回文数有10n个 D.2n+1(n∈N*)位回文数有9×10n个 ABD 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 解析 对于A,末尾为1的五位回文数,则首位也是1,此时第二位和倒数第二位数字有10种选法,第三位有10种选法,故总的个数为10×10=100,故A正确; 对于B,十位大于个位,有种方法,此时第一位和第二位的数字被确定,第三、第四位的数字相同,故有10种选择,因此符合条件的六位回文数有10=360(个),故B正确; 对于C,对于2n位回文数,首位和个位数字有9种选法,第二位和倒数第二位数字有10种选法,……,第n位和第n+1位也有10种,则共有9×10×10×…×10=9×10n-1(种)选法,故C错误; 对于D,对于2n+1位回文数,首位和个位数字有9种选法,第二位和倒数第二位数字有10种选法,……,第n+1个数字,即最中间的数字有10种选法,则共有9×10×10×…×10=9×10n(种)选法,即2n+1(n∈N*)位回文数有9×10n个,故D正确. 故选ABD. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型三　涂色(种植)问题　 例3　(1)给图中五个区域染色,有4种不同的颜色可供选择,要求有公共边的区域染上不同的颜色,则不同的染色方法有(　　) A.216种 B.192种 C.180种 D.168种 D 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 解析 (方法一:按一定顺序涂)先对3,4,5染色,有种方法,若2和3同色,则不同的染色方法有3=72(种);若2和3不同色,则不同的染色方法有2×2=96(种).综上所述,不同的染色方法有72+96=168(种).故选D. (方法二:按照颜色种类涂)涂4种颜色共有=96(种);涂3种颜色共有=72(种),不同的染色方法有72+96=168(种).故选D. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 (2)如图,一环形花坛分成A,B,C,D,E五块区域,现有5种不同的花供选种,要求在每块区域里种一种花,且相邻的2块区域种不同的花,则不同的种法总数为(　　) A.420 B.380 C.360 D.320 A 解析 由题意可分三类情况:种三种花时,AC,BD种同种花,有种种法; 种四种花时,AC,BD其中之一相对的区域种同种花,有种种法; 种五种花有种种法,故共有=60+240+120=420(种)种法.故选A. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 规律方法　涂色(种植)问题的解决方法 (1)按照一定的顺序涂,注意讨论哪些区域的颜色相同; (2)按照颜色种类涂,根据图形特点,分析最多涂几种颜色,最少涂几种颜色. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 [对点训练3]某小区物业在该小区的一个广场布置了一个如图所示的圆形花坛,花坛分为5个区域.现有6种不同的花卉可供选择,要求相邻的区域(有公共边)不能布置相同的花卉,且每个区域只布置一种花卉,则不同的布置方案有(　　) A.720种 B.1 440种 C.1 560种 D.2 520种 C 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 解析 如图,不同的布置方案分两类:当A与C布置相同的花卉时,先安排E,有6种不同的选择,再安排A与C,有5种不同的选择,再安排B,有4种不同的选择,最后安排D,有4种不同的选择,共有6×5×4×4=480(种)方案; 当A与C布置不同的花卉时,先安排E,有6种不同的选择,再安排A与C,有5×4种不同的选择,再安排B,有3种不同的选择,最后安排D,有3种不同的选择,共有6×5×4×3×3=1 080(种)方案.所以不同的布置方案有 480+1 080=1 560(种).故选C. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型四　元素相同隔板法 例4　(2024·河南郑州模拟)将8个数学竞赛名额全部分给4个不同的班,其中甲、乙两班至少各有1个名额(其余两个班可以没有名额),则不同的分配方案种数为(　　) A.56 B.84 C.126 D.210 B 解析 将8个数学竞赛名额全部分给4个不同的班,其中甲、乙两班至少各有1个名额的分法,等价于将10个数学竞赛名额全部分给4个不同的班,每个班至少有1个名额的分法.用3个隔板插入10个小球中间的空隙中,将球分成4堆,由于10个小球中间共有9个空隙,因此共有=84(种)不同的分法. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 规律方法　 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 [对点训练4](2024·湖南永州三模)为迎接在某市举行的龙舟比赛,一位热情好客的市民准备将9份一样的当地特产分给甲、乙、丙三名幸运观众,若每人至少分得1份,且甲、乙两人分得的份数不相同,则不同的分法总数 为(　　) A.26 B.25 C.24 D.23 C 解析 将9份一样的特产分给甲、乙、丙三名幸运观众,每人至少分得1份,用隔板法有=28(种)分法,而甲、乙两人分得的份数相同,可以都是1份、2份、3份、4份共4种分法,所以不同的分法总数为28-4=24. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 题型五　圆排问题线排法 例5　(多选题)(2024·江苏镇江模拟)定义“圆排列”:从n个不同元素中选m个元素围成一个圆形,称为圆排列,所有圆排列的方法数计为.圆排列是排列的一种,区别于通常的“直线排列”,既无“头”也无“尾”,所以.现有2个女生4个男生共6名同学围坐成一圈,做击鼓传花的游戏,则(　　) A.共有种排法 B.若两名女生相邻,则有2种排法 C.若两名女生不相邻,共有4种排法 D.若男生甲位置固定,则有5种排法 ABD 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 解析 2个女生4个男生共6名同学围坐成一圈,共有种排法,故A正确;若两名女生相邻,则有=2种排法,故B正确;若两名女生不相邻,共有=12种排法,故C错误;若男生甲位置固定,考虑以甲为基准的顺(逆)时针排列,则有=5种排法,故D正确.故选ABD. 规律方法　从n个不同元素中取出m个元素成圆形排列,共有种不同的 排法. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 [对点训练5](原创题)(多选题)学校文艺汇演的开场舞环节,有5对双胞胎姐妹(每对包含1位姐姐和1位妹妹)参与队形排列,下列关于站位安排的说法正确的是(　　) A.若要求每对双胞胎必须相邻且站成圆形队形,不同的站法有4!×25种 B.若队形为直线排列,且每对双胞胎必须相邻,不同的站法有5!×25种 C.若要求每对双胞胎必须相邻且站成圆形队形,并且每对双胞胎中姐姐固定在妹妹左侧,不同站法有5!种 D.若10位姐妹直接站成圆形队形,不同的站法有10!种 AB 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 解析 对于A,将每对双胞胎捆绑为1个“整体”,共5个整体,故5个整体的圆排列数为(5-1)!=4!.每对双胞胎有2种站法,5对共25种,故总站法为4!×25,故A正确; 对于B,直线排列中,5个双胞胎整体的排列数为5!,每对双胞胎内部有2种站法,故总站法为5!×25,故B正确; 对于C,每对双胞胎中姐姐固定在妹妹左侧,每对内部仅1种站法,5个双胞胎整体的圆排列数为4!,总站法应为4!,故C错误; 对于D,10位姐妹的圆排列数为9!,故D错误. 故选AB. 题型一 题型二 题型三 题型四 题型五 $