一 有余数的除法（导学案）-2025-2026学年人教版二年级数学下册

一 有余数的除法（导学案） 一、新课标学习目标（核心素养导向） （一）数感与运算能力 1. 结合具体分物情境，理解有余数除法的意义，明确“平均分后有剩余”的特点，能准确区分有余数除法和没有余数的除法，知道有余数除法算式中各部分的名称（被除数、除数、商、余数）。 2. 能熟练运用乘法口诀计算有余数的除法，掌握“余数要比除数小”的基本规律，能正确书写有余数除法的算式和竖式，做到计算准确、书写规范，提升除法运算能力。 3. 能结合具体实例，用有余数的除法解决生活中“平均分后有剩余”的简单实际问题，能清晰说出解题思路，明确商和余数的实际含义，提升运用除法解决实际问题的能力。 （二）思维能力 1. 能通过动手分物、观察对比、分析归纳，梳理出有余数除法的特点和“余数要比除数小”的规律，培养观察、梳理和归纳总结的能力，能区分有余数与无余数除法的异同。 2. 能借助实物、图形（小棒、圆圈）等直观工具，理解余数的含义和“余数比除数小”的道理，通过联想、推理，解决与余数相关的简单问题（如判断余数是否合理），培养逻辑推理和联想思维。 3. 能积极参与小组探究，主动分享自己的分物过程和解题思路，认真倾听同伴的想法，能补充、完善同伴的思路，培养合作思考、清晰表达和批判性思维能力。 （三）应用意识 1. 感受有余数除法在生活中的广泛应用，能结合分物品、分组、购物等生活场景，发现其中“平均分后有剩余”的数量关系，体会数学与生活的密切联系。 2. 能主动运用有余数除法的知识解决生活中的简单实际问题，如“分物品有剩余”“计算能分几组、还剩几个”等，能根据实际情境判断商和余数的含义，选择合适的解题方法，提升应用数学知识解决实际问题的意识和能力。 3. 乐于运用有余数除法知识解决身边的数学问题，愿意和同伴合作解决实际问题，体验数学的实用性和趣味性，激发学习数学的兴趣。 （四）创新意识 1. 能结合具体分物情境，尝试用不同的方法（动手分、画图、口诀）分析有余数除法的数量关系，解决实际问题，培养方法的多样性，提升创新思维。 2. 能根据“余数要比除数小”的规律，自主创编简单的有余数除法应用题，能结合生活经验，设计与有余数除法相关的简单场景，培养创新表达和实践能力。 3. 能主动探索有余数除法的小规律（如除数不变时，余数的变化特点），尝试解决“给定除数，找出所有可能的余数”等拓展问题，培养主动探索、乐于创新的思维品质。 二、学习重难点 （一）学习重点 1. 理解有余数除法的意义，明确有余数除法算式中各部分的名称，能准确区分有余数除法和无余数除法。 2. 能熟练运用乘法口诀计算有余数的除法，掌握“余数要比除数小”的基本规律，能正确书写有余数除法的算式和竖式。 3. 能结合具体情境，用有余数的除法解决“平均分后有剩余”的简单实际问题，清晰说出商和余数的实际含义，明确解题思路。 （二）学习难点 1. 理解余数的含义，能准确区分“余数”和“商”的实际意义，避免混淆两者在具体情境中的作用（如商表示份数，余数表示剩余的数量）。 2. 理解“余数要比除数小”的道理，能灵活运用这一规律判断计算结果是否正确，能解决“给定除数，确定余数的范围”等相关问题。 3. 能结合实际情境，灵活运用有余数除法解决问题，能根据实际情况判断是否需要“进一法”（如租车、装盒），提升解决问题的灵活性。 三、课前预习 1. 预习准备：准备人教版二年级数学下册教材、练习本、铅笔、橡皮、小棒（100根以内）、圆形卡片，回顾表内除法（没有余数的除法）的意义和计算方法，熟练背诵1-9的乘法口诀。 2. 预习任务： （1）回顾无余数除法：回忆“把一个数平均分成几份，求每份是多少”“求一个数里有几个另一个数”用除法计算，如12根小棒，平均分成3份，每份4根，列式12÷3=4，说说算式中各部分的名称。 （2）动手操作：拿出13根小棒，尝试平均分成3份，看看每份分几根，还剩下几根；再尝试平均分成4份，记录分的结果，思考“剩下的小棒为什么不能再分了”。 （3）尝试书写：结合分小棒的结果，尝试写出算式（如13根小棒平均分成3份，每份4根，剩1根），记录自己的疑问，如“剩下的1根怎么表示在算式里？”“余数是什么意思？”“余数能比除数大吗？”。 （4）结合生活场景，尝试找一个“平均分后有剩余”的例子，如“妈妈买了7个苹果，平均分给3个小朋友，每人分2个，还剩1个”，提前感知有余数除法在生活中的应用。 四、教学过程 （一）情境导入，唤醒兴趣 1. 情境呈现：教师出示“分草莓”的生活情境图（或实物演示），提问：“同学们，今天老师带来了10个草莓，要平均分给3个小朋友，每个小朋友能分几个？正好分完吗？”引导学生结合已学的无余数除法思考，动手分一分小棒（代替草莓），指名学生回答，板书10÷3=3（个）……1（个），追问：“这里的‘3个’和‘1个’分别表示什么？” 2. 互动延伸：教师继续提问：“如果有11个草莓，平均分给3个小朋友，每人分几个？还剩几个？”“12个草莓平均分给3个小朋友，又能分几个？正好分完吗？”引导学生继续动手分小棒，对比两次分的结果，发现“有的能正好分完，有的分完后有剩余”。 3. 揭示主题：引导学生观察对比分草莓的结果，提问：“当平均分后有剩余时，我们还能用之前学的无余数除法表示吗？”引导学生发现不足，随后揭示课题：“今天我们就一起学习‘有余数的除法’，一起探究平均分后有剩余的情况，学会用新的除法算式表示，掌握它的计算方法和规律。”，明确本节课学习任务——理解有余数除法的意义、掌握计算方法和规律、解决实际问题。 （二）探究新知，突破重难点 1. 探究有余数除法的意义和各部分名称（落实数感与运算能力、思维能力） （1）动手操作，理解余数含义 ①教师引导学生拿出小棒，分组完成3组操作任务，记录分的结果： 1. 10根小棒，平均分成2份，每份几根？正好分完吗？（每份5根，正好分完，列式10÷2=5） 2. 10根小棒，平均分成3份，每份几根？还剩几根？（每份3根，剩1根，列式10÷3=3……1） 3. 10根小棒，平均分成4份，每份几根？还剩几根？（每份2根，剩2根，列式10÷4=2……2） ②引导学生对比三组操作结果，发现差异：第一组正好分完，没有剩余；第二、三组分完后有剩余，剩下的小棒不能再继续平均分。教师讲解：“平均分后，不能再继续分的部分，叫做余数”，结合算式说明“……”表示余数，读作“余”。 ③明确各部分名称：结合算式10÷3=3……1，讲解：10是被除数（要分的总数），3是除数（平均分的份数），第一个3是商（每份的数量），1是余数（分完后剩下的数量），带领学生齐读算式，强调读法：10除以3等于3余1。 （2）分层练习，巩固意义和名称 ①基础练习：出示分物情境，让学生写出有余数除法算式，并标注各部分名称，如“15根小棒，平均分成4份，每份3根，剩3根”，列式15÷4=3……3，标注被除数、除数、商、余数；指名学生回答，集体订正，重点强调余数的写法和读法。 ②提升练习：出示有余数除法算式，让学生说说各部分的含义，如7÷2=3……1，引导学生说出“7是要分的总数，2是平均分的份数，3是每份的数量，1是分完后剩下的数量”；开展“算式配对”游戏，将学生分成小组，发放算式卡片和各部分名称卡片，让学生进行配对，配对正确的小组获得“数学小能手”贴纸。 2. 探究有余数除法的计算方法和“余数要比除数小”的规律（落实数感与运算能力、思维能力） （1）探究计算方法 ①教师结合分小棒的例子，讲解有余数除法的计算方法，贴合二年级学生认知：计算有余数的除法，要先想除数和几相乘最接近被除数，又比被除数小，这个数就是商，被除数减去商和除数的积，就是余数。 ②举例讲解：计算13÷4，想4和几相乘最接近13且比13小，4×3=12，12最接近13且比13小，所以商是3，余数是13-12=1，列式13÷4=3……1；结合小棒演示，让学生明白“4×3=12”表示分出去的12根小棒，“13-12=1”表示剩下的1根小棒，强化理解。 ③讲解竖式书写：结合算式13÷4=3……1，讲解有余数除法的竖式书写步骤，边写边强调：先写除号“厂”，里面写被除数13，外面写除数4；想4×3=12，在被除数13的个位下面写12；用13-12=1，在12的下面写1，这个1就是余数，注意余数要和被除数的个位对齐，书写规范、整洁。 （2）探究“余数要比除数小”的规律 ①引导学生分组完成操作：拿出14根小棒，分别平均分成3份、4份、5份，记录算式和余数： 1. 14÷3=4……2（余数2，除数3，2＜3） 2. 14÷4=3……2（余数2，除数4，2＜4） 3. 14÷5=2……4（余数4，除数5，4＜5） ②引导学生观察算式，提问：“余数和除数之间有什么关系？”让学生自主发现“余数都比除数小”；教师追问：“如果余数比除数大，比如14÷3=3……5，这样可以吗？”引导学生动手分一分，发现余数5比除数3大时，还能再分1份（3根），余数变成2，说明余数不能比除数大，也不能等于除数（余数等于除数时，正好分完，没有余数）。 ③小结：引导学生总结规律：有余数的除法中，余数必须比除数小（余数＜除数），这个规律是判断有余数除法计算是否正确的重要依据，结合简单好记的口诀帮助学生记忆：“余数要比除数小，不能大来不能等”，贴合二年级学生认知。 3. 情境应用，深化理解（落实应用意识、创新意识） ①出示生活情境题（贴合二年级学生生活）：1. 有23块饼干，平均分给4个小朋友，每人分几块？还剩几块？2. 有32颗糖果，每6颗装一袋，可以装几袋？还剩几颗？3. 二年级有40名同学，每7人一组，可以分成几组？还剩几人？ 引导学生分组讨论，分析每道题的数量关系，先判断是“平均分后有剩余”的情况，再列式计算（包括竖式），每组派代表发言，讲解解题思路和商、余数的实际含义，教师点评指导，重点关注学生是否能正确运用口诀计算、是否牢记“余数比除数小”、是否能清晰说出商和余数的意义。 ②开展“创编应用题”活动，引导学生结合生活经验，自主创编1道有余数除法应用题，同桌之间互相解答、互相检查，教师巡视指导，鼓励学生创编贴合生活、符合本节课知识点的题目（如分文具、分水果、分组活动），培养创新意识和语言表达能力。 （三）小组探究，深化素养 1. 探究任务：组织学生分成4-5人一组，结合本节课所学知识和预习内容，完成两项探究任务： （1）小组合作，梳理有余数除法的小规律：结合所学算式，讨论“除数不变时，余数的变化有什么特点？”“给定除数，余数可以是哪些数？”，如除数是5时，余数可以是1、2、3、4，不能是0和5（0表示正好分完，5等于除数，还能再分），每组记录1-2条发现。 （2）小组合作，解决生活中的实际问题：出示情境“学校组织植树活动，有37棵树苗，每人种5棵，需要几人？还剩几棵树苗？如果要把剩下的树苗也种完，一共需要几人？”，小组内讨论解题思路，分工完成列式、计算和检验，重点分析“第二问为什么需要多1人”，体会“进一法”的应用，确保每个同学都能参与其中，清晰说出自己的想法。 2. 分组展示：每组派2名代表上台展示，先分享小组发现的有余数除法小规律，再讲解情境题的解题过程和思路，教师点评指导，重点关注规律的合理性和解题思路的清晰度，对表现优秀的小组给予表扬和鼓励，对有不足的小组进行引导和完善，如“可以结合具体算式，再说说余数的取值范围”。 3. 拓展延伸：引导学生讨论“生活中还有哪些地方会用到有余数的除法？”，邀请学生分享自己课前找到的生活例子，教师补充更多生活场景（如装盒、租车、分食材），让学生体会有余数除法在生活中的广泛应用；同时引导学生制作“有余数除法卡片”，正面写算式，反面写竖式和各部分名称，方便课后复习，落实应用意识和创新意识素养。 （四）总结回顾，查漏补缺 1. 自主总结：引导学生自主回顾本节课所学知识，尝试用自己的话总结本节课的学习内容，如“今天我学习了有余数的除法，知道了平均分后有剩余时用有余数除法表示，认识了余数，掌握了计算方法和‘余数比除数小’的规律，还学会了解决相关的实际问题”，落实数感与运算能力和思维能力。 2. 学生分享：邀请2-3名学生分享自己的学习收获和困惑，如“我学会了有余数除法的竖式书写，但是有时候会把余数和商写反”“我能记住‘余数比除数小’，但是判断余数是否合理时会出错”，同伴之间互相帮助、解答疑问，教师针对学生的困惑，进行重点讲解和巩固，如再次结合小棒演示余数的含义，引导学生练习竖式书写和余数判断。 3. 教师总结：梳理本节课核心知识点，强调重点（有余数除法的意义、各部分名称、计算方法、“余数比除数小”的规律、解决实际问题）和难点（余数的含义、“余数比除数小”的道理、“进一法”的应用），结合新课标核心素养目标，再次强调数学与生活的密切联系，鼓励学生课后多运用有余数除法知识解决生活中的实际问题，主动探索有余数除法的规律，提升数学运算和应用能力。 五、课堂小结 1. 素养落实层面：本节课围绕新课标数学二年级核心素养要求，落实了数感与运算能力（理解有余数除法意义、掌握计算方法和规律、正确书写竖式、解决实际问题）、思维能力（观察梳理、逻辑推理、合作探究、规律总结）、应用意识（结合生活场景运用有余数除法知识、解决实际问题）和创新意识（创编应用题、探索有余数除法规律），贴合二年级学生具象思维特点，实现了“知识学习与素养提升”的双重目标。 2. 知识掌握层面：明确了有余数除法的意义，认识了有余数除法算式中各部分的名称，能准确区分有余数与无余数除法；熟练掌握了有余数除法的计算方法和“余数要比除数小”的规律，能正确书写有余数除法的算式和竖式；能结合具体情境，用有余数的除法解决“平均分后有剩余”的简单实际问题，清晰说出商和余数的实际含义，掌握“进一法”的简单应用。 3. 能力提升层面：通过动手操作、小组合作、情境练习、创编题目等活动，提升了运算能力、逻辑思维能力、语言表达能力和应用能力；养成了认真读题、仔细计算、规范书写、主动思考、乐于合作的良好学习习惯；激发了学习数学的兴趣，体会到了数学的实用性，树立了学习数学的自信心。 六、课后作业 1. 巩固计算：完成5道有余数除法的算式和竖式计算，做到书写规范、计算准确，重点练习除数是7、8、9的算式，牢记“余数比除数小”的规律；检查每道题的余数是否合理，错误的及时改正。 2. 解决实际问题：完成3道有余数除法应用题，要求按解题步骤完成，圈出关键信息，分析数量关系，列出算式和竖式，标注商和余数的实际含义，检验计算结果；结合生活经验，自主创编1道有余数除法应用题，自己解答。 3. 拓展探究：和家人一起找3个生活中用到有余数除法的例子，用简单的文字记录下来，写出对应的算式和竖式；尝试解决“除数是6，余数可能是哪些数？最大的余数是几？”这类问题，记录自己的发现，下节课和同伴分享。 4. 实践体验：用小棒摆出17根，分别平均分成3份、5份、6份，写出对应的有余数除法算式和竖式，通过动手操作，进一步理解余数的含义和“余数比除数小”的规律。 七、重点知识归纳 （一）核心知识汇总 1. 有余数除法的意义（核心） （1）定义：把一个数平均分成几份，或求一个数里有几个另一个数，分完后还有剩余，这样的除法叫做有余数的除法。 （2）各部分名称：被除数÷除数=商……余数（余数是分完后剩下的、不能再继续分的部分）。 （3）举例：13根小棒平均分成4份，每份3根，剩1根，列式13÷4=3……1（13是被除数，4是除数，3是商，1是余数）。 2. 有余数除法的计算方法（必用） （1）口诀法：想除数和几相乘最接近被除数，又比被除数小，这个数就是商； （2）计算：被除数 - 商×除数 = 余数； （3）竖式书写：先写除号，再写被除数和除数，计算后写商和余数，余数要和被除数的个位对齐。 3. 核心规律（必记） 有余数的除法中，余数必须比除数小（余数＜除数），余数不能等于或大于除数（等于除数时正好分完，大于除数时还能再分）。 4. 应用题解题步骤（必用） （1）读题：圈出关键信息，明确是“平均分后有剩余”的情况； （2）分析：判断商和余数的实际含义（如商表示份数，余数表示剩余数量）； （3）列式：列出算式和竖式，计算出商和余数，标注单位名称； （4）检验：检查余数是否比除数小，计算是否准确，单位是否合适，结合实际情境判断是否需要“进一法”。 5. 核心口诀（助记） 有余除法要牢记，商乘除数加余数，结果等于被除数；余数要比除数小，不能大来不能等。 （二）易错点汇总 1. 计算易错：运用乘法口诀计算时，口诀记混，导致商或余数错误；竖式书写不规范，余数没有和被除数的个位对齐；忽略“余数比除数小”的规律，出现余数等于或大于除数的错误（如15÷4=3……3，余数3＜4正确；15÷4=2……7，余数7＞4错误）。 2. 概念易错：混淆“商”和“余数”的实际含义，如“10÷3=3……1”，错误认为“1”是商，“3”是余数；对“余数”的含义理解不清，认为余数是“多余的、没用的”，忽略其表示“剩余数量”的意义。 3. 解题思路易错：解决应用题时，不认真读题，漏看“平均”“还剩”等关键信息，导致判断错误；不能结合实际情境理解商和余数的含义，如“租车问题”中，忽略剩余的人也需要1辆车，没有用“进一法”；检验环节遗漏，导致余数比除数大的错误不能及时发现。 4. 书写易错：竖式书写时，忘记写除号、商或余数；算式书写时，遗漏“……”和余数；单位名称标注错误，如商表示份数，余数表示数量，单位名称不一致时混淆标注。 八、板书设计 （一）课题 1. 一 有余数的除法 （二）核心意义 1. 定义：平均分后有剩余的除法 2. 各部分名称： （1）算式：13 ÷ 4 = 3 …… 1 （2）标注：被除数 除数 商 余数 （3）读法：13除以4等于3余1 （三）计算方法 1. 口诀法：想除数×（ ）＜被除数，最接近被除数 2. 公式：被除数 - 商×除数 = 余数 3. 竖式：（板书规范竖式13÷4=3……1） （四）核心规律 1. 余数＜除数（余数不能等于、大于除数） 2. 举例：14÷3=4……2（2＜3，正确）；14÷3=3……5（5＞3，错误） （五）解题步骤 1. 读题（圈关键信息） 2. 分析（判商和余数含义） 3. 列式（写算式、竖式） 4. 检验（查余数、计算、单位） （六）重点提示 1. 牢记“余数比除数小”，灵活运用乘法口诀计算 2. 区分商和余数的实际含义，规范书写算式和竖式 3. 解决实际问题时，结合情境判断是否需要“进一法” 4. 多结合生活实例，体会有余数除法的实用性 （七）核心素养落实 1. 数感与运算能力：掌握有余数除法计算，理解意义，解决实际问题 2. 思维能力：观察梳理、逻辑推理、合作探究、规律总结 3. 应用意识：运用有余数除法解决生活实际问题，感受数学实用性 4. 创新意识：创编应用题，探索有余数除法规律，培养创新思维 学科网（北京）股份有限公司 $