江西吉安市五所县二中2022-2023学年高一下学期第二次联考数学试卷

江西吉安市五所县二中2022-2023学年高一下学期第二次联考数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.在四边形ABCD中，若有，则四边形ABCD所对应的图形是(　　) A．平行四边形　 B．梯形 C．菱形　 D．矩形 2．已知定义在上的函数满足，，则（    ） A． B．1 C． D．2 3．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 4.设都是非零向量，下列四个条件中，一定能使成立的是(　　) A．　　 B． C．　　 D． 5．已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．在中，点满足．若，则（   ） A． B． C． D． 7.在△ABC中，内角A,B,C对应的边长分别为a,b,c，A为锐角，且lgb＋lg＝lg sin A＝－lg，则△ABC为(　　) A．锐角三角形　　 B．等边三角形 C．钝角三角形　　 D．等腰直角三角形 8.已知向量与的夹角为,且,.求使与的夹角为锐角时,则实数的取值范围为( ) A． B． C． D． 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法正确的是（   ） A．若向量与是平行向量，则A，B，C，D四点不一定在同一直线上 B．若向量与平行，且，则或 C．向量的长度与向量的长度相等 D．单位向量都相等 10．设点M是△ABC所在平面内一点，则下列说法正确的是(　　) A．若＝＋，则点M是边BC的中点 B．若＝2－，则点M在边BC的延长线上 C．若＝－－，则点M是△ABC的重心 D．若＝x＋y，且x＋y＝，则△MBC的面积是△ABC面积的 11．已知函数在区间上单调递减，则（   ） A． B．当时， C．当时， D．当时， 12．已知定义在上的函数（其中）在区间上有且仅有3个零点，且该函数的图象关于点中心对称，也关于直线轴对称．现考虑函数,则函数的零点可以是（   ） A． B． C． D． 三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13.已知扇形的弧长为，面积为，则扇形的圆心角为________． 14．平在面直角坐标系中,已知点P在以坐标原点为圆心,1为半径的圆上，点A的坐标为(－2,0)，则·的取值范围为 ． 15.已知向量,为单位向量，且在上的投影向量为，则______． 16.已知的内角所对的边分别为,若,且,则边长的最小值为 . 四．解答题：本题共6小题，17题10分，18、19、20、21、22题各12分，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.在平面直角坐标系中，角的终边经过点． (1)求的值；(2)求的值． 18．已知点A(－2,4)，B(3,－1)，C(－3,－4)；设＝，＝，＝，且＝3，＝－2．(1)求3＋－3；(2)求满足＝m＋n的实数m和n的值；(3)求点M和N的坐标及向量的坐标． 19.设两个非零向量与不共线．(1)若＝＋，＝2＋8，＝3(－)，求证：A，B，D三点共线；(2)试确定实数k，使k＋和＋k共线． 20．已知斜三角形的内角，，所对的边分别为，，；且． （1）求角；（2）若的面积为，周长为15，求的值． 21．已知点，，，． (1)若，，求的值；(2)求的最小值． 22. 设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种新运算“”：.（1）已知向量，求；（2）设向量且,证明； （3）已知向量，若，求的值. 第二次联考数学试卷答案与解析 一、单选题 1.B 由，得，则,且，即在四边形ABCD中,有,且,知四边形ABCD是梯形.故选B. 2．C 由得，， 所以， 所以，因此函数的周期为6.所以. 故选C. 3．C 因为函数的值域为.对于函数，真数为正数，即真数的范围是，令，则函数的值域等价于函数的值域，根据对数函数的性质知是减函数，由对数函数的图象和性质知的值域为，即函数的值域为.故选C． 4.D 由，得，又因向量和是分别表示与非零向量和同方向的单位向量；从选项入手只有当时,才能使成立.故选D． 5.B 若，则，又，所以或，则， 所以当时，“”推不出“”；若，，则，可得，则，所以当时，“”可以推出.综上，“”是“”的必要不充分条件.故选B. 6．B 因为，，所以，. ， 所以，，所以.故选B. 7.D 依题意,由lgb＋lg＝lg＝－lg＝lg，得＝，即c＝b；由lgsin A＝－lg，得sin A＝，又A为锐角，得A＝45°，所以cos A＝；由c＝b及余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，化简得a2＝b2，即a＝b(取正),则B＝A＝45°，知C＝90°，所以△ABC是等腰直角三角形.故选D. 8.C 依题意，得,要使与的夹角为锐角,则有且,化简得,且,解之得或且为所求；故选C. 二、多选题 9.ABC 对于选项A，向量平行时，表示向量的有向线段所在直线可以重合或平行，知A正确．对于选项B， ，，都是非零向量，，与的方向相同或相反，即或，知B正确．对于选项C，向量与向量方向相反，但长度相等，知C正确．对于选项D，单位向量除了长度为1，还有方向，而向量相等需要长度相等且方向相同，知D错误．综上，故选ABC． 10.ACD 若＝＋，则点M是边BC的中点，知选项A正确；若＝2－，即有－＝－，即＝，则点M在边CB的延长线上，且B是CM的中点(如下图)，知选项B错误；若＝－－，即＋＋＝0，则点M是△ABC的重心，知选项C正确；如右图，由＝x＋y，且x＋y＝，可得2＝2x＋2y，且2x＋2y＝1，设＝2，则M为AN的中点，且＝2x＋2y，易知B，N，C三点共线，则△MBC的面积是△ABC面积的，知选项D正确．综上，故ACD. 11．ABD 对于选项A，，知A正确；对于选项B，因为在区间上恒成立，故在区间上恒成立，故B正确；对选项于C，在区间上单调递减，此时，知C错误；对于选项D，当时，由单调性得，即，可得，知D正确．故选ABD. 12.BD 由图象中心对称性可知，因此，；由图象轴对称性可知，因此，；联立以上两式可得．设函数的最小正周期为T．由于在区间上有且仅有3个零点，所以且，因此，结合前面的可能取值，可知． 由可知，但考虑到“”，所以．综上可知．经检验，其在区间上的所有零点为，符合题意．所以． 由于等价于，，即，所以的零点为…，，…．因此知仅BD正确．故选BD. 三、填空题 13. 设扇形的半径为，圆心角为，则，解得，所以扇形的圆心角为.故填. 14．法一:设P(x,y)，且O(0,0)，则；由题意知，，即，因为,所以,解得；又点A(－2,0),则＝(2,0)，所以·＝(2,0)·(x＋2,y)＝2x＋4∈[2,6]，故·的取值范围为[2,6]． 法二:由题意知，＝(2,0)，由三角函数的定义,令P(cos α，sin α),其中,则＝(cos α＋2,sin α)，所以·＝(2,0)·(cos α＋2，sin α)＝2cos α＋4∈[2,6]，故·的取值范围为[2,6]． 15. 由题意得,知,， 故.故答案为. 16. 由条件及正弦定理,得,即有,且,得. 由余弦定理及条件,得,由均值不等式, 得(当且仅当,即为正三角形时取等号),解 得,即.故填 四、解答题 17.(1)；(2). 解：（1）已知角的终边经过点，根据三角函数的定义：， ． （2）． 18．解:(1)由已知,得＝＝(3,－1)－(－2,4)＝(5,－5)，同理＝(－6,－3)，＝(1,8)．所以3＋－3＝3(5,－5)＋(－6,－3)－3(1,8)＝(15－6－3,－15－3－24)＝(6,－42)． (2)由(1)知，由于m＋n＝(－6m＋n,－3m＋8n)＝＝(5,－5)，从而得－6m＋n＝5,且－3m＋8n＝－5，解得m＝－1,n＝－1． (3)不妨设O为坐标原点；由(1)知，因为＝－＝3，所以＝3＋＝(3,24)＋(－3,－4)＝(0,20)，所以点M(0,20)；又因为＝－＝－2，所以＝－2＋＝(12,6)＋(－3,－4)＝(9,2)，所以点N(9,2)；故得＝(9,2)－(0,20)＝(9,－18)． 19(1)证明：因为＝＋，＝2＋8，＝3(－)，所以＝＋＝2＋8＋3(－)＝2＋8＋3－3＝5(＋)＝5,所以，共线；又因为向量与有公共点B，故A，B，D三点共线． (2)依题意，由于k＋与＋k共线，所以存在实数λ，使k＋＝λ(＋k)， 即k＋＝λ＋λk，所以(k－λ)＝(λk－1)；又因，是不共线的两个非零向量，于是得k－λ＝0，且λk－1＝0，两式消去λ,解得k＝±1. 20．（1）；（2）或. 解：（1）∵，∴， 即，得.∵，∴，∴.又，∴. （2）由题可知,∴.由余弦定理得， 由，可得，∴，解得. ∴，结合，可解得或，所以或. 由正弦定理可得或. 21．(1)；(2). 解:（1）因为，， ，则，， 由，可得，解得. （2）因为，，则，所以， 则，所以当时，. 22.（1）；（2）证明见解析；（3）. 解：(1)设向量的夹角为,由题知， 则，所以. (2)由题知， 所以 ， 所以，所以. (3)由题知， 所以， 又，所以，所以 . 学科网（北京）股份有限公司 $